Il candidato risolva uno dei due problemi e 4 degli 8 quesiti scelti nel questionario.

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1 LICEO SCIENTIFICO SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO (AMERICHE) SESSIONE ORDINARIA Il candidato isolva uno dei due poblemi e degli 8 quesiti scelti nel questionaio.

2 N. De Rosa, La pova di matematica pe il liceo PROBLEMA E data la semiciconfeenza Γ di cento C e diameto AB=. Sia t la semietta tangente a Γ in B e giacente nello stesso semipiano di Γ ispetto ad AB.. Da un punto D di t, distinto da B, si conduca l alta tangente a Γ e si indichi con E il punto di tangenza. Dal cento C si conduca una semietta paallela a DE che tagli t in F. Si povi che il tiangolo FDC è isoscele..posto DB e DF si povi che. Si detemini l intevallo in cui può vaiae e, in coispondenza, quello in cui vaia.. Si tacci il gafico Φ della f, senza tene conto dei limiti posti dal poblema geometico, e si indichi con s il suo asintoto obliquo.. Si calcoli il volume del solido geneato dalla otazione attono all asse della egione di piano delimitata da Φ, da s e dalle ette e. Punto Si considei la figua seguente. RISOLUZIONE I tiangoli DEC e DCB sono conguenti in quanto hanno tutti e te lati uguali; infatti il lato DC è in comune, CE CB in quanto aggi e DE DB in quanto tangenti alla semiciconfeenza condotte dal punto esteno D. Di conseguenza DC è bisettice dell angolo EDB ˆ e petanto EDC ˆ CDˆ F. Poichè DE ed FC sono paallele tagliate dalla tasvesale DC, si ha EDC ˆ DCˆ F in quanto angoli alteni inteni; avendo, quindi, gli angoli alla base uguali, il tiangolo FDC è isoscele su base DC.

3 Liceo sci. scuole italiane all esteo (Ameiche) ses. od. Punto.Il tiangolo FBC è ettangolo in B ed ha i cateti FB e BC che misuano ispettivamente FB, BC ; di conseguenza pe il teoema di Pitagoa FC Poichè il tiangolo FDC è isoscele si ha FC DF petanto imponendo l uguaglianza si ha: Poichè, è possibile elevae al quadato ambo i membi, ottenendo: Individuiamo oa la limitazione geometica imposta dal poblema. La pima posizione limite la si ha quando F coincide con B, petanto quando, mente la seconda posizione limite la si ha quando sia F che D tendono all infinito, cioè,. Di conseguenza il ange di valoi di e sono,,,. Punto Studiamo la funzione Dominio:,, non tenendo conto dei limiti geometici. ; Intesezioni asse ascisse: non ve ne sono in quanto il numeatoe è sempe positivo nel dominio; Intesezioni asse odinate: non ve ne sono in quanto non appatiene al dominio; Simmetie: la funzione è dispai in quanto ; Positività: visto che il numeatoe è sempe positivo nel dominio, la funzione è positiva laddove e quindi pe ed è negativa pe ; Asintoti veticali: Positività: f - Quado dei segni

4 N. De Rosa, La pova di matematica pe il liceo lim, lim petanto la etta è asintoto veticale desto e sinisto; Asintoti oizzontali: non ve ne sono in quanto, come si deduce applicando il teoema di De L Hopital, si ha lim lim ; altenativamente senza applicae il teoema di De L Hopital, poichè il numeatoe è un odine di infinito supeioe al denominatoe alloa pe la funzione divege; Asintoti obliqui: essendo q lim f lim lim pesenta un asintoto obliquo desto e sinisto di equazione f m lim lim si deduce applicando che la funzione s : ; Cescenza e decescenza: la deivata pima è f ' che è positiva se petanto la funzione è stettamente cescente in,, e stettamente decescente in,, e di conseguenza pesenta un, m, ; massimo elativo in M e un minimo elativo in e Concavità e convessità: la deivata seconda è f '' positiva se basso in, e non pesenta flessi. - Deivata pima: f ' - Quado dei segni che è,, veso il petanto la funzione volge concavità veso l alto in Il gafico è di seguito mostato: Deivata seconda: f '' - Quado dei segni

