Figura Segue allora dalla Proposizione 8.5 e dalla Definizione 8.6 che i punti P 2 sono tutti e soli i punti dello spazio tali che

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Figura Segue allora dalla Proposizione 8.5 e dalla Definizione 8.6 che i punti P 2 sono tutti e soli i punti dello spazio tali che"

Transcript

1 Lezione. Equazioni cartesiane di piani Sia S 3 un piano. Nella lezione precedente abbiamo visto che può essere individuato da un suo punto qualsiasi A edaduedirezioniadessoparallele;è però anche possibile individuare lo stesso piano da un suo punto A edaunaretta r per l origine ad esso perpendicolare. Supponiamo che la retta r sia a sua volta individuata da un suo vettore non nullo ~v ;allorasep èunqualsiasipuntodelpiano, sihap A? ~v eviceversa,comesipuòvederequisottonellafigura.. r z A P v α O P-A y x Figura. Segue allora dalla Proposizione.5 e dalla Definizione.6 che i punti P 2 sono tutti e soli i punti dello spazio tali che h~v, P Ai =...) Fissiamo adesso un sistema di riferimento ortogonale O~ı~ ~ k in S 3 : otteniamo coordinate A = x A,y A,z A ) e ~v = a~ı + b~ + c ~ k. Se indichiamo con x, y, z) le coordinate del punto generico P 2 S 3,alloravaleche P A =x x A )~ı +y y A )~ +z z A ) ~ k 95

2 96 el equazione..)diventa ax x A )+by y A )+cz z A )=. Sviluppando i prodotti e ponendo d = ax A +by A +cz A otteniamo un equazione della forma ax + by + cz = d...2) L equazione..2) viene chiamata equazione cartesiana del piano passante per il punto A =x A,y A,z A ) eperpendicolarealvettore~v = a~ı + b~ + c ~ k. Viceversa, supponiamo di avere fissato in S 3 un sistema di riferimento O~ı~ ~ k. Fissati numeri reali a, b, c, d, cona~ı + b~ + c ~ k 6= ~, siconsideriilluogo dei punti P dello spazio le cui coordinate x, y, z) soddisfano l equazione ax + by + cz = d. Sia t x A y A z A una soluzione di tale equazione e sia A = x A,y A,z A ) 2 S 3. Allora d = ax A + by A + cz A,sicchél equazionedicuisopradiviene ovvero, posto ~v = a~ı + b~ + c ~ k, ax x A )+by y A )+cz z A )=, h~v, P Ai =. Quindi èilpianopassantepera eperpendicolarea~v. Concludiamo che, fissato in S 3 un sistema di riferimento O~ı~ ~ k,ognipianopuò essere descritto mediante un equazione della forma..2) con a, b, c non simultaneamente nulli e, viceversa, ogni equazione della forma..2) con a, b, c non simultaneamente nulli rappresenta un piano. Esempio.. In S 3 sia fissato un sistema di riferimento O~ı~ ~ k. Siano poi dati A =, 2, 3) 2 S 3 e ~v =2~ı + ~ 3 ~ k 2 V 3 O). L equazionecartesianadelpiano di S 3 perpendicolare al vettore ~v èdatada2x ) + y 2) 3z 3) =, cioè...3) Ci chiediamo se qualcuno fra i punti B =,, ) e C = 2, 2, ) di S 3 appartenga al piano. Per sincerarcene basta osservare che t non è soluzione dell equazione..3), quindi B 62, mentre t 2 2 lo è, quindi C 2. Concludiamo il paragrafo ricordando che è noto dalla geometria euclidea che èpossibiledescrivereunpiano dando tre punti non allineati A, B, C che gli appartengono, come nella Figura.2. Ci possiamo ricondurre al caso precedente osservando che i punti A, B, C, P sono complanari se e solo se tali sono i vettori P A, B A, C A. Nelparagrafo

3 .3 abbiamo visto che tre vettori sono complanari se e solo se il loro prodotto misto si annulla; la condizione di complanarità si traduce quindi nell equazione hp A, B A) C A)i =. Fissiamo ora un sistema di riferimento O~ı~ ~ k in S 3 nel quale i punti A, B, C abbiano coordinate A =x A,y A,z A ), B =x B,y B,z B ), C =x C,y C,z C ),quindi B A =x B x A )~ı +y B y A )~ +z B z A ) ~ k, C A =x C x A )~ı +y C y A )~ +z C z A ) ~ k. 97 B-A)xC-A) z A C α B O C-A y B-A x Figura.2 Un punto generico P di coordinate x, y, z) giace sul piano se e solo se x x A y y A z z A x B x A y B y A z B z A =...4) x C x A y C y A z C z A Esempio.2. In S 3 sia fissato un sistema di riferimento O~ı~ ~ k esiconsiderinoi punti A =,, ), B =,, ), C =,, ). AlloraB A = ~ + ~ k, C A = ~ı + ~ k: poiché B A e C A non sono proporzionali, i tre punti A, B, C non sono allineati. Per determinare il piano individuato da A, B, C si può applicare la formula..4). Poiché x y z = x + y + z, l equazione del piano è x + y + z =2.

4 9.2 Posizioni relative di piani ed equazioni cartesiane di rette Dato un piano rappresentato tramite un equazione della forma..2), è facile determinarne un punto basta scegliere una soluzione dell equazione) e un vettore ad esso perpendicolare basta considerare il vettore a~ı + b~ + c ~ k). Di conseguenza, se di piani ne abbiamo due, è facile stabilire essi sono paralleli o meno. Esempio.3. In S 3 sia fissato un sistema di riferimento O~ı~ ~ k esiconsiderinoil piano dell Esempio. e il piano di equazione x + y + z =. Ipiani e sono perpendicolari ai vettori ~v =2~ı + ~ 3 ~ k e ~w = ~ı + ~ + ~ k rispettivamente: poiché ~v 6k ~w segue che e non sono paralleli, in particolare si intersecano in una retta. Sia il piano d equazione 2x y +3z +=:unvettoreperpendicolarea è ~v = 2~ı ~ +3 ~ k,quindi e sono paralleli. Inoltre il sistema 2x y +3z += non può avere soluzione, quindi \ = ;: concludiamoche e sono paralleli e distinti. Infine sia il piano d equazione 2x y +3z 5=.Anche e sono paralleli, ma il sistema ha soluzione: concludiamo che =. 2x y +3z 5= L Esempio.3 mette in luce un legame fra le posizioni relative di due piani nello spazio e le soluzioni del sistema dato dalle loro equazioni cartesiane: vediamo tale legame in dettaglio. Proposizione.4 Posizioni relative di due piani). In S 3 sia fissato un sistema di riferimento O~ı~ ~ k esiconsiderinoipiani ed rispettivamente di equazioni Siano poi Allora: : ax + by + cz = d, : a x + b y + c z = d. A = a b c a b c, A B) = i) = se e solo se rka) ==rka B); a b c d a b c d. ii) ed sono paralleli e distinti se e solo se rka) =, rka B) =2; iii) ed si intersecano lungo una retta se e solo se rka) =2=rkA B).

5 99 Dimostrazione. Come già osservato i punti d intersezione corrispondono alle soluzioni del sistema ax + by + cz = d a x + b y + c z = d.2.), Ipiani ed sono paralleli e distinti se e solo se \ = ;, cioèseesoloseilsistema.2.) non ha soluzioni. Ciò può accadere se e solo se rka) =, rka B) =2. Ipiani ed sono coincidenti se e solo se il sistema.2.) è equivalente alla sola equazione ax + by + cz = d, ovveroseesoloserka) ==rka B). Infine i piani ed si intersecano lungo una retta se e solo se non sono paralleli coincidenti odistinti,ovveroseesoloserka) =2=rkA B). Analoghi risultati si possono dimostrare nel caso di tre o più piani. Quindi due piani non paralleli in S 3, ed,siintersecanolungounarettar, come nella Figura.3; viceversa, ogni retta r può essere descritta in questo modo come intersezione di una coppia qualsiasi di piani distinti che la contengono. z α' r w α O w' v=wxw' y x Figura.3 Se fissiamo un sistema di riferimento O~ı~ ~ k in S 3,ipiani ed possono essere descritti mediante due equazioni cartesiane, diciamo ax + by + cz = d, a x + b y + c z = d rispettivamente, soddisfacenti per la Proposizione.4 alla condizione rk a b c a b c =2.

