Analisi Decisionale. (Decision Analysis) Caratteristiche:

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1 Analisi Decisionale 1 Analisi Decisionale (Decision Analysis) Metodologia che si applica quando un decisore può scegliere tra varie azioni future il cui esito dipende da fattori esterni che non possono essere previsti esattamente Trivellazioni Petrolifere: dove e come effettuarle? incertezza sulle dimensioni dei giacimenti Marketing: campagne promozionali incertezza sulla risposta dei clienti Ricerca e Sviluppo: opportunità di investire in ricerca e/o sviluppare prodotti innovativi il costo della ricerca potrebbe superare gli ulteriori guadagni Finanza: scelta del portafogli azionario incertezza sul valore futuro delle azioni (e dei derivati...) Gare di appalto: definizione dell offerta la cifra richiesta potrebbe essere troppo bassa per coprire costi ancora incerti, oppure troppo alta per vincere Caratteristiche: singolo decisore condizioni di informazione incompleta (incertezza o rischio)

2 Analisi Decisionale 2 Esempio: introduzione di un nuovo prodotto; 4 possibili modelli: A,B,C,D 3 possibili livelli di domanda: Basso, Medio, Alto Profitti stimati Livello della Domanda Modello Basso Medio Alto A B C D In generale: Stati di Natura Azioni S 1 S 2... S n D 1 a 11 a a 1n D 2 a 21 a a 2n D m a m1 a m2... a mn a ij : payoff (ritorno atteso) dalla decisione D i se si verifica lo stato di natura S j Una decisione D i domina una decisione D k se a ij a kj, j = 1,...,n; la decisione dominata D k viene scartata Esempio: la decisione D è dominata dalla decisione C.

3 Analisi Decisionale 3 Criteri che Non Utilizzano Probabilità MAXMIN (o del pessimismo) Si sceglie la decisione che massimizza il minimo payoff m i = min j=1,...,n {a ij} minimo payoff della decisione D i si sceglie D k : m k = max{m i } i Livello della Domanda Modello Basso Medio Alto m i A B C m k MAXMAX (o dell ottimismo) Si sceglie la decisione che massimizza il massimo payoff M i = max j=1,...,n {a ij} massimo payoff della decisione D i si sceglie D k : M k = max{m i } i Livello della Domanda Modello Basso Medio Alto M i A M k B C

4 Analisi Decisionale 4 MINMAX REGRET Si sceglie la decisione che minimizza la massima perdita di opportunità La perdita di opportunità della decisione D i se si avvera lo stato S j è: R i = max j=1,...,n r ij r ij = max h {a hj} a ij massima perdita della decisione D i si sceglie D k : R k = min i {R i } Livello della Domanda Modello Basso Medio Alto A B C Tabella delle perdite di opportunità r ij Livello della Domanda Modello Basso Medio Alto R i A B R k C

5 Analisi Decisionale 5 MAXMIN Inadeguatezza dei criteri Decisioni Stati di natura D D D MAXMAX Decisioni Stati di natura D D D MINMAX REGRET Decisioni Stati di natura D D D Tabella delle perdite di opportunità Decisioni Stati di natura R i D D D

6 Analisi Decisionale 6 Criterio di Hurwicz Compromesso tra criteri di ottimismo e pessimismo Si sceglie la decisione che massimizza una combinazione convessa del massimo e del minimo Si introduce un parametro α [0, 1]: coefficiente di pessimismo Per ogni decisione D i si calcola il valore: h i (α) = αmin{a ij } + (1 α)max{a ij } j j si sceglie D k (α) : h k (α) = max{h i (α)} i Livello della Domanda Modello Basso Medio Alto h i (0.5) h i (0.8) A B C Si pone il problema della scelta di α tipicamente si assume un atteggiamento pessimista, cioè un α prossimo a 1 si può compiere una analisi di sensitività della alternativa ottima al variare di α Nota: l analisi di sensitività può portare ad escludere alcune alternative; ciò accade, nell esempio, per la decisione B, dato che D k (α) B per ogni α [0,1].

