4. Analisi dei segnali periodici e serie di Fourier

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1 4. Analisi dei segnali periodici e serie di Forier Joseph Forier Nel so lavoro fondamentale del 187 Théorie analytiqe de la chaler, Jean Baptiste Joseph 1 La vita di Forier, oltre ad essere pittosto criosa e travagliata, offre interessanti spnti di riflessione, se la confrontiamo con i nostri giorni. Nono di 1 fratelli, rimasto orfano a 1 anni, iniziò ad interessarsi intensamente... di matematica all età di 13 anni: qattordicenne si stdiò i corposi 6 volmi del Cors de mathématiqes di Bézot e il corso Mécaniqe en général di Bosst, ricevendone n premio l anno sccessivo. La sa formazione si divideva tra l ideale della conqista delle vette del sapere scientifico a 1 anni osserva in na lettera che a qella stessa età ormai Newton e Pascal avevano ragginto l immortalità con le loro scoperte e gli ideali di gistizia e di gaglianza per na società migliore, la casa più grande e nobile per la qale chinqe potesse spendersi. Sperato con varie traversie tra ci la prigione con condanna alla ghigliottina il periodo del terrore, a 7 anni iniziò ad insegnare al Collège de France e sccessivamente all École Polytechniqe, dove incontrò e freqentò Lagrange, Laplace, Monge, Carnot, tra i più significativi esponenti della matematica francese del tempo e non solo francese, ovviamente... A 3 anni partecipò alla spedizione in Egitto con Napoleone, svolgendovi n importante rolo di fondatore e organizzatore delle locali istitzioni scolastiche e archeologiche; al ritorno in Francia, invece di riprendere la freqentazione accademica, f nominato da Napoleone prefetto a Grenoble, dove ancora na volta la sa amministrazione f molto attiva ed efficiente. Ormai 36 enne iniziò ad occparsi della trasmissione del calore e dopo 3 anni completò il lavoro Théorie analytiqe de la chaler che lo ha reso celebre nel 187. Benché le idee presentate fossero notevolmente originali ed innovative, la gistificazione matematica presentava qalche difficoltà non risolta s ci i matematici continarono a lavorare per i de secoli sccessivi... e solo dopo 1 anni f eletto alla Académie des Sciences, che pbblicò finalmente la sa opera nel 18. Gli ltimi anni di vita frono solo scientificamente, qesta volta movimentati da varie discssioni con colleghi che intendevano sminire o attribirsi i meriti e le scoperte di Forier: da qesto solo pnto di vista, la nostra civiltà non è molto cambiata

2 4. ANALISI DEI SEGNALI PERIODICI E SERIE DI FOURIER 4- Forier comprese che ogni segnale T-periodico pò essere ottento come sovrapposizione di infiniti segnali trigonometrici, ognno dei qali associato ad na freqenza mltipla della freqenza fondamentale f 1/T. Qesta lezione fornisce na semplice introdzione a qesta fondamentale scoperta. Abbiamo già visto che i segnali trigonometrici reali associati ad na freqenza ω πf sono caratterizzati da con ω t a ω cosωt+b ω sinωt ρ ω cosωt+θ ω û ω e iωt +û ω e iωt, 4.1 û ω û ω c ω a ω ib ω, ρ ω a ω ib ω û ω û ω, θ ω Arga ib Argû ω Argû ω. 4.a 4.b 4.c Le freqenze in gioco, che devono essere mltiple di ω π/t, saranno del tipo ω kω πkf e dipenderanno qindi dall intero k N; i rispettivi coefficienti saranno indicati con a k,b k,ρ k,θ k,û k,û k. Ci aspettiamo qindi na rappresentazione t a + + a k coskω t+b k sinkω t ρ + + ρ k coskω t+θ k û + û k e ikωt +û k e ikωt k û k e ikωt. 4.3a 4.3b 4.3c Notazione Commento a?. Il termine costante nelle 4.3a,b,c a ρ û viene indicato facendo comparire il fattore a denominatore per conservare l identità 4.a tra i coefficienti a k,b k,ρ k,û k anche per k. Per qanto visto, la scelta di na delle tre forme 4.3a,b,c è irrilevante ai fini dello svilppo della teoria: ogni risltato pò essere facilmente convertito da na all altra grazie alle 4.a,b,c: per semplicità ed eleganza dei calcoli, noi privilegeremo la rappresentazione complessa 4.3c. Natralmente la teoria matematica soggiacente al discorso precedente non è così semplice, coinvolgendo serie di infiniti segnali. Riassmiamo le qestioni principali in ordine di difficoltà: Tre problemi fondamentali dell analisi di Forier Notazione Polinomi trigonometrici. Assegnato n periodo T ed n vettore α α k, k N,...,N, di coefficienti complessi, indicheremo con P αt il segnale P αt : α k e ikωt. 4.4 Problema 4.1 Identificazione dei coefficienti Spponiamo di sapere a priori che il segnale T-periodico sia la sintesi di n nmero finito di segnali trigonometrici, cioè t P α t Come determinare i coefficienti α α k in fnzione di? α k e ikωt. 4.5

