Controllo statistico di qualità. Introduzione

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1 Controllo statistico di qualità Introduzione Un azienda vorrebbe che tutti i pezzi prodotti siano uguali: vuole cioè che la produzione sia affidabile. L affidabilità della produzione è affidata a due momenti distinti: la progettazione della produzione (off line) e il controllo che la produzione sia almeno conforme ai parametri specificati (on line).

2 Il controllo statistico della qualità consiste in una collezione di strumenti che sono essenziali nelle attività finalizzate al miglioramento della qualità di prodotti e servizi attraverso l analisi della loro variabilità. Es: un rivenditore compra delle cassette di frutta da un produttore e si aspetta che siano imballate e sistemate opportunamente in modo da facilitare l esposizione della merce o la sistemazione in magazzino. Tra il 92 e il 945, si sviluppano le tecniche di controllo statistico della qualità dell output grazie a Gorge D. Edwards e a Walter A. Shewhart. Si introdussero tecniche di controllo sull intero processo produttivo, non limitandosi più, quindi, a verificare la difettosità dei prodotti solo alla fine del processo dato che i controlli a tappeto su tutti i prodotti stavano iniziando a rivelarsi troppo costosi. Per effettuare questa nuova tipologia di controlli, si fece sempre più ricorso ai criteri statistici. Esaminando pochi prodotti finiti si riusciva a stabilire, mentre si produceva, se il processo presentava delle irregolarità o meno. I controlli basati su criteri statistici ebbero la massima applicazione durante la seconda guerra mondiale, quando per l industria bellica diventò necessario utilizzare in modo massiccio manodopera femminile non specializzata e soggetta, quindi, ad un margine di errore maggiore. I 7 strumenti del controllo statistico di qualità ESEMPIO: Una azienda farmaceutica decide di effettuare un controllo sul processo di iniezione di un farmaco, per le cure tumorali, all interno di appositi flaconi. L azienda assume come tollerabiliun quantitativo minimo di medicinale nei flaconi pari a 82 ml e uno massimo di 8 ml e in fase di progetto stabilisce un quantitativo obbiettivo (target) di 95 ml. Gli operatori addetti a tale compito hanno a disposizione le misure del contenuto dei flaconi del prodotto medicinale riportate nella tabella 2

3 I dati Un primo approccio al problema può essere la costruzione di un istogramma. DOMANDA: quale informazione si perde effettuando un istogramma? 3 Istogramma dei dati Dall istogramma si può subito notare come i dati seguano approssimativamente una distribuzione normale, con una piuttosto accentuata variabilità dei dati. Rispetto al target aziendale il processo è abbastanza centrato, ma la variabilità risulta eccessiva per cui potrebbe essere necessaria una azione correttiva sulla variabilità del processo 3

4 Normal plot dei dati dell esempio precedente Normal Probability Plot.75 Probability Data Un istogramma consente di valutare la precisione del processo produttivo tramite l analisi di dispersione della distribuzione dei dati, anche in relazione ai limiti di tolleranza. 4

5 Dalla sovrapposizione dell istogramma con la retta del valore obbiettivo si può verificare il posizionamento del valore centrale dei dati rispetto al target assegnato 5

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7 ESEMPIO 7

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9 La carta dei 3-sigma Se dovesse essere disponibile una valutazione teorica (storica o di progetto) della varianza della popolazione e della media, usando il teorema del limite σ centrale è possibile sostituire il parametro kcon 3, per la varianza σ W = e per media n si può usare quella della popolazione. Esempio: parametro di flusso monitorato in una azienda con media e varianza nota n=5 9

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13 Costruire la carta di controllo della media in Matlab. I dati sono in numero 2*: ci sono 2 gruppi (i giorni) e ogni gruppo ha numerosità campionaria pari a. Quindi N = 2, k = 2 sottogruppi, ciascuno di taglia n =, i =,...,2. 2. Organizzare i dati in una matrice e calcolare la media per ogni sottogruppo. i >> x x = Costruire la carta di controllo della media in Matlab >> m=mean(x); Le medie vengono fatte sulle colonne. Queste medie vengono plottatesulla carta di controllo. Quindi sulle ascisse si riportano i giorni (in sequenza). 3

14 Costruire la carta di controllo della media in Matlab costruzione della carta di controllo La linea centrale è rappresentata dalla media delle medie x k mi k i = = ,6 Costruire la carta di controllo della media in Matlab costruzione della carta di controllo Per calcolare i limiti inferiore e superiore: a) Valutare l escursione di ogni sottogruppo R = max( x ) min( x ) j i, j i, j i i >> fori=:2 r(i)=max(x(:,i))-min(x(:,i)); end Oppure usare range(x) >> r r =

