ESERCIZIO 1. agente su m1 nel sistema di riferimento rappresentato.

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1 ESERCIZIO Due copi di massa m ed m sono appoggiati su un piano oizzontale scabo e sono connessi ta loo attaveso un filo ideale (inestensibile e di massa tascuabile) che passa attono ad una caucola ideale A (liscia e di massa tascuabile). I coefficienti di attito statico e dinamico ta il piano e i copi valgono ispettivamente μs e μd. Alla caucola è applicata una foza estena F = F ûx, oizzontale (v. figua). Sia F = F: si osseva che il sistema è in quiete. Si detemini: a) la foza di attito statico F AS agente su m nel sistema di ifeimento appesentato. Quando F = F si osseva che il sistema si muove. Si detemini: b) il modulo aa dellacceleazione della caucola A. Suggeimento: si pesti attenzione alla coetta identificazione delle elazioni ta le acceleazioni di m, m ed A. c) il lavoo W compiuto dalla foza di attito dinamico agente su m quando esso compie uno spostamento D. DATI NUERICI COPITI A,C: m = 00 g m = 300 g μs = 0.5 μd =0.4 F = N F = 3.5 N D = 50 cm COPITI B,D: m = 400 g m = 500 g μs = 0.4 μd =0.3 F = N F = 5 N D = 80 cm SOLUZIONI a) Poiché il sistema è in quiete, impostiamo la II legge della dinamica su ognuno dei copi, imponendo la condizione di staticità: F j = 0. In questo caso Fa,i nel diagamma delle foze appesenta la foza di attito statico Fas,i agente sul copo i. I - m lungo x: T Fas, = 0 II - m lungo y: N mg = 0 III - m lungo x: T Fas, = 0 IV - m lungo y: N mg = 0 V - A lungo x: F T = 0

2 Da I e V si icava immediatamente: Fas,= F e, consideando il sistema di ifeimento assegnato: F a) FA S, = ûx b) Il sistema è in moto. Quindi ispetto al caso pecedente bisogna consideae che: - su ogni copo agisce la foza di attito dinamico, pe ogni copo in modulo pai a Fad,i = μdni; - i due copi sono in moto con acceleazioni a e a divese; - ma = 0. Quindi impostando la II legge della dinamica = m a assi si ottiene: I - m lungo x: F j T Fad, = ma II - m lungo y: N mg = 0 III - m lungo x: T Fad, = ma IV - m lungo y: N mg = 0 V - A lungo x: F T = maaa = 0 pe i te copi e poiettandola lungo gli Poiché ma=0, il sistema è chiuso, ma aa non è ta le incognite. Bisogna quindi aggiungee alte elazioni che leghino aa alle acceleazioni a e a. Pe falo, consideiamo il legame ta le acceleazioni nel SDR fisso e nell SDR di A. Notiamo che poiché il filo è inestensibile le acceleazioni a e a di m e m nell SDR di A sono uguali e opposte. Vale quindi in diezione x: VI: teo. accel. el pe m a = aa + VII: teo. accel. el. pe m a = aa + VIII: inestensibilità filo: a = a a a a a Quindi da VI, VII, VIII, si ottiene: aa= + F, da cui, consideando V, da I e II a= μdg e da m F III e IV a= μdg, si ottiene: m F b) aa = m + m 4 mm a d μdg c) Calcoliamo il lavoo come W= F, d s = µ D mgdxcos(80 ). Quindi c) W = μdmgd D 0 SOLUZIONI NUERICHE COPITI A, C: FA S, = 0.50û COPITI B, D: F =. 0 û A S, x x aa = 3.37 m/s aa =.69 m/s W = 0.39 J W = 0.94 J

3 Esecizio Un copo igido A è composto da un asta igida omogenea di massa m e lunghezza R eda un anello sottile omogeneo di massa m 3 e aggio R uniti come in figua (v. schema a sinista). Il copo A è inizialmente in quiete in un piano veticale ed è vincolato ad un peno liscio P posto all estemo supeioe dell asta igida e pependicolae al piano appesentato. Un oggetto puntifome B di massa m 3 in moto con velocità ~v 0 uta l anello (v. figua) e vi imane attaccato. Immediatamente dopo l uto, il sistema A+B fomato dai due copi inizia a uotae con velocità angolae! attono al peno P. Calcolae: a) il momento di inezia I P del sistema A+B ispetto all asse pependicolae al piano appesentato in figua e passante pe P; b) il modulo v 0 della velocità del copo B immediatamente pima dell uto; c) la vaiazione massima di quota h max del cento di massa del sistema A+B dopo l uto. Schema copo A Sistema A+B pe-uto Sistema A+B post-uto DATI NUERICI Compiti A, C: m = 400 g, R = 30 cm,! =.5 ad/s. Compiti B, D: m = 600 g, R = 40 cm,! =.4 ad/s. a) Pe calcolae il momento di inezia I P del sistema A+B, calcoliamo i momenti di inezia ispetto all asse pependicolae al piano appesentato e passante pe P, sfuttando il teoema di Huygens-Steine, dei singoli copi che compongono A+B: asta, anello e punto mateiale: I asta P = m(r) + mr = 4 3 mr I anello P = m 3 R + m 3 (3R) = 0 3 mr I pm P = 0 3 mr. Il momento di inezia totale è dato dalla somma di questi singoli contibuti I P = IP asta + IP anello + I pm P e vale: a) I P =8mR. ()