3 4. ANALISI DEI SEGNALI PERIODICI E SERIE DI FOURIER 4-3 Problema 4. Migliore approssimazione Spponiamo che il segnale T-periodico sia generico : in generale, esso non sarà ottenibile come sovrapposizione di n nmero finito di segnali trigonometrici che forniscono sempre n segnale contino e derivabile infinite volte!. Di consegenza, ogni rappresentazione di come n polinomio trigonometrico P α è sempre affetta da n errore Err α : t P α t+err α t α k e ikωt +Err α t. 4.6 L errore Err α t : t P α t t α k e ikωt 4.7 è esso stesso n segnale dipendente dal tempo che dipende ovviamente dalla scelta dei coefficienti α α k. Ci piacerebbe trovare i coefficienti α α k che rendono l errore il più piccolo possibile in n senso ancora da precisare!. Come scegliere i coefficienti α α k? Problema 4.3 Analisi e sintesi di segnali arbitrari Spponiamo di aver già risolto i problemi precedenti e di aver individato i cosiddetti coefficienti di Forier α k û k in modo da minimizzare l errore 4.7. Sono vere, e in qale senso, le formle 4.3a,b,c? Sarà vero che, qando N tende a +, l errore ottimale Err N di 4.7 che, come vedremo, dipenderà solo dal nmero N dei coefficienti coinvolti tende a? La risposta ai problemi precedenti è codificata nella nozione di prodotto scalare tra de segnali, che stdiamo nella prossima sezione. 4.1 Prodotti scalari e sistemi ortogonali di segnali Richiamiamo innanzittto la nozione astratta di prodotto scalare che è stata stdiata nei corsi di geometria e algebra lineare. Definizione 4.4 Prodotto scalare di segnali Sia V SD no spazio vettoriale di segnali. Un prodotto scalare di segnali in V è na applicazione che ad ogni coppia di segnali,v V associa n nmero complesso v C con qeste proprietà: Linearità in ciascn argomento +v w w + v w, v +w v + w λ v λ v, λv λ v,v,w V,,v V, λ C. 4.8 Simmetria hermitiana v v,v V. 4.9 semipositività. 4.1 La seminorma associata al prodotto scalare è definita da :, Richiami Disgaglianza triangolare e disgaglianza di Schwarz. La norma associata ad n prodotto scalare soddisfa qeste de fondamentali disgaglianze: +v + v,v V, 4.1 v v,v V. 4.13