6 Se ciò accade le equazioni ax + by + cz = d a x + b y + c z = d.2.2) vengono dette equazioni cartesiane della retta r intersezione dei due piani ed. Si noti che, poiché ~w = a~ı + b~ + c ~ k e ~w = a ~ı + b ~ + c ~ k sono rispettivamente perpendicolari a e,allora~v = ~w ~w èparalleloar = \ ;inaltreparole, per ottenere il vettore direzione di una retta intersezione di due piani è sufficiente prendere il prodotto vettoriale dei due vettori perpendicolari ai due piani. Esempio.5. Abbiamo visto nell Esempio.3 che il sistema x + y + z = definisce una retta r perché rk 2 3 =2. Verifichiamo se qualcuno fra i punti A =,, ), B =,, ), C =,, ), D = 2, 2, ) giace sulla retta r. Perfareciòbastasostituirelecoordinateditali punti nelle due equazioni del sistema: se entrambe le equazioni sono soddisfatte il punto appartiene alla retta, se almeno una delle due equazioni non è soddisfatta allora il punto non vi appartiene. Con questo in mente è facile verificare che A, B, C 62 r: inveced 2 r. Un vettore parallelo a r è ~v =2~ı + ~ 3 ~ k) ~ı + ~ + ~ k)=4~ı 5~ + ~ k. In particolare r èlarettaperd = 2, 2, ) parallela a ~v =4~ı 5~ + ~ k,quindiun sistema di equazioni parametriche per r è >< x = 2+4t y =2 5t t 2 R. z =+t, B Le equazioni cartesiane di una retta r non sono univocamente determinate: esse dipendono dalla scelta di una coppia di piani per r. Nel paragrafo 9. abbiamo mostrato che ogni retta può essere rappresentata mediante le sue equazioni parametriche, dunque viene spontaneo chiedersi quale sia, fissata una retta r S 3,illegamefraquestiduemetodidirappresentarlaecomesi possa passare dall uno all altro.

7 Supponiamo ad esempio che la retta r sia definita dalle equazioni parametriche >< x = x + lt y = y + mt t 2 R, z = z + nt, con l, m, n tutti non nulli. Esplicitando il parametro t troviamo t = x x l = y y m = z z n, da cui si ricavano tre equazioni lineari non contenenti il parametro t: mx x )=ly y ), nx x )=lz z ), ny y )=mz z ), che rappresentano tre piani che chiameremo, e rispettivamente. Tali piani, per come sono stati ottenuti, contengono la retta r. Sinoticheivettori ~u = m~ı l~, ~v = n~ı l~, ~w = n~ m ~ k sono rispettivamente perpendicolari a,,. Poiché tali vettori non sono proporzionali a coppie, ciascuna coppia di piani costituisce un insieme di equazioni cartesiane per la retta r. Per esercizio, verificare che tale metodo continua a valere anche se qualcuno fra l, m, n ènulloalmassimopossonoesserloduefradiessi). Esempio.6. Riprendiamo la retta r dell Esempio 9., le cui equazioni parametriche sono date da >< x =+2t y =2 t 2 R. z =3 3t, Procedendo come spiegato sopra si ha, formalmente, t = x 2 = y 2 = z 3 3 dove si è adottata la convenzione standard che se in una frazione il denominatore èzero,ancheilnumeratoreloè). Eliminando i denominatori si hanno le tre equazioni y 2=, 3x ) = 2z 3), y 2=, cioè y 2=, 3x +2z =3, y 2=. Quindi un sistema di equazioni cartesiane per r è y 2= 3x +2z =3.

8 2 Viceversa supponiamo di avere un sistema di equazioni cartesiane di una retta r della forma.2.2). Se risolviamo tale sistema, poiché a b rk c a b c =2, le sue soluzioni dipendono da un unico parametro t 2 R esonoquindidellaforma 9 < x + lt y + mta t 2 R : ;. z + nt Quindi il generico punto della retta r è x, y, z) =x + lt, y + mt, z + nt), cioè >< x = x + lt y = y + mt t 2 R, z = z + nt, sono equazioni parametriche per la retta r. Esempio.7. Riprendiamo ancora l Esempio.: sia r la retta avente equazioni cartesiane.2.3) x + y + z =, eanalizziamoilsistemalineareassociato.siha R 2!R 2 R! R!R +2R 2! 5 7 R 2! R 2! Quindi il sistema.2.3) è equivalente al sistema y +5z =7 x 4z = 6, le cui soluzioni sono < 4z 7 5zA : z z 2 R 9 = ;. Posto t = z otteniamo allora delle equazioni parametriche di r >< x =4t 6 y =7 5t t 2 R z = t,

9 Tali equazioni sono diverse da quelle che avevamo trovato nell Esempio.5, pur rappresentando la stessa retta. Per verificarlo si osservi che il seguente sistema ha 3 infinite soluzioni: >< 2+4t =4t 6 2 5t =7 5t +t = t. Può essere utile capire come variano le equazioni cartesiane di una retta quando cambiamo la coppia di piani che la rappresenta. Atalescopoconsideriamounarettar le cui equazioni cartesiane sono della forma.2.2). Sia poi il piano di equazione cartesiana a x + b y + c z = d. Affinché r occorre e basta che ogni punto di r appartenga ad, ovverocheognisoluzione del sistema.2.2) sia anche soluzione dell equazione a x + b y + c z = d.questa condizione equivale a chiedere che il sistema.2.2) sia equivalente a >< ax + by + cz = d a x + b y + c z = d.2.4) a x + b y + c z = d. Si può dimostrare facilmente, facendo operazioni elementari sulle matrici del sistema.2.2) e sul sistema.2.4), che tale condizione è soddisfatta se e solo se l equazione di èdellaforma per qualche coppia fascio di piani). ax + by + cz d)+µa x + b y + c z d )=.2.5), µ 2 R. Questo risultato viene spesso chiamato metodo del Esempio.. Si consideri la retta r dell Esempio.5; essendo parallela al vettore ~v =4~ı 5~ + ~ k,essaèancheparallelaallarettas di equazioni parametriche >< x =4t y = 5t t 2 R. z = t, Inoltre il punto,, ) 62 r, quindir 6= s; pertantor ed s sono contenute in un unico piano di cui vogliamo determinare un equazione cartesiana. Osserviamo che tale piano deve contenere r: il metodo del fascio ci permette allora di dedurre che l equazione di deve essere della forma dell equazione.2.5), cioè 2x + y 3z +5)+µx + y + z ) =..2.6) Dobbiamo determinare, µ 2 R in maniera tale che il piano avente equazione.2.6 contenga la retta s: atalescopo,essendor k s, èsufficientescegliere, µ 2 R in modo tale che il piano avente equazione.2.6 contenga almeno un punto di s \ r, per esempio,, ). Concludiamo che 5 = µ ovvero le equazioni cercate sono 7x +6y +2z) =. Si noti che tutte queste equazioni sono proporzionali, quindi definiscono lo stesso piano; dunque possiamo fissare, peresempio =.

