Si dimostri che la (*) possiede un unica soluzione (u n ) limitata.

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1 Scuola Normale Superiore, ammissione al IV anno del corso ordinario Prova scritta di Analisi Matematica per Fisica, Informatica, Matematica 26 Agosto 2 Esercizio. Siano (a n ) e (b n ) successioni di numeri complessi tali che inf a n >, sup b n <, e si consideri la relazione ricorsiva ( ) u n+ = a n u n + b n, n N. Si dimostri che la (*) possiede un unica soluzione (u n ) limitata. Esercizio 2. Sia C R n il cubo [, ] n, n 2, e sia C il suo -scheletro, ossia l insieme C = n {x [, ] n x i {, } i j}. j= Sia f : C R il minimo tra due funzioni convesse su C. Si dimostri che max f(x) = max f(x). x C x C Esercizio 3. Sia f : R R una funzione di Borel localmente integrabile e sia (δ i ) una successione tale che f(x + δ i ) f(x) δ i x R, i N. (a) se f è continua, allora f(x + y) f(x) y per ogni x, y R; (b) con un esempio, che l ipotesi di continuità in (a) è essenziale; (c) che in ogni caso esiste una funzione g tale che g(x + y) g(x) y per ogni x, y R e f(x) = g(x) per (Lebesgue) quasi ogni x. (continua sul retro)

2 Esercizio 4. Sia φ : [, + ) [, + ) una funzione convessa e strettamente crescente, tale che φ() =. Indichiamo con L φ (, ) l insieme delle funzioni f misurabili da (, ) in R tali che φ( f /λ) dt < per qualche λ > e poniamo (con la convenzione inf = ) { f φ := inf λ > : (a) f φ < per ogni f L φ (, ) e (b) se f n L φ (, ) e che } φ( f /λ) dt. f + g φ 2 f φ + 2 g φ f, g L φ (, ). lim f n f m φ =, allora esiste f L φ (, ) tale n,m lim f n f φ =. n Esercizio 5. Si mostri che per ogni y R il problema di Cauchy t arctan(y(s)) ds y t (t) = y() = y ha un unica soluzione, nella classe delle funzioni continue su [, + ), con derivata continua in [, + ). Si mostri inoltre che la soluzione ha una dipendenza monotona rispetto al dato iniziale y. 2

3 Scuola Normale Superiore, ammissione al IV anno del corso ordinario Prova scritta di Analisi Matematica per Fisica, Informatica, Matematica 26 Agosto 2 Soluzioni Esercizio. Siano (a n ) e (b n ) successioni di numeri complessi tali che inf a n >, e si consideri la relazione ricorsiva sup b n <, ( ) u n+ = a n u n + b n, n N. Si dimostri che la (*) possiede un unica soluzione (u n ) limitata. Soluzione. () L unicità della successione limitata è ovvia: la differenza d n tra due di esse è limitata e soddisfa d n+ = a n d n, quindi è identicamente nulla. L esistenza può essere mostrata con una verifica diretta a partire dalla formula (ove con Π indichiamo il simbolo di produttoria): ( ) u n := i=n b i Π i na j. Si noti che, indicato con M un maggiorante di b n e con λ > un minorante di a n, vale M Mλ u n = λi n λ, i=n quindi (u n ) è limitata. L argomento euristico che porta alla formula di rappresentazione (*) è il seguente. La relazione ricorsiva (*) espande le distanze di un fattore almeno λ ad ogni passo ed è reversibile nel tempo (qui discreto, indicizzato da N). Quindi se fissiamo un intero k, possiamo considerare la successione (u n (k) ) che è nulla per n = k, e calcolarla a ritroso per n k per ottenere u (k) k = b k a k, u (k) b k k 2 = b k 2 a k a k 2 a k 2 ( ) k 3 = b k b k 2 b k 3,... a k a k 2 a k 3 a k 2 a k 3 a k 3 u (k) Se ora (u n ) è la successione limitata e vogliamo calcolarne il valore in un intero n, dovrà necessariamente essere u n u (k) n per k, dato che al