15 Costruire la carta di controllo della media in Matlab k i k i = b) Calcolare la media delle escursioni: R = R c) Calcolare i limiti usando la seguente tabella: >> rmed=mean(r) rmed= Plot delle linee superiori ed inferiori. costruzione della carta di controllo Sovrapponiamo le regole di zona. A questo scopo calcoliamo la varianza media su tutti i sottogruppi: >> s=std(x); Il calcolo delle deviazioni standard viene fatto sulle colonne. >> smean=mean(s); 7.5 5

16 Le linee di zona sono: x ± 7.5; x ± 2*7.5; x ± 3* costruzione della carta di controllo Per le regole di zona non c è una functionin MATLAB. C è un modo per costruire il grafico direttamente in MATLAB? XBARPLOT X-bar chart for monitoring the mean. XBARPLOT(DATA,CONF,SPECS,SIGMAEST) produces an xbarchart of the grouped responses in DATA. The rows of DATA contain replicate observations taken at a given time. The rows should be in time order. CONF (optional) is the confidence level of the upper and lower plotted confidence limits. CONF is.9973 by default. This means that 99.73% of the plotted points should fall between the control limits if the process is in control. SPECS (optional) is a two element vector for the lower and upper specification limits of the response.? SIGMAEST (optional) specifies how XBARPLOT should estimate sigma. Possible values are 'std' (the default) to use the average within-subgroup standard deviation, 'range' to use the average subgroup range, and 'variance' to use the square root of the pooled variance. OUTLIERS = XBARPLOT(DATA,CONF, SPECS,SIGMAEST) returns a vector of indices to the rows where the mean of DATA is out of control. >> xbarplot(x,.9973, spec, range ) Measurements Xbar Chart 6 UCL 4 2 CL LCL Samples 6

17 SIGMAEST =? Mentre per la media si ha linea centrale LC = x σ linea superiore LSC = x + 3 n σ linea inferiore LIC = x 3 n E per la varianza? SIGMAEST = std σ k k i= s dove s è la dev. campionaria di ogni sottogruppo i i ji j n j= i n ossia s = ( x x ) 2 maggiori dettagli nel seguito! Problema: 7

18 SIGMAEST = 'variance' SIGMAEST = range'? 8

19 CONF (optional) is the confidence level of the upper and lower plotted confidence limits. CONF is.9973 by default. This means that 99.73% of the plotted points should fall between the control limits if the process is in control. Questo valore è legato al coefficiente 3! >> norminv(.9987,,) ans= 3.5 >> (-.9973)/ ans=.9987 Carta di tolleranza 2 carta di tolleranza >> hold on >> >> c2=2*ones(,); >> plot(c2,x(:,2),'g*-') >>

20 Lettura della carta di tolleranza Attenzione a derive nella rappresentazione! Confronto tra le due carte 2 Xbar Chart 5 Measurements UCL CL LCL Samples 2

21 La lettura della carta della media va accompagnata con la lettura della cosiddetta carta dell escursione. La carta dell escursione non è disponibile in MATLAB. Con i medesimi dati, si può calcolare anche la carta per l escursione. Nell esempio la linea superiore è 4.48 e quella inferiore è

22 45 carta escursione Sulla costruzione dei limiti di controllo [ ] Var W 2 [ ] σ Var R = d = σ σ 2 R Se σ ˆ σ = R d 2 Una tabella maggiormente completa A2 corrisponde ad A D3 corrisponde a C D corrisponde a B 4 22

23 Come si leggono le variazioni sulle carte di controllo Uno spostamento della media del processo produttivo, provoca l appariredi una anomalia sulla carta di controllo della media: anche quando tale variazione sarà minima i punti della carta di controllo reagiranno in maniera apprezzabile Una variazione nella dispersione del processo produttivo provocherà anomalie avvertibili sia sulla carta di controllo della media che su quella della escursione, che tenderanno a distanziarsi tra di loro. Carte MR (moving range) Sostituisce la R chart 23

24 Curva caratteristica operativa Diremo che il processo è in controllo statistico se per ogni t, indice dei sottogruppi, x ( LimInf, LimSup). t Regione di accettazione 24

25 Test di Ipotesi H H : µ = µ : µ µ = funzione dei dati E' possibile accettare? l'ipotesi nulla H A 2 code REGIONE CRITICA REGIONE DI ACCETTAZIONE REGIONE CRITICA A coda REGIONE DI ACCETTAZIONE REGIONE CRITICA Test di ipotesi α = P ( si rigetta H - a posteriori - quando H è vera - a priori) ERRORE DI I TIPO α livello di significatività del test ( ) α = P si accetta H - a posteriori - quando H è vera - a priori 25

