Esercizi di Fondamenti di Automatica

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1 Esercizi di Fondamenti di Automatica Bruno Picasso Riferimento bibliografico In questi esercizi useremo la scrittura [FdA per riferirci al libro di testo adottato nel corso, ossia: P. Bolzern, R. Scattolini e N. Schiavoni, Fondamentidi controlli automatici 4 a edizione McGraw-Hill. Prerequisiti. Equazioni differenziali Esercizio Si consideri il seguente problema di Cauchy: { ẋ(t) = 3 2x(t) x() = 2. (). Si dica quale delle seguenti funzioni è la soluzione del problema (): (a) x(t) = 3 2t+ 3 2 (b) x(t) = 3t+4 (c) x(t) = 3t+. 2. Per la soluzione x(t) al problema (), calcolare ẋ(). 3. Si dica se esiste una condizione iniziale x() = x R tale che il corrispondente problema di Cauchy () abbia per soluzione una funzione costante x(t) x ( cioè, x(t) = x t )..2 Algebra lineare Esercizio 2. Siano M R h k, N, P R i j e Q matrici tali che vale la seguente uguaglianza: MNP = Q. Si dica qual è la dimensione delle matrici N e Q. 2. Siano U R m n, V e Z matrici tali che vale la seguente uguaglianza: UV = Z. Sapendo che Z ha h colonne, si dica qual è la dimensione delle matrici V e Z.

2 3. Si considerino i seguenti prodotti fra le matrici precedentemente introdotte: ı) QZ ıı) ZQ ııı) QQ Z (dove M indica la trasposta della matrice M). Si dica in quali casi c è compatibilità fra le dimensioni delle matrici (ossia, il prodotto indicato ha senso) e, nei casi in cui è possibile eseguire il prodotto, indicare le dimensioni della matrice risultante. Esercizio 3 Si considerino le seguenti matrici: A = [ 2 [ 2, A 2 = 2 [ 3, A 3 = 3 [ 4, A 4 = 3 [ 5, A 5 = 2 3. Calcolare la traccia, il determinante, il polinomio caratteristico e gli autovalori di ognuna delle matrici date. 2. Si dica quali delle matrici date sono invertibili e, di quelle invertibili, si calcoli la matrice inversa. 3. Si dica quali delle matrici A i, i =,...,4, sono diagonalizzabili. Effettuare poi la diagonalizzazione di ognuna delle matrici A i diagonalizzabili (ossia, calcolare una matrice T i invertibile ed una matrice D i diagonale tali che T i A i T i = D i ). 4. Calcolare due matrici T 5 C 2 2 e D 5 C 2 2, D 5 matrice diagonale, tali che T 5 A 5 T 5 = D 5.. Esercizio 4 Sia data la matrice e sia s C un parametro. M = Calcolare il polinomio caratteristico di M. 2. Calcolare (si M)..3 Numeri Complessi Esercizio 5 Si considerino i seguenti numeri Complessi: z = 3+j z 2 = 3j z 3 = 3j z 4 = 4 z 5 = 2 2e jπ/4 z 6 = 2e jπ/2 z 7 = 3e j z 8 = e j2π/3.. Rappresentare z i, i =,...,8, sul piano Complesso (disegnare un solo piano Complesso su cui rappresentare tutti i numeri dati). 2. Determinare z 9 = z, z = z 2, z = z 4 e rappresentarli sul medesimo piano Complesso impiegato per il punto precedente. 3. Calcolare: z +z 3, z +z 4 z 3, z z 3, z 2 = 2 z, z 3 = z, z z, z 3 /z e z 3 /z 2. Rappresentare inoltre i numeri z 2 e z 3 sul piano Complesso impiegato nei punti precedenti. 2

3 4. Scrivere l espressione di z 4 = z 5 e rappresentare anch esso sul piano Complesso. Calcolare poi z 5 z 6 e z 5 /z Scrivere i numeri Complessi z i, i =,...,4, in forma polare. 6. Scrivere i numeri Complessi z i, i = 5,...,8, in forma cartesiana. 7. Calcolare z +z 5 e z z3 z8 z 5. 2 Esercizi sui sistemi dinamici a tempo continuo Esercizio 6 Si considerino i seguenti sistemi dinamici: ẋ (t) = x (t)+2x 3 (t) ẋ 2 (t) = x (t)+x 2 (t)+x 3 (t) u(t) S : ẋ 3 (t) = 2x (t)+x 3 (t)+2u(t) S 2 : y(t) = x 2 (t)+4x 3 (t) S 3 : { ẋ(t) = 5x(t) y(t) = x(t) ẋ (t) = x 2 2(t)+u(t) ẋ 2 (t) = ẋ 3 (t) = x (t)+x 2 (t) x 3 (t)+2u(t) y (t) = x (t) y 2 (t) = x 2 (t)+u(t) ẋ (t) = 2x 2 (t)+u (t) S 4 : ẋ 2 (t) = x (t)+3x 2 (t) y(t) = x (t)+u 2 (t). Classificare ognuno dei sistemi dati specificandone l ordine e compilando la seguente tabella (alle domande 3. e 4. si risponda solo se il sistema non è autonomo):. Il sistema è lineare? SÌ NO 2. Il sistema è autonomo? SÌ NO 3. Il sistema è strettamente proprio? SÌ NO 4. Il sistema è SISO? SÌ NO (2) 2. Fra i sistemi dati, si considerino adesso quelli lineari: si specifichino le matrici A, B, C e D. Esercizio 7 Si consideri un veicolo elettrico rappresentato per mezzo del seguente modello che descrive come la sua velocità v e lo stato di carica ξ della batteria variano nel tempo e sono influenzati dall angolo di apertura ϑ della manopola dell acceleratore: { ξ(t) = φ ( ξ(t),v(t) ) v(t) = φ 2 ( v(t),ϑ(t) ), dove si suppone che le funzioni φ e φ 2 siano note. Si vuole impiegare tale modello per lo studio di come l uso della manopola influenzi lo stato di carica della batteria.. Scrivere una rappresentazione in forma di stato per il modello del sistema considerato (dunque, in particolare, si specifichino le variabili di stato x, le variabili d ingresso u e di uscita y). 2. Classificare il sistema specificandone l ordine e compilando la Tabella (2). 3

4 Esercizio 8 Si consideri l equazione differenziale di ordine 2 che descrive la dinamica di un pendolo di lunghezza l e massa m in presenza di attrito e in assenza di sollecitazioni esterne: θ(t) = k ml 2 θ(t) g l sin( θ(t) ), dove k > è il coefficiente di attrito e θ è l angolo compreso fra l asta del pendolo e la verticale. Si supponga di essere interessati a studiare l andamento nel tempo sia della posizione del pendolo che della sua energia cinetica.. Scrivere una rappresentazione in forma di stato per il modello del sistema considerato (in particolare, si specifichino le variabili di stato x, le variabili d ingresso u e di uscita y). 2. Classificare il sistema ottenuto specificandone l ordine, compilando la Tabella (2) e indicando la dimensione della variabile di uscita. 3. Sulla base della propria esperienza (quindi, senza fare conti) tracciare un disegno qualitativo della traiettoria dello stato nei due casi seguenti: ı) A partire dalla condizione iniziale θ() = π/2 e θ() = ; ıı) A partire dalla condizione iniziale θ() = π e θ() =. In entrambi i casi, sulla base del disegno tracciato, si dica poi quanto valgono lim x(t) e t + lim y(t). t + 4. Si risponda nuovamente alla domanda precedente nel caso in cui k = (cioè, in assenza di attrito). Esercizio 9 Sulla base della propria conoscenza, esperienza ed intuizione, si dica quali dei seguenti esempi sono sistemi statici e quali sono sistemi dinamici: A. Un conto in banca (ingresso: u = versamenti/prelievi; uscita: y = il saldo del conto); B. Un rubinetto (u = posizione della manopola; y = portata d acqua); C. Il prezzo di un bene (u = tasso di produzione del bene stesso; y = prezzo del bene); D. Un ghiacciaio (u = accumuli di neve; y = posizione della fronte del ghiacciaio); E. Il sistema che descrive la relazione che esiste fra la forza agente su un corpo di massa m e l accelerazione del corpo stesso (u = la forza; y = l accelerazione). Esercizio Con riferimento ad uno stato di equilibrio x R n per un sistema dinamico autonomo ẋ(t) = f ( x(t) ), x R n, si diano le definizioni di: stato di equilibrio stabile, stato di equilibrio instabile, stato di equilibrio asintoticamente stabile e stato di equilibrio semplicemente stabile. Esercizio Si consideri il seguente sistema dinamico: { ẋ(t) = x(t)u(t) y(t) = x 2 (t). 4

