Teorario di Fisica Tecnica. A cura di Tobia Piccoli
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- Guglielmo Rosa
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1 Teorario di Fisica Tecnica A cura di Tobia Piccoli 1
2 Indice Equazione di conservazione della massa Lavoro tecnico per una trasformazione isoterma di un gas ideale Andamento di temperatura in una parete cilindrica con temperatura delle pareti uniforme Formula dell'umidità specica di una miscela di aria umida in funzione dell'umidità relativa Dimostrare che l'andamento della temperatura in una parete piana di spessore L e supercie innita, in condizioni stazionarie, è una funzione lineare Ricavare l'equazione dell'umidicazione adiabatica e dimostrare che la trasformazione è approssimabilmente una isoentalpica Formula della temperatura in funzione del tempo per il raredamento di un corpo omogeneo immerso in un uido a temperatura costante, ipotizzando i parametri concentrati Lavoro tecnico per un compressione isoentropica di un gas ideale Formula scambio termico radiativotra due superci nere Relazione tra coeciente di eetto utile di una pompa di calore e quello di una macchina frigorifera, supponendo che operino tra le stesse temperature Ricavare l'equazione di Fourier in coordinate cartesiane per il caso stazionario Lavoro di volume di un gas ideale per una trasformazione isoterma Ricavare la formula del rendimento ideale di un ciclo Brayton-Joule in funzione del rapporto di compressione Ricavare il calore specico di una politropica Ricavare l'espressione del bilancio termico radiativo di una supercie diusa Ricavare l'espressione del primo principio per sistemi aperti Ricavare l'entalpia dell'aria umida Ricavare il rendimento di un ciclo Otto in funzione del rapporto di compressione volumetrico Ricavare l'espressione dell'equazione di Clapeyron Funzionamento di uno psicrometro di Assman Ricavare l'espressione della temperatura media logaritmica 2
3 Equazione di conservazione della massa Si consideri un sistema aperto come in gura: Si suppone che almeno nelle sezioni di ingresso ed uscita vi sia equilibrio termodinamico. In un certo intervallo dτ entrerà nel sistema una massa dm 1 e vi uscirà una massa dm 2. Si considera in τ 0, il sistema costituito dal sistema aperto più un volumetto del sistema che contenga la massa dm 1. Si può immaginare che questa massa deuisca in un tempo dτ. Così all'istante τ 0 + dτ il sistema sarà quello della terza gura, ossia un sistema aperto più un volume nito contenente la massa dm 2 (uscita anch'essa nel tempo dτ). Nel primo caso (cioè per il sistema della seconda gura), posta M s la massa del sistema chiuso: M s τ0 = dm 1 + ( V ρdv ) τ 0 mentre nel caso successivo (terza gura) la massa sarà data da M s τ0+dτ = dm 2 + ( V ρdv ) τ 0+dτ Valendo per i sistemi chiusi il postulato di conservazione della massa, si possono eguagliare le due espressioni: dm 1 dm 2 = ( V ρdv ) ( V ρdv ) τ 0+dτ τ 0 E' possibile scomporre in serie di Taylor (solo i primi due termini) il volume aperto all'istante τ 0 + dτ : ( V ρdv ) = ( V ρdv ) ( + δ τ 0+dτ τ 0 δτ V ρdv ) dτ τ 0 e sostituire nell'espressione precedente, ottenendo: ( dm 1 dm 2 = δ δτ V ρdv ) dτ τ 0 e riarrangiando: m 1 m ( 2 = δ δτ V ρdv ) τ 0 Nel caso si abbiano più sezioni di ingresso edi uscita si generalizza: m i = δ ( V ρdv ) i δτ ed in condizioni di usso stazionario: m i = 0 i 3
4 Lavoro tecnico per una trasformazione isoterma di un gas ideale Dati due stati della trasformazione: l t = 2 1 v dp = RT 2 dp p1 1 p = RT ln p 2 = RT ln v1 v 2 4