5 Liceo sci. scuole italiane all esteo (Ameiche) ses. od. 5 Punto In geneale, il solido geneato dalla otazione attono all asse di una egione piana può essee visto come somma di tanti gusci cilindici, cioè cilindi cavi di aggio inteno, aggio esteno f. Consideiamo il volume finito V di un guscio ed altezza come volume infinitesimo dv, quindi tattiamo espesso nella foma: come infinitesimo d ; esso può essee dv d f d f d f Poiché d è un infinitesimo di odine supeioe a d, alloa il temine d f tascuabile ispetto a d f, petanto dv d f d f è Il volume del solido dovuto alla otazione intono all asse delle odinate, pensato come somma di tanti volumetti dv elativi all intevallo di ascisse a, b, è petanto pai a b a b a V dv f d. Nel caso in esame, basta notae che la funzione f f è

6 6 N. De Rosa, La pova di matematica pe il liceo petanto, applicando la fomula si ha: V d d Altenativamente, consideiamo la figua sottostante in cui viene appesentato il solido di cui calcolae il volume. Calcoliamo il volume V dovuto alla otazione del tiangolo ettangolo AEC intono all asse delle odinate. Esso è pai al volume del tonco di cono ABDC avente pe basi i cechi di aggi IC e MA e altezza pe base il cechio di aggio MA e altezza IM cui va sottatto il volume del cilindo ABFE avente IM : V IM IC MA IC MA IM MA 7 6

7 Liceo sci. scuole italiane all esteo (Ameiche) ses. od. 7 Il volume V geneato dalla otazione intono all asse delle odinate del tiangolo mistilineo ECG può essee calcolata come diffeenza ta il volume del cilindo HDCG avente aggio di base IG ed altezza IL cui va sottatto il volume geneato dall aco di cuva EC. Calcoliamo l equazione del amo di cuva EC. E necessaio invetie la funzione, si ha: Pe, il amo di cuva EC è appesentato dalla funzione, petanto il volume geneato dall aco di cuva EC nell intevallo 5, è pai a: d d V EC Di conseguenza V e, petanto, il volume ichiesto è pai a V V V come già pecedentemente tovato.

8 8 N. De Rosa, La pova di matematica pe il liceo PROBLEMA Sia R la egione del pimo quadante degli assi catesiani delimitata da e da. Si detemini la etta k che dimezza l aea di R.. Si disegni la egione piana simmetica di R ispetto alla etta equazioni delle cuve che la delimitano.. Si calcoli il volume del solido geneato dalla otazione di R attono alla etta, e si scivano le. R è la base di un solido W le cui sezioni con piani otogonali all asse sono tutte quadati. Si calcoli il volume di W. Punto RISOLUZIONE Identifichiamo i punti di intesezioni ta il amo di paabola del pimo quadante di equazione e la etta. Bisogna isolvee il sistema ovveo l equazione Essendo pe la definizione della funzione, è possibile elevae al quadato ambo i membi ottenendo: 6 da cui 6 6 I punti di intesezione sono quindi O,, A6, L aea della egione R è pai a A R d 8 8 La etta k inteseca la egione R nei punti B e C come di seguito affiguato se e soltanto se k. I casi limite sono k in cui i due punti di intesezione collassano in O, e k in cui i due punti di intesezione collassano in A 6,. Calcoliamo le coodinate di B. Bisogna isolvee il sistema k

