ELEMENTI DI STATISTICA

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1 Dipartimento di Ingegneria Meccanica Chimica e dei Materiali PROGETTAZIONE E GESTIONE DEGLI IMPIANTI INDUSTRIALI Esercitazione 6 ORE ELEMENTI DI STATISTICA Prof. Ing. Maria Teresa Pilloni Anno Accademico

2 Concetti base statistica Esercizio 1 (2,15, ) In un numero del 2002 del Journal of Transportation Engineering sono riportati i risultati della misura della resistenza a rottura (in Mpa) per 24 miscele di asfalto: Si calcoli: La media La mediana La moda Il campo di variazione Esercizio 2 (2,33,2) I circuiti integrati sono formati da elementi elettronici che sono assemblati con componenti in silicio. Una certa proporzione di circuiti è difettosa. Viene proposto un nuovo processo, il cui obiettivo è quello di ridurre il tasso di circuiti difettosi a meno del 5%. Di 100 circuiti ottenuti attraverso il nuovo processo, solo 4 risultano difettosi. Dire se è vero o falso: a. Dato che solo il 4% dei 100 circuiti sono difettosi, possiamo concludere che l obiettivo è stato raggiunto. b. Sebbene la % del campione sia sotto al 5%, questo può essere dovuto alla variabilità campionaria, così che l obiettivo non è stato raggiunto. c. Non c è nessun vantaggio a verificare il nuovo processo, perché, qualunque sia il risultato ottenuto, potrebbe essere dovuto solo alla variazione campionaria. d. Se si campionasse un elevato numero di circuiti e la % fosse inferiore al 5%, sarebbe ragionevole concludere che l obiettivo è stato raggiunto Esercizio 3 (2,33,3) Il più piccolo numero di una lista è cambiato da 12.9 a a. E possibile determinare di quanto cambia la media? Se la risposta è affermativa, di quanto cambia? b. E possibile determinare di quanto cambia la mediana? Se la risposta è affermativa, di quanto cambia? E se la lista fosse composta di soli due numeri? c. E possibile determinare di quanto cambia la deviazione standard? Se la risposta è affermativa, di quanto cambia? 2

3 Probabilità Esercizio 4 (2,44, ) Si producono barre estruse in alluminio. Vengono date le specifiche per la lunghezza e il diametro delle barre. Per ogni barra, la lunghezza può essere classificata come troppo corta, troppo lunga o nella specifica; e il diametro è classificato come troppo sottile, troppo spesso o nella specifica. In una popolazione di 1000 barre, il numero di barre in ognuna delle categorie è pari a: Diametro Lunghezza Troppo sottile OK Troppo spesso Troppo corta OK Troppo lunga Viene estratta casualmente una barra da questa popolazione. a) Qual è la probabilità che sia troppo corta? b) Qual è la probabilità che sia o troppo corta o troppo spessa? Esercizio 5 (2,52,2.15) Una scatola di bulloni contiene 8 bulloni spessi, 5 bulloni medi e 3 bulloni sottili. Una scatola di dadi per bulloni contiene 6 dadi che si adattano ai bulloni spessi, 4 che si adattano ai bulloni medi e 2 che si adattano ai bulloni sottili. Vengono scelti a caso un bullone e un dado. Qual è la probabilità che il dado si adatti al bullone? Esercizio 6 (2,57,2.20) Un veicolo contiene due motori, il motore principale e un motore di riserva. Il veicolo non funziona se entrambi i motori non funzionano. La probabilità che il motore principale non funzioni è 0.05, e la probabilità che il motore di riserva non funzioni è Si assuma che il motore principale e il motore di riserva funzionino indipendentemente. Qual è la probabilità che il veicolo non funzioni? Esercizio 7 (2,57,2.21) Un sistema contiene due componenti, A e B. Entrambi devono funzionare affinché il sistema funzioni. La probabilità che il componente A non funzioni è 0.08 e la probabilità che B non funzioni è Si assuma che i due componenti funzionino in maniera indipendente. Qual è la probabilità che il sistema funzioni? 3