4 4. ANALISI DEI SEGNALI PERIODICI E SERIE DI FOURIER 4-4 Definizione 4.5 Sistemi ortogonali e ortonormali di segnali De elementi, v V si dicono ortogonali se v Un sistema di segnali E {...e N,e N+1,...,e 1,e,e 1,e,...,e N,... } di no spazio vettoriale V SD si dice ortogonale se eh ek se h k; ek e k ek > h,k Z Il sistema E si dice ortonormale se, oltre ad essere ortogonale, la norma dei soi elementi è nitaria, cioè eh ek se h k; ek e k ek 1 h,k Z Lemma 4.6 Norma della somma e Teorema di Pitagora Siano,v de segnali nello spazio vettoriale V; si ha +v +Re v + v In particolare, se, v sono ortogonali allora +v + v Dimostrazione La 4.17 è n semplice calcolo: +v +v +v + v + v + v v + v + v + v. Definizione 4.7 Prodotto scalare tra de segnali periodici Il prodotto scalare di de segnali complessi periodici e limitati,v B T,+ è definito da v : tvtdt 1 T tvt dt Definizione 4.8 Media, Energia Media o Potenza e scarto qadratico medio La media di n segnale periodico limitato B T,+ è definita da : 1 tdt 1 T t dt. 4. L energia media, o potenza, di n segnale periodico limitato B T,+ è il qadrato della norma di ed è definita da P[] : t dt 1 T t dt. 4.1 Se,v B T,+ sono de segnali T-periodici, il loro scarto qadratico medio è l energia media della differenza v, cioè P[ v] v v t vt dt. 4. Nota La potenza non è che la media del segnale o, eqivalentemente, il prodotto scalare di con se stesso Poiché si lavora spesso con segnali complessi è fondamentale sare il modlo all interno del qadrato che definisce la potenza. Per non sbagliare, conviene lasciarlo indicato anche qando il segnale è reale. Analogamente, qando si lavora con segnali reali, si potrebbe eliminare il simbolo di conigio nella definizione 4.19; sempre per evitare errori, conviene però indicarlo in ogni caso.

5 4. ANALISI DEI SEGNALI PERIODICI E SERIE DI FOURIER 4-5 Esercizio Se na fnzione v è T-periodica e integrabile, allora la sa media come la sa potenza pò essere calcolata in ogni intervallo di ampiezza T, poiché l integrale t +T t vtdt non dipende dal pnto t R. Qindi t +T t tdt, +T t dt. t t È facile poi controllare che la media e la potenza non cambiano se si calcolano gli integrali s intervalli di lnghezza mltipla intera del periodo. Esercizio La media e la potenza sono invarianti per rescaling: se è T-periodico e v R ω[] v /ω vtdt ω /ω ωtdt 1 sds, P[v] P[]. T T Esercizio Mostrare che se è limitato e periodico non importa qale sia il periodo Nel caso della potenza si ottiene lim T + P[] lim T + tdt lim T + t dt lim T + t dt. 4.3 T t dt. 4.4 T L integrale E[] : lim t dt 4.5 T + T viene chiamato anche energia del segnale. Per n segnale periodico non nllo l energia è sempre + ; la qantità fisicamente significativa rimane dnqe l energia media per nità di tempo, la potenza appnto. Esercizio Siano c ωt : cosωt, s ωt : sinωt, e ωt : e iωt. Calcolare, per ω, Cosa cambia per ω? c ω s ω e ω, c ω s ω 1, eω Identificazione dei coefficienti di Forier Riprendiamo ora il primo e più semplice problema introdotto all inizio di qesta lezione. L identificazione dei coefficienti α k nel problema 4.1 è na consegenza delle segenti formle, che vengono chiamate relazioni di ortogonalità dei segnali trigonometrici. Ricordiamo che la media di n segnale periodico è stata definita in 4.8 Lemma 4.9 Media e ortogonalità dei segnali trigonometrici Per ω R si ha e iωt dt eiωt 1 iωt In particolare, se ω kω πk T se ω,, k Z, allora e ikωt { 1 se k, se k. e iωt dt 1 se ω Finalmente, se k,h Z, i segnali trigonometrici risltano T-periodici e si ha { e ikω t e ihωt e ik hωt 1 se k h, se k h. 4.8