9 Liceo sci. scuole italiane all esteo (Ameiche) ses. od. 9 ovveo l equazione k Essendo pe la definizione della funzione, è possibile elevae al quadato ambo i membi ottenendo: k da cui B k, k Calcoliamo le coodinate di C. Bisogna isolvee il sistema k ovveo l equazione k da cui k da cui C k, k Definite: S l aea del tiangolo di base odinate e dalla etta k S l aea della egione di piano R delimitata da etta k l aea della egione R è pai a L aea S è pai a k e altezza k fomato ta la etta S R S S k, l asse delle, dall asse delle odinate e dalla k k S k d k k k Altenativamente tale aea poteva essee calcolata consideando la funzione invesa L aea S è pai a Imponendo S k d S k k k k k : si ha S R S S R S

10 N. De Rosa, La pova di matematica pe il liceo k 6 k ovveo l equazione isolvente k 6k 6 Notiamo subito che l equazione k 6k 6 ha come soluzione k come si evince pe sostituzione dietta. Di conseguenza applicando la egola di Ruffini si ha: k 6k 6 k k k 8 petanto l equazione k 6k 6 equivale a k k k 8 e pesenta te soluzioni eali: k k k L unica soluzione che ispetta la condizione k è k. Quindi la etta che dimezza l aea della egione R è. Di seguito la geometia del poblema con le egioni sopa definite. Punto La simmetica di ispetto a si icava mediante la tasfomazione X e petanto ha equazione 8 Y X Y 8 X e itonando alla Y 8 simbologia delle coodinate, si icava che la simmetica ispetto alla etta è 8. Di seguito vengono appesentate nello stesso ifeimento catesiano la funzione f e la simmetica g 8 ispetto a.

11 Liceo sci. scuole italiane all esteo (Ameiche) ses. od. Punto Pe calcolae il volume del solido ottenuto dalla otazione di R attono alla etta di equazione, icodando l invaianza del volume ispetto a tasfomazioni geometiche, è oppotuno consideae la seguente tasfomazione: X. In questo Y modo la etta veà a coincidee nel sistema di ifeimento OXY con l asse delle ascisse mente il amo di paabola avà equazione Y X e la etta avà equazione Y X..

12 N. De Rosa, La pova di matematica pe il liceo Il volume ichiesto saà quindi pai al volume del cono con aggio di base ed altezza h 6 cui va sottatto il volume geneato dalla otazione di Y X attono all asse delle. Si ha quindi: V 6 h R X Altenativamente il volume può essee anche calcolato come segue: 6 56 X X 6 8 X 6 6X X dx dx 6

13 Liceo sci. scuole italiane all esteo (Ameiche) ses. od. V 6 X R X 6 6 X 6 X 8 X 6 X 6 X 8 X 6 X X dx X dx X dx Un alto modo pe calcolae il volume del solido di otazione ottenuto uotando la egione R attono alla etta di equazione, deiva dall applicazione del Pincipio di Cavaliei, cioè immaginiamo il solido di otazione come insieme delle sue sezioni con piani pependicolai all'asse ; tali sezioni sono coone cicolai di aggio inteno costante, pai a volume ichiesto è pai a R, e aggio esteno pai a int R est. Petanto il Punto V R Rest Rint d d. Pima di pocedee al calcolo del volume, calcoliamo le funzioni invese di con 6. Si ha: con con e Le sezioni del solido W con piani otogonali all asse geneano quadati di lato petanto il volume ichiesto è pai a L con

14 N. De Rosa, La pova di matematica pe il liceo d d d L V

15 Liceo sci. scuole italiane all esteo (Ameiche) ses. od. 5 QUESTIONARIO Quesito Un tapezio è inscitto in un semicechio di aggio con una base coincidente con il diameto del cechio. Si tovi l aea massima del tapezio. Il tapezio inscitto in una semiciconfeenza con una base conincidente con il diameto è un tapezio isoscele. Consideiamo la figua seguente. Poniamo HC con. La base minoe del tapezio isoscele è AB mente pe il teoema di Euclide l altezza è pai a BH DH HC conseguenza l aea del tapezio è pai a S AB DC BH. Di Poichè la limitazione geometica impone, deduciamo che il fattoe è sempe positivo e petanto è possibile potalo sotto il segno di adice. In questo modo l aea diventa S Poichè la funzione adice è stettamente cescente, la sua massimizzazione equivale alla massimizzazione del adicando, petanto pe tovae l aea massima pocedeemo mediante deivazione della funzione La deivata pima è pai a g' g S