7 Analisi Decisionale 7 Minore inadeguatezza del criterio di Hurwicz Stato di natura Azioni S 1 S 2 S 3 M i m i R i h i (0.5) D D D D D Il metodo ha comunque difetti: considera solo i casi estremi (payoff massimi e minimi) potrebbe escludere alternative più stabili (meno sensibili allo stato di natura) a vantaggio di alternative più dispersive (ad esempio, scegliere A invece di B o C)

8 Analisi Decisionale 8 Criteri che Utilizzano Probabilità Stati di Natura S 1 S 2... S n Azioni p 1 p 2... p n p j = probabilità di S j D 1 a 11 a a 1n D 2 a 21 a a 2n D m a m1 a m2... a mn Osservazione: in generale, lo stato di natura non è aleatorio: le p j riflettono le aspettative del decisore date le informazioni parziali disponibili Valore monetario atteso Expected Monetary Value (EMV) Si sceglie la decisione che massimizza il payoff medio EV i = n j=1 a ij p j valore atteso della decisione D i si sceglie D k : EV k = max{ev i } i Livello della Domanda Basso Medio Alto Modello EV i A EV k B C

9 Analisi Decisionale 9 Valore atteso della perdita di opportunità (regret) Expected Opportunity Loss (EOL) Si sceglie la decisione che minimizza la perdita media ER i = n j=1 r ij p j valore atteso del regret della D i si sceglie D k : ER k = min i {ER i } Livello della Domanda Basso Medio Alto Modello ER i A ER k B C Si dimostra che EMV e EOL sono criteri equivalenti a j = max h=1,...,m {a hj} payoff della decisione ottima per lo stato S j P = n j=1 a jp j costante dipendente solo dai dati del problema EOL = min{er i } = min i i = min i = n n j=1 n j=1 r ij p j = min i a jp j n j=1 n j=1 a ij p j (a j a ij )p j a jp j +min{ EV i } j=1 i = P max i {EV i } = P EMV Nell esempio: P = =

10 Analisi Decisionale 10 Valore dell Informazione Perfetta Expected Value of Perfect Information (EVPI) Quanto saremmo disposti a spendere per sapere con certezza lo stato di natura futuro? il costo dell informazione non deve superare il vantaggio economico che ne deriva senza informazione utilizziamo EMV Attenzione: possiamo conoscere, non scegliere lo stato di natura! Siamo chiaroveggenti (o spie) non maghi (o corruttori) per noi, ogni stato S j ha probabilità p j di essere quello futuro se lo stato futuro è S j il nostro payoff è a j = max h=1,...,m {a hj } P = n j=1 a jp j : payoff atteso se decidiamo di acquisire l informazione perfetta (costante del problema) Dunque per acquisire l informazione perfetta saremo disposti a spendere al massimo EVPI = P EMV Notare che EVPI = EOL: intuitivamente, il valore atteso della informazione perfetta coincide con la perdita attesa di opportunità in assenza di informazione perfetta

11 Analisi Decisionale 11 Utilizzo di Informazione Campionaria In pratica, acquisire l informazione perfetta è impossibile, o comunque troppo costoso Si opta allora per l acquisizione di informazione campionaria statisticamente correlata all informazione perfetta Come l informazione perfetta, anche l informazione campionaria ha un suo valore atteso, calcolabile a priori Metodologia 1. si sceglie un evento verificabile ( test ) il cui esito dipende dallo stato di natura (analisi geologiche, ricerche di mercato, esperimenti in laboratorio, consulenze...) 2. si assumono come disponibili: il costo dell informazione (costo di esecuzione del test ) la relazione statistica tra stato di natura e esito del test (una tabella Q di probabilità condizionali) 3. si calcola il valore atteso dell informazione 4. se il valore della informazione è superiore al suo costo: (a) si acquisice l informazione ( esito del test) (b) sulla base dell esito si aggiornano le probabilità p j (la nuova informazione cambia le nostre aspettative) (c) si applica il criterio EMV con le nuove probabilità