5 Andamento di temperatura in una parete cilindrica con temperatura delle pareti uniforme Sia un cilindro cavo di lunghezza L, raggio esterno r 2, raggio interno r 1, temperatura della supercie interna T s1 e temperatura della supercie esterna T s2, queste ultime supposte uguali in tutti i punti delle relative superci. L'equazione di Fourier in coordinate cilindriche, per questo caso, si scrive come: ( ) 1 d r dr dr dt dr = 0 che integrata diventa: dt dr = C1 kr re-integrando: T (r) = C1 k ln r + C 2 Con le ipotesi iniziali si ha: { T (r1 ) = C1 k ln r 1 + C 2 T (r 2 ) = C1 k ln r 2 + C 2 Che risolta permette di trovare le costanti: C 1 = k Ts1 Ts2 ln r 1 r2 C 2 = T s2 Ts1 Ts2 ln r 1 ln r 2 r2 che sostituite nella soluzione dell'equazione dierenziale iniziale, permettono di ottenere l'andameto della temperatura lungo la parete: T (r) = T S1 T S2 ln r 1 r2 ln r r 2 + T s2 5
6 Piani T - s e p - h ciclo inverso a vapore e formula del coeciente di eetto utile Si denisce il calore assorbito, detto eetto frigorifero, come: q o = h 2 h 1 il lavoro tecnico, necessario per la compressione isoentropica del uido dalla pressione p 0 alla pressione p 1, è: l 23 = h 3 h 2 ed il coeciente di eetto utile per il ciclo sarà: ε fr = q0 l 23 = h2 h1 h 3 h 2 6
7 Formula dell'umidità specica di una miscela di aria umida in funzione dell'umidità relativa Date: x = mv m a ; umidità specica, m v massa vapor d'acqua e m a massa aria secca nel volume di aria umida ϕ = mv m s ; umidità relativa, m s massa di vapore che nelle stesse condizioni (T,V) sarebbe presente in saturazione quindi: x = mv m a = ρv ρ a = pvv R at R vt p = Ra p v av R v p a = pv p p v si riscrive l'umidità relativa come: ϕ = mv m s da cui: = pvv R vt R vt p sv = pv p s ; p s pressione di saturazione p v = ϕp s che sostituita nell'espressione dell'umidità specica permette di ottenere: x = ϕps p ϕp s 7
8 Dimostrare che l'andamento della temperatura in una parete piana di spessore L e supercie innita, in condizioni stazionarie, è una funzione lineare Partendo dall'equazione di Fourier, posta nulla la genereazione di calore e supposte note le temperature a parete T s1 e T s2 : d 2 T dx 2 = 0 integrando: dt dx = C 1 ed integrando nuovamente: T (x) = C 1 x + C 2 Si impongono quindi le condizioni al contorno: T = T s1 ; per x = 0 T = T s2 ; per x = L che permettono di scrivere il sistema: { Ts1 = C 2 T s1 = C 1 L + C 2 che sostituite nell'equazione integrale restituiscono l'andamento della temperatura: T (x) = (T s2 T s1 ) x L + T s1 funzione di x e chiaramente lineare 8
9 Ricavare l'equazione dell'umidicazione adiabatica e dimostrare che la trasformazione è approssimabilmente una isoentalpica Si parte scrivendo il sistema delle equazioni di bilancio; i termini con pedice 2 sono riferiti alla sezione di uscita, mentre quelli con pedice 1 sono riferiti a quella di ingresso: m a2 h 2 m a1 h 1 m l h l = Q Equazione dell energia m a2 m a1 = 0 m a2 x 2 m a1 x 1 m l = 0 Conservazione della massa di aria secca Conservazione della massa d acqua essendo la trasformazione adiabatica si ha Q = 0 perchè è il calore scambiato con l'ambiente. Inoltre dall'equazione di conservazione della massa di aria secca: m a2 = m a1 m a2 = m a1 = m a e quindi il sistema si può riscrivere ridurre a: { ma (h 2 h 1 ) = m l h l m a (x 2 x 1 ) = m l ossia: h l = h2 h1 x 2 x 1 Essendo le entalpie dell'aria e dell'acqua dello stesso ordine di grandezza, mentre x 2 x 1 è molto più piccolo (almeno 3 ordini di grandezza), si può trascurare h l, dimostrando che la trasformazione è pressochè isoentalpica 9