4 P P 3R B! v 0 b) Dato che l uto è vincolato, al peno P si sviluppa una eazione vincolae ~ R imp di natua impulsiva, tale da non consevae la quantità di moto del sistema. L unica quantità fisica che si conseva è il momento angolae del sistema A+B ispetto al polo P, in modo da annullae il momento della foza impulsiva ~ R imp ispetto a tale polo. Impostiamo la consevazione del momento angolae totale ispetto a P L ~ (pe) tot piano appesentato e con veso uscente: = L ~ (post) tot, consideando un asse z pependicolae al ~ P m 3 ~v 0 = I P ~!, () dove ~ P è il aggio vettoe dal polo P al vettoe quantità di moto iniziale del punto mateiale m 3 ~v 0 e ~! =!û z. Il podotto vettoiale al membo sinisto dell equazione vale m 3 v 0( P sin )û z, dove P sin = P sin( ) =3R è popio la poiezione di ~ P in diezione pependicolae a ~v 0 (v. figua). Petanto, si ottiene il modulo della velocità del copo puntifome pima dell uto: b) v 0 =8R!. (3) c) Immediatamente dopo l uto il sistema A+B inizia a uotae (in un piano veticale) attono all asse z passante pe il peno P ed è sottoposto alla sola foza peso P ~ = mgû y. Essendo la foza peso una foza consevativa, l enegia meccanica del sistema si conseva ta la posizione iniziale (immediatamente dopo l uto) e la posizione finale del copo igido, quando il cento di massa di A+B ha aggiunto la quota massima (a velocità nulla). Dato che la otazione, dopo l uto, avviene attono a P, la vaiazione di enegia cinetica vale E k = I P! = 4m! R. La vaiazione di enegia potenziale del cento di massa del sistema A+B vale E p = m tot g h max, dove la massa totale di A+B è m tot = 5 3 m. Impostiamo, oa, la consevazione dell enegia meccanica: E k + E p =0 ) 4m! R mg h max =0, (4) da cui icaviamo la vaiazione massima di quota aggiunta dal cento di massa del sistema A+B: c) h max =! R. (5) 5 g SOLUZIONI NUERICHE: Compiti A, C: I P =0.9 kg m, v 0 =6.0 m/s, h max = 4 cm Compiti B, D: I P =0.77 kg m, v 0 =4.48 m/s, h max =7.7 cm.

5 ESERCIZIO 3 Consideando che il aggio del pianeta ate, appossimato ad una sfea, è pai a R = 3390 km e che l acceleazione di gavità nei pessi della sua supeficie vale in modulo g = 3.69 m/s, a) calcolae la massa del pianeta ate. Un satellite atificiale di massa m = kg compie un obita cicolae a quota h = 0 4 km ispetto alla supeficie di ate. b) Calcolae il peiodo obitale T. Si vuole, oa, allontanae il satellite dalla sua obita intono a ate e pe falo vengono azionati i populsoi inteni del satellite. c) Calcolae il lavoo minimo Wmin che i populsoi devono compiee affinché il azzo possa sfuggie all attazione gavitazionale di ate (affinché possa allontanasi indefinitamente da ate). DATI NUERICI COPITI A, C: R = 3390 km g = 3.69 m/s m = kg h = 0 4 km COPITI B, D: R = 3390 km g = 3.69 m/s m = kg h = km SOLUZIONI a) L acceleazione gavitazionale sulla supeficie di ate coincide con il campo gavitazionale di ate a distanza R dal cento del pianeta (icodasi che tutta la massa del pianeta è contenuta all inteno della supeficie!!!). Quindi, in modulo: g = G g R a) = G R, da cui: b) Sul satellite l unica foza agente è la foza gavitazionale esecitata da ate. Poiché l obita è cicolae, la distanza R + h ta il cento di ate e il satellite coincide con il aggio della taiettoia. Inolte, poiché l obita è cicolae, la diezione della foza di attazione gavitazionale esecitata da ate (dietta in diezione adiale ispetto al cento di ate) coincide con la diezione nomale alla taiettoia del satellite. Quindi scivendo la II legge della dinamica in diezione nomale e icodando

6 π m che nel moto cicolae unifome vale T= otteniamo: G ω ( R + h ) =man=mω (R+h)= 4π m ( R + h ). Dal pimo e ultimo temine dell uguaglianza si ottiene quindi: T b) T= π ( R h ) G c) Pe l enegia meccanica E vale: ΔE=WNC. In questo caso, i temini di enegia meccanica da consideae sono l enegia cinetica K e l enegia potenziale gavitazionale UG. Abbiamo quindi che ΔUG+ΔK=WNC, dove WNC lavoo appesenta il lavoo compiuto dai azzi (unica alta foza agente sul satellite). Il lavoo minimo necessaio affinché il azzo si allontani indefinitamente è quello pe il quale il azzo può aivae a distanza infinita con velocità nulla, cioè K,min = 0. Poiché quindi Wmin = UG, UG,0+K K0 e consideando che: - UG, = 0, - UG,0 è l enegia potenziale gavitazionale sull obita, quindi UG,0 = G - K,min=0 - K0= mv = m π( R + h ) T m si ottiene: Wmin=0 G +0 ( R + h ) = G m ( R h ) + G + m, da cui: ( R h ) + c) Wmin= G 3 m ( R h ) SOLUZIONI NUERICHE COPITI A, C: = T = s Wmin = J COPITI B, D: = T = s Wmin = J + m ( R +, h )