Meccanica dei Fluidi

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1 Meccanica dei Fluidi F.Fabrizi e P. Pennestrì Liceo Scientifico I. Newton - Roma Classe III D 15 marzo Definizione di Fluido Un fluido è un insieme di particelle che interagiscono tra loro con una forza di coesione molto bassa. Con il termine fluido si intende sia un liquido che un gas. Un fluido ha un volume proprio, ma non una forma propria. La risposta con cui una materia cambia la sua forma ci fa capire se stiamo trattando con un liquido, un fluido o un solido. 2 Idrostatica La pressione La pressione p è l azione cui è soggetto un corpo immerso in un fluido. La forza F esercitata da un fluido su un corpo immerso in esso è sempre ortogonale alla superficie del corpo medesimo. Ciò premesso, si definisce pressione il rapporto: essendo A l area della superficie. p = F A L unità di misura nel SI è il pascal (Pa= N m 2 ) Variazione di pressione con la profondità Immaginiamo di avere un recipiente cilindrico pieno di fluido ed immerso nel medesimo: 1 (1)

2 Sia: Sia: da cui Figura 1: Nomenclatura F 1 la forza che si registra sulla base superiore del cilindro; F 2 la forza che si registra sulla base inferiore del cilindro; m g il peso del fluido contenuto nel cilindro. Dalla condizione di equilibrio del cilindro immerso otteniamo: F 2 = F 1 + m g (2) A l area di base del cilindro; h = y 1 y 2 l altezza del cilindro; ρ la densità del fluido; p 1 pressione alla base superiore; p 2 pressione alla base inferiore. La (2) può essere espressa nella forma: p 2 A = p 1 A + ρa (y 1 y 2 ) g (3) p 2 = p 1 + ρ (y 1 y 2 ) g. (4) Concluderemo che la pressione aumenta con la profondità. 2

3 Il principio di Archimede Un corpo immerso in un liquido riceve una spinta dal basso verso l alto pari al peso del liquido spostato. Dalla equazione (4), indicata con p = p 2 p 1 la variazione di pressione, si ha: p = ρgh (5) ovvero dove V è il volume. pa = ρgha = ρgv (6) 3 Dinamica dei Fluidi Classificazione dei moti dei fluidi Possiamo distinguere due tipi di flusso: Flusso laminare o regolare, se tutte le particelle del fluido hanno traiettorie parallele; Flusso turbolento, se il flusso contiene vortici. Con il parametro viscosità si misura l entità dell attrito nel fluido. Il moto dei fluidi è complesso, quindi dovremo introdurre alcune semplificazioni quali: Fluido non viscoso. Fluido incompressibile. Flusso laminare. Particelle si muovono a velocità costante. Dicesi ideale un fluido con le suddette caratteristiche. 3

4 L equazione di Continuità Figura 2: Nomenclatura Il condotto mostrato in Figura 2 possiede sezioni trasversali estreme di area A 1 e A 2 differenti. Nell intervallo di tempo t passa attraverso la sezione di area A 1 il volume di fluido A 1 v 1 t. Tale volume deve essere uguale a quello A 2 v 2 t che attraversa la sezione di area A 2. Pertanto si ha: A 1 v 1 = A 2 v 2, (7) essendo v 1 e v 2 le velocità all entrata e all uscita del condotto. L equazione di Bernoulli Figura 3: Nomenclatura 4

5 Immaginiamo il moto di un fluido ideale in una condotta. In assenza di effetti dissipativi l energia meccanica posseduta dal fluido all ingresso del condotto deve essere pari a quella che il fluido ha all uscita (conservazione dell energia). Pertanto con riferimento alla nomenclatura della Figura 3 i lavori compiuti dalle forze di pressione risultano essere: W 1 = F 1 x 1 = p 1 A 1 x 1 = p 1 V (8) W 2 = F 2 x 2 = p 2 A 2 x 2 = p 2 V (9) In virtù del principio di conservazione dell energia: essendo K = 1 2 mv2 fluido. Dalla (10) avremo: ovvero l equazione di Bernoulli. Se introduciamo il peso specifico W 1 + K 1 + U 1 = W 2 + K 2 + U 2 (10) energia cinetica ed U = mgy energia potenziale del p ρv2 1 + ρgy 1 = p ρv2 2 + ρgy 2 (11) la (11) può riscriversi nella forma γ = 1 ρg (12) p 1 γ + v2 1 2g + h 1 = p 2 γ + v2 2 2g + h 2 (13) Effetto Venturi Possiamo prevedere il regime di velocità all entrata e all uscita del condotto utilizzando simultaneamente l equazione di continuità (7) (A 1 v 1 = A 2 v 2 ) e l equazione di Bernoulli (11). Se le altezze y delle sezioni estreme del condotto sono le stesse (y 1 = y 2 ) si ha p 1 γ + v2 1 2g = p 2 γ + v2 2 2g (14) 5

6 e si osserverà quanto segue: la velocità è maggiore all estremità con l area della sezione minore; la pressione è maggiore all estremità con l area della sezione maggiore. 6