10 Formula della temperatura in funzione del tempo per il raredamento di un corpo omogeneo immerso in un uido a temperatura costante, ipotizzando i parametri concentrati Si suppone che la temperatura del corpo sia uniforme e la capacità termica del uido di rareddamento sia elevata (così da poter considerare T costante). Applicando il primo principio della termodinamica: E out = E st dove E out è la potenza termica uscente dal sistema (quindi negativa) e E st la variazione di energia del sistema. Essendo la potenza uscente dovuta a convezione,si può scrivere: ha s (T T ) = ρv c dt dτ si applica un cambio di variabile: θ = T T dθ dτ = dt dτ e si può riscrivere il bilancio come: dθ dτ = has ρv c che si risolve per separazione di variabili e si integra: θ θ i dθ θ = has ρv c τ 0 dτ ln θ θ i = has ρv c τ has θ θ i = e [ ρv c ] e quindi l'andamento della temperatura nel tempo è: T T T i T = e has [ ρv c ] 10
11 Lavoro tecnico per un compressione isoentropica di un gas ideale Dalla denizione di lavoro tecnico: l t = 2 1 vdp = p 1 k 2 1 v 1 ( k k 1 p 1 k 1 v 1 ) 2 p k 1 k 1 p k 1 k 1 p 1 k dp [ ( ) k 1 = k k 1 p p2 k 1v 1 p 1 1 ] [ ( ) k 1 ] = k k 1 RT p2 k 1 p
12 Formula scambio termico radiativo tra due superci nere Date due superci nere di area A i e A j, temperatura T i e T j e potere emissivo E i e E j, la potenza termica che lascia la supercie i ed incide sulla supercie j è: q i j = E bi A i F ij mentre la potenza che lascia la suercie j ed incide sulla supercie i vale: q j i = E bj A j F ji quindi la potenza netta scambiata sarà semplicemente: q ij = q i j q j i e sostituendo le espressioni precedenti: q ij = E bi A i F ij E bj A j F ji per la reciprocità si ha A i F ij = A j F ji da cui si ottiene la formula: q ij = A i F ij (E bi E bj ) = A i F ij σ ( Ti 4 T ) j 4 12
13 Relazione tra coeciente di eetto utile di una pompa di calore e quello di una macchina frigorifera, supponendo che operino tra le stesse temperature Le denizioni sono: ε fr = Q0 L n ; coeciente di eetto utile frigorifero ε p.c. = Q1 L n ; coeciente di eetto utile della pompa di calore con Q 0 calore sottratto nel ciclo alla sorgente fredda, Q 1 calore ceduto nel ciclo alla sorgente calda e L n lavoro netto speso per il funzionamento del frigorifero. Per ricavare la relazione basta mettere a onfronto i due coecienti: ε p.c. = Q1 L = Q0+ Ln n L n = ε fr
14 Ricavare l'equazione di Fourier in coordinate cartesiane per il caso stazionario L'equazione permette di ricavare il campo di temperatura di un sistema. Si fanno le ipotesi di isotropia e indeformabilità del sistema e si considera un volume di controllo innitesimo interno al sistema. attraverso le facce del volume di controllo si potranno avere scambi di calore, ma avendo considerato indeformabile il sistema, il lavoro sarà nullo. Il bilancio delle potenze è: E in + E out + E g = E st dove: E in potenza termica entrante per conduzione (quindi positiva) E out potenza termica uscente per conduzione (negativa) E g potenza termica genereata all'interno del sistema, uniforme nel volume E st variazione nel tempo dell'energia del sistema Con riferimento alla schematizzazione iniziale si avrà: E in = q x + q y + q z E out = (q x+dx + q y+dy + q z+dz ) E g = q g dv = q g dxdydz 14