26 Le regione di accettazione e µ = µ µ Si rigetta l ipotesi nulla µ Statistica osservata 26

27 Non si rigetta l ipotesi nulla µ Statistica osservata Test di ipotesi REGIONE DI ACCETTAZIONE α livello di significatività del test?? ( ) P STATISTICA α =.,.5,. regione di accettazione = α 27

28 Test di ipotesi β = P( si rigetta H- a posteriori - quando H è vera - a priori) β potenza del test ERRORE DI II TIPO β = P si accetta H - a posteriori - quando H è vera - a priori ( ) ( ) β = P si rigetta H - a posteriori - quando H è falsa - a priori DEVE ESSERE ALTA L errore di II tipo µ = µ µ = µ µ µ Statistica osservata 28

29 La potenza del test µ = µ µ = µ µ µ Statistica osservata Curva caratteristica operativa Diremo che il processo è in controllo statistico se per ogni t, indice dei sottogruppi, x ( LimInf, LimSup). α = P(rigettare H µ = µ ) β = P(rigettare H µ µ ) t Regione di accettazione = P( x ( LCL, UCL) µ = µ ) t = P( x ( LCL, UCL) µ µ ) t FALSO ALLARME MANCATO ALLARME 29

30 Non avendo ipotesi alternative certe, immaginiamo che µ = µ = µ + kσ Se la popolazione è gaussiana, allora β = P( x ( LCL, UCL) µ = µ + kσ ) t ( µ σ ) ( µ σ ) UCL + k LCL + k = Φ Φ σ / n σ / n Il plot dei valori assunti da questo parametro per un opportuno valore di k, si chiama curva caratteristica operativa. σ σ Se UCL = µ + L e LCL = µ L, allora n n β = Φ L k n Φ L k n ( ) ( ) e quindi perdiamo la dipendenza sia dalla deviazione standard che dalla media (che magari sono incognite!). Per usare le curve operative è necessario avere qualche informazione in più sulla natura del processo (ad esempio che la popolazione è gaussiana). Torniamo al nostro esempio dei flaconi. Siccome i limiti che abbiamo usato sono di tipo σ µ ± L dove L = 3, n = e σ R / d2 allora si ha n β = Φ 3 k Φ 3 k ( ) ( ) Curva operativa >> k=[.:.2:3]; >> z=normcdf(3-k.*sqrt())- normcdf(-3-k.*sqrt()); >> plot(k,z) Per k=, vale circa.3 la probabilitàdi un mancato allarme Per valori di k inferiori, aumenta la probabilità di un mancato allarme. 3

31 Spesso sui testi si incontrano famiglie di curve operative. Questo perché si cerca di capire al variare della taglia del sottogruppo come varia la probabilità di un mancato allarme. ( 3 k n ) ( 3 k n ) β = Φ Φ.9.8 Curve operative al variare di n n=8 n=5 n=2 Ogni plot corrisponde ad un valore di n Altro uso della curva operativa Nella progettazione delle carte di controllo è necessario specificare sia la dimensione del campione che la frequenza di campionamento. Più grande è il campione più è sensibile il rilevamento di una variazione all interno del processo. La pratica corrente tende a diminuire la dimensione del campione e ad aumentare la frequenza di campionamento. ( ) ( ) Si fissa β, e si cerca quel valore di z tale che Φ z Φ z = β ossia, ricordando le proprietà della gaussiana... ( z β ) 2Φ = β β + z β = Φ 2 β β β z = 3 k n β è possibile ricavare n Per k= β =.3 >> ((3-norminv((.3+)/2,,)))^2 n = 6 3

32 Strategia di scelta dei sottogruppi ma sono costosi! La pratica industriale corrente preferisce la prima strategia aumentando la frequenza Approcci per la costruzione dei sottogruppi Approccio SNAPSHOT Quanti k? Approccio RANDOM 32

33 ARL (average long run) Sia T la variabile aleatoria che indica il numero di sottogruppi da estrarre prima di avere un punto fuori i limiti della carta di controllo. T ha legge... k...geometrica, P( T = k) = p( p), k =,2,... [ ] E T = ARL, tempo medio per avere un fuori controllo p Quanto vale p? Nella carta 3-sigma, la probabilità che il processo sia in controllo statistico è data dalla legge dei 3-sigma, ossia >> normcdf(3,,)-normcdf(-3,,) ans= Quindi la probabilità che il processo vada fuori controllo è >> E [ T ] = 37 ans=.27 Negli ultimi anni, l uso di questo parametro è stato oggetto di critiche: a) Deviazione standard q [ ] = =37 la deviazione standard è molto ampia D T p b) La distribuzione geometrica è molto asimmetrica 2.8 x -3 Pdf geometrica con p=