12 Analisi Decisionale 12 Premessa: metodologia Bayesiana Supponiamo di avere uno spazio di probabilità discreto P e due variabili aleatorie (o eventi ) definite su P: y := {y 1,y 2,...,y l }, x := {x 1,x 2,...,x n }; in sostanza, x e y sono due partizioni dell insieme P Possiamo definire la probabilità condizionale e quella congiunta: Pr(y i x j ): prob. di y = y i dato che x = x j Pr(y i x j ): prob. di y = y i e x = x j (condizionale) (congiunta) Il Teorema di Bayes stabilisce che per ogni y i e x j : Pr(y i x j ) = Pr(y i x j ) Pr(x j ) o meglio Pr(y i x j ) = Pr(y i x j ) Pr(x j ) e inoltre, dal momento che x e y sono partizioni di P: Pr(y i ) = n j=1 Pr(y i x j ); Pr(x j ) = l i=1 Pr(y i x j ) Date le probabilità Pr(y i x j ) per ogni y i e x j, e Pr(x j ) per ogni x j, possiamo allora calcolare: Passo 1: le probabilità Pr(y i x j ) = Pr(y i x j ) Pr(x j ) Passo 2: le probabilità Pr(y i ) = n j=1 Pr(y i x j ) Passo 3: le probabilità Pr(x j y i ) = Pr(y i x j ) Pr(y i )

13 Analisi Decisionale 13 Gestione dell informazione campionaria Si assume nota la tabella Q: Stati di Natura Esiti S 1 S 2... S n E 1 q 11 q q 1n E 2 q 21 q q 2n E l q l1 q l2... q ln q ij = Pr(E i S j ): probabilità che il test E abbia esito E i dato che lo stato di natura è S j Da Q e da p = {p 1,...,p n } si derivano, applicando la metodologia Bayesiana, le altre probabilità: (i) per ogni coppia i,j (esito E i e stato S j ) si ottiene q c ij := Pr(E i S j ) := Pr(E i S j ) Pr(S j ) := q ij p j (ii) per ogni esito E i, 1 i l si ottiene p e i := Pr(E i ) := n j=1 Pr(E i S j ) := n (iii) per ogni coppia i,j (esito E i e stato S j ) si ottiene Pr(S j E i ) := Pr(E i S j ) Pr(E i ) := qc ij p e i qij c j=1 Aggiornamento delle probabilità: per ogni stato S j si sostituisce p j con Pr(S j θ), dove θ {E 1,...,E l } è l esito fornito dal test

14 Analisi Decisionale 14 Esempio: supponiamo che una ricerca di mercato possa fornire indicazioni circa il livello di domanda più probabile Ovviamente, la ricerca di mercato non è infallibile; a partire da dati storici su ricerche analoghe possiamo calcolare la tabella Q Stati di Natura Esito Basso Medio Alto Basso M edio Alto q ij = Pr(Esito i Stato j ) Nota: somme di colonna 1 A partire da Q e p otteniamo la matrice Q c delle probabilità congiunte e la probabilità p e i di ciascun esito i Stati di Natura Esito Basso Medio Alto p e Basso M edio Alto q c ij = Pr(Esito i Stato j ) Nota: la somma delle probabilità congiunte è 1 Infine otteniamo le probabilità condizionali Pr(S j E i ) Stati di Natura Esito Basso Medio Alto Basso M edio Alto Nota: somme di riga 1

15 Analisi Decisionale 15 Metodo EMVper l esito θ = Basso Livello della Domanda Basso Medio Alto Modello EV i A B C EMV Basso Metodo EMVper l esito θ = Medio Livello della Domanda Basso Medio Alto Modello EV i A EMV Medio B C Metodo EMVper l esito θ = Alto Livello della Domanda Basso Medio Alto Modello EV i A EMV Alto B C

16 Analisi Decisionale 16 Valore atteso dell informazione campionaria (EVSI) Quanto saremmo disposti a spendere per l informazione campionaria? EVSI: differenza tra il valore atteso della decisione ottima con informazione campionaria e senza L esito θ del test non è noto a priori: la probabilità Pr(E i ) che sia θ = E i viene calcolata al passo (ii) Sia EMV i il valore atteso nel caso in cui l esito del test sia θ = E i : EMV i si calcola usando Pr(S j E i ) invece di Pr(S j ) Allora il ritorno monetario atteso con l analisi di mercato è: Nell esempio: S = l i=1 Pr(E i ) EMV i S = = dunque EVSI = S EMV = = Efficienza dell informazione campionaria EVSI EVPI =