15 δt E st = ρdv c v δτ = ρc v δt δτ dxdydz e quindi il bilancio diventa: q x + q y + q z (q x+dx + q y+dy + q z+dz ) + q g dxdydz = ρc v δt δτ dxdydz si esprimono quindi le potenze uscenti dal volumedi controllo in funzione di quelle entranti, mediante una serie di Taylor troncata al secondo termine: q x+dx = q x + δqx δx dx q y+dy = q y + δqy δx dy q z+dz = q z + δqz δz dz sostituendo nell'espressione precedente e semplicando, il bilancio diventa: δqx δqy δqy δx dx δx dy δx dy + q δt g dxdydz = ρc v δτ dxdydz per la legge di Fourier si può scrivere: q x = k dydz δt δx q y = k dxdz δt δy q z = k dxdy δt δz sostituendo nel bilancio e rielaborando si ottiene l'equazione di Fourier nel caso stazionario: δ δx ( k δt δx ) + δ δy ( k δt δy ) + δ δz in forma vettoriale: (k T ) + q δt g = ρc v δτ Nell'ipotesi di stazionarietà diventa: δ δx ( k δt δx ) + δ δy ( k δt δy (k T ) + q g = 0 ) + δ δz ( ) k δt δz + δt qg = ρc v δτ ( k δt δz ) + qg = 0 e senza generazione di calore: ( ) ( ) ( ) δ δx k δt δx + δ δy k δt δy + δ δz k δt δz = 0 e se k è costante: δ 2 T δx + δ2 T 2 δy + δ2 T 2 δz = 0 2 in termini vettoriali: (k T ) = 0 2 T = 0 che è l'equazione di Fourier in coordinate cartesiane 15
16 Lavoro di volume di un gas ideale per una trasformazione isoterma Dalla denizione di lavoro di volume: l = 2 equazione dei gas perfetti pdv = 1 RT dv v = RT 2 dv 1 v v2 = RT ln v 1 = RT ln p 2/RT p 1/RT 16
17 Ricavare la formula del rendimento ideale di un ciclo Brayton- Joule in funzione del rapporto di compressione η = ln = l T l c = 1 + q q + 23 q q + 23 con l T = 1 q 41 q + 23 lavoro specico ottenuto dalla turbina, l c lavoro assorbito dal compressore, q 23 calore assorbito dal primo scmbiatore (o camera di combustione per le turbine a gas) e q 41 il calore ceduto all'ambiente dal secondo scambiatore (non presente nelle turbine a gas a ciclo aperto). Visto che q + 23 = h 3 h 2 = c p (T 3 T 2 ) q 41 = h 1 h 4 = c p (T 1 T 4 ) sostituendo nella precedente espressione: η = 1 T4 T1 T 3 T 2 = 1 T1 T 2 T 4 T 1 1 T 3 T 2 1 per le trasformazioni isoentropiche di compressione ed espansione, posto il rapporto di compressione r p = p2 p 1 si ha: T 2 T 1 = T3 T 4 = r k 1 k p girando i primi due membri dell'uguaglianza appena vista: T 4 T 1 = T3 T 2 che sostituendo nell'espressione del rendimento trovata: η = 1 T1 T 2 T 3 T 1 2 = 1 T1 T 3 T 1 2 T 2 = 1 1 k 1 r k p 17
18 Ricavare il calore specico di una politropica Per le trasformazioni politropiche vale la legge pv n = cost, con n costante della politropica Per una trasformazione quasi statica il calore scambiato vale: q 12 = c v (T 2 T 1 ) pdv l'integrale vale: 2 p2v2 p1v1 pdv = 1 1 n = R(T2 T1) 1 n ricordando che: R = c v (k 1) e sostituendo gli ultimi due risultati nella prima formula: q = c v k n 1 n (T 2 T 1 ) da cui si ottiene il calore specico della politropica (ricordando la denizione di calore specico) c n = c v k n 1 n 18
19 Ricavare l'espressione del bilancio termico radiativo di una super- cie grigia diusa Si considera la supere nella gura sopra; il volume di controllo (indicato con la tratteggiatura na) coincide con la supercie stessa. Per il primo principio si avrà che la poenza radiata netta che lascia la supercie sarà: q i = A i (J i G i ) dalla denizione della radiosità: = Ji Ei 1 α i J i = E i + ρ i G i G i = Ji Ei ρ i per l'ipotesi di supercie grigia e diusa vale la legge di Kirchho, quindi: α i = ε i E i = ε i E b,i sostituendo nell'espressione dell'irradianza: G i = Ji εie b,i 1 ε i che combinata con l'equazione iniziale: ( ) q i = A i J i Ji εie b,i 1 ε i = Aiεi(E b,i J i) 1 ε i il termine 1 εi A 1εi = E b,i J i 1 ε i A 1 ε i si dice resistenza superciale alla radiazione 19