10 4 Osservazione.9 Equazioni cartesiane di rette nel piano). Come già notato nell Osservazione 9.7, una retta r S 2 nel piano può essere vista come una retta in S 3 che giace sul piano di equazione z =,cioèunarettaaventeequazionicartesiane x + y + z = z =, che possono chiaramente essere riassunte in un unica equazione della forma ax + by = c..2.7) Alternativamente, ricordiamo che nella lezione precedente abbiamo osservato che una retta è completamente individuata dalla sua direzione ~v 6= ~ edaunsuopunto qualsiasi R 2 r. Sia ora fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale O~ı~ in S 2 nel quale R =x,y ) e ~v = l~ı + m~. Se indichiamo con x, y) le coordinate del punto generico P del piano, allora P R =x x,y y ) edallacondizionedi parallelismo della Proposizione 7.4 segue che un punto P 2 S 2 giace sulla retta r se e solo se x x y y rk 6, l m quindi se e solo se x x y y det = mx x l m ) ly y )=..2.) Sviluppando l equazione.2.) e ponendo a = m, b = l, c = mx ly,otteniamo un equazione della forma ax + by = c,.2.7) esattamente come sopra. L equazione.2.7) viene chiamata equazione cartesiana della retta r passante per il punto R =x,y ) eparallelaalvettore~v = l~ı + m~. Un discorso analogo vale per l equazione della retta passante per i due punti A = x A,y A ) e B = x B,y B ). In questo caso un vettore parallelo alla retta è B A =x B x A )~ı +y B y A )~,quindipossiamolaformula.2.)conr = A, l = x B x A e m = y B y A,ottenendolabennotaformula y B y A )x x A ) x B x A )y y A )=,.2.9) che talvolta troviamo scritta x x A = y y A. x B x A y B y A Osserviamo che, fissato in S 2 un sistema di riferimento O~ı~,nonsoloogniretta può essere descritta mediante un equazione della forma.2.7) con a, b non simultaneamente nulli ma, viceversa, è anche possibile dimostrare e la dimostrazione è lasciata al lettore) che ogni equazione della forma.2.7) con a, b non simultaneamente nulli rappresenta una retta.

11 5 Esempio.. In S 2 sia fissato un sistema di riferimento O~ı~ esiconsiderila retta r passante per i punti A =, 3) e B =, ). Per trovare l equazione cartesiana di r applichiamo la formula.2.9) ottenendo 2x + y =. Si noti che la direzione della retta r è data semplicemente dalla differenza A B = 2, 4): quindir è la stessa retta che abbiamo già studiato nell Esempio 9.! Un altro modo di trovare l equazione cartesiana di r poteva allora essere di partire da quella parametrica x = +2t t 2 R, y = +4t, esplicitando il parametro t in funzione di x e y equindiimponendoche: t = x +)= y +), 2 4 da cui ricaviamo proprio 2x + y =. Osservazione.. Spesso alle scuole superiori si impara che l equazione di una retta nel piano ha la forma y = mx + q..2.) Viene naturale chiedersi se tale equazione corrisponda o meno alla nostra equazione ax + by = c, eincasopositivoqualisianoivantaggidiusarel unarispettoall altra. Supponiamo che b 6= :allorapossiamodividereentrambiimembridi.2.7)per b, ottenendo a b x + y = c b, che, ponendo m = a/b e q = c/b, èesattamentedellaforma.2.). Quindi le due equazioni coincidono se b 6=,ovveroselarettanonèdellaformax = k, una retta parallela all asse delle ordinate. È chiaro quindi che conviene usare la formula.2.7), che ci permette di descrivere tutte le rette del piano, senza nessuna esclusione. In S 2 sia fissato un sistema di riferimento O~ı~ esupponiamodiavereduerette r : ax + by = c ed r : a x + b y = c. Viene naturale domandarci se si intersecano omeno,osesonoparallele. Rispondereaquestadomandaequivalearisolvereil sistema lineare ax + by = c a x + b y = c. Applicando il Teorema di Rouché Capelli Proposizione 5.2) possiamo dimostrare il seguente risultato. Proposizione.2 Posizioni relative di due rette nel piano). In S 2 sia fissato un sistema di riferimento O~ı~ esiconsiderinoleretter ed r rispettivamente di equazioni r : ax + by = c, r : a x + b y = c.

12 6 Siano poi Allora: a b A = a b, A B) = i) r = r se e solo se rka) ==rka B); a b c a b c. ii) r ed r sono parallele e distinte se e solo se rka) =, rka B) =2; iii) r ed r si intersecano in un punto se e solo se rka) =2=rkA B). Esempio.3. In S 2 sia fissato un sistema di riferimento O~ı~ esiconsiderila retta s di equazione x 2y =3.Perstudiarelaposizionedisrispetto alla retta r dell Esempio., di equazione 2x + y =, applichiamo la Proposizione.2. Si ha che 2 = 3 6=, 2 quindi il suo rango è 2: concludiamo che le rette sono incidenti. Invece le rette r ed u :4x 2y =5sono parallele e distinte: infatti si ha che 2 2 rk 6= 2= Posizioni relative di rette e piani Vogliamo ora studiare come distinguere le posizioni relative che possono assumere un piano eunarettar nello spazio S 3. Ricordiamo che un piano eunarettar in S 3 possono essere incidenti in un unico punto, r può essere contenuta in, oppure r può non avere punti in comune con : in questi due ultimi casi si dice che r e sono paralleli). Lo studio della posizione relativa di un piano di cui è nota l equazione cartesiana ediunarettadicuiènotounsistemadiequazioniparametricheèimmediato,come si può vedere dall esempio seguente. Esempio.4. In S 3 sia fissato un sistema di riferimento O~ı~ ~ k esiconsideri ancora una volta il piano dell Esempio., di equazione ; un vettore perpendicolare ad è ~v =2~ı + ~ 3 ~ k.sianor, r, r le rette di equazioni parametriche >< x = t >< x = t >< x = +t r : y = t r : y = t +2 r : y = t 3 z = t, z =+t, z = t,

13 al variare di t 2 R, rispettivamente. 7 Iniziamo a determinare l intersezione \ r. Osserviamo che se P 2 r le sue coordinate sono della forma t,t, t) per un qualche t 2 R: affinché P 2 allora t t t t deve essere soluzione dell equazione di, cioèsideveavere 2t ) + t 3 t) = 5, da cui si deduce 6t =, ovvero t =, che corrisponde al punto di coordinate,, ). Si noti che verificare che e r non sono paralleli senza determinarne il punto di intersezione è immediato: un vettore parallelo a r è ~v = ~ı + ~ ~ k ed è facile convincersi che k r se e solo se ~v? ~v :poichéh~v, ~v i =6segue che ~v 6? ~v,dunque 6k r. Passiamo a determinare \ r. Procediamo come sopra sostituendo le equazioni parametriche di r nell equazione di : siottiene 2t +t +2) 3 + t) = 5, da cui si deduce = 5, chenonhasoluzioni,perciò \ r = ;. Concludiamo esaminando l intersezione \r. Procedendo come sopra si ottiene 2 +t)+t 3) 3t = 5, da cui si deduce =.Ognit 2 R èsoluzioneditaleequazione,quindiognipunto di r èin, perciòlarettar giace sul piano, r. Nei secondi due casi risulta che il piano e la retta sono paralleli, cosa che si poteva dedurre direttamente. Infatti un vettore parallelo ad r e r è ~v = ~ı +~ + ~ k. Poiché h~v, ~v i =segue che ~v? ~v,dunque kr,r. Anche lo studio della posizione relativa di una retta di cui sono note le equazioni cartesiane e di una retta di cui è noto un sistema di equazioni parametriche è immediato, ed è illustrato nell esempio seguente. Ricordiamo che avevamo analizzato ivaricasidirettecoincidenti,incidenti,paralleledistinte,sghembe,nellalezione precedente. Esempio.5. In S 3 sia fissato un sistema di riferimento O~ı~ ~ k esiconsiderila retta r dell Esempio.3 di equazioni cartesiane x + y + z =. Sia poi s la retta di equazioni parametriche >< x = t y = 3+t z = t, t 2 R.