5 Si supponga che x() = e u(t) = sca(t).. Calcolare il movimento dello stato e dell uscita. 2. Calcolare i movimenti libero e forzato dello stato e dell uscita corrispondenti, rispettivamente, a x() = e a u(t) = sca(t). Quindi verificare che non è vero che la loro somma fornisce il movimento complessivo dello stato e dell uscita (e dunque, per tale sistema, non è valido il principio di sovrapposizione degli effetti). 3. Analizzare le proprietà di stabilità del movimento dello stato calcolato al punto (specificare, cioè, se si tratta di un movimento asintoticamente stabile, semplicemente stabile o instabile). Esercizio 2 Sia dato il sistema lineare { ẋ(t) = Ax(t), x R n x() = x.. Verificare che se x è tale che Ax = λx, λ R (ossia, x è un autovettore per la matrice A relativo all autovalore λ), allora il corrispondente movimento dello stato del sistema è dato da x(t) = e λt x. 2. Calcolare il movimento dello stato per il seguente sistema: [ 2 2 ẋ(t) = x(t) 2 3 [ 2 x() =. e rappresentare la corrispondente traiettoria nello spazio di stato. Esercizio 3 Si consideri il sistema dinamico ẋ(t) = ax(t)+bu(t), x R, u R. (3). Calcolare il movimento forzato dello stato corrispondente al segnale d ingresso u(t) = { ū per t < t per t t. (4) 2. L andamento nel tempo del numero σ di impiegati in una grossa azienda in funzione del tasso ǫ di assunzioni è modellizzato dalla seguente equazione differenziale: σ(t) = ρσ(t)+λǫ(t), ρ >, λ >. Supponendo che σ() = σ e calcolare σ(t) per t. ǫ(t) = { ǫ per t < per t, 3. Con riferimento al serbatoio rappresentato in Figura, l andamento nel tempo del livello h di liquido all interno di esso in funzione della portata d ingresso p è modellizzato attraverso la 5

6 Figura : Il sistema serbatoio considerato nell Esercizio 3.3. seguente equazione differenziale: ḣ(t) = αh(t)+βp(t), α >, β >. Supponendo che h() = h e calcolare h(t) per t. p(t) = { p per t < 2 per t 2, 4. Per valori non troppo elevati della velocità v, la dinamica del moto di un grave di massa m in un mezzo viscoso sotto l effetto di una forza F parallela alla direzione del moto può essere descritta dalla seguente equazione differenziale: v(t) = γ m v(t)+ m F(t), dove γ > è il coefficiente di attrito. Supponendo che v() = v e calcolare v(t) per t. F(t) = { F per t < 3 per t 3, 5. Si consideri nuovamente il movimento forzato dello stato calcolato in e si considerino i particolari segnali d ingresso (4) in cui ū = / t. Si noti che, al variare di t >, è così definito un insieme infinito di segnali d ingresso. Si disegni il grafico di u(t) nei tre casi in cui t = 2, t = e t = /2. Si scriva l espressione del movimento forzato dello stato corrispondente al generico segnale d ingresso nell insieme considerato. Si indichi tale movimento con x F, t (t) (dove la presenza dell indice t richiama il valore del parametro t che individua il segnale d ingresso che ha generato tale movimento forzato) e, nel caso in cui a <, si tracci un grafico qualitativo della funzione x F, t (t). Per ogni fissato t >, si calcoli il seguente limite : lim x F, t (t) t + Questa domanda sottintende difficoltà significativamente superiori a quelle che ci si aspetta che gli studenti del corso siano in grado di affrontare. Vale comunque la pena di provare a rispondere in quanto è più difficile comprendere la domanda ed il suo significato fisico che non risolverla. 6

7 quindi, posto g x (t) = lim t + x F, t(t), si tracci il grafico di g x (t) nei tre casi a >, a = e a < (la funzione g x (t) rappresenta la risposta forzata del sistema ad un ingresso del tipo considerato in (4) nel limite per t + [ ). Esercizio 4 Analizzare la stabilità del sistema lineare scalare ẋ(t) = ax(t) al variare di a R. Esercizio 5 Siano A i, i =,...,5, le matrici definite nell Esercizio 3, si ponga inoltre: A 6 = A 2 ; A 7 = 2 2 ; A 8 = Per ognuno dei diversi casi in cui A = A i, i =,...,8, si consideri il sistema dinamico { ẋ = Ax+Bu e si risponda alle seguenti domande:. Analizzare la stabilità del sistema. y = Cx+Du 2. Scrivere l espressione dei modi naturali del sitema. Esercizio 6 Si considerino i sistemi dinamici lineari Σ i, i =,...,4. Si supponga che: il sistema Σ abbia tra i suoi modi le seguenti funzioni: φ (t) = e 2t, φ 2 (t) = e t, t ; il sistema Σ 2 abbia tra i suoi modi la funzione φ(t) = e t, t, e che tale modo abbia molteplicità pari a 2. il sistema Σ 3 abbia tra i suoi modi le seguenti funzioni: φ (t) = e 5t, φ 2 (t) = e t cos(4t), t ; il sistema Σ 4 abbia tra i suoi modi le seguenti funzioni: φ (t), φ 2 (t) = t 2 e 3t, t. Si supponga inoltre che Σ i sia di ordine il più piccolo possibile compatibilmente con l esistenza dei modi sopra specificati.. Stabilire qual è l ordine di ognuno dei sistemi Σ i ed elencarne tutti i modi naturali. 2. Analizzare la stabilità di ognuno dei sistemi Σ i. 3. Nei casi i =,2,3, scrivere un esempio numerico di matrice A compatibile con le informazioni sul sistema Σ i. Esercizio 7 Scrivere un esempio numerico di sistema dinamico avente tutte le seguenti caratteristiche: il sistema è lineare, stabile ma non asintoticamente stabile, abbia almeno un modo naturale convergente a per t +, abbia ingresso e 2 uscite, non sia strettamente proprio, sia di ordine minimo possibile. Esercizio 8 Per valori positivi ed elevati della velocità, l equazione differenziale che descrive la dinamica del moto verticale di un grave di massa m in un mezzo viscoso sotto l effetto della forza di gravità è v(t) = γ m v2 (t)+g, dove γ > è il coefficiente di attrito viscoso e g = 9.8 m/s 2 è l accelerazione di gravità.. 7

8 . Classificare il sistema specificandone l ordine e compilando la tabella (2). 2. Posto m = Kg e supponendo che v() >, calcolare lim t + v(t). Determinare poi i valori di γ che garantiscono che tale limite sia maggiore di 33 m/s (cioè, circa la velocità del suono). Esercizio 9 Si consideri il seguente sistema dinamico: { ẋ(t) = x 3 (t) x(t)u(t) y(t) = sin ( x(t) ) +u 2 (t).. Determinare gli stati e le uscite di equilibrio corrispondenti all ingresso costante u(t). Scivere l espressione del sistema linearizzato attorno a tali equilibri. 2. Valutare le proprietà di stabilità degli equilibri determinati. Esercizio 2 Sia dato un sistema descritto dalla seguente equazione differenziale: θ(t)+ θ(t)sin ( θ(t) ) θ 2 (t)+θ(t)u(t) =.. Supponendo che θ sia la variabile di uscita, si dia una rappresentazione in forma di stato del sistema dato. 2. Calcolare i valori di equilibrio dell uscita in corrispondenza dell ingresso costante u(t) 4 e si analizzi la stabilità dei corrispondenti stati di equilibrio. Esercizio 2 Si consideri il seguente sistema dinamico: ẋ (t) = x (t) x 2 (t)+8u (t) ẋ 2 (t) = x 2 (t)u 2 (t)+2x (t)+u 2 (t) y(t) = x (t)+x 2 (t). (5). Classificare il sistema specificandone l ordine e compilando la tabella (2). 2. Determinare gli stati e le uscite di equilibrio corrispondenti a u(t) ū = 3. Scrivere l espressione del sistema linearizzato attorno alla coppia di equilibrio ( x, ū) determinata e valutarne le proprietà di stabilità. Si dica poi se la seguente affermazione è vera o falsa: in presenza del segnale d ingresso u(t) ū, qualunque sia la condizione iniziale x() R 2, il corrispondente movimento dello stato x(t) per il sistema (5) è tale che lim t + x(t) = x. Esercizio 22 Un braccio robotico elementare di lunghezza l e massa m può essere modellizzato come un pendolo (vedi Esercizio 8, useremo qui la stessa notazione). Supponiamo che la posizione di tale braccio robotico possa essere controllata mediante l applicazione di una coppia u. Il sistema dinamico che descrive la dinamica di tale braccio robotico è dunque dato da: ẋ (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = k ml x 2 2 (t) g l sin( x (t) ) + ml u(t) 2 y(t) = x (t), dove k > è il coefficiente di attrito. [ 2. 8