20 Ricavare l'espressione del primo principio per sistemi aperti Si considera il sistema aperto della prima gura (nelle restanti due sono rappresentati i sistemi ausiliari di cui ci si serve per la dimostrazione): si ssano le sezioni 1 e 2 in modo che almeno in queste vi sia equilibrio termodinamico. Quindi si va a considerare prima lo stato termodinamico del sistema in un istante τ 0 e poi in un istante τ 0 + dτ: E τ0+dτ E τ0 = Q L tot dove: E τ0+dτ è l'energia del sistema chiuso ausiliario all'istante τ 0 + dτ E τ0 è l'energia del sistema chiuso ausiliario all'istante τ 0 Q è il calore scambiato dal sistema con l'ambiente in dτ L tot è il lavoro totale scambiato dal sistema con l'ambiente in dτ Per sviluppare i termini di questo bilancio, si denisce una generica energia associata al sistema aperto (E SA ) τ0 cui non si pone alcuna limitazione. Posti poi e c l'energia cinetica, e p l'energia potenziale e u l'energia interna, si hanno: E τ0 = (u 1 + e c1 + e p1 ) dm 1 + (E SA ) τ0 E τ0+dτ = (u 2 + e c2 + e p2 ) dm 2 + (E SA ) τ0+dτ sviluppando quest'ultimo termine in serie di Taylor (no al secondo termine, essendo gli altri innitesimi di ordine superiore) si ha: (E SA ) τ0+dτ = (E SA) τ0 + δ δτ (E SA) τ0 dτ sostituendo nell'espressione precedente: E τ0+dτ = (u 2 + e c2 + e p2 ) dm 2 + (E SA ) τ0 + δ δτ (E SA) τ0 dτ e quindi in quella iniziale: (u 2 + e c2 + e p2 ) dm 2 +(E SA ) τ0 + δ δτ (E SA) τ0 dτ (u 1 + e c1 + e p1 ) dm 1 (E SA ) τ0 = Q L tot (u 2 + e c2 + e p2 ) dm 2 (u 1 + e c1 + e p1 ) dm 1 + δ δτ (E SA) τ0 dτ = Q L tot per quanto riguarda il lavoro: L tot = L t + L em L imm dove L t è il lavoro tecnico, L em è il lavoro fatto dal sistema per espellere il uido e L imm è il lavoro fatto sul sistema per immettere il uido. Per calcolare i lavori di immissione ed emissione si consideri la gura seguente: 20
21 supponendo che le pressioni delle sezioni 1 e 1 aus siano uguali e che le sezioni distino ad un dx 1 tale che dm 1 = ρsdx 1 : L imm = p 1 S 1 dx 1 = p 1 v 1 dm 1 L em = p 2 S 2 dx 2 = p 2 v 2 dm 2 che sostituite nel bilancio: (u 2 + e c2 + e p2 ) dm 2 (u 1 + e c1 + e p1 ) dm 1 + δ δτ (E SA) τ0 dτ = Q L t p 2 v 2 dm 2 + p 1 v 1 dm 1 (u 2 + e c2 + e p2 + p 2 v 2 ) dm 2 (u 1 + e c1 + e p1 p 1 v 1 ) dm 1 + δ δτ (E SA) τ0 dτ = Q L t ricordando che la denizione di entalpia è h = u + pv, e dividento per dτ : (h 2 + e c2 + e p2 ) m 2 (h 1 + e c1 + e p1 ) m 1 + δ δτ (E SA) τ0 = Q L t 21
22 Ricavare l'entalpia dell'aria umida Come noto l'aria umida è una miscela di vari gas e vapor d'acqua. L'entalpia totale di questa miscela è: H = m a h a + m v h v dove i pedici a indicano l'aria secca ed i pedici v il vapor d'acqua. dividendo per la massa di aria secca: [ ] J h = h a + xh v kg Fissando l'entalpia nulla a K si può valutare l'entalpia specica dell'aria secca come: h a = c pa t = 1.006t ;c pa calore specico a pressione costante secca dell'aria, valore medio per il vapore invece: h v = r 0 + c pv t = t ; r 0 calore latente di evaporazione a 0 C Quindi l'entalpia dell'aria umida vale: [ ] h = 1.006t + ( t) x kj kg 22
23 Ricavare il rendimento di un ciclo Otto in funzione del rapporto di compressione volumetrico Si deniscono i punti chiave del ciclo Otto: 0 ne espulsione - inizio aspirazione 1 ne aspirazione - inizio compressione 2 ne compressione - inizio combustione 3 ne combustione - inizio espansione 4 ne espansione - inizio scarico 5 ne scarico - inizio espulsione Il rendimento vale: η = ln = q+ q q 41 = 1 + q 23 q + 41 = 1 41 q 23 q + 23 q + 23 sotto le ipotesi di aria standard: q + 23 = u 3 u 2 = c v (T 3 T 2 ) q 41 = u 4 u 1 = c v (T 1 T 4 ) η = 1 T4 T1 T 3 T 2 = 1 T1 T 2 si deniscono quindi: r T = T2 T 1 T 4 T 1 1 T 3 T 2 1 ; rapporto tra le temperature = v4 v 3 r v = v1 v 2 ; rapporto volumetrico di compressione Applicando le trasformazioni dei gas perfetti alle due isoentropiche (1 2 e 3 4 ) si ha: T 2 T 1 = ( v 1 v 2 ) k 1 = r k 1 v = r T = ( v 4 v 3 ) k 1 = T 3 T 4 T2 T 1 = T4 T 3 Quindi l'espressione del rendimento si semplica in: η = 1 T1 T 2 = 1 1 r k 1 v 23