34 Se α è la probabilità di avere un falso segnale di fuori controllo e se indichiamo con Tr la v.a. che indica il numero di campioni da estrarre prima di avere r falsi allarmi, essa ha legge......di Pascal k α α r r ( = k ) = ( ) P T r Il ricorso al range per la stima della deviazione standard fornisce una stima sufficientemente precisa, solo per piccole numerosità campionarie inferiori a 5. Se la dimensione campionaria è abbastanza grande (>,2) l uso del ranger è poco efficiente per la stima della varianza. k r e qui abbiamo un altro problema!! [ ] 2 2 Vale che E S = σ e invece E S σ. Quindi σ non può essere valutato con S. S chart 2 ( ) [ ] Se X N µ, σ E S = σ c dove c è un parametro che dipende da n 4 4 c 4 n! 2 2 n n n n = e! 2 n n = ! 2 π Intanto cambiano i limiti di controllo della carta della media σ µ ± 3 n σ S k dove S = Si X c k i = 4 SIGMAEST (optional) specifies how XBARPLOT should estimate sigma. Possible values are 'std' (the default) to use the average within-subgroup standard deviation, 'range' to use the average subgroup range, and 'variance' to use the square root of the pooled variance. 34

35 >> schart(x)...e al posto di E[ S] si usa S 4 S Chart UCL 2 Standard Deviation 8 6 CL 4 LCL Sample Number Invece i limiti di controllo della carta della deviazione standard [ ] 3D[ S] E S S D S = σ c c [ ] c4 >> schart(x) 4 S Chart UCL 2 Standard Deviation 8 6 CL 4 LCL Sample Number 35

36 Riepilogando >> xbarplot(x,.9973,spec, range') Xbar Chart 6 UCL 4 2 Measurements CL LCL Samples Questa è la carta per la media con i limiti di controllo che dipendono dal range R σ d 2 per stimare σ (la variabilità del processo) >> xbarplot(x',.9973,spec,'std') Xbar Chart 6 UCL 4 2 Measurements CL LCL Samples Questa è la carta per la media con i limiti di controllo che dipendono dalla deviazione standard. S σ c 4 per stimare la variabilità del processo 36

37 >> xbarplot(x',.9973,spec,'variance )') Questa è la carta per la media con i limiti di controlloche dipendono dalla pooled variance che sostituisce direttamente la deviazione standard. Measurements Xbar Chart 6 UCL 4 2 CL LCL Samples ESERCIZIO Una azienda che produce semiconduttori vuole monitorare il processo di produzione, controllando la larghezza di flusso delle resistenze. Sono stati raccolti 25 sottogruppi di misurazione, ciascuno di dimensione 5, uno ogni ora (file dati2.m). Costruire le carte di controllo. Cosa e possibile dire circa le probabilità di falso allarme e di mancato allarme? Quanto vale il parametro ALR? Commentare opportunamente i risultati ottenuti 37

38 Siccome i sottogruppi sono di taglia n=5, per l escursione possiamo usare la R-chart. L output è.75 xbarplot(wafers,.9973,spec,'range') Xbar Chart.7 UCL.65 Measurements USL CL.4 LSL.35 LCL Samples I valori dei limiti sono UCL =.6932 e LCL =.38. Possiamo anche costruire le regole di zona, scegliendo come stimatore per la deviazione standard R-bar/d_2. In questo caso le linee A, sono quelle corrispondenti ai limiti di controllo. 38

39 Siccome >> normcdf(2,,)-normcdf(-2,,) ans = >> xbarplot(wafers,.9545,spec,range ) Xbar Chart Measurements UCL UCL CL.4 LCL.35 LCL Samples Siccome >> normcdf(,,)-normcdf(-,,) ans = Xbar Chart >> xbarplot(wafers,.6827,spec, range ) Vengono segnalati i sottogruppi che escono dai limiti Measurements.7 UCL.65 UCL UCL.55.5 CL.45 LCL LCL.35 LCL Samples A B C C B A 39

40 Per costruire la R-chart, calcoliamo il range della matrice wafers. >> range(wafers') Poi calcoliamo la media di questo vettore, che restituisce la linea centrale. >> mean(range(wafers')) Calcoliamo i limiti B e C dalla tabella: Ossia B=2.4 C= La stima della variabilità del processo di produzione risulta.3252/2.326=.398 >> k=[::25]; >> rbar=.3252*ones(,25); >> upperbar=2.4*ones(,25); >> lowerbar=zeros(,25); >> plot(k,range(wafers'),'b*-',k,rbar,'r-',k,lowerbar,'r-',k,upperbar,'r-') >> title('r chart') 2.5 R chart α = P( x ( LCL, UCL) µ = µ ) =.27 t Per la probabilità di mancato allarme possiamo costruire la curva operativa caratteristica ( 3 k 5) ( 3 k 5) β = Φ Φ 4