4 Distribuzione normale Esercizio 8 Assumendo una distribuzione normale, determinare l area sotto la curva normale per ciascuno dei casi da 1 a 7 sotto elencati: Estremi: z=0, z=1.2 Estremi: z=-0.68, z=0 Estremi: z=-0.46, z=2.21 Estremi: z=0.81, z=1.94 A sinistra di z=-0.6 A destra di z=-1.28 A destra di z=2.05 e a sinistra di z= Esercizio 9 (2,184,4.46) Un processo produce dei cuscinetti i cui diametri sono normalmente distribuiti con media e con deviazione standard pari a cm. Le specifiche richiedono che il diametro sia pari a 2.5±0.01 cm. Qual è la proporzione di cuscinetti che soddisfa le specifiche? Esercizio 11 Il diametro medio interno di un campione di 200 rondelle prodotte da una macchina è 0.502cm, mentre lo scarto quadratico medio è 0.005cm. La funzione cui sono destinate queste rondelle permette che i limiti massimi di tolleranza per i diametri interni vadano da 0.496cm a 0.508cm. Qualora si esca da tali limiti, le rondelle sono considerate difettose. Determinate la percentuale di rondelle difettose prodotta dalla macchina, assumendo che i diametri siano distribuiti normalmente. Esercizio 12 Supponiamo che il tempo necessario per rispondere ad un determinato test possa essere ben approssimato da una variabile casuale normale con media 38.9min e deviazione standard 9.7min. Determinare la probabilità che una persona sottoposta al test termini in un intervallo di tempo compreso fra 30 e 45 minuti. Esercizio 13 Due produttori di pile affermano che il loro prodotto ha una durata media di 50 ore di uso continuato (durata nominale). Comunque si è osservato che il 20% delle pile del primo produttore ha una durata inferiore a 49h ed il 10% più di 52h; mentre il 10% delle pile del secondo produttore ha una durata inferiore alle 48h ed il 13% superiore alle 53h. Considerando solo il fattore durata: - calcolare la probabilità che le pile dei due produttori durino meno della durata nominale dichiarata (ipotizzare le distribuzioni delle durate normali) 4

5 - dire quale dei due produttori è da preferirsi per durata 5

6 Distribuzione binomiale Esercizio 14 Consideriamo l esperimento consistente nel lancio di un dado 10 volte. Qual è la probabilità di ottenere 4 volte la faccia 6? Esercizio 15 Se il 20% dei bulloni prodotti da una certa macchina è difettoso, determinare la probabilità che, su 4 bulloni scelti a caso, 1 (caso A), 0 (caso B), al massimo 2 bulloni (caso C), siano difettosi. Si assuma una distribuzione binomiale. Esercizio 16 Se la probabilità che un bullone sia difettoso è 0.1, determinate la media e lo scarto quadratico medio della distribuzione dei bulloni difettosi su un totale di 400 bulloni. Esercizio 17 Supponiamo che una ditta che produce componentistica per autovetture abbia potuto accertare che il 5% della produzione di un certo componente risulta essere difettoso. I componenti vengono venduti in lotti; un lotto viene accettato se da un controllo su un campione, costituito da 100 pezzi ed estratto casualmente dal lotto, risulta che non più di due pezzi sono difettosi. Qual è la probabilità che un lotto venga accettato? Esercizio 18 Il 10% dei pezzi prodotti da una macchina è difettoso. Sia X la variabile casuale che indica il numero dei pezzi difettosi in un campione di 12 pezzi, scelto casualmente dalla produzione di quella macchina. Calcolare qual è la probabilità che quel campione contenga: 0, 1 o 2 pezzi difettosi almeno due pezzi difettosi al più due pezzi difettosi esattamente 4 pezzi difettosi 6

7 Intervalli di confidenza Esercizio 19 Le misure dei pesi di un campione casuale di 200 cuscinetti a sfera fatti da una certa macchina in una settimana, hanno dato una media di 0.824N ed uno scarto quadratico medio di 0.042N. Trovate i limiti di confidenza al 95% e al 99% del peso medio di tutti i cuscinetti a sfera. Esercizio 20 In una industria conserviera si vogliono fare dei controlli sul peso delle scatole di pesche sciroppate prodotte settimanalmente. Quale deve essere la numerosità del campione da prelevare da detta produzione settimanale, per affermare con un livello di fiducia del 99%, che il peso medio di dette scatole sia compreso nell'intervallo 995±15g ipotizzando uno scarto tipo σ=27.25g del campione? Esercizio 21 (2,240,5.4) Un ingegnere deve risolvere il seguente problema: Da uno studio del 2002 riportato sul Journal of Engineering Manufacture, risulta che, in un campione di 50 micropunte da trapano, che forano un acciaio legato a basso tenore di carbonio, la durata (espressa come numero di fori fatti prima della rottura) è di 12.68, con uno scarto quadratico medio di Sotto queste condizioni, trovare l intervallo di confidenza al 95% della durata delle micropunte. In base alle informazioni sulla durata delle micropunte, l ingegnere riporta un intervallo di confidenza di [ ], ma si dimentica di specificare il livello. Qual è il livello di fiducia per questo intervallo? σ c pq x ± zc p ± zc N 1 N Livello Confidenza % zc

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