4 tempo k entrambe i valori delle successioni distano meno di L := sup n u n e quindi al tempo n distano meno di L/λ k n. In sostanza, se (u n ) esiste, deve essere determinabile passando al limite per k in u (k) n a n fissato. Usando la (**) si ottiene la (*). Esercizio 2. Sia C R n il cubo [, ] n, n 2, e sia C il suo -scheletro, ossia l insieme n C = {x [, ] n x i {, } i j}. j= Sia f : C R il minimo tra due funzioni convesse su C. Si dimostri che max f(x) = max f(x). x C x C Soluzione. Sia f = min{g, h} con g : C R e h : C R convesse. Sia x C un punto di massimo per f. Dato che i sottolivelli di g e h sono convessi, x appartiene all intersezione dei bordi di due semispazi G e H tali che g g(x) su G C e h h(x) su H C. Essendo non vuota, l intersezione G H contiene un semi-iperpiano. Ogni semi-iperpiano che interseca C interseca anche il suo -scheletro C. Quindi G H C, che è composto da punti di massimo per min{g, h}, interseca C. Esercizio 3. Sia f : R R una funzione di Borel localmente integrabile e sia (δ i ) una successione tale che f(x + δ i ) f(x) δ i x R, i N. (a) se f è continua, allora f(x + y) f(x) y per ogni x, y R; (b) con un esempio, che l ipotesi di continuità in (a) è essenziale; (c) che in ogni caso esiste una funzione g tale che g(x + y) g(x) y per ogni x, y R e f(x) = g(x) per (Lebesgue) quasi ogni x. Soluzione. (a) Fissato x R, sia y R e supponiamo per fissare le idee y > (nel caso y < il ragionamento è analogo). Sia n i il minimo intero n tale che nδ i > y. Ovviamente (n i )δ i y < n i δ i e l ipotesi su f dà f(x + y) f(x) f(x + y) f(x + (n i )δ i ) + f(x + (n i )δ i ) f(x) f(x + y) f(x + (n i )δ i ) + (n i )δ i f(x + y) f(x + (n i )δ i ) + y. Per i abbiamo che x + (n i )δ i x + y, quindi se f è continua possiamo passare al limite per i per ottenere che f soddisfa la tesi, i.e. f è -Lipschitziana. 2

5 (b) Basta prendere δ i razionali e come f la classica funzione di Dirichlet ( sui razionali e sugli irrazionali). (c) L ipotesi fatta è invariante per traslazioni ed è stabile rispetto all operazione di media. Quindi le funzioni mollificate f ɛ (x) = f(x ɛy)ρ(y) dy R (che sono appunto medie, rispetto a un nucleo di convoluzione ρ, di traslate di f) soddisfano la stessa ipotesi. Per il punto (a), tutte le funzioni f ɛ sono -Lipschitziane; quindi la famiglia (f ɛ ) è relativamente compatta, per il teorema di Ascoli-Arzelá e un argomento diagonale, rispetto alla convergenza uniforme sui compatti di R. Sia ora (ɛ i ) tale che f ɛi converge a f non solo in L loc (R), ma anche quasi ovunque. Grazie alla relativa compattezza, estraendo se necessario una sottosuccessione da (ɛ i ) possiamo anche supporre che f ɛi g localmente uniformemente su R, e ovviamente g resta -Lipschitziana. Confrontando le due convergenze (puntuale quasi ovunque a f, uniforme locale a g) otteniamo che f(x) = g(x) per quasi ogni x. Esercizio 4. Sia φ : [, + ) [, + ) una funzione convessa e strettamente crescente, tale che φ() =. Indichiamo con L φ (, ) l insieme delle funzioni f misurabili da (, ) in R tali che φ( f /λ) dt < per qualche λ > e poniamo (con la convenzione inf = ) { } f φ := inf λ > : φ( f /λ) dt. (a) f φ < per ogni f L φ (, ) e (b) se f n L φ (, ) e che f + g φ 2 f φ + 2 g φ f, g L φ (, ). lim f n f m φ =, allora esiste f L φ (, ) tale n,m lim f n f φ =. n Soluzione. (a) La prima parte segue subito dal teorema della convergenza dominata, dato che φ( f /λ) per λ. Per mostrare la disuguaglianza triangolare osserviamo che l inf è un minimo, quindi φ( f f φ ) dt, φ( g g φ ) dt 3