9 . Determinare un valore di coppia ū che permetta di mantenere il braccio robotico in equilibrio alla posizione x = π Verificare che, in presenza della coppia costante determinata al punto precedente, il braccio robotico tende a riportarsi nella sua posizione di equilibrio anche nel caso in cui piccole perturbazioni transitorie dovessero eventualmente spostare il braccio dalla sua posizione di equilibrio. Esercizio 23 Si consideri nuovamente il serbatoio rappresentato in Figura e si supponga che esso sia cilindrico con sezione di area σ. Se il moto del liquido che fuoriesce dal serbatoio è turbolento, l equazione differenziale che descrive la dinamica del livello h di liquido presente nel serbatoio in funzione della portata d ingresso p è data da: ḣ(t) = α h(t)+βp(t), α >, β = σ >. Siamo interessati a studiare l andamento nel tempo del volume di liquido presente nel serbatoio.. Scrivere un modello in forma di stato per tale sistema. Si supponga da ora in avanti che α = 5/2, β = /2 (ossia, σ = 2). 2. Determinare il valore ū della portata p tale che la corrispondente uscita di equilibrio sia ȳ = Scrivere le equazioni del sistema linearizzato attorno a tale equilibrio e si valutino le proprietà di stabilità dell equilibrio. 4. Si supponga che h() = 4 e che p(t) = ( ū+ ) sca(t): impiegare il modello linearizzato trovato nel punto precedente per determinare lim t + h(t). Calcolare poi lim t + h(t) impiegando il modello non lineare. Perché i due risultati sono differenti? Quale dei due risultati è da ritenersi più attendibile? Esercizio 24 Si consideri il sistema lineare che appare nella soluzione dell Esercizio 7.. Calcolare il movimento dello stato a partire dalla condizione iniziale x() = [ 2 ed in corrispondenza del segnale d ingresso u(t) = e 2t sca(t). 2. Calcolare la funzione (matrice) di trasferimento del sistema. 3. Calcolare il movimento dell uscita a partire dalla stessa condizione iniziale del punto ed in corrispondenza del segnale d ingresso u(t) = sca(t). Esercizio 25 Si risolva nuovamente l Esercizio 3. impiegando i metodi basati sulla trasformata di Laplace ed osservando che il segnale d ingresso specificato nell equazione (4) può essere riscritto nella seguente forma u(t) = ūsca(t) ūsca(t t). Esercizio 26 Si consideri il seguente sistema dinamico: { ẋ (t) = x (t) ( x 2 (t)+ ) +x 2 (t) ẋ 2 (t) = x (t)+x 2 2 (t) x 2(t). 9

10 . Determinare gli stati di equilibrio del sistema e l espressione del sistema linearizzato attorno a tali equilibri. 2. Sia ẋ(t) = Ax(t) il sistema linearizzato determinato in : calcolare la matrice e At e valutare le proprietà di stabilità del sistema. Dire se da tale analisi è possibile trarre conclusioni circa le proprietà di stabilità del corrispondente equilibrio del sistema nonlineare. 3. Impiegando il modello linearizzato, calcolare il movimento dello stato e rappresentarne la corrispondente traiettoria nello spazio di stato nei due casi corrispondenti alle seguenti condizioni iniziali: [ 2 ı) x () = ; ıı) x () = Esercizio 27 2 [.. Scrivere un esempio numerico di sistema lineare di ordine più piccolo possibile in modo tale che tutti i seguenti requisiti siano soddisfatti: il sistema sia SISO, in corrispondenza dell ingresso costante u(t) esso ammetta infiniti stati di equilibrio, tutti i movimenti dello stato del sistema siano instabili e la sua funzione di trasferimento sia strettamente propria. 2. Si calcoli la funzione di trasferimento del sistema prescelto e se ne specifichi l ordine, i poli, gli zeri e il grado relativo. Si dica inoltre se il sistema prescelto ha parti nascoste. 3. Per il sistema prescelto, si fissi poi una condizione iniziale x() e si scriva il codice Matlab che permette di tracciare il grafico del movimento libero della prima componente dello stato a partire da tale condizione iniziale. Esercizio 28 Calcolare il movimento dello stato per il seguente sistema dinamico: [ 3 ẋ(t) = x(t) 2 [ x() =. Esercizio 29 Si consideri il seguente sistema lineare: ẋ(t) = Ax(t)+B u(t)+b 2 w(t), x R n, u R m, w R q, dove A è una matrice i cui autovalori λ sono tali che Re(λ) <. Sia x, x : R + R n t x(t), il movimento dello stato determinato da una data condizione iniziale x() = x, da un dato segnale d ingresso ũ, ũ : R + R m t ũ(t),

11 e dal disturbo w(t). Sia x il movimento perturbato determinato dalla stessa condizione iniziale x() = x, dallo stesso segnale d ingresso ũ e da un segnale di disturbo w tale che, t T, w(t) =. Mostrare che lim t + x (t) x(t) =. Esercizio 3 Si supponga che le seguenti funzioni di trasferimento G i (s) abbiano lo stesso ordine del sistema lineare Σ i che esse rappresentano: G (s) = 2 s 3 ; G 2(s) = s ; G 3(s) = s s+ ; G 4 (s) = s+2 s 2 2s 3 ; G 5(s) = G 7 (s) = s+ s 2 ; G 8 (s) = (s )(s+2) 2; G 6(s) = s (s 2 +4)(s 2 +s+). s 2 s 3 +7s s+25;. Per ognuno dei sistemi Σ i, si dica se esso sia asintoticamente stabile, semplicemente stabile oppure instabile. 2. Scrivere l espressione dei modi naturali associati ai sistemi Σ i (per il sistema Σ 6, si usi l informazione aggiuntiva che esso ammette il modo naturale φ (t) = e 4t, t ). 3. Per i sistemi che risultano essere asintoticamente stabili, si calcoli il tempo T a di assestamento a del movimento libero dello stato. 4. Nei casi G (s), G 2 (s), G 3 (s), scrivere un sistema lineare Σ i in forma di stato la cui funzione di trasferimento sia G i (s). Esercizio 3 Sia g(t) = ( e 2t +te t) sca(t)+δ(t) la risposta all impulso di un sistema lineare e sia Σ(A,B,C,D) una sua rappresentazione in forma di stato.. Si dica se si tratta di un sistema SISO oppure MIMO e se il sistema è proprio o strettamente proprio. Determinare la matrice D. Si supponga d ora in avanti che il sistema Σ(A,B,C,D) sia di ordine minimo compatibilmente con l avere la risposta all impulso specificata. 2. Elencare tutti i modi naturali del sistema, analizzare la stabilità di Σ(A,B,C,D), dire qual è la dimensione della matrice A e scriverne il polinomio caratteristico. 3. Calcolare la funzione di trasferimento del sistema. 4. Calcolare l uscita forzata y F (t) in corrispondenza di ognuno dei seguenti quattro segnali di ingresso: ı) u (t) = sca(t); ıı) u 2 (t) = e 3t sca(t); ııı) u 3 (t) = sca(t) e 3t sca(t); ıv) u 4 (t) = sca(t )+2e 3(t 2) sca(t 2).

12 y F(t) t y F(t) y F(t) (a) t (c) t y F(t) (e) t (g) y F(t) y F(t) y F(t) y F(t) t (b) t (d) t.3.2. (f) t (h) Figura 2: Con riferimento all Esercizio 32.3, grafici ipotetici della risposta allo scalino. 2

13 Esercizio 32 (Variazione dell Esercizio 2 del compito del ) Sia dato il seguente sistema dinamico: ẋ (t) = 2x (t) 4x 2 (t)+u(t) ẋ 2 (t) = 7x (t) 9x 2 (t)+2u(t) y(t) = 2x (t).. Calcolare la funzione di trasferimento del sistema e dire se il sistema è asintoticamente stabile, semplicemente stabile oppure instabile. 2. Calcolare lim t + y(t) in corrispondenza dei seguenti segnali d ingresso: u (t) = 5sca(t); u 2 (t) = δ(t); u 3 (t) = 5sca(t ); u 4 (t) = 2u (t)+u 2 (t) u 3 (t). 3. Sia y F (t) la risposta allo scalino del sistema ( ossia, l uscita forzata corrispondente all ingresso u(t) = sca(t) ). Calcolare lim t + y F (t), lim t + ẏ F (t) e dire quale tra quelli riportati in Figura 2 è il grafico corretto di y F (t). 4. Sia g(t) la risposta all impulso del sistema: determinare lim t + g(t) e lim t + g(t). Inoltre, sfruttando opportunamente la conoscenza del grafico della risposta allo scalino determinata al punto precedente, si tracci un grafico qualitativo dell andamento di g(t). Esercizio 33 Sia dato il sistema lineare ẋ (t) = 2x (t)+u(t) ẋ 2 (t) = x (t) x 2 (t) 2u(t) y(t) = x (t) 2x 2 (t). (6) (7). Calcolare la funzione di trasferimento T yu (s) del sistema e specificarne i valori dei poli e degli zeri; calcolare il guadagno statico del sistema. 2. Considerare il sistema come l interconnessione di due sottosistemi, il primo di equazione (6) (con variabile di uscita y = x ), il secondo di equazione (7) (con variabile di uscita y 2 = x 2 ). Rappresentare i due sottosistemi mediante uno schema a blocchi, quindi rappresentare il sistema complessivo mediante lo schema a blocchi ottenuto interconnettendo i due schemi relativi ai sottosistemi. Infine, impiegare tale schema per il calcolo della funzione di trasferimento T yu (s). 3. Calcolare l uscita forzata del sistema nei seguenti casi e tracciarne un grafico qualitativo che ne evidenzi l andamento per t + e per t + : u (t) = δ(t); u 2 (t) = e t sca(t); u 3 (t) = u (t) u 2 (t). 4. Analizzare le proprietà di stabilità dei tre movimenti forzati dello stato corrispondenti ai tre ingressi considerati sopra. 3