14 Le rette r ed s sono parallele ai vettori ~v =4~ı 5~ + ~ k e ~w = ~ı + ~ + ~ k rispettivamente, quindi r 6k s. Ci domandiamo se siano incidenti: a tale scopo si può procedere come nell Esempio.4, sostituendo le equazioni di s dentro le equazioni dei due piani che definiscono r. Siottieneintalmodoilsistema 2t ) + 3+t) 3t = 5 t ) + 3+t)+t = che è equivalente a = 3t =5. L unica soluzione di tale sistema è t =5/3; ilpuntocorrispondentesullarettas è 2/3, 4/3, 5/3) che, per costruzione, appartiene anche a r. Per concludere il paragrafo e la lezione), affrontiamo il caso delle posizioni reciproche di una retta e un piano e di due rette di cui siano note le equazioni cartesiane. Il seguente risultato è un applicazione immediata del Teorema di Rouché Capelli Proposizione 5.2). Proposizione.6 Posizioni relative di un piano e una retta). In S 3 sia fissato un sistema di riferimento O~ı~ ~ k esiconsiderinolarettar eilpiano di equazioni cartesiane ax + by + cz = d r : : a x + b y + c z = d. a x + b y + c z = d, Siano poi Allora: a b c a b c d A a b c A, A B) a b c d A. a b c a b c d i) r se e solo se rka) =2=rkA B); ii) r \ = ; se e solo se rka) =2, rka B) =3; iii) r ed si intersecano in un punto se e solo se rka) =3=rkA B). Esempio.7. In S 3 sia fissato un sistema di riferimento O~ı~ ~ k esiconsiderinola retta r eilpiano rispettivamente di equazioni cartesiane r : : 3z 2x y +=. x + y + z =, Facendo operazioni elementari sulla matrice completa A B) del sistema >< 3z 2x y += x + y + z =,

15 da cui deduciamo che r \ = ;. 5 A R 2 $R 2 R R 3 $R A, Più interessante è il caso di due rette descritte tramite le loro equazioni cartesiane. Proposizione. Posizioni relative di due rette nello spazio). In S 3 sia fissato un sistema di riferimento O~ı~ ~ k esiconsiderinoleretter e r di equazioni cartesiane r : ax + by + cz = d a x + b y + c z = d, r : a x + b y + c z = d a x + b y + c z = d. Siano poi a b c a b c d A = B a b c a b c A, A B) = B a b c d a b c d A. a b c a b c d Allora: i) r = r se e solo se rka) =2=rkA B); ii) r e r sono parallele e distinte se e solo se rka) =2, rka B) =3; iii) r ed r si intersecano in un punto se e solo se rka) =3=rkA B); iv) r ed r sono sghembe se e solo se rka) =3, rka B) =4. Dimostrazione. Si considerino le due rette r O e ro rispettivamente di equazioni ax + by + cz = r O : a x + b y + c r a x + b y + c z = O : z =, a x + b y + c z =. Tali rette passano per l origine O. Inoltre r O èparallelaalvettorea~ı + b~ + c ~ k) a ~ı + b ~ + c ~ k), dunque r k r O :similmenter k r O. Poiché A 2 R 4,3 segue che 2 6 rka) 6 3. Chiaramente la condizione r k r equivale a r O = r O. Ciò equivale a dire che ogni piano contenente r O contiene anche r O. Tenendo conto di come si possono scrivere le equazioni dei piani contenenti una retta data cioè del metodo del fascio), tale condizione equivale a rka) =2.Diconseguenzadeduciamoanchecher 6k r se e solo se rka) =3. Tenendo conto che rka B) 6 rka) + perché aggiungiamo una sola colonna), segue la classificazione data nell enunciato. Esempio.9. In S 3 sia fissato un sistema di riferimento O~ı~ ~ k esiconsiderinole rette r e r rispettivamente di equazioni cartesiane r : r 3x y +3z =2 : x + y + z =, x y + z =.

16 Facendo operazioni elementari sulla matrice completa A B) = B A del sistema >< x + y + z = otteniamo A B) R 2!R 2 R R 3!R 3 +R R 4!R 4 +R! R 4!R 4 +R 2 /2! x y +3z =2 x y + z =, /2 5 6 C 3A C 3A R 4!R 4 +R 3 /2! C 3 A, 5/2 da cui deduciamo che r e r sono sghembe.

LEZIONE 9. Figura 9.1.1

LEZIONE 9. Figura 9.1.1 LEZIONE 9 9.1. Equazioni cartesiane di piani. Abbiamo visto come rappresentare parametricamente un piano. Un altro interessante metodo di rappresentazione di un piano nello spazio è tramite la sua equazione

Dettagli

LEZIONE 8. Figura 8.1.1

LEZIONE 8. Figura 8.1.1 LEZIONE 8 8.1. Equazioni parametriche di rette. In questo paragrafo iniziamo ad applicare quanto spiegato sui vettori geometrici per dare una descrizione delle rette nel piano e nello spazio. Sia r S 3

Dettagli

LEZIONE 9. k, tenendo conto delle formule che permettono di calcolare il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale, otteniamo

LEZIONE 9. k, tenendo conto delle formule che permettono di calcolare il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale, otteniamo LEZIONE 9 9.1. Prodotto misto. Siano dati i tre vettori geometrici u, v, w V 3 (O) definiamo prodotto misto di u, v e w il numero u, v w. Fissiamo un sistema di riferimento O ı j k in S 3. Se u = u x ı

Dettagli

Lezione Equazioni parametriche di rette

Lezione Equazioni parametriche di rette Lezione 9 9.1 Equazioni parametriche di rette In questa lezione daremo una descrizione parametrica di oggetti geometrici quali rette (nel piano e nello spazio) e piani nello spazio. Nella prossima lezione

Dettagli

LEZIONE 7. Figura 7.1

LEZIONE 7. Figura 7.1 LEZIONE 7 L obiettivo di questa e della prossima lezione è quello di spiegare quali siano i metodi per descrivere algebricamente oggetti geometrici ben noti quali rette e piani. Tali oggetti vengono detti

Dettagli

La retta nel piano. Supponiamo che la retta r sia assegnata attraverso un suo punto P 0 (x 0, y 0 ) e un vettore v (l, m) che ne indichi la direzione.

La retta nel piano. Supponiamo che la retta r sia assegnata attraverso un suo punto P 0 (x 0, y 0 ) e un vettore v (l, m) che ne indichi la direzione. La retta nel piano Equazioni vettoriale e parametriche di una retta Supponiamo che la retta r sia assegnata attraverso un suo punto P 0 (x 0, y 0 ) e un vettore v (l, m) che ne indichi la direzione. Condizione

Dettagli

P z. OP x, OP y, OP z sono le proiezioni ortogonali di v sugli assi x, y, z, per cui: OP x = ( v i) i. k j. P x. OP z = ( v k) k

P z. OP x, OP y, OP z sono le proiezioni ortogonali di v sugli assi x, y, z, per cui: OP x = ( v i) i. k j. P x. OP z = ( v k) k Richiami di calcolo vettoriale Consideriamo il vettore libero v = OP. Siano P x, P y, P z le proiezioni ortogonali di P sui tre assi cartesiani. v è la diagonale del parallelepipedo costruito su OP x,

Dettagli

RETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato;

RETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato; RETTE E PIANI Esercizi Esercizio 1. Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale Oxyz si considerino la retta r h ed il piano α rispettivamente di equazioni x = 1 + t r h : y = 1 t α : x + y + z

Dettagli

Coordinate cartesiane e coordinate omogenee

Coordinate cartesiane e coordinate omogenee Coordinate cartesiane e coordinate omogenee Fissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, u. Ad ogni punto P del piano possiamo associare le coordinate cartesiane (x, y),

Dettagli

Geometria analitica: rette e piani

Geometria analitica: rette e piani Geometria analitica: rette e piani Equazioni del piano Intersezioni di piani. Rette nello spazio Fasci di piani e rette Intersezioni fra piani e rette Piani e rette ortogonali Piani di forma parametrica

Dettagli

1 Rette nel piano ordinario. Rette e piani nello spazio ordinario

1 Rette nel piano ordinario. Rette e piani nello spazio ordinario 1 Rette nel piano ordinario. Rette e piani nello spazio ordinario 1.1 Vettori applicati Nel seguito denotiamo con P l insieme dei punti del piano ordinario, e con S l insieme dei punti dello spazio ordinario.