16 6 N. De Rosa, La pova di matematica pe il liceo Il fattoe è sempe positivo in quanto pe ipotesi, petanto il segno della deivata pima si iduce al segno del fattoe : g ' in quanto il fattoe è sempe positivo consideando la limitazione ; di conseguenza la deivata pima è positiva in, e negativa in,, ovveo la funzione aea è stettamente cescente in, e stettamente decescente in, petanto pesenta un massimo elativo pe cui coisponde l aea massima S. Si noti come l aea massima si ottiene in coispondenza di una base minoe di misua pai al aggio. Deivata pima: g' - Quado dei segni Quesito In un libo si legge: La definizione classica di misua di un angolo pe mezzo della lunghezza di un aco di cechio è essenzialmente coetta. Si spieghi, eventualmente con qualche esempio, il significato di tale affemazione. Il appoto ta la lunghezza di un aco di ciconfeenza L e l angolo al cento è pai al aggio: L L R R Ad esempio l intea ciconfeenza ha un angolo al cento pai a petanto ha lunghezza L R ; analogamente una semiciconfeenza ha lunghezza L R e un quato di ciconfeenza L R. Quindi in geneale, data una ciconfeenza, e due suoi achi L, L cui coispondono ispettivamente due angoli al cento, il appoto ta le lunghezze degli achi è pai al appoto ta gli angoli: L L

17 Liceo sci. scuole italiane all esteo (Ameiche) ses. od. 7 In sostanza, quindi, è coetto misuae un angolo mediante la lunghezza dell aco visto che la popozionalità, ta lunghezza dell aco e misua dell angolo, è dietta e la costante di popozionalità è il aggio. Nella ealtà si tovano moltissimi casi in cui la gandezza di una misua viene espessa mediante un alta gandezza: ad esempio pe misuae distanze elevatissime si pala di anni-luce, oppue si espime lo spazio pecoso a velocità costante in funzione del tempo impiegato. Quesito Tommaso ha costuito un modello di tetaedo egolae e vuole coloae le facce, ognuna con un coloe diveso. In quanti modi può falo se ha a disposizione 9 coloi? E se invece si fosse tattato di un cubo? Il numeo di disposizioni nel caso del tetaedo è 9 9! !5! Nel caso del cubo a 6 facce il numeo di disposizioni è 9 9! !6! Quesito Si povi che l equazione 6, un unica soluzione. ammette nell intevallo La funzione f 6 assume agli estemi dell intevallo, valoi discodi, in quanto f, f petanto cetamente esisteà uno zeo all inteno dell intevallo,. Dobbiamo veificae che questo zeo nell intevallo, sia unico. La deivata pima della funzione è f ' che isulta essee positiva pe e negativa pe. Di conseguenza la funzione f 6 è stettamente decescente pe e stettamente cescente pe. La stetta cescenza pe assicua che lo zeo nell intevallo, è anche unico. possiamo calcolalo attaveso vai metodi numeici, utilizzeemo il metodo delle tangenti o di Newton-Raphson mediante la fomula icosiva: f n n n 6n n 8n 6n n n n f ' n n n n n n n con punto di patenza. Si ha la seguente tabella che mosta i passi dell algoitmo:

18 8 N. De Rosa, La pova di matematica pe il liceo n n n n n n,,6 -,6,5,57,5,7,98,7,6,7,6,6, 5,6,6, da cui deduciamo che, 6. Quesito 5 Il volume di una sfea è pai ai / del cilindo ad essa cicoscitto. E questo uno dei isultati più noti che si attibuisce ad Achimede tant è che una sfea e un cilindo fuono scolpiti sulla sua tomba. Si itovi tale isultato mediante l applicazione del calcolo integale. Una sfea può essee vista come il solido di otazione deivante dalla otazione intono all asse delle ascisse della semiciconfeenza di equazione mente il volume del cilindo cicoscitto alla sfea può essee visto come il solido ottenuto dalla otazione intono all asse delle ascisse della etta. Di seguito una illustazione della geometia del poblema. Il volume della sfea è pai a

19 Liceo sci. scuole italiane all esteo (Ameiche) ses. od. 9 d d V S mente il volume del cilindo è pai a d d V C Petanto V V C S Quesito 6 Un cono otondo ha altezza h = 7 dm e aggio = dm. Si vuole diminuie la pima di quanto si aumenta il secondo in modo che il volume del cono aumenti del 5 %. Si dica se la questione ammette soluzioni e, in caso affemativo, si dica quali sono. Consideiamo la figua seguente. Il volume del cono otondo ha altezza h = 7 dm e aggio = dm è pai a h V

20 N. De Rosa, La pova di matematica pe il liceo Supponiamo che l altezza diminuisca di una quantità pai a, di conseguenza il aggio aumenteà di con <<7. Di conseguenza il nuovo volume saà 7 V Se il volume del nuovo cono deve aumentae del 5% alloa deve essee pai a 5 V V,5V,5V,5 Imponendo l uguaglianza si ha: 7 7 Sviluppando i calcoli si ha: La funzione f 8 può avee al massimo soluzioni eali o una eale e due complesse coniugate. Calcoliamone alcuni valoi, si ha: f 8,5, f 7 f 8, f f 5, f 6 da cui pe il teoema degli zei deduciamo che le te adici dell equazione tutte eali e appatengono ispettivamente agli intevalli f sono Dovendo consideae la estizione geometica 7, deduciamo che le soluzioni del quesito sono due,, 5,6 e possono essee deteminate in maniea icosiva attaveso il metodo delle tangenti o di Newton-Raphson mediante la fomula: f n n n n 8 n n 8 n n n f ' n n n n n In paticolae consideando, con punto di patenza tabella che mosta i passi dell algoitmo:, 7,,, 5,6 8 si ha la seguente n n n n n n,,7,7,7,7,7,7,,7,7, da cui deduciamo che, 7. Applicando lo stesso metodo pe 5,6 con punto di patenza 6 si ha:

21 Liceo sci. scuole italiane all esteo (Ameiche) ses. od. n n n n n n 6, 5,5-5,5 5,5,5 5,5 5,,75 5, 5,, 5, 5,, da cui deduciamo che 5,. Quesito 7 Data la funzione definita da: a b se f b c se Si detemini la tena odinata a, b, c in modo che siano soddisfatte le seguenti condizioni: f è continua f lim f a b se La funzione f è data dall unione di due funzioni, una paabola e una etta, b c se continue e deivabili nei ispettivi intevalli di definizione, e,. Affinchè veificae che Si ha: f sia continua in R è necessaio contollae che lo sia in ; dobbiamo quindi lim lim f f lim f lim f lim a b a b lim b c b c petanto imponendone l uguaglianza si icava La seconda condizione La teza condizione lim f Sostituendo le condizioni c a. f compota la condizione b c. compota a b b a c a e b a in b c si icava

22 N. De Rosa, La pova di matematica pe il liceo petanto la funzione è a b c 8 f se 8 se Di seguito un gafico della funzione se f. 8 se Quesito 8 Si veifichi l identità: tan5 sin cos Ricodando la seguente fomula di addizione e sottazione pe la funzione tangente tan tan tan,,,, k, k Z tan tan si ha tan5 tan tan k tan5,, k Z tan5 tan tan Poichè

23 Liceo sci. scuole italiane all esteo (Ameiche) ses. od. sin tan cos cos sin tan sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos l identità isulta petanto veificata. sin sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin