Esercizio 8: Siano dati l equazione della parabola e i due punti e.
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- Elena Zani
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1 Esercizio 8: Siano dati l equazione della parabola e i due punti e. tracciare dal punto A le tangenti r ed s alla parabola ottenendo i punti di contatto P e Q; tracciare dal punto B le tangenti t ed u alla parabola ottenendo i punti di contatto R ed S; trovare le coordinate del punto di intersezione tra la retta che passa per P e Q e la retta che passa per R ed S; trovare l equazione della retta per i due punti A e B. Svolgimento: Tangenti alla parabola nel punto : Scrivo l equazione di un generico fascio proprio di rette: Individuo il fascio proprio di centro A: Per individuare le rette del fascio che hanno punti in comune con la parabola imposto il sistema: Per trovare le rette tangenti devo determinare m in modo che il discriminante di questa equazione sia nullo: la condizione di tangenza, infatti, impone che ciascuna retta incontri la parabola in due punti coincidenti. Calcolo i valori di m: Ho trovato due valori di m quindi esistono due rette passanti per il punto A e tangenti alla parabola data. Ora tra le infinite rette appartenenti al fascio proprio individuo quelle tangenti alla parabola. L equazione della retta r si ottiene sostituendo il valore: all equazione del fascio proprio di rette con centro il punto A. 1
2 L equazione della retta s si ottiene sostituendo il valore: rette con centro il punto A. all equazione del fascio proprio di Per trovare i punti di contatto si risolve il sistema costituito dall equazione della retta e da quella della parabola. Determino il punto P (intersezione della parabola con la retta r): Determino il punto Q (intersezione della parabola con la retta s): Tangenti alla parabola nel punto B : Scrivo l equazione di un generico fascio proprio di rette: Individuo il fascio proprio di centro A: Per individuare le rette del fascio che hanno punti in comune con la parabola imposto il sistema: Per trovare le rette tangenti devo determinare m in modo che il discriminante di questa equazione sia nullo: la condizione di tangenza, infatti, impone che ciascuna retta incontri la parabola in due punti coincidenti. 2
3 Calcolo i valori di m: Ho trovato due valori di m quindi esistono due rette passanti per il punto B e tangenti alla parabola data. Ora tra le infinite rette appartenenti al fascio proprio individuo quelle tangenti alla parabola. L equazione della retta t si ottiene sostituendo il valore: all equazione del fascio proprio di rette con centro il punto B. L equazione della retta u si ottiene sostituendo il valore: di rette con centro il punto B. all equazione del fascio proprio Per trovare i punti di contatto si risolve il sistema costituito dall equazione della retta e da quella della parabola. Determino il punto R (intersezione della parabola con la retta t): Determino il punto S (intersezione della parabola con la retta u): Equazione della retta passante per i punti : 3
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) Risolvi le seguenti equazioni e scrivi le soluzioni reali in ordine crescente, indicando se sono multiple e quante sono le eventuali soluzioni non reali: ( ) ( ) questa equazione equivale a ( ) ( ) quindi
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