Dettagli

Algebra Lineare. a.a Gruppo A-H. Prof. P. Piazza Soluzioni compito pomeridiano del 20/12/2004

Algebra Lineare. a.a Gruppo A-H. Prof. P. Piazza Soluzioni compito pomeridiano del 20/12/2004 Algebra Lineare. a.a. 2004-05. Gruppo A-H. Prof. P. Piazza Soluzioni compito pomeridiano del 20/12/2004 Esercizio 1. Consideriamo una retta r dello spazio affine. Diremo che le equazioni cartesiane di

Dettagli

Rette e piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

Rette e piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 ette e piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it ette e piani nello spazio. 9 Gennaio

Dettagli

Rette e piani in R 3

Rette e piani in R 3 Rette e piani in R 3 In questa dispensa vogliamo introdurre in modo elementare rette e piani nello spazio R 3 (si faccia riferimento anche al testo Algebra Lineare di S. Lang). 1 Rette in R 3 Vogliamo

Dettagli

Parte 10. Geometria dello spazio I

Parte 10. Geometria dello spazio I Parte 10. Geometria dello spazio I A. Savo Appunti del Corso di Geometria 2013-14 Indice delle sezioni 1 Lo spazio vettoriale V 3 O, 1 2 Dipendenza e indipendenza lineare in V 3 O, 2 3 Sistema di riferimento

Dettagli

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x = 0.

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x = 0. . Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione

Dettagli

Geometria analitica: rette e piani

Geometria analitica: rette e piani Geometria analitica: rette e piani parametriche Allineamento nel piano nello spazio Angoli tra rette e distanza 2 2006 Politecnico di Torino 1 Esempio 2 Sia A = (1, 2). Per l interpretazione geometrica

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche

Dettagli

Lezione Sfere nello spazio

Lezione Sfere nello spazio Lezione 12 12.1 Sfere nello spazio In questa lezione studieremo alcuni dei più semplici oggetti geometrici non lineari : circonferenze e sfere nello spazio S 3. Analizzeremo poi in dettaglio il caso delle

Dettagli

RETTE E PIANI NELLO SPAZIO

RETTE E PIANI NELLO SPAZIO VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 RETTE E PIANI NELLO SPAZIO Rette e piani in forma cartesiana e parametrica. Parallelismo e perpendicolarità, posizioni reciproche tra rette e piani, distanze. Esercizio

Dettagli

Geometria BAER Canale I Esercizi 11

Geometria BAER Canale I Esercizi 11 Geometria BAER Canale I Esercizi 11 Esercizio 1. Data la retta x = t r : y = t z = 1 si trovi il punto A di r tale che l angolo di r con il vettore AO sia π/2, e il punto B di r tale che l angolo di r

Dettagli

x + b! y + c! Osservazione: poiché ci sono infiniti piani ai quali appartiene una retta r, le equazioni non sono univocamente determinate.

x + b! y + c! Osservazione: poiché ci sono infiniti piani ai quali appartiene una retta r, le equazioni non sono univocamente determinate. 4 La retta in R 3 4 Le equazioni cartesiane di una retta Dati due piani Γ :ax +by +cz +d = 0 e Γ!: a! x + b! y + c! z + d! = 0 non paralleli tra loro, il luogo geometrico dei punti di intersezione tra

Dettagli

VETTORIALE E PRODOTTO MISTO. PIANI E RETTE DI

VETTORIALE E PRODOTTO MISTO. PIANI E RETTE DI Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) PRODOTTO VETTORIALE E PRODOTTO MISTO. PIANI E RETTE DI R 3. FASCI E STELLE. FORMULE

Dettagli

Mauro Saita Gennaio Equazioni cartesiane di rette e equazioni parametriche di piani Esempi...

Mauro Saita   Gennaio Equazioni cartesiane di rette e equazioni parametriche di piani Esempi... ette e piani in ette e piani in. Esercizi e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Gennaio 2016. Indice 1 Equazioni parametriche della retta 2 1.1 Esempi........................................ 2 2 Equazione cartesiana

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 9: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 9: soluzioni Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 9: soluzioni Esercizio 1. Nello spazio sono dati i punti A = (1, 2, 3), B = (2, 4, 5), C = (1, 1, 4). a) Scrivere equazioni parametriche della retta r 1 passante

Dettagli

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0. . Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione

Dettagli

1 Rette e piani in R 3

1 Rette e piani in R 3 POLITECNICO DI MILANO. FACOLTÀ DI INGEGNERIA INDUSTRIALE. Analisi e Geometria 1. Sez. D - G. Docenti: Federico G. Lastaria, Mauro Saita, Nadir Zanchetta,. 1 1 Rette e piani in R 3 Una retta parametrizzata

Dettagli

Esercizi geometria analitica nello spazio. Corso di Laurea in Informatica. Docente: Andrea Loi. Correzione

Esercizi geometria analitica nello spazio. Corso di Laurea in Informatica. Docente: Andrea Loi. Correzione Esercizi geometria analitica nello spazio Corso di Laurea in Informatica Docente: Andrea Loi Correzione 1. Denotiamo con P 1, P 13, P 3, P 1, P, P 3, P i simmetrici di un punto P rispetto ai piani coordinati

Dettagli

Condizione di allineamento di tre punti

Condizione di allineamento di tre punti LA RETTA L equazione lineare in x e y L equazione: 0 con,,, e non contemporaneamente nulli, si dice equazione lineare nelle due variabili e. Ogni coppia ; tale che: 0 si dice soluzione dell equazione.

Dettagli

Corso di Geometria, a.a Ing. Informatica e Automatica Esercizi VI: soluzioni

Corso di Geometria, a.a Ing. Informatica e Automatica Esercizi VI: soluzioni Corso di Geometria, a.a. 2009-2010 Ing. Informatica e Automatica Esercizi VI: soluzioni 5 novembre 2009 1 Geometria del piano e prodotto scalare Richiami. Il prodotto scalare di due vettori del piano v,

Dettagli

1 Esercizi Scrivere le equazioni ridotte rispetto a z della retta. x + 4y z + 1 = 0 r : x + 3y + 2z 3 = 0. x + 4y = z 1 x + 3y = 2z + 3

1 Esercizi Scrivere le equazioni ridotte rispetto a z della retta. x + 4y z + 1 = 0 r : x + 3y + 2z 3 = 0. x + 4y = z 1 x + 3y = 2z + 3 Esercizi 8. Scrivere le equazioni ridotte rispetto a z della retta x + 4y z + = 0 x + 3y + z 3 = 0 Soluzione. Risolviamo rispetto a z: x + 4y = z x + 3y = z + 3 x + 4y = z y = 3z 4 da cui x = z + 5 y =

Dettagli

Prodotto scalare e ortogonalità

Prodotto scalare e ortogonalità Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA DELLE TELECOMUNICAZIONI

