DISEQUAZIONI DI II GRADO

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1 DIEQUAZIONI DI II GRADO Risolvere: 6 Per prima cosa dobbiamo studiare il segno del numeratore e del denominatore, cioè risolvere le due disequazioni: 6 6 : : D N Costruiamo ora uno schema in cui sono riportate le variazioni di segno di numeratore e denominatore: Dallo schema si evidenzia che la disequazione è soddisfatta negli intervalli: { 6 } i noti che i due insiemi sono disgiunti in quanto i valori e 6 vanno esclusi perché annullano il denominatore. Risolvere: Il segno dell espressione che compare nella disequazione dipende dal segno del prodotto dei due fattori moltiplicativi. Procediamo quindi con lo studio del segno di ciascuno di essi: Possiamo rappresentare la situazione nello schema seguente:

2 Vediamo quindi che la disequazione è soddisfatta per: Risolvere: Osserviamo per prima cosa che, affinché la disequazione abbia significato, deve essere soddisfatta la condizione: Inoltre il denominatore dovrà essere diverso da tudiamo ora il segno di numeratore e denominatore: : : D N La situazione è riprodotta nello schema seguente, in cui è evidenziata con un tratteggio la zona in cui la disequazione non è definita: Dallo schema si vede che la disequazione è definita negli intervalli: ITEMI DI DIEQUAZIONI DI II GRADO risolvere: 6 Cominciamo con il risolvere separatamente ciascuna disequazione. Dopo semplici passaggi risulta:

3 Passando alla rappresentazione grafica si ottiene: Ne deduciamo che il sistema è soddisfatto per: DIEQUAZIONI CON VALORE AOLUTO risolvere: 8 tudiamo per prima cosa il segno dei termini che compaiono in valore assoluto: risulta: 8 6 Ne risulta quindi la seguente rappresentazione grafica: Consideriamo quindi le zone: A

4 8 B C Procediamo ora all unione degli insiemi: In conclusione risulta che la disequazione è soddisfatta per: Nella disequazione sono presenti due termini in valore assoluto; occorre quindi distinguere gli intervalli in cui varia il segno di ciascun argomento del valore assoluto: Rappresentiamo la situazione nello schema seguente:

5 A questo punto costruiamo tre sistemi, rispettivamente per la zona A, B e C: A B C La soluzione della disequazione di partenza è data dall unione delle tre soluzioni trovate, cioè: Risolvere l equazione: Come noto dobbiamo distinguere due casi, ossia quando l espressione che compare in valore assoluto è positiva e quando è negativa. Dobbiamo quindi risolvere i due sistemi misti: e Consideriamo dapprima il primo sistema: La disequazione che vi compare è soddisfatta per:

6 L equazione ammette invece le soluzioni: e Osserviamo che entrambe le soluzioni sono interne all intervallo in cui è soddisfatta la disequazione, quindi sono entrambe accettabili. Passiamo ora al secondo sistema: La disequazione che vi compare risulta soddisfatta per: L equazione ammette invece le soluzioni: e delle quali la prima non è accettabile, perché non compatibile con la disequazione, e la seconda si. Concludendo, le soluzioni dell equazione sono tre: Per risolvere la disequazione occorre preliminarmente studiare come varia il segno dei due termini: A : B : La situazione è schematizzata nella figura seguente: In essa si identificano tre regioni, a cui corrispondono rispettivamente tre sistemi: I zona: entrambi i termini A e B negativi Le soluzioni dell equazione di II grado sono:

7 ,, La situazione è rappresentata nello schema seguente: quindi il sistema: non ammette soluzioni II zona: termine A negativo e termine B positivo La disequazione di II grado non ammette soluzioni, quindi il sistema stesso non ne ammette. III zona: entrambi i termini A e B positivi Le soluzioni dell equazione di II grado sono:,9,9 La situazione è rappresentata nello schema seguente:

8 Il sistema ha quindi per soluzione: e questa costituisce anche la soluzione della disequazione di partenza Risolvere: In questa disequazione sono presenti due espressioni con valore assoluto. Possiamo procedere studiando per prima cosa il segno delle due espressioni: Passiamo alla rappresentazione grafica: i nota che sono presenti tre zone, in cui i termini che compaiono in valore assoluto sono rispettivamente: entrambi negativi; il primo negativo e il secondo positivo; entrambi positivi. Queste tre zone vanno studiate separatamente mediante tre distinti sistemi: zona: La soluzione del sistema è: { } zona: 8

9 La soluzione del sistema è: 8 zona: 8 Questo sistema non ammette soluzione. Per determinare l insieme soluzione della disequazione dobbiamo procedere ora all unione degli insiemi soluzione dei tre sistemi: 8 8 Risolvere: Nell equazione compare il valore assoluto di un espressione, quindi l equazione stessa equivale a due equazioni: la prima che vale dove l espressione in valore assoluto risulta positiva, e la seconda che vale dove l espressione risulta negativa. In sostanza l equazione dà luogo ai due sistemi: accettabile non accettabile non accettabile L equazione ammette quindi come unica soluzione Risolvere Per prima cosa occorre studiare il segno dei due termini in cui compare il valore assoluto, cioè risolvere le disequazioni: Costruiamo ora uno schema in cui sono riportate le variazioni di segno dei due termini in cui compare il valore assoluto:

10 Dallo schema si individuano zone: zona A: termine negativo, positivo: zona B: e termine entrambi negativi zona C: e termine entrambi positivi Procediamo ora all unione dei tre insiemi soluzione. i ha: i noti che il punto - non appartiene al primo insieme ma al secondo si, pertanto i due insiemi possono essere fusi in uno. Il punto invece non appartiene né al secondo né al terzo insieme, pertanto i due insiemi devono restare disgiunti. DIEQUAZIONI IRRAZIONALI risolvere: Riscriviamo la disequazione come: la cui soluzione è data dall unione delle soluzioni dei due insiemi:

11 [ ] Passiamo alla soluzione del primo sistema; osserviamo che l equazione associata: non ammette soluzioni, quindi la disequazione è soddisfatta per ogni ; si ha quindi: Per il secondo sistema si ottiene subito: Passiamo all unione dei due insiemi: Ne deduciamo che la disequazione è soddisfatta per ogni Risolvere: Riscriviamo la disequazione in modo da isolare il termine contenente il radicale: Ci troviamo ora nella situazione corrispondente allo schema: [ ] g f g f g f quindi dobbiamo risolvere il sistema: 6

12 La soluzione è: 6 Dobbiamo costruire il sistema: R La disequazione quindi non ammette soluzione Riscriviamo la disequazione nella forma: Questa disequazione è del tipo: g f La cui soluzione si ottiene dai due sistemi: [ ] g f g f g i ha quindi: La soluzione della disequazione è data dall unione dei due insiemi, cioè:

13 FUNZIONI 6 Date le funzioni, da R a R, f : e h f o g e k g o f g : si determinino le espressioni di Ricordando il significato di composizione di funzioni, si ha subito: h f o g f k g o f g g f 6 Della funzione di cui è riportato il grafico in figura, determinare: dominio codominio il sottoinsieme del codominio i cui elementi hanno esattamente una controimmagine gli intervalli in cui la funzione è crescente a dall esame del grafico osserviamo che la funzione è definita per ogni valore di, quindi il dominio è tutto R b dall esame del grafico deduciamo che il codominio della funzione è rappresentato da tutti i valori tali che y c i sottoinsiemi del codominio che hanno esattamente una controimmagine sono i valori: y y d gli intervalli in cui la funzione è crescente sono:

14 Una funzione f ha il grafico rappresentato in figura: tabilire: a dominio e codominio b il numero di zeri della funzione c gli intervalli in cui è crescente e quelli in cui è decrescente d il sottoinsieme del codominio in cui gli elementi hanno esattamente controimmagini a Dall esame del grafico si deduce che il punto appartiene al dominio della funzione, mentre il punto non vi appartiene. Il dominio è quindi l insieme: D R {} Il codominio invece è tutto R, infatti dal grafico si vede che ogni elemento y ha almeno una controimmagine b Gli zeri di una funzione sono i punti in cui essa si annulla, quindi dal grafico si vede che tali punti sono c Dall esame del grafico si vede che la funzione risulta: crescente per decrescente per d Dall esame del grafico si vede che gli elementi del codominio aventi esattamente controimmagini sono quelli per cui risulta: y ia A l insieme dei membri di una famiglia molto numerosa. i considerino le relazioni: è padre di y, y A ha per padre y, y A

15 è fratello di y, y A e si stabilisca se qualcuna di esse è una funzione. Ricordiamo che una funzione è una relazione tra due insiemi tale che ad ogni elemento di un insieme A, detto dominio, ne fa corrispondere uno e uno solo in un insieme B detto codominio. a osserviamo che la relazione è padre di y non è una funzione, perché può essere padre anche di altri figli b la relazione ha per padre y è una funzione, perché ad ogni corrisponde uno e un solo padre c la relazione ha per fratello y non è una funzione, perché può avere più di un fratello Date le funzioni, da R a R, f : e g : si determinino le espressioni di h f o g e k g o f i ha: h f o g f g k g o f g f 9 6 Determinare dominio e codominio della funzione y Il dominio della funzione si determina imponendo la condizione che il denominatore non si annulli, cioè: D R Il codominio si determina risolvendo per l incognita l equazione: y e considerando la y come un parametro. Procedendo si ottiene: y y L equazione è solubile se il denominatore del secondo termine a destra è diverso da zero, ossia per y Il codominio della funzione è quindi: C R

16 6 Date le funzioni, da R a R, : h f o g e k g o f f e si determinino le espressioni di g : i ha subito: h k f g g f i consideri la funzione, da N a N, f : Determinare le immagini di e Determinare le controimmagini di 8 e di 9 tabilire se la funzione è iniettiva, e se è suriettiva Im magini: f f C ontroimmagini: 8 9 N Notiamo che l elemento 8 non ha controimmagini in N L a funzione è iniettiva, perché elementi distinti nel dominio hanno immagini distinte nel codominio. Per dimostrarlo poniamo: k f e mostriamo che l equazione f k ha soluzione solo per infatti: k L a funzione non è suriettiva, perché esistono elementi del codominio, per esempio il valore 8, che non sono immagine di alcun elemento.