17 Analisi Decisionale 17 Alberi di decisione Metodologia che utilizza una rappresentazione grafica delle decisioni e degli stati di natura nodo quadrato punto in cui si deve effettuare una decisone nodo circolare punto da cui si dipartono possibili stati di natura a sinistra c è la radice che è associata al risultato del calcolo all estrema destra ci sono le foglie associate ai payoff Il calcolo procede da destra a sinistra Modelli Livello domanda Payoff EMV= Modello A E A = Modello B E B = Modello C E C = Bassa (0.1) Media (0.5) Alta (0.4) Bassa (0.1) Media (0.5) Alta (0.4) Bassa (0.1) Media (0.5) Alta (0.4)

18 Analisi Decisionale 18 Costo ricerca EMV= ( ) EMV= Ricerca di mercato Nessuna ricerca Basso (0.25) M edio (0.25) Alto (0.50) EMV EMV EMV EMV Modello A E A = Modello B E B = Modello C E C = Modello A E A = Modello B E B = Modello C E C = Modello A E A = Modello B E B = Modello C E C = Modello A E A = Modello B E B = Modello C E C = Bassa (0.24) Media (0.60) Alta (0.16) Bassa (0.24) Media (0.60) Alta (0.16) Bassa (0.24) Media (0.60) Alta (0.16) Bassa (0.08) Media (0.60) Alta (0.32) Bassa (0.08) Media (0.60) Alta (0.32) Bassa (0.08) Media (0.60) Alta (0.32) Bassa (0.04) Media (0.40) Alta (0.56) Bassa (0.04) Media (0.40) Alta (0.56) Bassa (0.04) Media (0.40) Alta (0.56) Bassa (0.1) Media (0.5) Alta (0.4) Bassa (0.1) Media (0.5) Alta (0.4) Bassa (0.1) Media (0.5) Alta (0.4)

19 Analisi Decisionale 19 Esempio: software house con maggioranza dei pacchetti in DOS, che possono essere trasferiti su UNIX con una spesa pari a 20M Probabile evoluzione del mercato Cresce UNIX Stazionario Cresce DOS Ricavi attesi con e senza trasferimento in UNIX Cresce UNIX Stazionario Cresce DOS Con trasformazione UNIX 170M 100M 80M Senza trasformazione 70M 100M 150M Se non si effettua il trasferimento, e cresce la domanda per DOS, si ipotizza di sviluppare nuovi programmi, con un investimento di 50M, e con una probabilità di successo pari al 60%; in caso di successo si avrà un guadagno aggiuntivo di 70M EMV: 101M EMV: 117M Trasformazione in UNIX: -20M Nessuna trasformazione EMV: 101M Cresce UNIX (0.3) Stazionario (0.5) Cresce DOS (0.2) Cresce UNIX (0.3) 170M 100M 80M 70M Stazionario (0.5) 100M Successo (0.6) Nuovi Prodotti -50M Cresce DOS EMV: Fallimento (0.2) 192M (0.4) EMV: 150M Prodotti standard 220M 150M 150M

20 Analisi Decisionale 20 Alberi decisionali e valore dell informazione Sappiamo che il valore dell informazione perfetta è definito come EVPI = P EMV Costruiamo un albero decisionale per calcolare il valore P : la radice è un nodo evento corrispondente allo stato di natura (cioè, nel nostro esempio, al livello della domanda) per ogni possibile esito (livello) aggiungiamo una replica dell albero del problema originale queste repliche sono in realtà sfrondate, perché il nodo evento relativo alla domanda ha un solo esito possibile domanda modelli domanda payoff P = Bassa (0.1) a 1= Media (0.5) a 2= Alta (0.4) a 3= Modello A Modello B Modello C Modello A Modello B Modello C Modello A Modello B Modello C Bassa Bassa Bassa Media Media Media Alta Alta Alta In questo albero, ogni decisione avviene conoscendo lo stato di natura Il valore atteso calcolato per l albero è P

21 Analisi Decisionale 21 Il valore dell informazione campionaria è EVSI = S EMV; l albero che calcola S è il seguente S = Basso (0.25) M edio (0.25) Alto (0.50) EMV EMV EMV Modello A E A = Modello B E B = Modello C E C = Modello A E A = Modello B E B = Modello C E C = Modello A E A = Modello B E B = Modello C E C = Bassa (0.24) Media (0.60) Alta (0.16) Bassa (0.24) Media (0.60) Alta (0.16) Bassa (0.24) Media (0.60) Alta (0.16) Bassa (0.08) Media (0.60) Alta (0.32) Bassa (0.08) Media (0.60) Alta (0.32) Bassa (0.08) Media (0.60) Alta (0.32) Bassa (0.04) Media (0.40) Alta (0.56) Bassa (0.04) Media (0.40) Alta (0.56) Bassa (0.04) Media (0.40) Alta (0.56) Notare che in ciascun sottoalbero tutte le probabilità sono aggiornate utilizzando la metodologia Bayesiana

