f la cui derivata è sen x e il cui grafico passa per il punto ( ; 2)

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1 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessioe Ordiaria 009 CORSO DI ORDINAMENTO Questioario Quesito Si trovi la fuzioe ( ) f la cui derivata è se e il cui grafico passa per il puto ( ; ) Ua primitiva della fuzioe f ( ) è la fuzioe F ( ) cos co R. Impoedo il passaggio per il puto ( ; ) F (0 ) cos0 ; ; 3. Pertato la fuzioe richiesta è: F ( ) cos 3 0 si ricava il valore del parametro. 0. Esame di Stato ORD

2 Quesito Soo dati gli isiemi A {,, 3, 4} e B { a, b, c} soo di suriettive? Di iiettive? Di biiettive?. Tra le possibili fuzioi (o applicazioi) di A i B, ce e Ua fuzioe è ua corrispodeza fra due isiemi o vuoti A e B, che associa ad ogi elemeto dell isieme A uo ed u solo elemeto dell isieme B. A f B a.b.c La corrispodeza a lato o è ua fuzioe perché all elemeto 4 A o è associato alcu elemeto ell isieme B. Ricordado la defiizioe di fuzioe iiettiva: ua fuzioe si dice iiettiva quado ogi elemeto dell isieme B è immagie al più di u elemeto dell isieme A possiamo affermare che o esistoo fuzioi iiettive, poiché il umero degli elemeti dell isieme A è maggiore del umero degli elemeti dell isieme B. A f B.a.b.c La corrispodeza a lato è ua fuzioe, perché ad ogi elemeto dell isieme A corrispode uo è u solo elemeto ell isieme B. Ma tale fuzioe o è iiettiva perché l elemeto c B è immagie di due elemeti, il 3 e il 4, dell isieme A. Ricordado la defiizioe di fuzioe suriettiva: ua fuzioe si dice suriettiva quado ogi elemeto dell isieme B è immagie di almeo u elemeto dell isieme A possiamo affermare che le fuzioi suriettive fra gli isiemi A e B esistoo. La fuzioe rappresetata sopra è ua fuzioe suriettiva ma, come sopra dimostrato, o iiettiva. Ricordado la defiizioe di fuzioe biiettiva: ua fuzioe si dice biiettiva quado è sia iiettiva sia suriettiva possiamo affermare che o esistoo fuzioi biiettive. Esame di Stato ORD

3 Quesito 3 3 Per quale o quali valori di la curva di equazioe: y 3 4 ha ua sola tagete orizzotale? La fuzioe è cotiua e derivabile R. I puti a tagete orizzotale coicidoo quidi co i puti stazioari, cioè i puti co derivata prima ulla. I f ( ) 3 3 f I ( ) 0 ; ; Essa ammette due soluzioi reali e coicideti quado il determiate è uguale a zero: ; m3. Esame di Stato ORD 3

4 Quesito 4 Esiste solo u poliedro regolare le cui facce soo esagoi. Si dica se questa affermazioe è vera o falsa e si forisca ua esauriete spiegazioe della risposta. U poliedro si dice regolare se le sue facce soo poligoi regolari cogrueti e i suoi agoloidi soo cogrueti tra loro. Diversamete dagli aaloghi poligoi regolari el piao, che possoo avere u ifiito umero di lati, i poliedri regolari, ello spazio, soo solo cique. Ifatti i ogi vertice del poliedro regolare devoo cocorrere almeo tre facce costituite da poligoi regolari e la somma degli agoli delle facce che si icotrao i tali vertici deve essere miore di 360 gradi; i caso cotrario le facce si appiattirebbero i uo stesso piao. Questo implica che o è possibile avere facce esagoali o co u umero maggiore di lati, dato che questi poligoi hao agoli iteri maggiori o uguali a 0 gradi. Pertato: se le facce che cocorroo i u vertice soo triagoli equilateri (agoli di 60 ), si hao tre casi: 3 facce (somma degli agoli uguale a 80 ) TETRAEDRO (4 triagoli equilateri) 4 facce (somma degli agoli uguale a 40 ) OTTAEDRO (8 triagoli equilateri) 5 facce (somma degli agoli uguale a 300 ) ICOSAEDRO (0 triagoli equilateri) No si possoo costruire poliedri regolari aveti 6 facce, perché la somma degli agoli è uguale a 360, e quidi tassellao il piao. se le facce che cocorroo i u vertice soo quadrati (agoli di 90 ), si ha solo u caso: 3 facce (somma degli agoli uguale a 70 ) CUBO o ESAEDRO (6 quadrati) No si possoo costruire poliedri regolari aveti 4 facce, perché la somma degli agoli è uguale a 360, e quidi tassellao il piao. se le facce che cocorroo i u vertice soo petagoi regolari (agoli di 08 ) si ha solo u caso: 3 facce (somma degli agoli uguale a 34 ) DODECAEDRO ( petagoi regolari). No si possoo costruire poliedri regolari aveti 4 facce, perché la somma degli agoli è uguale a 43, e quidi il poliedro è irrealizzabile. No si possoo costruire poliedri regolari aveti facce costituite da esagoi regolari perché 3 esagoi regolari tassellao il piao (somma degli agoli uguale a ) I cique corpi regolari Tetraedro 4 facce triagolari 6 spigoli 4 vertici Cubo 6 facce quadrate spigoli 8 vertici Ottaedro 8 facce triagolari spigoli 6 vertici Icosaedro 0 facce triagolari 30 spigoli vertici Dodecaedro facce petagoali 30 spigoli 0 vertici Proclo, storico della matematica del V secolo dopo Cristo, attribuisce a Pitagora la scoperta dei 5 poliedri regolari. Platoe userà questa straordiaria scoperta come simbologia dell'uiverso e dei suoi elemeti base: il fuoco (tetraedro), la terra (cubo), l'aria (ottaedro) e l'acqua (l'icosaedro). Il quito poliedro regolare, il dodecaedro, era a simboleggiare la quita esseza che tutto avvolge e comprede. La metafora ha u qualche seso matematico dato che è possibile dimostrare che l'uico poliedro regolare el quale sia possibile iscrivere gli altri 4 è il dodecaedro. Questa tradizioe eo-platoica resterà viva fio a Keplero che credette di poter descrivere i moti dei piaeti i termii di poliedri e loro reciproche iclusioi. Esame di Stato ORD 4