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA DELLE TELECOMUNICAZIONI CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA DELLE TELECOMUNICAZIONI FOGLIO DI ESERCIZI # 4 GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 009/0 Esercizio 4. (Esercizio 7.3). Calcolare l inversa delle matrici (invertibili) [ ] 3 A = B

Dettagli

Algebra Lineare e Geometria, a.a. 2012/2013

Algebra Lineare e Geometria, a.a. 2012/2013 Diario delle esercitazioni e lezioni per il corso di Algebra Lineare e Geometria, a.a. 2012/2013 (solo la parte per Fisici e Matematici, non ci sono le lezioni del Modulo B) Lidia Stoppino Lezione 1 9

Dettagli

= (cioè le due terne di numeri direttori ( devono essere ) proporzionali). Tale uguaglianza non è verificata, poiché risulta ρ

= (cioè le due terne di numeri direttori ( devono essere ) proporzionali). Tale uguaglianza non è verificata, poiché risulta ρ Alcuni esercizi sullo spazio euclideo R Nel seguito R indicherà lo spazio euclideo tridimensionale standard, dotato del riferimento cartesiano naturale (pag 56-57 del libro Nota: gli esercizi proposti

Dettagli

Geometria BAER Canale A-K Esercizi 9

Geometria BAER Canale A-K Esercizi 9 Geometria BAER 2016-2017 Canale A-K Esercizi 9 Esercizio 1. Si considerino i punti del piano A (1, 1), B (4, 1), C ( 1/2, 2) (a) Si determini se i punti A, B, C sono allineati e, in caso affermativo, si

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA FOGLIO DI ESERCIZI 1 GEOMETRIA 2009/10 Esercizio 1.1 (2.2). Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta dello spazio (a) Passante per i

Dettagli

Geometria BAER Canale I Esercizi 9

Geometria BAER Canale I Esercizi 9 Geometria BAER Canale I Esercizi 9 Esercizio 1. Si trovi la matrice del prodotto standard di R 3 rispetto alle basi B = (2, 0, 1) t, (1, 0, 2) t, (1, 1, 1) t } e D = (2, 2, 1) t, ( 1, 2, 2) t, (2, 1, 2)

Dettagli

Soluzioni. Foglio 1. Rette e piani. n x + c = 0. (1)

Soluzioni. Foglio 1. Rette e piani. n x + c = 0. (1) Soluzioni Foglio 1. Rette e piani. Esercizio 1. Se n è la normale al piano, sia c = n x 0. Dimostriamo prima che se x π, allora x soddisfa Si ha Sostituendo dentro (1) si ottiene n x + c = 0. (1) x = x

Dettagli

Circonferenze del piano

Circonferenze del piano Circonferenze del piano 1 novembre 1 Circonferenze del piano 1.1 Definizione Una circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso, detto centro. La distanza di un qualunque punto della

Dettagli

Geometria BAER Canale A-K Esercizi 10

Geometria BAER Canale A-K Esercizi 10 Geometria BAER 2016-2017 Canale A-K Esercizi Esercizio 1. Data la retta r : y = t z = 1 si trovi il punto A di r tale che l angolo di r con il vettore AO sia π/2, e il punto B di r tale che l angolo di

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI SU: GEOMETRIA TRIDIMENSIONALE. 2. Fissato un sistema di riferimento cartesiano dello spazio euclideo O, i, j, k,

ESERCIZI SVOLTI SU: GEOMETRIA TRIDIMENSIONALE. 2. Fissato un sistema di riferimento cartesiano dello spazio euclideo O, i, j, k, ESERCIZI SVOLTI SU: GEOMETRIA TRIDIMENSIONALE 1. Fissato un sistema di riferimento cartesiano dello spazio euclideo O, i, j, k, determinare un equazione omogenea del piano parallelo al vettore v = i+j,

Dettagli

Esercizi Riepilogativi Svolti Esercizio 1: Si consideri R 3 come spazio cartesiano, con riferimento cartesiano standard (O; x

Esercizi Riepilogativi Svolti Esercizio 1: Si consideri R 3 come spazio cartesiano, con riferimento cartesiano standard (O; x Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) - a.a. 00/0 I Semestre Docente: Prof. F. Flamini Esercizi Riepilogativi Svolti

Dettagli

25.1 Quadriche e loro riduzione a forma canonica

25.1 Quadriche e loro riduzione a forma canonica Lezione 25 25.1 Quadriche e loro riduzione a forma canonica Fissiamo nello spazio un sistema di riferimento Oxyz e consideriamo un polinomio q(x, y, z) di grado 2 nelle tre variabili x, y, z amenodicostantimoltiplicativenon

Dettagli

1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee

1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee 1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee Vogliamo dare una idea, senza molte pretese, dei concetti che stanno alla base di alcuni calcoli svolti nella classificazione delle coniche. Supponiamo di

Dettagli

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Contenuti Nel Piano

Dettagli

Capitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio

Capitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio Capitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio Marco Robutti Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia Anno accademico 2017-2018 Tutorato di geometria e algebra lineare Definizione (Vettore

Dettagli

Testi di esercizi di preparazione alla I prova in itinere Gli esercizi in elenco sono in gran parte tratti da vecchie prove d esame

Testi di esercizi di preparazione alla I prova in itinere Gli esercizi in elenco sono in gran parte tratti da vecchie prove d esame Testi di esercii di preparaione alla I prova in itinere Gli esercii in elenco sono in gran parte tratti da veccie prove d esame Eserciio Al variare di k discutere e ove possibile risolvere il sistema lineare

Dettagli

Trapani. Dispensa di Geometria, x 1 x 2.x n. (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2.

Trapani. Dispensa di Geometria, x 1 x 2.x n. (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2. 2006 Trapani Dispensa di Geometria, 1 Distanze Siano P e Q punti di R n con P di coordinate allora la distanza tra P e Q e P Q = x 1 x 2 x n (x 1 y 1 ) 2 + (x n y n ) 2 e Q di coordinate Siano Σ 1 e Σ

Dettagli

LEZIONE 10. S(C,ρ) Figura 10.1

LEZIONE 10. S(C,ρ) Figura 10.1 LEZIONE 10 10.1. Sfere nello spazio. In questa lezione studieremo alcuni oggetti geometrici non lineari, circonferenze e sfere nello spazio A 3. Poiché le proprietà delle circonferenze nel piano sono del

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO (3D Geometry)

GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO (3D Geometry) GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO (3D Geometry) SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO La geometria analitica dello spazio è molto simile alla geometria analitica del piano. Per questo motivo le formule sono

Dettagli

Piano passante per un punto e ortogonale a un vettore (1) Piano passante per un punto e ortogonale a un vettore (2)

Piano passante per un punto e ortogonale a un vettore (1) Piano passante per un punto e ortogonale a un vettore (2) Piano passante per un punto e ortogonale a un vettore (1) Equazione vettoriale del piano passante per un punto e ortogonale a un vettore Un punto X appartiene al piano P passante per il punto X 0 e ortogonale

Dettagli

GEOMETRIA svolgimento di uno scritto del 11 Gennaio 2012

GEOMETRIA svolgimento di uno scritto del 11 Gennaio 2012 GEOMETRIA svolgimento di uno scritto del Gennaio ) Trovare una base per lo spazio delle soluzioni del seguente sistema omogeneo: x + y 5z = 3x y + z = x y + 8z =. Il sistema può essere scritto in forma

Dettagli

1 Esercizi di ripasso 4

1 Esercizi di ripasso 4 Esercizi di ripasso 4. Determinare k in modo che il piano kx + 2y 6z + = 0 sia parallelo al piano x + y z + = 0. Soluzione. La condizione di parallelismo richiede che ( ) k 2 6 rg = Ne segue che k = e

Dettagli

Università Carlo Cattaneo Ingegneria gestionale Analisi matematica a.a. 2016/2017 RETTE E PIANI NELLO SPAZIO