22 Analisi Decisionale 22 Il metodo può essere usato per calcolare il valore di qualunque informazione (test o stato di natura) la radice è un nodo evento corrispondente alla informazione di cui si vuole calcolare il valore per ogni possibile esito si aggiunge una replica dell albero del problema originale tutte queste repliche sono: sfrondate, per i nodi evento con un solo esito possibile Bayesianamente aggiornate nelle probabilità Inoltre, il metodo si può iterare, per calcolare il valore di qualunque combinazione di informazioni info 1 info 2... Esito 1... Esito l Esito 1... Esito m Esito 1... Esito m Esito 1... Esito m Ovviamente, occorre fare molta attenzione all aggiornamento Bayesiano delle probabilità!

23 Analisi Decisionale 23 Funzioni di Utilità Valore attribuito soggettivamente dal decisore ai payoff, riflette implicitamente la sua attitudine al rischio Scelta tra due investimenti: BOT a tasso fisso e azioni Andamento del Mercato Rialzo Stazionario Ribasso Probabilità BOT Azioni E BOT = E Azioni = = Il criterio EMV suggerisce di acquistare azioni, ma se l investitore non ha buone disponibilità finanziarie (e il paese non è a rischio default ) sceglie i BOT Suponiamo che l investitore attribuisca ai payoff della tabella le seguenti utilità (normalizzate in [0, 1]): payoff utilità payoff minimo a min payoff massimo a max

24 Analisi Decisionale 24 Alla tabella dei payoff si sostituisce una tabella di utilità: Andamento del Mercato Rialzo Stazionario Ribasso Probabilità E i BOT Azioni Applicando il metodo EMV a questa tabella, la scelta cade sui BOT Il grafico dei valori di utilità suggerisce l esistenza di una funzione di utilità definita nell intervallo [ 1.000, 2.500] come può essere definita questa funzione? c è la relazione tra l andamento di questa funzione e la predisposizione al rischio del decisore?

25 Analisi Decisionale 25 Funzioni di utilità normalizzate Assumiamo che i valori di utilità siano definiti dalla funzione con U(a min ) = 0 e U(a max ) = 1 U : [a min,a max ] [0,1] U deve essere continua e crescente nell intervallo chiuso e limitato [a min,a max ], dunque esiste la funzione inversa Proprietà fondamentali U 1 : [0,1] [a min,a max ] U(a) è l utilità che il decisore attribuisce al fatto di ricevere il payoff a con certezza: cioè a è un payoff certo, non il payoff atteso (EMV) da un evento aleatorio U 1 (u) è il payoff certo corrispondente all utilità u; questo payoff è univocamente definito, anche se u può essere l utilità associata ad un evento aleatorio (es.: utilità attesa dalle azioni) Per U 1 (u) si parla di equivalente certo (certainty equivalent, o CE) dell utilità u; nel seguito useremo quindi U 1 (u) o CE(u) con lo stesso significato

26 Analisi Decisionale 26 Utilità di eventi aleatori: lotterie Siano dati m payoff a 1,a 2,...,a m, e su di essi una distribuzione di probabilità p 1,p 2,...,p m Questi valori definiscono una lotteria, in cui si vince uno degli m payoff, ciascuno con la relativa probabilità Data la funzione di utilità U, ogni payoff a i ha utilità u i = U(a i ) Alla lotteria L possiamo associare due valori: il payoff atteso (in sostanza l EMV): ā = m l utilità attesa: ū = m i=1 p i u i i=1 p i a i Assunzione: ū è l utilità che il decisore attribuisce al ricavo aleatorio rappresentato dalla lotteria Il certainty equivalent CE(ū) rappresenta quindi il payoff certo che il decisore considera equivalente alla lotteria Confrontando i valori CE(ū) e ā possiamo dedurre quale sia l attitudine al rischio del decisore rappresentato da U Osservazione: gli m punti (a i,u i ), 1 i m, appartengono alla curva definita da U; il punto (ā,ū) = m p i (a i,u i ) appartiene all inviluppo convesso dei punti (a i,u i ) i=1