5 Quesito 5 Si cosiderio le segueti espressioi: ; ; ; A quali di esse è possibile attribuire u valore umerico? Si motivi la risposta. Ua frazioe è ua coppia ordiata di umeri iteri, di cui il secodo è diverso da 0. I simboli: d co,d Z e d 0. Pertato i base a questa defiizioe soltato la prima frazioe ha sigificato, e il suo valore è zero. Ifatti: 0 perché 0 0 Ioltre: 0 perché 0 o esiste alcu umero che moltiplicato per zero da per risultato uo. 0 perché 0 0 ma di umeri che moltiplicati per zero dao risultato zero c è e soo ifiiti. 0 Ricordado ifie che a a... a ? a volte 0 volte moltiplicare zero per se stesso zero volte o ha alcu sigificato. Esame di Stato ORD 5

6 Quesito 6 Si calcoli. Esame di Stato ORD 6

7 Esame di Stato ORD 7 Quesito 7 Si dimostri l idetità: Dalla defiizioe di coefficiete biomiale si ha: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]!!!!!!!!!!!!.

8 Quesito 8 Si provi che l equazioe: ha ua sola radice compresa fra e Trattadosi di u equazioe di grado 009, coviee studiare la fuzioe y 009 ad essa associata e. verificare che il suo grafico è ua curva che tocca l asse delle i u solo puto apparteete all itervallo (,0) 009 La fuzioe y 009 è cotiua e derivabile R. f ( ) metre f (0 ) Pertato, per il Teorema dell esisteza degli zeri, ammette almeo ua soluzioe ell itervallo (,0). Cotiuado co lo studio della derivata prima: 009 I f ( ) f I ( ) 0 ; ; ; la derivata prima o si aulla mai. f I ( ) > 0 ; > 0 ; 008 > 0 ; la derivata prima è positiva R. Poiché la derivata prima è sempre positiva el suo domiio, la fuzioe f ( ) è strettamete crescete. Pertato ammette solo ua soluzioe ell itervallo (,0). Esame di Stato ORD 8

9 Quesito 9 D V C Nei Discorsi e dimostrazioi matematiche itoro a due uove scieze, Galileo Galilei descrive la costruzioe di u solido che chiama scodella cosiderado ua semisfera di raggio r e il cilidro ad essa circoscritto. La scodella si ottiee togliedo la semisfera dal cilidro. Si dimostri, utilizzado il pricipio di Cavalieri, che la scodella ha volume pari al coo di vertice V i figura. A H B Riprediamo iazitutto il pricipio di Cavalieri: due solidi soo equivaleti se si può fissare u piao i modo che ogi altro piao parallelo a esso tagli i due solidi i sezioi equivaleti. Cosideriamo u piao parallelo alla base del coo, distate dal vertice, cioè: OV, co 0 r. La sezioe formata col coo è ua circofereza di raggio OP. D A V C O P Q R H B Essedo il triagolo VOP u triagolo rettagolo isoscele, si ha: OV OP. Pertato la sezioe del coo, a distaza dal vertice, ha area: S π. Per trovare la sezioe della scodella, che è ua coroa circolare di raggio estero OR r, occorre determiare il raggio itero OQ co il teorema di Pitagora. OQ QV OV r. Pertato la sezioe della scodella, a distaza dalla base, ha area: S [ r ( r )] π OR OQ π π I defiitiva, poiché volume. S S π, per il pricipio di Cavalieri, i due solidi soo equivaleti, cioè hao lo stesso Esame di Stato ORD 9

10 Quesito 0 Si determii il periodo della fuzioe f ( ) cos 5. Ua fuzioe è periodica di periodo T, quado f ( ) f ( T ). Essedo la fuzioe coseo periodica di periodo T π, si ha: ( 5 π ) f ( ) cos 5 cos ; metre f ( T ) cos 5( T ) cos ( 5 5T ) Pertato l uguagliaza: f ( ) f ( T ) diveta: ( 5 ) cos ( 5 5T ) cos π da cui si ottiee: 5 π 5 5T ; π 5T ; π 5T ; π T. 5 Esame di Stato ORD 0