14 Esercizio 34 2 In Figura 3 è rappresentata la risposta allo scalino di un sistema la cui funzione di trasferimento è G(s).. Si dica quale fra le seguenti è la corretta funzione di trasferimento: G (s) = 2(s+) (s+2)(s+3) ; G 2(s) = 2( s) (s+2)(s+3) ; G 3 (s) = 2( s) (s+2)(s+3) ; G 4(s) = 2( s) (s+2)(s+3). Si consideri, d ora in avanti, il sistema G(s) individuato al punto precedente. 2. Si calcolino le risposte di regime in corrispondenza dei seguenti ingressi: ı) u a (t) = 5e 4t ; ıı) u b (t) = 2sin(5t). 3. Tracciare su un foglio di carta semi-logaritmica i diagrammi di Bode del modulo e della fase di G(s) (sia quelli asintotici che, qualitativamente, quelli reali). Esercizio 35 Si consideri il sistema dinamico descritto mediante lo schema a blocchi riportato in Figura 4, dove u rappresenta la variabile di controllo e w rappresenta un disturbo.. Si supponga che la variabile di controllo u sia l uscita di un sistema dinamico lineare con funzione di trasferimento R(s) interconnesso in serie al sistema dato così come descritto in Figura 5. Determinare un sistema della forma R(s) = k R (ossia, un sistema statico) in modo tale che, quando y o (t) = sca(t) e w(t), si abbia lim t + y(t) =. Tracciare quindi un grafico qualitativo dell andamento dell uscita y F (t) nei seguenti casi: y o (t) = sca(t) e w(t) ; y o (t) e w(t) = sca(t); y o (t) = sca(t) e w(t) = sca(t). 2. Si supponga adesso che la variabile di controllo u sia l uscita di un sistema dinamico lineare con funzione di trasferimento R(s) interconnesso al sistema dato mediante lo schema in retroazione riportato in Figura 6. Supponendo che R(s) = µ s+λ, determinare l insieme dei valori di µ R e λ R tali che entrambe le seguenti proprietà siano soddisfatte: il sistema complessivo risulti asintoticamente stabile e, per y o (t) = sca(t) e w(t), si abbia lim t + y(t) =. 2 Variazione di un esercizio tratto da un compito del Prof. N. Schiavoni. 2 y(t) t Figura 3: Risposta allo scalino del sistema dell Esercizio 34. 4

15 Figura 4: Rappresentazione mediante schema a blocchi del sistema considerato nell Esercizio 35. Figura 5: Schema a blocchi del sistema di controllo considerato nell Esercizio Tra i sistemi R(s) determinati al punto precedente, si consideri quello in cui µ = 5: sapendo che in tal caso il polinomio caratteristico del sistema retroazionato si fattorizza nella forma p cl (s) (s+.5)(s s+.5), (8) tracciare l andamento qualitativo dell uscita y F (t) nei seguenti casi: y o (t) = sca(t) e w(t) ; y o (t) e w(t) = sca(t). Infine, calcolare lim t + y F (t) quando y o (t) = sca(t) e w(t) = sca(t). Esercizio 36 Si considerino le seguenti funzioni di trasferimento: G (s) = (s+5) (s+/2)(s+) ; G 9s(s 2) 2(s) = 5s 2 +2s+8 ; G 4 (s) = (s+)(s ) ; G s+2 5(s) = 2 s 2 +s+4 ; G 2s 3(s) = (s 5 )2 (s+) 2; G (s 2 +) 6(s) = (s+.)(s 2 +2s+).. Per ognuna di esse, scrivere l espressione della risposta in frequenza. 2. Tracciare su fogli di carta semi-logaritmica i diagrammi di Bode del modulo e della fase di tali funzioni (sia quelli asintotici che, qualitativamente, quelli reali). 3. Si consideri il sistema G 6 (s) e si supponga che esso non abbia parti nascoste : si dica se per tale sistema è possibile applicare il Teorema della risposta armonica e, in caso affermativo, si calcoli l uscita di regime y R (t) in corrispondenza dei due seguenti segnali d ingresso: - Figura 6: Schema a blocchi del sistema di controllo considerato nell Esercizio

16 f(t) t Spettro di ampiezza Frequenza [rad/s (a) (b) Figura 7: Segnale f(t) (e suo spettro di ampiezza) relativo all Esercizio 37. p(t) t (a) Spettro di ampiezza Frequenza [rad/s (b) Figura 8: Segnale p(t) (e suo spettro di ampiezza) relativo all Esercizio 38. u (t) = sin(t); u 2 (t) = sin(t). Si commentino i risultati ottenuti. Esercizio 37 Si è interessati a studiare l andamento nel tempo di una certa grandezza f. A tal fine sono state raccolte delle misure di f a vari istanti di tempo t: in Figura 7 è rappresentato il corrispondente grafico di f(t). Le misure di f sono state effettuate per mezzo di uno strumento che introduce sulla misura un disturbo additivo la cui banda si trova a frequenze superiori a rad/s. Inoltre, la grandezza misurata presenta delle oscillazioni nella banda [,. rad/s dovute a variazioni stagionali e di cui non si vuole tenere conto. Ai fini dello studio di f, risulta quindi d interesse solo la componente del segnale f(t) il cui spettro insiste nella banda [., rad/s. Si costruisca un sistema lineare in modo tale che, ponendo in ingresso a tale sistema il segnale f(t), la corrispondente uscita di regime replichi le caratteristiche di f(t) all interno della banda di interesse. Esercizio 38 In Figura 8 è rappresentato il grafico del segnale p(t) che colleziona i valori delle misure, effettuate a vari istanti di tempo t, della posizione p della testina di riproduzione in un lettore CD. All interno di tale lettore CD è presente una ventola di raffreddamento che ruota a Hz e che genera una perturbazione della misura di p esattamente alla propria frequenza di rotazione. Si costruisca un sistema lineare in modo tale che, ponendo in ingresso a tale sistema il segnale p(t), nella corrispondente uscita di regime risulti cancellata la perturbazione causata dalla ventola di raffreddamento e tale uscita possa essere considerata una stima dell andamento effettivo di p. 3 Conversione Hz rad/s: poiché x Hz significa x giri completati in s ed giro corrisponde a 2π rad, allora [x Hz [x rad/s = 2π. 6

17 Esercizio 39 In Figura 9.(a), è rappresentato il grafico di un segnale w(t).. Osservando il grafico di w(t) si nota che, specialmente per t 5 s, il segnale ha un andamento rapidamente variabile dovuto alla presenza di armoniche ad alta frequenza. Si stimi intorno a quale pulsazione ω si trovano le armoniche costituenti il segnale e che originano l andamento osservato. A tal fine si proceda nel modo seguente: si stimi il periodo delle rapide oscillazioni presenti nel segnale w(t) e si impieghi la formula T = 2π/ω ( il periodo può essere stimato a partire dal conto del numero di oscillazioni presenti in un dato intervallo di tempo ). 2. In Figura 9.(b d), sono riportati gli spettri di tre segnali. Si dica quale di questi spettri è quello del segnale w(t). 3. Si considerino i seguenti filtri: G (s) = 5 s+5, G 2(s) = s+5, G 3(s) = 5s (s+5)(s+5) e G 4 (s) = 3s(s+) (s+5) 2. Per ognuno di essi si tracci il diagramma di Bode del modulo, si dica di che tipo di filtro si tratta e se ne calcoli la banda passante. 4. Si consideri il sistema rappresentato in Figura nei 4 casi in cui G(s) = G i (s), i =,...,4: per ognuno di essi, l andamento dell uscita forzata corrispondente al segnale d ingresso w(t) è rappresentato in Figura con una linea rossa. Si determini la giusta associazione fra i sistemi G i (s) e i 4 grafici in Figura. Esercizio 4 Si considerino le seguenti funzioni di trasferimento: L (s) = (s+5) (s+/2)(s+) ; L 4 (s) = 2( s) (s+2)(s+3) ; L 7 (s) = (s+)(s ) ; L (s) = s(s+) 2; L (s) = L 2(s) = (s+/2) (s+5)(s+) ; L 3(s) = L.5s 5(s) = ( s)(+.s) 2; L 8(s) = 3s(s+) (s+5) 2 ; L 9(s) =.( 2s) s(+s)(+.s) ; s+ 2(s+5)(s+) ; L 2s 6(s) = (s 5 )2 (s+) 2; s(s+) 2; L 2(s) = 3(s+). s. Tracciare su fogli di carta semi-logaritmica i diagrammi di Bode del modulo e della fase di tali funzioni (sia quelli asintotici che, qualitativamente, quelli reali). 2. Si considerino adesso le 5 funzioni L i (s) corrispondenti a i = 4,5,9,,. Si indichi con ω π il valore della pulsazione ω in corrispondenza della quale ( L i (jω) ) = 8. Nei 5 casi considerati, determinare approssimativamente il valore di ω π e si calcoli L i (jω π ). Al fine di stimare ω π, si può procedere nel modo seguente: I. A partire dai diagrammi della fase tracciati al punto precedente, si compia una prima stima ad occhio di ω π (indichiamo tale stima con ω ); II. Si calcoli il valore effettivo di ( L i (jω ) ) e, se significativamente diverso da 8, si compia una nuova stima ω 2 basandosi sull andamento del diagramma di Bode della fase; 7