41 curva operativa >> k=[-3.:.::3]; >> z=normcdf(3-k.*sqrt(5))- normcdf(-3-k.*sqrt(5); >> plot(k,z) Ora poniamoci un altro tipo di problema Supponiamo che i limiti di specifica stabiliti in fase di progettazione siano.5+/-.5. La carta di controllo può essere utilizzata per descrivere la capacità del processo di produrre wafersall interno dei parametri specificati. In che modo? Basta calcolare P( X <.) + P( X > 2.) ipotizzando che... X N(.556,.398) che sono le stime trovate con la carta di controllo per µ e σ. >> inf=(-.556)/.398; >> sup=(2-.556)/.398; >> normcdf(inf,,)+-normcdf(sup,,) ans= 3.52e-4 Ossia circa lo.35 per cento (35 parti per millione) di wafersprodotti cadranno al di fuori delle specifiche, stante la produzione osservata e monitorata dalla carta di controllo. Più in generale indichiamo con TL x TU x p = e P( X < TL ) + P( X > TU ) = Φ ˆ σ + Φ ˆ σ 4

42 Il valore minimo p lo si ha quando la media coincide con il centro dell'intervallo di TU + TL tolleranza me =. 2 e 3.64 x -4 Capacità produttiva del processo al variare della media campionaria Il valore effettivo di non conformi deve essere tale che p < p dove p è il e T T livello di difettosità tollerabile TL TU e questo valore minimo vale pmin = 2Φ 2 ˆ σ INDICE DI CAPACITA DEL PROCESSO Altro modo per misurare l indice di capacità del processo è il cosidetto PCR (process capability ratio) : C p TU T = 6σ Si noti che 6 σ è la definizione di base della capacità del processo. L In genere la deviazione standard non si conosce e quindi va stimata dai dati 42

43 Andamento indice PCR Se il processo non è centrato, avere PCR> non garantisce che il processo produca la quasi totalitàdei prodotti entro i limiti di specifica (è capace di farlo, ma non è detto che lo faccia) Ci vuole un indice che tenga conto della centratura. C pk TU µ µ TL = min, 3σ 3σ Relazioni tra i due indici 43

44 Un impiegato esce di casa tutti i giorni alle 8. e deve entrare al lavoro alle 8.3. Per raggiungere l ufficio in auto ha due possibilità: attraversare la città, o seguire un percorso di campagna, più lungo ma meno trafficato. Per decidere quale sia il percorso più conveniente, misura il tempo di percorrenza più volte su entrambi i percorsi e trova che attraversando la città impiega mediamente 25 minuti, mentre per il percorso in campagna occorrono in media 28 minuti. Quale percorso gli conviene seguire? Vecchia risposta: l uomo dovrebbe scegliere il percorso cittadino, che in media è più veloce Risposta Sei Sigma: la medianon è un indicatore significativo per questo studio. Infatti l impiegato è penalizzato quando arriva in ritardo, ma non ha alcun beneficio quando arriva in anticipo. L uomo definirebbe come difettosi i percorsi che richiedono più di 3 minuti di viaggio. Quindi si deve analizzare l intera distribuzionedei dati nei due casi, riportata in figura. Come si vede, il percorso cittadino presenta una forte variabilità dei dati, perché è molto influenzato (oltre che poco prevedibilmente) dal traffico; il percorso di campagna invece richiede un tempo praticamente costante. Visto l alto numero di difetti nel caso del percorso cittadino, è evidente che quello di campagna è decisamente preferibile dal punto di vista dell impiegato. Il six-sigma program della Motorola anni 8 Obbiettivi: USL LSL > 2σ { USL LSL} min µ, µ > 4.5σ E se la popolazione non è gaussiana? C C p pk > 2 e >.5 e nel caso gaussiano Quantili π 6 = Il denominatore diventa 6σ nel caso gaussiano. ( ) P ( Z ).35 = P Z 3, = 3 44