24 Ricavare l'espressione dell'equazione di Clapeyron E' una relazione che lega il calore latente alle altre grandezze termodinamiche. Si considera un cambiamento di fase da liquido a vapore ed un ciclo di Carnot innitesimo che operi tra le temperature T e T dt si parte dal rendimento di un ciclo di carnot, che vale in questo caso: η c = dl Q 1 = dt T 1 il lavoro di un ciclo nel piao p-v corrisponde all'area racchiusa dalla curva rappresentante il ciclo, quindi: dl dp (v v v l ) sostituendo nella precedente, e ricordando che nel ciclo considerato il calore assorbito corrisponde a quello latente di evaporazione: dp(v v v l ) r = dt T ed esplicitando r si ricava l'equazione di Clapeyron r = dp dt T (v v v l ) 24
25 Funzionamento di uno psicrometro di Assman E' uno strumento che permette di misurare l'umidità relativa di una portata d'aria. Costituito da due canali in cui scorre l'aria da misurare, che è mossa da un ventilatore posto in cima allo strumento (sulla bocca di uscita). In ognuno dei canali è inserito un termometro, uno dei quali ha il bulbo sensore ricoperto da una garza bagnata. Si suppone che il termometro con la garza sia investito da una massa d'aria con una certa umidità relativa. Inizialmente, se la garza possiede la stessa temperatura dell'aria, non vi è scambio termico. Appena l'acqua della garza inizia ad evaporare l'insieme termometro - garza si rareddda, portandosiad unatemperatura infriore a quella dell'aria, quindi l'aria comincerà a cedere calore alla garza per convezione. Il processo continuerà no all'equilibrio, quando il calore ceduto per avporazione sarà uguale a quello acquisito per convezione. la temperatura di equilibrio è detta di bulbo umido. Nota anche la temperatura di bulbo secco (indicata dall'altro termometro) è possibile trovare sul diagrama psicrometrico il punto che individua la condizione di equilibrio del termometro bagnato, t = t bb e ϕ = 100%, perchè per la miscela acqua aria la trasformazione è praticamente isoentalpica. Per questo punto si fa quindi passare l'isoentalpica relativa: l'intersezione dell'isoterma di bulbo secco con l'isoentalpica, rappresenta la condizione termodinamica della massa di aria umida che è stata misurata. 25
26 Ricavare l'espressione della temperatura media logaritmica Si consideri una sezione innitesima di uno scambiatore di calore: e si formulano le ipotesi di: Adiabaticità dello scambiatore verso l'esterno Conduzione assiale trascurabile lungo la parete del tubo Variazioni trascurabili dell'energia cinetica e potenziale Calori specici costanti Trasmittanza costante Si applica il primo principio ai tre volumi di controllo (tubo caldo, tubo freddo e scambiatore completo): dq = m c c p,c dt c = C c T c dq = m f c p,,f dt f = C f T f dq = U T da tenendo presente che T = T c T f e dierenziando: d ( T ) = dt c dt f sostituendo le due espressioni iniziali: ( d ( T ) = dq 1 C c + 1 C f ) che sostituita nell'equazione dello scambiatore di calore, e integrando dall'ingresso all'uscita della sezione considerata: ( ) 2 d( T ) 1 1 T = U C c C f 1 da ( ) ln T2 1 T 1 = UA C c + 1 C f ( ) ln T2 Tc,i T T 1 = UA c,u q + T f,u T f,i q q = UA T2 T1 ) T2 = UA T ml ln( T 1 e si denisce quindi temperatura media logaritmica il termine: T ml = T2 T1 ) T2 ln( T 1 26
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