18 3 2 w(t) (a) t Modulo (spettro di ampiezza) Modulo (spettro di ampiezza) Frequenza [rad/s (b) Frequenza [rad/s (c) Modulo (spettro di ampiezza) Frequenza [rad/s (d) Figura 9: Con riferimento all Esercizio 39.-2, grafico del segnale w(t) (a) e grafici ipotetici del corrispondente spettro di ampiezza (b d). Figura : Sistema considerato nell Esercizio

19 3 2 y F (t) y F (t) (a) t (b) t 3 2 y F (t) (c) t 3 2 y F (t) (d) t Figura : Con riferimento all Esercizio 39.4, grafico dei segnali y F (t) (linea rossa) in corrispondenza del segnale d ingresso w(t) (linea blu tratteggiata) e dei filtri G i (s), i =,...,4. 9

20 - Figura 2: Sistema retroazionato negativamente con funzione di anello L(s). III. Si ripeta ilpasso II. finché si perviene ad una stima accettabile di ω π. Nota bene: La stima di ω π è da ritenersi accettabile solo se consente di stabilire in modo inequivocabile se L i (jω π ) è maggiore o minore di. Percalcolare ( L i (jω k ) ) si consiglia,se possibile 4, di impiegareil regolodelle fasiin quanto accorcia notevolmente i tempi di calcolo. 3. Tracciare (qualitativamente) il diagramma di Nyquist delle funzioni di trasferimento L i (s), i =,...,2 (nei 5 casi in cui i = 4,5,9,,, servirsi dei risultati trovati al punto precedente per individuare approssimativamente il punto d intersezione del diagramma di Nyquist con il semi-asse Reale negativo). 4. In ognuno dei casi in cui L(s) = L i (s), i =,...,2, analizzare l asintotica stabilità del sistema retroazionato rappresentato in Figura 2. Esercizio 4 Si considerino le funzioni di trasferimento G 2 (s), G 5 (s) e G 6 (s) definite nell Esercizio 36 e si considerino i rispettivi diagrammi di Bode riportati nelle Figure 3, 4 e 5.. A partire da tali diagrammi di Bode, si traccino (qualitativamente) i diagrammi di Nyquist di G 2 (s), G 5 (s) e G 6 (s). In particolare 5 : Nel caso di G 2 (s) si individuino i punti di intersezione fra il diagramma di Nyquist e: la circonferenza unitaria centrata nell origine; il semi-asse Reale negativo; il semi-asse Immaginario positivo. Nel caso di G 5 (s) si individuino i punti di intersezione fra il diagramma di Nyquist e: il semi-asse Reale positivo; la bisettrice del II IV quadrante; il semi-asse Immaginario negativo; la circonferenza unitaria centrata nell origine. Nel caso di G 6 (s) si individuino i punti di intersezione fra il diagramma di Nyquist e: il semi-asse Reale negativo; la circonferenza unitaria centrata nell origine. 2. Si analizzi l asintotica stabilità del sistema retroazionato in Figura 2 nei casi in cui L(s) = G 2 (s), L(s) = G 5 (s) e L(s) = G 6 (s). 4 Si ricorda che il regolo delle fasi permette di determinare i contributi alla fase solo di poli e zeri Reali. 5 In tutti i casi, si determinino le intersezioni richieste ricavando opportunamente le informazioni dai diagrammi di Bode e facendo meno conti possibile. 2

21 db deg Diagramma di Bode Modulo Pulsazione [rad/s (a) Diagramma di Bode Fase Pulsazione [rad/s (b) Figura 3: Diagrammi di Bode di G 2 (s) = 9s(s 2)/(5s 2 +2s+8). 2

22 db deg Diagramma di Bode Modulo Pulsazione [rad/s (a) Diagramma di Bode Fase 8 2 Pulsazione [rad/s (b) Figura 4: Diagrammi di Bode di G 5 (s) = 2(s+2)/(s 2 +s+4). 22

23 db deg Diagramma di Bode Modulo Pulsazione [rad/s (a) Diagramma di Bode Fase Pulsazione [rad/s 2 (b) Figura 5: Diagrammi di Bode di G 6 (s) = (s 2 +)/ ( (s+.)(s 2 +2s+) ). 23

24 - Figura 6: Sistema considerato nell Esercizio 42. Esercizio 42 Si consideri il sistema retroazionato in Figura 6 e le funzioni di trasferimento L i (s), i =,...,2, definite nell Esercizio 4.. Nei due casi in cui L(s) = L 9 (s) e L(s) = L (s), si calcoli il margine di guadagno k m del sistema. 2. Per i =,...,2, si dica in quali casi è possibile analizzare l asintotica stabilità del sistema retroazionato mediante il Criterio di Bode e, quando possibile, compiere tale analisi. 3. In ognuno dei casi in cui il Criterio di Bode permette di stabilire l asintotica stabilità del sistema retroazionato, si calcoli la pulsazione critica e il margine di fase. 4. In ognuno dei casi in cui il Criterio di Bode permette di stabilire l asintotica stabilità del sistema retroazionato, si calcoli y R (t) quando y o (t) = sca(t) e, solo nel caso L(s) = L (s), si tracci anche l andamento qualitativo di y F (t). 5. Nel caso L(s) = L (s), determinare y R (t) nei due casi seguenti: ı) y o (t) = e.5t ; ıı) y o (t) = e t. Esercizio 43 Si consideri nuovamente il sistema retroazionato in Figura 6 dove, come nell Esercizio 35.3, R(s) = 5 s. Si supponga però di non conoscere la fattorizzazione data in equazione (8) del polinomio caratteristico del sistema retroazionato. Verificare l asintotica stabilità del sistema retroazionato mediante il Criterio di Bode e, servendosi della regola empirica per l approssimazione dei poli dominanti del sistema retroazionato, tracciare l andamento qualitativo di y F (t) quando y o (t) = sca(t) e w(t). Confrontare il risultato (approssimato) ottenuto con quello ( esatto ) trovato nella risoluzione dell Esercizio

25 y ) y w - G(s) y H(s) Figura 7: Sistema retroazionato dell Esercizio 44. y o - e n - R(s) d u u G(s) d y Figura 8: Architettura standard di controllo in retroazione. Esercizio 44 6 Si consideri il sistema in Figura 7, dove G(s) = s (+s) 2 e H(s) = (+s) 2.. Verificare l asintotica stabilità del sistema retroazionato e calcolarne il margine di guadagno. 2. Mediante le usuali approssimazioni, tracciare il diagramma di Bode del modulo di T yw (s). Esercizio 45 7 Con riferimento al sistema di controllo in Figura 8, sia G(s) = 2 (+.s) 3 e R(s) = µ +.s +s. Si supponga, per il momento, che µ = 5.. Verificare l asintotica stabilità del sistema retroazionato e calcolarne il margine di fase e di guadagno. 2. Determinare e R (t) quando y o (t) = 3 sca(t) e d u(t) = 5 sca(t). 3. Calcolare T un (s). Mediante le usuali approssimazioni, scriverne poi la risposta in frequenza ˆT un (jω), se ne tracci il diagramma di Bode asintotico del modulo e si scriva la corrispondente espressione ˆT un (s). Infine, impiegando tale ˆT un (s), determinare ω tale che, per n(t) = sin(ω t), si abbia che l ampiezza di u R (t) è pari a.. Si supponga adesso che µ R. 4. Determinare l insieme dei valori µ < tali che il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. 6 Esercizio tratto da un compito del Prof. N. Schiavoni. 7 Esercizio tratto da un compito del Prof. N. Schiavoni. 25

26 y o e y k H(s) - Figura 9: Sistema retroazionato considerato nell Esercizio 46. Esercizio 46 Si consideri il sistema retroazionato in Figura 9, dove H(s) = 6 s(s 5) (s+) 2.. Si tracci il diagramma polare di H(s) e se ne determinino le intersezioni con l asse Reale e con la circonferenza unitaria. Nel caso k =, si può applicare il Criterio di Bode per analizzare l asintotica stabilità del sistema retroazionato? 2. Determinare i valori di k R tali che il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. 3. Al variare dei k trovati sopra, determinare e R (t) quando y o (t) = sca(t). 4. Posto k = 2, tracciare un diagramma di Bode approssimato della funzione di sensitività complementare T yy o(s). 5. Sempre per k = 2, valutare l ampiezza di y R(t) quando y o (t) = sin(t). Esercizio 47 Con riferimento al sistema retroazionato in Figura 8, si consideri la funzione di anello L(s) = R(s)G(s) i cui diagrammi di Bode reali e asintotici sono riportati in Figura 2.. Sapendo che L(s) ha solo singolarità Reali, scrivere l espressione di L(s). 2. Analizzare l asintotica stabilità del sistema retroazionato. 3. Determinare e R (t) in presenza di y o (t) = sca(t) e d(t) = ram(t). Stimare il tempo di assestamento dell errore. 4. Stimare l ampiezza dell errore di regime in presenza di y o (t) = ram(t), n(t) = sin(t) e d(t) = sca(t). Esercizio 48 (Principio del modello interno) Con riferimento al sistema retroazionato in Figura 8 e supponendo che tale sistema sia asintoticamente stabile, mostrare che se y o (t) = sin(ω t), condizione necessaria e sufficiente affinché e R (t) = è che la funzione di anello L(s) = R(s)G(s) abbia una coppia di poli in ±jω ( ossia, che contenga il fattore s 2 +ω 2 ). 26