45 Intervalli di confidenza per il parametro PCR In Matlab USL LSL χ USL LSL χ 6S n 6S n 2 2 α /2, n α /2, n C p >> spec=[.45.7]; >> [p,cp,cpk]=capable(mean(wafers),spec) p =.746 Cp=.89 Cpk=.489 Cp >, quindi il processo è capace (ossia rientra nei limiti specificati) Cpk<, il processo non è centrato rispetto Cosa descrive p? >> p=-diff(normcdf(spec,mean(mean(wafers)),std(mean(wafers)))) >> diff(spec)/(6*std(mean(wafers)))*sqrt(chi2inv(.975,25-)/24) ans=.3842 >> diff(spec)/(6*std(mean(wafers)))*sqrt(chi2inv(.25,25-)/24) ans=.777 Attenzione alla stima di S Cosa succede se le dimensioni dei sottocampioni non sono uguali? strategia di campionamento dati mancanti Quando i k sottogruppi hanno numerosità diverse, vengono usate la carta della media e la S-chart, con limiti che dipendono dalla taglia. Per le linee centrali si ha: k n x ( n ) S x = = n ( n ) i i i i i= i= e S k k i i= i= k i Per i limiti 3-sigma si ha che B e C dipendono da ni, così come D S 45

46 Classificazione carte di controllo Carte di controllo per variabili Se la caratteristica del prodotto è rappresentabile su una scala continua di valori essa è detta variabile. Si usano misure di centralità e variabilità. Carte di controllo per attributi L unità prodotta viene valutata conforme in base al numero dei difetti o in presenza di certi attributi. Carta p Si basa sulla percentuale di pezzi non conformi nel sottogruppo monitorato. La numerosità campionaria dei sottogruppi può essere non costante. La numerosità campionaria deve essere elevata. Perché? La v.a. binomiale (e di Bernoulli) gioca un ruolo fondamentale. 46

47 D La percentuale di pezzi non conformi è data da pˆ =, dove D ha legge... n...binomiale di parametri n e p. I limiti di controllo sono: p( p) p ± 3 (se np > 5, n(- p) > 5 D è approx. gaussiana) n Se p non è nota, si può sostituire con una stima p k Di num.pezzi non conformi p = pi dove pi = = k n n i= Esempio: Un concentrato di succo d'arancia è congelato e imballato in lattine di cartone da 8ml. Queste lattine sono costruite usando una macchina che avvolge il cartone e poi lo appoggia su un pannello inferiore in metallo. Ispezionando una lattina, possiamo stabilire se, quando è piena, si può avere una perdita del succo dalla cucitura laterale o dal pannello inferiore. Tale non conformità può comportare un sigillo improprio sulla guarnizione laterale oppure sul pannello inferiore. Vogliamo costruire una carta di controllo per migliorare la percentuale di lattine non conformi prodotte dalla macchina. A questo scopo vengono selezionati 3 campioni di n = 5 lattine ciascuno, ogni mezz ora su 3 periodi della giornata in cui la macchina è sempre in funzione. >> d d = Columns through Columns 8 through

48 I valori da plottare sulla carta sono le percentuali di non conformità >> p=d/5 p = Columns through Columns through Columns 2 through I limiti sono >> mean(p)+3*sqrt(mean(p)*(-mean(p))/5) ans =.42 >> mean(p)-3*sqrt(mean(p)*(-mean(p))/5) ans=.524 >> cent=mean(p)*ones(,3); >> upp=(mean(p)+3*sqrt(mean(p)*(-mean(p))/5))*ones(,3); >> low=(mean(p)-3*sqrt(mean(p)*(-mean(p))/5))*ones(,3); >> plot(k,p,'b*-',k,low,'r-',k,upp,'r-',k,cent,'g-').5.45 P chart Nuovo operatore Nuova partita di cartone Il campione 5 e 23 sono fuori controllo statistico: questi vanno monitorati. Ricalcoliamo la carta eliminando questi campioni. 48

49 >> d(:4)=d(:4) >> d(5:2)=d(6:22) >> d(22:28)=d(24:3) E ripetiamo tutta la procedura.4.35 P chart Sottogruppo 2 (no. 2 nel vecchio campione) Questa è la carta senza aver eliminato il sottogruppo 5 e P chart Se non si ritiene significativa la causa che ha portato al fuori controllo statistico nel sottogruppo 2, allora per future ispezioni si mantengono questi come limiti della carta di controllo. 49

50 Supponiamo che siano stati campionati altri 23 sottogruppi: per monitorare il processo usiamo i limiti di controllo che sono stati calcolati prima P chart >> cent2= mean(p)*ones(,24); >> low2= low()*ones(,24); >> upp2= upp()*ones(,24); >> plot(k2,p2,'b*-', k2,low2,'r-',k2,upp2,'r-', k2,cent2,'g-') Il processo è in controllo statistico. Ma se mettiamo tutti i dati assieme.5 P chart Cambiamento della macchina per imballaggio? Possiamo dire con maggiore precisione se le percentuali di non conformità sono effettivamente diverse? 5