27 Analisi Decisionale 27 Decisori avversi al rischio Supponiamo che la funzione di utilità U abbia un andamento concavo (derivata prima decrescente) 1.00 ū 0 CE(ū) ā Il punto (ā,ū) si trova sotto la curva, quindi CE(ū) < ā Il decisore considera la lotteria equivalente ad un payoff certo CE(ū) minore del payoff atteso ā Si tratta dunque di un decisore che considera negativamente le situazioni di aleatorietà, cioè di un decisore avverso al rischio (risk averse: RA) Proprietà: funzioni di utilità concave denotano avversione al rischio (risk aversion)

28 Analisi Decisionale 28 Decisori propensi al rischio Supponiamo che la funzione di utilità U abbia un andamento convesso (derivata prima crescente) 1 ū 0 ā CE(ū) Il punto (ā,ū) si trova sopra la curva, quindi CE(ū) > ā Il decisore considera la lotteria equivalente ad un payoff certo CE(ū) maggiore del payoff atteso ā Si tratta dunque di un decisore che considera positivamente le situazioni di aleatorietà, cioè di un decisore propenso al rischio (risk seeking: RS) Proprietà: funzioni di utilità convesse denotano propensione al rischio (risk seeking)

29 Analisi Decisionale 29 Decisori indifferenti al rischio Supponiamo che la funzione di utilità U sia lineare 1 ū 0 ā = CE(ū) Il punto (ā,ū) appartiene alla curva, quindi CE(ū) = ā Il decisore considera la lotteria equivalente ad un payoff certo CE(ū) uguale al payoff atteso ā Si tratta dunque di un decisore che non considera rilevante la aleatorietà, cioè di un decisore indifferente al rischio (risk neutral: RN) Proprietà: funzioni di utilità lineari denotano indifferenza al rischio (risk neutrality)

30 Analisi Decisionale 30 Curve di utilità e percezione del rischio Intuitivamente, data una lotteria, la differenza CE(ū) ā sarà tanto più piccola quanto più la curva U è piatta, fino ad annullarsi se U è lineare Possiamo concludere quanto segue: un andamento (concavo o convesso) molto marcato denoterà una forte percezione del rischio, e una conseguente forte reazione ad esso (avversione o propensione, rispettivamente) un andamento poco marcato (quasi lineare) denoterà invece una scarsa percezione del rischio In parole povere: maggiore è la curvatura di U, maggiore è la percezione del rischio da parte del decisore In pratica, determinare la funzione di utilità vera di un decisore è impossibile; si può procedere in due modi: approssimare U per punti, e poi interpolare utilizzare alcune curve parametriche standard, scegliendo i parametri in modo da rispecchiare l atteggiamento del decisore Una volta scelta una funzione di utilità, si possono applicare gli strumenti che abbiamo visto (in particolare gli alberi decisionali) manipolando direttamente le utilità invece dei payoff

31 Analisi Decisionale 31 Un metodo di approssimazione per punti Utilizziamo una lotteria L(p) molto semplice: si vince a max con probabilità p e a min con probabilità (1 p) Chiaramente, l utilità della lotteria è ū = p 1+(1 p) 0 = p Dato un payoff a i [a min,a max ] la sua utilità si individua rispondendo iterativamente alla domanda: preferisci la lotteria L(p) o quadagnare a i con certezza? per opportuni valori di p, sino a trovare il punto di indifferenza Esempio: dati a min = 1000 e a max = 2500, e posto a i = 500 dom.: preferisci L(0.5) o a i con certezza? (ā = 750) risp.: a i con certezza dom.: preferisci L(0.75) o a i con certezza? (ā = 1450) risp.: la lotteria L(0, 75) dom.: preferisci L(0.6) o a i con certezza? (ā = 1100) risp.: è indifferente l utilità di a i = 500 è 0.6 Nota: esistono in realtà molti altri metodi, anche assai più sofisticati, per approssimare per punti le funzioni di utilità L interpolazione per punti ha più che altro un interesse teorico, in pratica si utilizzano opportune curve parametriche