27 db deg Diagramma di Bode Modulo Pulsazione [rad/s 2 (a) Diagramma di Bode Fase Pulsazione [rad/s 2 (b) Figura 2: Diagrammi di Bode reali (linea blu tratteggiata) e asintotici (linea verde continua) della funzione d anello L(s) dell Esercizio

28 x(k + ) = f ( x(k), ) x(k) Figura 2: Con riferimento all Esercizio , grafico di f(x, ) (linea continua) e della bisettrice del I III quadrante (linea tratteggiata). 3 Esercizi sui sistemi dinamici a tempo discreto Esercizio 49 (Variazione dell Esercizio 4 del compito del ) Sia dato il seguente sistema dinamico a tempo discreto: { x(k +) = ( 2u(k)+3 ) x 2 (k) u(k)x(k) y(k) = x(k). (9). Determinare il valore dell ingresso costante u(k) ū in corrispondenza del quale x = è uno stato di equilibrio per il sistema. 2. Scrivere l espressione del sistema linearizzato attorno alla coppia di equilibrio ( x =, ū) determinata al punto precedente e dire se, per il sistema non lineare, tale coppia è asintoticamente stabile, semplicemente stabile oppure instabile. 3. Tracciare il grafico della risposta allo scalino per il sistema linearizzato determinato al punto Posto x() = e u(k), impiegare il sistema linearizzato determinato al punto 2 per calcolare lim k + x(k). D ora in avanti, si consideri nuovamente il sistema non lineare x(k + ) = f ( x(k),u(k) ) dato nell equazione (9) e si supponga che u(k). In Figura 2 è tracciato il grafico della funzione f(x, ). 5. Posto x() =, calcolare x() e x(2). Verificare graficamente il risultato ottenuto (a tal fine, disegnare ciò che occorre sul grafico in Figura 2). Infine, per mezzo del medesimo procedimento grafico (quindi, senza fare conti), determinare lim k + x(k) e confrontare in modo critico il risultato ottenuto con quello trovato nello svolgimento del punto Sulla base del grafico in Figura 2 (quindi, senza fare conti), si risponda alle seguenti domande: 28

29 determinare lo stato di equilibrio x corrispondente all ingresso costante u(k) ; dire quanto vale la matrice A del sistema linearizzato attorno alla coppia di equilibrio ( x, ū = ) ed analizzare le proprietà di stabilità di tale sistema linearizzato; dire se lo studio del sistema linearizzato permette di concludere l analisi di stabilità della coppia di equilibrio ( x,ū = ) per il sistema non lineare; si dica se la coppia di equilibrio ( x, ū = ) del sistema non lineare è asintoticamente stabile, semplicemente stabile oppure instabile. 29

30 SOLUZIONI Soluzione degli esercizi sui prerequisiti SOLUZIONE ESERCIZIO..- La funzione x(t) che risolve il problema di Cauchy dato deve essere tale che sia soddisfatta la condizione iniziale x() = 2 e l equazione differenziale ẋ = 3/(2x). Calcoliamo dapprima il valore per t = delle tre funzioni candidate a risolvere il problema. Caso (a) : x() = 3 +3/2 = 2; caso (b) : x() = +4 = 2; caso (c) : x() = + =. Possiamo dunque affermare che la funzione data in (c) non risolve il problema. Per discriminare quale sia la soluzione fra le funzioni date in (a) e in (b), calcoliamo la derivata rispetto al tempo di tali funzioni e vediamo quale delle due soddisfa la relazione ẋ = 3 2x. Caso (a): ẋ(t) = 3 d ( ) ( dt 2t+ 3 = 3 ( 2 2t+ 3 2 ) 2 ) d ( 2t+ 3 ) dt 2 3 A questo punto vediamo se l espressione trovata per ẋ(t) è uguale a 2x(t) : si ha 3 2x(t) = t+3/2 = 2t = ( ) 2t () 2 e tale funzione è differente dalla funzione ẋ(t) calcolata nell equazione()(ad esempio, esse assumono valori differenti per t = ). Ciò significa che la funzione data in (a) non risolve il problema in quanto non soddisfa l equazione differenziale. Caso (b): ẋ(t) = 2 3t+4 d dt (3t+4) = 3 2 3t+4. () In questo caso risulta evidente il fatto che l espressione trovata per ẋ(t) coincide con la funzione 3 2x(t), dunque la funzione che risolve il problema di Cauchy () è quella data in (b). In alternativa, è possibile risolvere direttamente l equazione () e confrontare la soluzione trovata con le tre funzioni proposte. Mostriamo, per completezza, anche tale procedimento, si osservi però che l esercizio non richiede di risolvere l equazione differenziale e che, in generale, è molto più semplice verificare se una certa funzione risolva una data equazione differenziale piuttosto che risolvere tale equazione. Si ha ẋ(t) = 3 2x(t) x(t)ẋ(t) = 3 2 t x(t)ẋ(t)dt = t 3 2 dt x(t) x2 2 x(t) x() = 3 2 t x2 (t) = 3t+x() 2 x() xdx = 3 2 t da cui x(t) = 3t+x() 2 e, essendo x() = 2, la soluzione risulta x(t) = 3t Ponendo t = nell equazione (), risulta ẋ() = 3 2x() e, essendo x() = 2, si ha ẋ() =

31 In alternativa, abbiamo calcolato nell equazione () l espressione della funzione ẋ(t): valutandola per t = si ottiene ẋ() = = Supponiamo che x(t) x sia una soluzione del problema () con condizione iniziale x() = x. Poiché per tale ipotetica soluzione si ha ẋ(t), allora, affinché l equazione differenziale ẋ(t) = 3 2x(t) sia soddisfatta, deve valere che = 3. 2x Tale equazione, tuttavia, non è risolta per nessun valore di x R e dunque non esiste nessuna condizione iniziale che dia origine ad una soluzione costante. SOLUZIONE ESERCIZIO 2. Si ricordino, preliminarmente, i seguenti fatti: Prodotto righe colonne: dimensioni e compatibilità Date due matrici A R a a2 e B R b b2, è possibile eseguire il prodotto AB se e solo se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B, ossia a 2 = b. Se tale condizione di compatibilità fra le dimensioni delle matrici è soddisfatta, la matrice C = AB è tale che C R a b2. Da una diretta applicazione di tali regole, si ottengono i seguenti risultati: 2.- N R k i e Q R h j V R n h e Z R m h. 2.3-ı) Il prodotto QZ non ha senso, in generale, perchéil numero di colonne di Q è pari a j e differisce dal numero di righe di Z che è pari a m (ha senso solo nel caso particolare in cui j = m ed in tal caso si ha QZ R h h ). ıı) Il prodotto ZQ ha senso perché il numero di colonne di Z è pari ad h così come il numero di righe di Q. Si ha che ZQ R m j. ııı) Si noti che Q Z = (ZQ), quindi, in virtù dei risultati trovati in ıı), il prodotto Q Z ha senso e, posto S = Q Z, si ha S = (ZQ) R j m. Ne consegue che QQ Z = QS e tale prodotto ha senso in quanto il numero di colonne di Q, pari a j, coincide con il numero di righe di S. Si ha infine QQ Z = QS R h m. SOLUZIONE ESERCIZIO La traccia di una matrice A, che indichiamo con tr(a), è la somma dei suoi elementi sulla diagonale, quindi: tr(a ) = 2 = ; tr(a 2 ) = +2 = 3; tr(a 3 ) = 3+3 = 6; tr(a 4 ) = 3 = 2; tr(a 5 ) = +3 = 4. 3