51 H : p = p 2 p p2 n p + n2 p2 : > Z= dove p = 2 n + n2 H p p La statistica test risulta: p( p) + n n2 La regione critica è : Z > z = p.25 (senza sottogruppi 5 e 23) p 2.8 n =?, n =? 2 p p Di 3 pi 28 i= 28 i= Di 33 pi 24 i= 3 24 i= = = = = = =...e facendo i conti si ha p =.669 e Z = 7. Pertanto si rigetta l'ipotesi nulla... Visto che c è stato un miglioramento nella produzione, si ricalcolano anche i limiti di controllo.6 New P-chart

52 Il limite inferiore è negativo: -.224!! Quindi bisogna prendere il limite inferiore pari a. * Se pè piccolo, nva scelto grande!! Ad esempio per p=., abbiamo n=5!! * Siccome lo shift da p vale δ =3 2 ( ) 3 n = ( p) p δ p p n δ =.4, p =. n = New P-chart ( ) p p 9( p) * p 3 > n > n p p =.5 n = 7 Carta np Si lavora non con la percentuale dei pezzi non conformi, ma con il numero di pezzi non conformi. D La percentuale di pezzi non conformi è data da pˆ =, dove D ha legge......binomiale di parametri n e p. Si lavora con D N( np, np(- p)) I limiti della carta di controllo sono dunque: np ± 3 np( p) Tornando all esempio di prima p viene sostituito con p n 52

53 25 Np chart Se le taglie dei sottogruppi sono diverse, una tecnica molto diffusa consiste nel k sostituire a n la media campionaria delle taglie n = ni k i = β = P( p ( LCL, UCL) p = p ) i = P( D ( nlcl, nucl) p = p ) i Usando la cdf binomiale β = P( D (2.62, 2.5) p = p ) i >> p=[.:.2:]; >> app=binocdf(2.52,5,p)- binocdf(2.624,5,p); >> plot(p,app) Con gli stessi ragionamenti si possono calcolare gli altri parametri che abbiamo incontrato nelle precedenti lezioni Curva caratteristica per P-chart

54 Carta c Misura il numero di difetti in un lotto controllato. Il campionamento deve essere costante. E utile quando vi è da controllare un materiale con un flusso di produzione continuo (rullo di tessuto o un cavo elettrico). La non conformità è da esprimersi per unità da definire (difetti al m^2, etc.) Il lotto è inscindibile. La v.a. che conta il numero di difetti per unità di misura è......una v.a. di Poisson I limiti della carta di controllo sono c ± 3 c dove c è la costante di Poisson. In mancanza di un valore teorico per c si utilizza la media campionaria. Esercizio: Si riporta il numero di non-conformità osservato in 26 campioni prodotti in una successione di circuiti stampati ( circuiti stampati = lotto). >> c=[2,24,6,2,5,5,28,2,3, 25,2,24,6, 9,,7,3,22,8, 39,3,24,6,9,7,5]; >> central=mean(c) = 9.67; >> upp=central+3*sqrt(central)=32.97; >> low=central-3*sqrt(central)=6.36; Esercizio: eliminare il campione 2 e 6 e rifare la carta di controllo C chart

55 Nell esempio precedente, è stato preso in considerazione un solo lotto. Tuttavia questo tipo di scelta non è statisticamente significativa. Sarebbe meglio ispezionare più lotti, perché c è maggiore possibilità di incontrare non conformità. Ad esempio potremmo essere interessati ad ispezionare 2 lotti e mezzo, ossia 25 circuiti. Carta U Si calcola il numero di non conformità totale e lo si rapporta al numero di lotti esaminati. Siccome x rappresenta il num. di pezzi non conformi totali, è una v.a. di Poisson, di cui x / n rappresenta la media campionaria. x u = n u = u 3 u n rotolo=5 m^2 di tessuto La tabella riporta il numdi difetti. Num. Num. m^2 Num.dif. Num.Di rotoli ispez. 5 4.=5/ =4/ Totale u = 7.5 u u ±

56 Limiti carte Shewhart Caratteristica principale delle carte di Shewhartè che nel metodo di calcolo del valore della statistica da inserire nella carta di controllo, esse fanno uso unicamente dell informazione sul processo contenute nel solo ultimo istante di osservazione, ignorando tutti quelli precedenti. Ciò rende la carta di Shewartrelativamente insensibile alle piccole variazioni del livello del processo (di ampiezza in genere non superiore a.5 volte la deviazione standard) Carte CUMSUM (cumulative sum) = somme cumulate Carte EWMA (Exponential Weighted Moving Average) = medie mobili pesate esponenzialmente. Queste due carte funzionano bene nei confronti di piccoli salti di livello mentre non reagiscono così velocemente come la carta di Shewarth per salti di livello elevato. Può quindi risultare utile combinare l uso della carta di Shewartcon questi due tipi di carta. Shewart chart Esempio: i dati che andiamo ad 4 esaminare sono stati costruiti al 3 seguente modo. I primi 2 sono stati selezionati da una popolazione gaussiana di media e 2 deviazione standard. I rimanenti sono stati selezionati da una popolazione gaussiana di media 9 e di deviazione standard. Questi ultimi si possono 8 pensare come selezionati da un 7 processo che è andato fuori controllo statistico La carta della media non segnala subito la variazione! 56