Università Carlo Cattaneo Ingegneria gestionale Analisi matematica a.a. 2016/2017 RETTE E PIANI NELLO SPAZIO Università Carlo Cattaneo Ingegneria gestionale Analisi matematica a.a. 2016/2017 RETTE E PIANI NELLO SPAZIO ESERCIZI CON SOLUZIONE 1) Date le rette : 2 0 32 0 e : 2 5 0 5 2 1 0 a) verificare che sono

Dettagli

Capitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio

Capitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio Capitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio Marco Robutti Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia Tutorato di geometria e algebra lineare Anno accademico 2014-2015 Definizione (Vettore

Dettagli

Lezione 10 27/11/09. = 0 = x y + 2z = 0. Le componenti del vettore v devono essere quindi soluzione del sistema linere omogeneo. { x y +2z = 0 x z = 0

Lezione 10 27/11/09. = 0 = x y + 2z = 0. Le componenti del vettore v devono essere quindi soluzione del sistema linere omogeneo. { x y +2z = 0 x z = 0 Lezione 10 7/11/09 Esercizio 1 Nello spazio vettoriale euclideo V 3 sia W il sottospazio generato dai vettori v 1 = 1, 1, 1), v = 0,, 1) Determinare un vettore di W di modulo 3 ortogonale al vettore v

Dettagli

Geometria BAER Canale I Esercizi 10

Geometria BAER Canale I Esercizi 10 Geometria BAER Canale I Esercizi 10 Esercizio 1. Data la retta x = t r : y = t z = 1 si trovi il punto A di r tale che l angolo di r con il vettore AO sia π/2, e il punto B di r tale che l angolo di r

Dettagli

Metodo delle coordinate. Rette nel piano. Mauro Saita. Versione provvisoria. Novembre 2015.

Metodo delle coordinate. Rette nel piano. Mauro Saita. Versione provvisoria. Novembre 2015. . Rette nel piano. maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Novembre 2015. Indice 1 Cartesio (1596-1650). 2 2 Lo spazio vettoriale R 2 2 2.1 Prodotto scalare. Distanza.............................

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni Esercizio 1. a) Disegnare la retta r di equazione cartesiana x 2y 4 = 0. b) Determinare l equazione cartesiana della retta r 1 passante per P

Dettagli

Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone

Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone Fasci di rette Siano r e r' due rette distinte di equazioni r: ax + by + c r': a' x + b' y + c' Consideriamo la retta combinazione lineare delle due

Dettagli

Rette e piani: eq. parametriche di rette

Rette e piani: eq. parametriche di rette In A 3 (R) fissiamo un riferimento affine [O, B], con B = ( e 1, e 2, e 3 ). Assi coordinati: asse delle ascisse: [O, < e 1 >], asse delle ordinate: [O, < e 2 >], asse delle quote: [O, < e 3 >]. Piani

Dettagli

Per ciascuna quaterna di punti complanari, determinare un piano che li contiene.

Per ciascuna quaterna di punti complanari, determinare un piano che li contiene. Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria - A.A. 2016-2017 prof. Cigliola Foglio n.12 Geometria affine dello spazio Esercizio 1. Stabilire se i seguenti punti A, B,

Dettagli

Esercizi per Geometria II Geometria affine e euclidea

Esercizi per Geometria II Geometria affine e euclidea Esercizi per Geometria II Geometria affine e euclidea Filippo F. Favale 4 marzo 04 Esercizio Si dica, per ciascuno dei seguenti casi, se A ha la struttura di spazio affine o euclideo su V. A R 3 con coordinate

Dettagli

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA INGEGNERIA INDUSTRIALE 27 GENNAIO 2014

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA INGEGNERIA INDUSTRIALE 27 GENNAIO 2014 FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA INGEGNERIA INDUSTRIALE 27 GENNAIO 2014 DOCENTE: MATTEO LONGO Rispondere alle domande di Teoria in modo esauriente e completo. Svolgere il maggior numero di esercizi

Dettagli

Corso di Geometria, a.a Ing. Informatica e Automatica Esercizi VII: soluzioni

Corso di Geometria, a.a Ing. Informatica e Automatica Esercizi VII: soluzioni Corso di Geometria, a.a. 2009-2010 Ing. Informatica e Automatica Esercizi VII: soluzioni 12 novembre 2009 1 Geometria dello spazio Esercizio 1 Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2

Dettagli

Esercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani

Esercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani Esercizi svolti. Sistemi di riferimento e vettori. Dati i vettori v = i + j k, u =i + j + k determinare:. il vettore v + u ;. gli angoli formati da v e u;. i vettore paralleli alle bisettrici di tali angoli;

Dettagli

Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mag-10 61

Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mag-10 61 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mag-10 61 (15.9) Teorema. Consideriamo il piano affine. Se A A 2 (K) è un punto e r una retta che non passa per A, allora esiste unica la retta per A che non interseca

Dettagli

Capitolo 2. Cenni di geometria analitica nel piano

Capitolo 2. Cenni di geometria analitica nel piano Capitolo Cenni di geometria analitica nel piano 1 Il piano cartesiano Il piano cartesiano è una rappresentazione grafica del prodotto cartesiano R = R R La rappresentazione grafica è possibile se si crea

Dettagli

Esercitazione: 16 novembre 2009 SOLUZIONI

Esercitazione: 16 novembre 2009 SOLUZIONI Esercitazione: 16 novembre 009 SOLUZIONI Esercizio 1 Scrivere [ ] equazione vettoriale, parametrica [ ] e cartesiana della retta passante 1 per il punto P = e avente direzione d =. 1 x 1 Soluzione: Equazione

Dettagli

LEZIONE 5. AX = 0 m,1.

LEZIONE 5. AX = 0 m,1. LEZIONE 5 5 isoluzione di sistemi Supponiamo che AX = B sia un sistema di equazioni lineari Ad esso associamo la sua matrice completa (A B Per quanto visto nella precedente lezione, sappiamo di poter trasformare,

Dettagli

Esercizi di Algebra Lineare - Foglio 9

Esercizi di Algebra Lineare - Foglio 9 Esercizi di Algebra Lineare - Foglio 9 Soluzioni Esercizio 1. Nello spazio R 3, si considerino i quattro punti A (0, 1, 0), B (, 1, ), (3,, 0) e D (3,, ). (a) Determinare il baricentro del triangolo AB.

Dettagli

GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002. 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: x = z 2 y = z

GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002. 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: x = z 2 y = z GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: r : x = z y = 0 x = z 2, s : y = z. Dopo aver provato che r ed s sono

Dettagli

Geometria e Topologia I 22 Giugno 2005 (U1-10, 9:00 11:00) [PROVA PARZIALE]1/8

Geometria e Topologia I 22 Giugno 2005 (U1-10, 9:00 11:00) [PROVA PARZIALE]1/8 Geometria e Topologia I 22 Giugno 2005 (U-0, 9:00 :00) [PROVA PARZIALE]/8 Correzione 0 () In A 3 (R) siano dati i tre punti A =, B = 0, C =. 0 (a) A B e C sono allineati? Dipendenti? (b) Dimostrare che

Dettagli

Esercitazioni del Marzo di Geometria A

Esercitazioni del Marzo di Geometria A Esercitazioni del -5 Marzo di Geometria A Università degli Studi di Trento Corso di laurea in Matematica AA 07/08 Matteo Bonini matteobonini@unitnit Esercizio Si consideri la matrice 0 A 0 0 0 0 (i Scrivere

Dettagli

LEZIONE 3. a + b + 2c + e = 1 b + d + g = 0 3b + f + 3g = 2. a b c d e f g

LEZIONE 3. a + b + 2c + e = 1 b + d + g = 0 3b + f + 3g = 2. a b c d e f g LEZIONE 3 3.. Matrici fortemente ridotte per righe. Nella precedente lezione abbiamo introdotto la nozione di soluzione di un sistema di equazioni lineari. In questa lezione ci poniamo il problema di descrivere

Dettagli

LEZIONE 36. si dice regolare se è. per ogni (u 0, v 0 ) D. Una superficie S R 3 is dice regolare se esiste una sua parametrizzazione regolare.