6 e usando f + g f + g e due volte la convessità di φ otteniamo 2 f φ 2 f φ + 2 g φ 2 f + g φ( ) dt 2 f φ + 2 g φ f 2 g φ φ( ) dt + 2 f φ 2 f φ + 2 g φ f φ( ) dt + f φ 2 g φ( ) dt. g φ g φ( ) dt 2 g φ (b) Basta trovare una sottosuccessione g i = f n(i) che converge a g quasi ovunque. Infatti, se ɛ > è fissato, sia j ɛ tale che g i g j φ ɛ per i j j ɛ. Passando al limite per i nella disuguaglianza per j j ɛ φ( g i g j ) dt g i g j φ ɛ ɛ otteniamo, grazie al lemma di Fatou, φ( g i g j ) dt g i g j φ g i g j φ ɛ φ( g g j ) dt ɛ quindi g g j φ ɛ per j j ɛ. Essendo ɛ arbitrario, si conclude che g g j φ. Infine, usando la disuguaglianza triangolare e la proprietà di Cauchy si deduce che f n g φ. Per costruire g i basta osservare che f φ = f p se φ(z) = z p per qualche p, e che la funzione φ ha crescita almeno lineare (a meno che non sia identicamente nulla, caso in cui la tesi vale banalmente). Quindi (f n ) è di Cauchy anche per la norma L. Esiste allora una sottosuccessione di (f n ) che converge quasi ovunque. Esercizio 5. Si mostri che per ogni y R il problema di Cauchy t arctan(y(s)) ds y t (t) = y() = y ha un unica soluzione, nella classe delle funzioni continue su [, + ), con derivata continua in [, + ). Si mostri inoltre che la soluzione ha una dipendenza monotona rispetto al dato iniziale y. 4

7 Soluzione. Per l esistenza e l unicità in un intorno [, a] dell origine basta applicare il teorema delle contrazioni alla mappa Φ(y)(t) := y + s s arctan y(τ) dτds nello spazio X := {y C([, a]) : y() = y } munito della norma del sup. Usando la rappresentazione equivalente t Φ(y)(t) = y + arctan y(τ) τ s dsdτ = y + ln(t/τ)arctan y(τ) dτ si vede subito infatti che la costante di Lipschitz di Φ non supera a a ln(/τ) dτ, che è minore di per a > abbastanza piccolo. Si può poi continuare nello stesso modo, considerando l unica soluzione ȳ in [, a] e il problema ( t ca + arctan (y(s)) ds ) y t a (t) = y(a) = ȳ(a) nello spazio X := {y C([a, b]) : y(a) = ȳ(a)}, con c a = a arctan ȳ(s) ds. In questo caso la mappa Φ(y)(t) = ȳ(a) + t ( ca + a t arctan y(s) ds ) ha costante di Lipschitz (maggiorando /t con /a) non superiore a (b a)/a e basta allora scegliere b = a + a/2. Continuando in questo modo si prolunga l intervallo di esistenza e unicità per una lunghezza pari a a/2 ad ogni passo. Mostriamo ora la monotonia. Se y < ȳ, indichiamo con y e ȳ le due soluzioni corrispondenti e sia t > il primo istante in cui si incontrano. Dato che y < ȳ in [, t), con uguaglianza al tempo t, deve essere y (t) y(t). D altro canto, usando ancora il fatto che y < ȳ in [, t), vale arctan(y(s)) ds < arctan(ȳ(s)) ds. Essendo y e ȳ soluzioni, le due disuguaglianze si contraddicono. Quindi y non incontra mai ȳ. 5