32 Indichiamo con det(a) il determinante di una matrice A. Si ha: det(a ) = ( 2) = 2; det(a 2 ) = 2 2 = ; det(a 3 ) = 3 3 = 9; det(a 4 ) = ( 3) ( 4) = ; det(a 5 ) = 3 ( 2) 5 = 3. In generale, il polinomio caratteristico di una matrice quadrata A è dato da p A (s) = det(si A), dove I è la matrice identità di dimensioni uguali a quelle di A. Polinomio caratteristico per matrici di dimensione 2 Nel caso particolare di matrici A di dimensione 2, si ha p A (s) = s 2 tr(a)s+det(a). Quindi, nei cinque casi considerati, si ha: p A (s) = s 2 +s 2; p A2 (s) = s 2 3s; p A4 (s) = s 2 +2s+; p A5 (s) = s 2 4s+3. p A3 (s) = s 2 6s+9; Gli autovalori di una matrice A sono le radici del suo polinomio caratteristico, quindi: p A (s) = s 2 +s 2 = (s )(s+2) λ =, λ 2 = 2 p A2 (s) = s 2 3s = s(s 3) λ =, λ 2 = 3 p A3 (s) = s 2 6s+9 = (s 3) 2 λ = λ 2 = 3 p A4 (s) = s 2 +2s+ = (s+) 2 λ = λ 2 =. Nel caso A 5, il discriminante del polinomio p A5 (s) è dato da δ 4 = 9. Tale matrice ha quindi una coppia di radici Complesse coniugate date da λ,2 = 2±3j. In definitiva: p A5 (s) = s 2 4s+3 = (s 2 3j)(s 2+3j) λ = 2+3j, λ 2 = 2 3j. Osservazione: come immediatamente verificabile dai conti appena svolti, si ricorda che:. la traccia di una matrice è uguale alla somma degli autovalori della matrice stessa, il determinante è uguale al prodotto degli autovalori; 2. tranne casi particolari, gli autovalori di una matrice non sono gli elementi sulla diagonale della matrice stessa (vedi le matrici A 2, A 4 e A 5 ); 3. un caso particolare in cui gli elementi sulla diagonale di una matrice coincidono con gli autovalori della matrice stessa è rappresentato dalle matrici triangolari (vedi le matrici A e A 3, nel caso di A 3 si tratta di una matrice diagonale, cioè un caso particolare di matrice triangolare). 32

33 3.2- Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante non è nullo. Equivalentemente, una matrice è invertibile se e solo se essa non ha tra i suoi autovalori. In conseguenza di ciò, tutte le matrici date, tranne A 2, sono invertibili. Nel caso particolare di matrici Inversione delle matrici di dimensione 2 A = [ a b c d, det(a), di dimensione 2, si ha A = [ d b det(a) c a. Ossia, si scambiano di posto gli elementi sulla diagonale, gli elementi fuori dalla diagonale si lasciano dove sono ma si cambiano di segno, si divide il tutto per il determinante di A ( det(a) = a d c b ). Di conseguenza [ 2 A = 2 [ 3 4 A 4 = = [ /2 /2 [ /3 ; A 3 = /3 ; A 5 = 3 [ ; = [ 3/3 5/3 2/3 / Richiamiamo i fatti principali relativi al problema della diagonalizzazione di matrici. Diagonalizzabilità e diagonalizzazione di matrici Autovalori: molteplicità algebrica e geometrica. Data una matrice A R n n, il suo polinomio caratteristico p A (s) è un polinomio di grado n e a coefficienti Reali le cui radici sono gli autovalori della matrice A. In virtù del Teorema Fondamentale dell Algebra, è sempre possibile fattorizzare un polinomio p A (s) di grado n e a coefficienti Reali nella seguente forma: p A (s) = (s λ ) n (s λ 2 ) n2 (s λ r ) nr (2) con λ i C (i =,...,r), r i= n i = n e λ i λ j. In altre parole, un polinomio di grado n a coefficienti Reali ha esattamente n radici in C (purché si tenga conto della loro molteplicità). Di conseguenza, una matrice A R n n ha esattamente n autovalori (contati con la loro molteplicità). Con riferimento alla fattorizzazione (2), il numero n i si dice molteplicità algebrica dell autovalore λ i e si indica con µ a (λ i ). 33

34 Data una matrice A R n n e un suo autovalore Reale λ i R, un autovettore per la matrice A relativo all autovalore λ i è un vettore v R n, v, tale che Av = λ i v. Portando il termine λ i v al primo membro, tale equazione è equivalente a (A λ i I)v =. (3) Dunque, risolvendo il sistema lineare (3), è possibile determinare tutti gli autovettori per la matrice A relativi all autovalore λ i. L insieme delle soluzioni del sistema lineare (3) è un sottospazio vettoriale di R n la cui dimensione è detta molteplicità geometrica dell autovalore λ i e si indica con µ g (λ i ). Diagonalizzabilità. Sia A R n n una matrice i cui autovalori sono tutti Reali. Una tale matrice si dice che è diagonalizzabile se esiste una matrice invertibile T R n n tale che T AT = D A, dove D A R n n è una matrice diagonale. In tal caso, la matrice D A ha sulla diagonale gli autovalori di A. Valgono i seguenti risultati:. Se λ i R è un autovalore Reale di una matrice A R n n, allora µ g (λ i ) µ a (λ i ); (4) 2. Una matrice A R n n i cui autovalori λ i, i =,...,r, sono tutti Reali è diagonalizzabile se e solo se tutti i suoi autovalori hanno molteplicità geometrica uguale a quella algebrica ( cioè, i =,...,r, µ g (λ i ) = µ a (λ i ) ). 3. Come diretta conseguenza dei due risultati precedenti, una condizione sufficiente di diagonalizzabilità di una matrice A R n n è che essa abbia n autovalori Reali e distinti ( infatti, avere autovalori distinti significa che, i, µ a (λ i ) = e dunque, in virtù delle disequazioni (4), non può che essere µ g (λ i ) = µ a (λ i ) = ). Diagonalizzazione. Data unamatrice A R n n diagonalizzabile, una matrice invertibile T R n n tale che T AT = D A si determina nel modo seguente: si costruisce T in modo tale che abbia per colonne una base di R n fatta di autovettori per la matrice A. In pratica, quindi, basta risolvere il sistema (3) in corrispondenza di ogni autovalore λ i per la matrice A e scegliere una base di ogni corrisponente spazio delle soluzioni. Poiché la scelta della base non è unica (ed anzi, ci sono sempre infinite scelte), ne segue che anche la matrice T non è unica. Caso Complesso. Nel caso di autovalori Complessi, λ i C, quanto detto sopra resta sostanzialmente immutato pur di considerare autovettori Complessi v C n. Allalucedeirisultatisulladiagonalizzabilità,possiamodunqueconcludereche: lematricia ea 2 sono diagonalizzabiliinquantohannoautovalorirealiedistinti; lamatricea 3 ècertamentediagonalizzabile in quanto già diagonale (in altre parole, T 3 = I è la matrice diagonalizzante). Resta da analizzare in 34

35 dettaglio il caso A 4 : essendo λ = λ 2 =, il sistema (3) prende la forma (A 4 +I)v = ossia [ [ v v 2 = [ le cui soluzioni sono i vettori v della forma [ 2v2 v = v 2, al variare di v 2 R. Poiché vi è un solo parametro libero, cioè v 2, lo spazio delle soluzioni ha dimensione, cioè µ g ( ) =. Dunque, = µ g ( ) µ a ( ) = 2 cosicché la matrice A 4 non è diagonalizzabile. In alternativa, è possibile mostrare che la matrice A 4 non è diagonalizzabile ragionando per assurdo nel modo seguente: poiché A 4 è di dimensione due ed ha due autovalori coincidenti pari a, allora, se fosse diagonalizzabile sarebbe D A4 = I e T4 A 4 T 4 = I; d altra parte, T4 A 4 T 4 = I A 4 = T 4 IT4 A 4 = I, il che è assurdo in quanto A 4 I. Osservazione: la condizione di avere autovalori distinti è solo sufficiente per la diagonalizzabilità. In presenza di autovalori coincidenti, una matrice può essere sia diagonalizzabile, come A 3, che non diagonalizzabile, come A 4. Diagonalizzazione della matrice A : calcoliamo T e D A. In corrispondenza dell autovalore λ =, il sistema (3) prende la forma (A I)v = ossia [ 3 [ v v 2 = [ le cui soluzioni sono i vettori v della forma v = [ v, al variare di v R. Fissiamo, ad esempio, v = : in tal modo otteniamo il vettore v = [ che costituirà la prima colonna della matrice T. In corrispondenza dell autovalore λ 2 = 2, il sistema (3) prende la forma (A +2I)v = ossia [ 3 [ v v 2 = [ le cui soluzioni sono i vettori v della forma [ v = v 3v, al variare di v R. Fissiamo, ad esempio, v = : in tal modo otteniamo il vettore v = [ 3 35

36 che costituirà la seconda colonna della matrice T. Ponendo quindi [ T = 3 si ha, [ T A T = D A = 2 (nota bene: l ordine con cui appaiono gli auotovalori sulla diagonale di D A è conforme con l ordine in cui sono disposti gli autovettori nelle colonne di T ). Diagonalizzazione della matrice A 2 : calcoliamo T 2 e D A2. Procedendo in modo analogo a quanto fatto per la matrice A, si ottengono i seguenti risultati: nel caso λ =, le soluzioni del sistema (3) sono i vettori v della forma [ 2v2 v = al variare di v 2 R; nel caso λ 2 = 3, le soluzioni del sistema (3) sono i vettori v della forma v = v 2 [ v v,, al variare di v R; si può quindi porre T 2 = [ 2 ed ottenere [ T2 A 2 T 2 = D A2 = 3 Diagonalizzazione della matrice A 3 : come già osservato, T 3 = I e D A3 = A Poiché la matrice A 5 ha autovalori Complessi, occorre declinare nel caso Complesso i risultati sulla diagonalizzabilità e diagonalizzazione richiamati in precedenza. La diagonalizzabilità è assicurata dal fatto che la matrice ha due autovalori distinti. Per determinare la matrice T 5 si procede in modo del tutto analogo a quanto fatto per determinare T e T 2, l unica differenza consiste nel fatto che si opera con numeri Complessi. In corrispondenza dell autovalore λ = 2+3j, il sistema (3) prende la forma ( A5 (2+3j)I ) v = ossia. [ [ 3j 5 v +jv 2 = 2 3j v 2 +jv 22 [. (5) Al fine di semplificare i calcoli, possiamo fissare la prima componente del vettore v ad un valore a piacere purché non nullo. Ad esempio, possiamo porre v +jv 2 = (questo passaggio è l analogo dell aver scelto v = nel calcolo della matrice T ). Con questa scelta, il sistema (5) diventa [ [ 3j 5 = 2 3j v 2 +jv 22 [, 36