LEZIONE 36. si dice regolare se è. per ogni (u 0, v 0 ) D. Una superficie S R 3 is dice regolare se esiste una sua parametrizzazione regolare. LEZIONE 36 36.1. La definizione di superficie. In questo paragrafo iniziamo a dare alcuni esempi di superfici ed a definire alcuni oggetti ad esse naturalmente associati. Come già fatto per le curve, considereremo

Dettagli

Facsimile di prova d esame Esempio di svolgimento

Facsimile di prova d esame Esempio di svolgimento Geometria analitica 18 marzo 009 Facsimile di prova d esame Esempio di svolgimento 1 Nello spazio, riferito a coordinate cartesiane ortogonali e monometriche x,y,z, è assegnata la retta r di equazioni

Dettagli

Appunti di geometria analitica dello spazio. di Fabio Maria Antoniali

Appunti di geometria analitica dello spazio. di Fabio Maria Antoniali Appunti di geometria analitica dello spazio di Fabio Maria Antoniali versione del 23 maggio 2017 1 Un po di teoria 1.1 Vettori e punti 1.1.1 Componenti cartesiane e vettoriali Fissato nello spazio un riferimento

Dettagli

La Retta Ogni funzione di primo grado rappresenta, graficamente, una retta. L equazione della retta può essere scritta in due modi

La Retta Ogni funzione di primo grado rappresenta, graficamente, una retta. L equazione della retta può essere scritta in due modi La Retta Ogni funzione di primo grado rappresenta, graficamente, una retta. L equazione della retta può essere scritta in due modi Forma implicita Forma esplicita a x b y c 0 y m x q a c y x b b Esempio

Dettagli

ESAME DI GEOMETRIA. 6 febbraio 2002 CORREZIONE QUIZ

ESAME DI GEOMETRIA. 6 febbraio 2002 CORREZIONE QUIZ ESAME DI GEOMETRIA 6 febbraio CORREZIONE QUIZ. La parte reale di ( + i) 9 è positiva. QUIZ Si può procedere in due modi. Un primo modo è osservare che ( + i) =i, dunque ( + i) 9 =(+i)(i) 4 = 4 ( + i) :

Dettagli

GE110 - Geometria 1. Prova in Itinere 2 27 Maggio 2010

GE110 - Geometria 1. Prova in Itinere 2 27 Maggio 2010 GE110 - Geometria 1 Prova in Itinere 2 27 Maggio 2010 COGNOME e NOME : Problema 1: Problema 2: Problema 3: 1 2 Problema 1. Nello spazio affine reale A 5 R si fissi il riferimento affine canonico, e siano

Dettagli

LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE ED AMBIENTE-TERRITORIO Corso di Matematica 2 Padova TEMA n.1

LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE ED AMBIENTE-TERRITORIO Corso di Matematica 2 Padova TEMA n.1 LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE ED AMBIENTE-TERRITORIO Corso di Matematica Padova -8-8 TEMA n.1 PARTE 1. Quesiti preliminari Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false giustificando brevemente

Dettagli

LEZIONE 12. Y = f(x) = f( x j,1 f(e j ) = x j,1 A j = AX = µ A (X),

LEZIONE 12. Y = f(x) = f( x j,1 f(e j ) = x j,1 A j = AX = µ A (X), LEZIONE 1 1.1. Matrice di un applicazione lineare. Verifichiamo ora che ogni applicazione lineare f: R n R m è della forma µ A per un unica A R m,n. Definizione 1.1.1. Per ogni j 1,..., n indichiamo con

Dettagli

( ) e B( x 2. ( ) 2 + ( y 2. ( ), B( x 2

( ) e B( x 2. ( ) 2 + ( y 2. ( ), B( x 2 1 Il punto in R 3 La geometria analitica nello spazio: punti, vettori, rette e piani sintesi e integrazione prof D Benetti Un punto P nello spazio è associato a una terna ordinata di numeri reali numero

Dettagli

Geometria analitica del piano pag 25 Adolfo Scimone. Equazione della retta perpendicolare ad una retta data passante per un punto

Geometria analitica del piano pag 25 Adolfo Scimone. Equazione della retta perpendicolare ad una retta data passante per un punto Geometria analitica del piano pag 5 Adolfo Scimone Equazione della retta perpendicolare ad una retta data passante per un punto Consideriamo una retta r di equazione r: ax by sia P ( x y), un punto del

Dettagli

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 10 aprile 01 Esercizio 1 Sia E 3 lo spazio euclideo tridimensionale dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate

Dettagli

LEZIONE Equazioni matriciali. Negli Esempi e si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = R m,n, B = (b i,h ) 1 i m

LEZIONE Equazioni matriciali. Negli Esempi e si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = R m,n, B = (b i,h ) 1 i m LEZIONE 4 41 Equazioni matriciali Negli Esempi 336 e 337 si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = B 2,, AX p = B p aventi la stessa matrice incompleta A Tale tipo di problema si presenta

Dettagli

12 gennaio Commenti esame di geometria - Ing. gestionale - a.a

12 gennaio Commenti esame di geometria - Ing. gestionale - a.a Questo documento riporta commenti, approfondimenti o metodi di soluzione alternativi per alcuni esercizi dell esame Ovviamente alcuni esercizi potevano essere risolti utilizzando metodi ancora diversi

Dettagli

1 Geometria analitica nel piano

1 Geometria analitica nel piano Lezioni di Geometria a.a. 2007-2008 cdl SIE prof. C. Franchetti 1 Geometria analitica nel piano 1.1 Distanza di due punti Siano P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ) due punti del piano, se d(p 1, P 2 )

Dettagli

Esercizi di geometria per Fisica / Fisica e Astrofisica

Esercizi di geometria per Fisica / Fisica e Astrofisica Esercizi di geometria per Fisica / Fisica e strofisica Foglio 5 - Soluzioni Esercizio 1. Nello spazio R 3, si considerino i punti (1,0,0), (1,0,2), (0, 1,0), D (2, 1,2), E (2,1, 0), F (0, 1,2), G (3,2,0),

Dettagli

Geometria analitica dello spazio

Geometria analitica dello spazio Geometria analitica dello spazio Note per l insegnamento di Matematica per Scienze Naturali e Ambientali e Scienze Geologiche Marco Abate Dipartimento di Matematica, Università di Pisa Largo Pontecorvo

Dettagli

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test : soluzioni k Esercizio Data la matrice A = k dipendente dal parametro k, si consideri il k sistema lineare omogeneo AX =, con X = x x. Determinare

Dettagli

12 gennaio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI

12 gennaio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi

Dettagli

Esercizi geometria analitica nel piano. Corso di Laurea in Informatica A.A. Docente: Andrea Loi. Correzione

Esercizi geometria analitica nel piano. Corso di Laurea in Informatica A.A. Docente: Andrea Loi. Correzione Esercizi geometria analitica nel piano Corso di Laurea in Informatica A.A. Docente: Andrea Loi Correzione 1. Scrivere le equazioni parametriche delle rette r e s di equazioni cartesiane r : 2x y + = 0

Dettagli

Problema 1.5. Mostra che una retta immaginaria r nello spazio contiene al più un punto reale.

Problema 1.5. Mostra che una retta immaginaria r nello spazio contiene al più un punto reale. 1 Complessificazione Problema 1.5. Mostra che una retta immaginaria r nello spazio contiene al più un punto reale. Soluzione. Se r è di prima specie, allora r è complanare con la sua coniugata: se, in

Dettagli