57 Nella carta CUMSUM si effettua il grafico di i ( ) ( ) S = x µ = x µ + S i j i i j= >> s()=x()-; >> for i=2:3 s(i)=s(i-)+(x(i)-) end 8 6 carta cumsum Quali sono i limiti di controllo? Exponential chart Serve a monitorare un processo che media i dati in modo che a questa media viene dato sempre meno peso, mano manoche il tempo passa Viene valutata su tutto il processo e non sui sottogruppi razionali Più sensibile ai driftnel tempo Robusta nel caso non normale 57

58 zi = λxi + ( λ) zi Per λ=, si riottiene la carta X -bar. λ (,) Peso alle medie dei sottogruppi tra e. Il valore iniziale è µ. Se non si conosce µ, al suo posto si può usare x. i Sostituendo ricorsivamente i valori z in z = λx + ( λ) z ( ) j i si ottiene z = λ λ x + ( λ) z i i j j= i i i i Applichiamoli all esempio Precedente. >>ewmaplot(x ) 58

59 .5 Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) Chart EWMA.5 CL Sample Number 2 Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) Chart.5 EWMA.5 CL Sample Number Ci restano da esaminare solo i diagrammi di correlazione! 59

60 Teorema : Se X e Y sono indipendenti, E[ XY] = E[ X ] E[ Y ] Cosa si può dire sul viceversa? Def : Si definisce cov(x, Y) covarianza di X e Y, la quantità = E [( X µ )( Y µ X Y )] cov( X, Y ) = E[ XY ] µ µ Teorema : Se X e Y sono indipendenti, Cov( X, Y ) =. Il viceversa non vale. X X p( x) 3 3 Y Y = X 3 2 Teorema : Var( X ± Y ) = Var( X ) + Var( Y ) ± 2cov( X, Y ) La correlazio ne tra Definizion e le variabili cov( X, Y ) σ XY ρ = = Var ( X ) Var ( Y ) σ σ aleatorie X e Y è la quantità : X Y Se la covarianzatra due variabili aleatorie è positiva, negativa o nulla, anche la correlazione sarà positiva, negativa o nulla. La correlazione tra Teorema le variabili aleatorie - ρ X e Y gode della seguente proprietà : Teorema : Se ρ = ± P( Y = ax ± b) = 6

61 La covarianza è una misura della relazione lineare tra due variabili aleatorie. (A) Covarianza positiva (C) Covarianza nulla (B) Covarianza negativa (D) Covarianza nulla Due variabili aleatorie sono incorrelate. Teorema X e Y indipendenti Il viceversa non vale a meno che X e Y non siano congiuntamente normali. Gaussiana (congiunta) bidimensionale Esempio : La f XY ( x, y) = 2πσ for ( x, y) R funzione densità di probabilità di una normale bivariata è : 2 exp 2 2 σ ρ 2( ρ ) Y X,( µ, µ ) R X Y 2, con parametri σ 2 ( x µ ) 2ρ( x µ )( y µ ) ( y µ ) X σ X 2 X >, σ Y σ X X σ > e ρ (-,). Y Y + 2 Y 2 Y σ µ = E X µ = E Y Y 2 X 2 Y [ X ] [ ] [ X ] [ Y ] σ = Var σ = Var ρ (,) 6

62 σ =, σ =, µ =, µ =, ρ = X Y X Y Contour plots σ =, σ =, µ =, µ =, ρ =.9 X Y X Y σ =, σ =, µ =, µ =, ρ = X Y X Y Consideriamo coppie di dati che mettono in relazione la percentuale di riuscita di un certo esperimento in laboratorio con la temperatura alla quale l esperimento è condotto. >> x=[,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]; >> y=[45, 52, 54, 63, 62, 68, 75, 76, 92, 88]; >> r=corrcoef(x,y) r = >>polytool(x,y) Scatter diagram Diagramma di dispersione Retta in verde 62

63 È la retta di regressione dei minimi quadrati Per conoscere i coefficienti >> beta beta = >> betaci betaci =

64 >> residuals residuals = Adeguatezza del Modello ANALISI DEI RESIDUI.95.9 Normal Probability Plot >> [H,P,KSSTAT,CV] = KSTEST(residuals/standard) H = Probability P =.854 KSSTAT = Data CV =.493 >> 64