37 ossia { 3j +5(v2 +jv 22 ) = 2+( 3j)(v 2 +jv 22 ) =. (6) Le prima delle due equazioni si riscrive come ( +5v 2 )+(5v 22 3)j = e, uguagliando a zero la parte Reale e la parte Immaginaria del primo membro, si ottiene v 2 = 5 e v 22 = 3 5 ( le due equazioni che definiscono il sistema (5) sono equivalenti la seconda si ottiene dalla prima moltiplicando ambo i membri per un opportuna costante c C in quanto il sistema (5) deve avere infinite soluzioni non nulle corrispondenti agli autovettori per A 5 relativi a λ ; di conseguenza, come peraltrofacilmenteverificabile,ivaloritrovatiperv 2 ev 22 risolvendolaprimadelledueequazioni(6) risolvono anche la seconda equazione del sistema (6) ). Possiamo quindi porre la prima colonna di T 5 uguale al vettore [ v = j Per determinare la seconda colonna di T 5 si può ripetere il conto considerando λ 2 = 2 3j oppure, più semplicemente, basta ricordarsi che gli autovettori relativi all autovalore Complesso coniugato di λ non sono altro che i vettori che hanno per componenti il numero Complesso coniugato delle componenti degli autovettori relativi a λ. Possiamo quindi direttamente scrivere che [ T 5 = j j ed ottenere [ 2+3j T5 A 5 T 5 = D A5 = 2 3j. SOLUZIONE ESERCIZIO Si ha: p M (s) = det(si M) = det [ (a) s = s det 3 s+6 s s 8 3 s+6 ( ) det = [ 8 s+6 = s(s 2 +6s+3)+8 = s 3 +6s 2 +3s+8, dove nell uguaglianza (a) abbiamo usato lo sviluppo di det(si M) rispetto alla prima riga. = 37

38 4.2- Si ricordi preliminarmente che: Formula generale dell inversa di matrice Data una matrice quadrata A, invertibile e di dimensione n, si indichi con Âij la matrice quadrata di dimensione n ottenuta da A cancellando la riga i-ma e la colonna j-ma. L elemento di A posto in posizione ij è dato da: A ij = ( ) i+j det(âji) det(a) (7) (prestare attenzione al fatto che gl indici nella matrice  presente al numeratore sono ji). Applicando l equazione (7), si ottiene: (si M) = ( )2 [ s det 3 s+6 s 3 +6s 2 +3s+8 = s 2 +6s+3 s 3 +6s 2 +3s+8 [ det (si M) 2 = 3 s+6 ( )3 s 3 +6s 2 +3s+8 = s 6 s 3 +6s 2 +3s+8. cosicché (si M) = s 3 +6s 2 +3s+8 s 2 +6s+3 s+6 8 s 2 +6s s 8s 3s 8 s 2. 38

39 SOLUZIONE ESERCIZIO 5. Numeri Complessi Un numero z C è rappresentato nella cosiddetta forma cartesiana se z = a+bj o, indifferentemente, z = a+jb, dove a R si dice parte Reale di z ( a = Re(z) ), e b R si dice parte Immaginaria di z ( b = Im(z) ). La rappresentazione in forma polare di z C, z, è z = ρ e jθ, dove ρ > è il modulo di z ( ρ = z ) ed è uguale alla distanza di z dall origine, e θ R è la fase (o argomento) di z ( θ = (z) ) e rappresenta l angolo compreso fra il semiasse Reale positivo e il segmento che congiunge z all origine. Conversione da forma polare a forma cartesiana. ρ e jθ = ρ ( cos(θ)+jsin(θ) ) = ρcos(θ)+jρsin(θ). Conversione da forma cartesiana a forma polare. z = a+jb = z e j (z), dove: z = arctan(b/a) se a > a 2 +b 2 arctan(b/a)±π se a < e (z) = π/2 se a = e b > π/2 se a = e b < ; nel caso a < è indifferente aggiungere o togliere π in virtù della periodicità di periodo 2π delle funzioni sin e cos ( ossia, le scritture ρ e j(θ+2kπ), k Z, sono infinite differenti rappresentazioni del medesimo numero Complesso ). Con z si indica il numero Complesso coniugato di z definito come segue: In forma cartesiana: z = a+jb z = a jb In forma polare: z = ρ e jθ z = ρ e jθ. È utile ricordare che: j 2 = ; z z = z 2 dunque, in particolare, z z R + ; se z = ρ e jθ e z 2 = ρ 2 e jθ2, allora z z 2 = (ρ ρ 2 ) e j(θ+θ2) e z /z 2 = ρ ρ 2 e j(θ θ2). In altre parole, il modulo del prodotto di due numeri Complessi è il prodotto dei moduli dei due numeri, il modulo del quoziente è il quoziente dei moduli, la fase del prodotto è la somma delle fasi, la fase del quoziente è la differenza delle fasi. 39

40 5.- Vedi la Figura Si ha: 5.3- Si ha: z 9 = 3 j, z = 3j e z = 4 = z 4. z +z 3 = ( 3+j)+( 3j) = ( 3 ) 2j z +z 4 z 3 = ( 3+j) 4+(+3j) = ( 3 3)+4j z z 3 = ( 3+j) ( 3j) = 3 3 3j j 3j 2 = = 3 (3 3+)j 3( ) = = (3 3) (3 3+)j 2 z = 2 ( 3+j) = 2 3+2j z = ( 3+j) = 3 j z z = ( 3+j) ( 3 j) = 3+ = 4 z 3 /z = 3j = 3j 3 j = 3+j 3+j 3 j = ( 3+3)+( 3 3)j 3+3 = 4 4 z 3 /z 2 = 3j 3j j 4 = 3j 3j 3j = 3j j j = + 3 j. Osservazione: nel calcolo di z 3 /z abbiamo moltiplicato numeratore e denominatore per z in modo tale che la frazione risultante, cioè (z 3 z )/(z z ), avesse per denominatore un numero Reale Si ha: z 5 = 2 2e jπ/4 z 5 z 6 = 2 2e jπ/4 2e jπ/2 = 4 2e j(π 4 π 2 ) = 4 2e jπ/ Si ha: z 5 /z 6 = 2 2e jπ/4 2e jπ/2 = 2e j(π 4 +π 2 ) = 2e j3π/4. z = 3+ = 2 (z ) = arctan(/ 3) = π/6 z = 2e jπ/6 z 2 = 3 (z 2 ) = π/2 z 2 = 3e jπ/2 z 3 = +9 = (z 3 ) = arctan ( ( 3)/( ) ) +π.24+π 4.39 z 3 e j 4.39 z 4 = 4 (z 4 ) = π z 4 = 4e jπ. Osservazione: naturalmente il modulo di jb (cioè, di un numero Immaginario puro) è dato da b e il modulo di a (cioè, di un numero Reale) è dato da a. È doveroso ricordare che, così come l argomento delle funzioni trigonometriche sin, cos, tan,... è un angolo misurato in radianti, stesso discorso si applica alla fase di un numero Complesso scritto in forma polare: in particolare, si ricordi di esprimere in radianti il risultato del calcolo di arctan(b/a). 4

41 Im z 2 z 5 z z 2 z 2π/3 π/4 8 z 4 z z 7 z 9 π/4 z 6 z 4 z 3 Ree z 3 Figura 22: Con riferimento all Esercizio 5, rappresentazione sul piano Complesso dei numeri z i, i =,...,4. z 5.6- Si ha: z 5 = 2 2 ( cos(π/4)+jsin(π/4) ) = 2+2j z 6 = 2 ( cos( π/2)+jsin( π/2) ) = 2j z 7 = 3 ( cos()+jsin() ) = 3 z 8 = ( cos(2π/3)+jsin(2π/3) ) = j Al fine di eseguire la somma fra numeri Complessi, è utile esprimerli in forma cartesiana, quindi: z +z 5 = ( 3+j)+(2+2j) = ( 3+2)+3j. Al fine di eseguire prodotti e divisioni fra numeri Complessi, è utile esprimerli in forma polare, quindi: z z 3 z 8 (2ejπ/6 ) ( e j 4.39 ) (e j2π/3 ) z 5 2 = 2e jπ/4 = ej(π π 3 +π 4 ) 5e j.99. Se si preferisce, si può convertire il risultato in forma cartesiana ed ottenere z z 3 z 8 z 5 5e j.99 = 5 ( cos(.99)+jsin(.99) ).23.87j. 4