6 4. ANALISI DEI SEGNALI PERIODICI E SERIE DI FOURIER 4-6 Corollario 4.1 Ortonormalità del sistema di Forier Nello spazio vettoriale B T,+ dei segnali T-periodici, il sistema è ortonormale. E : { e ikωt : k Z }, ω : π T, 4.9 Corollario 4.11 Identificazione dei coefficienti Se n segnale ammette la rappresentazione 4.5 allora i coefficienti α k sono nivocamente determinati e sono dati da α k û k : e ikω t t+t i coefficienti û k vengono chiamati coefficienti di Forier di. t te ikωt dt; 4.3 Dimostrazione Per non confonderci, cambiamo l indice di sommatoria in 4.5 in h: t h N α h e ihω t e moltiplichiamo scalarmente! l identità per e ikω t : grazie alla linearità del prodotto scalare e poiché la somma è finita, otteniamo e ikω t h N α h e ihω t e ikω t h N α h e ihω t e ikω t α k, dove abbiamo sfrttato il fatto che ttti i termini della sommatoria, eccettato qello di posto k, sono nlli grazie alle relazioni di ortogonalità 4.8. Le corrispondenti proprietà per le fnzioni trigonometriche reali sono date da Corollario 4.1 Ortogonalità dei segnali trigonometrici reali Se k, h N si ha coskω t coshω t 1 se k h >, 1 se k h, 4.31 se k h, sinkω t sinhω t { 1 se k h >, 4.3 altrimenti, coskω t sinhω t Dimostrazione Basta svilppare la 4.8 in parte reale e parte immaginaria: coskω t coshω t + sinkω t sinhω t, sinkω t coshω t coskω t sinhω t, scambiare h con h e sommare le identità corrispondenti. Prendendo la parte reale e la parte immaginaria di 4.3 si ottiene Corollario 4.13 Coefficienti a k e b k Se è n polinomio trigonometrico del tipo t α N + α k coskω t+β k sinkω t

7 4. ANALISI DEI SEGNALI PERIODICI E SERIE DI FOURIER 4-7 allora i coefficienti α k,β k sono nivocamente determinati e sono dati da α k a k : coskω t β k b k : sinkω t t+t t t+t t tcoskω tdt tsinkω tdt Nota I coefficienti di posto k. Nel caso k si ha a ρ û t +T t tdt; 4.35 il coefficiente di posto è qindi la media integrale di. b è invece sempre nllo, la serie dei seni parte dall indice 1. Lemma 4.14 Potenza di n polinomio trigonometrico Se il segnale è la sintesi di n nmero finito di segnali trigonometrici t a N + a k coskω t+b k sinkω t ρ N + ρ k coskω t+θ k û + û k e ikωt +û k e ikωt û k e ikωt 4.36a 4.36b 4.36c allora la sa potenza è data da P[] t+t t dt a t 4 ρ û k. a k + b k ρ k 4.36d Dimostrazione Basta svilppare il calcolo diretto: P[] û k e ikω t h N û h e ihω t û k e ikω t û h e ihω t h N û k û h e ikω t e ihω t h, û h û k h û k. Commento Un teorema di Pitagora per le potenze. In generale se n segnale è la sovrapposizione di segnali k è falso che la potenza di sia la somma delle potenze dei singoli k così come è falso in generale che il

8 4. ANALISI DEI SEGNALI PERIODICI E SERIE DI FOURIER 4-8 qadrato di na somma sia gale alla somma dei qadrati!. Qesta proprietà rislta sorprendentemente verificata se gli addendi k û k e ikω t sono segnali trigonometrici: infatti û k e ikω t û k, 4.37 cioè la potenza della somma di segnali trigonometrici è la somma delle potenze. Qesta proprietà è na consegenza diretta delle relazioni di ortogonalità 4.8 e ne gistifica il nome. Torniamo al Corollario 4.11: l espressione 4.3 che definisce i coefficienti di Forier ha perfettamente senso anche se non è n polinomio trigonometrico, basta che sia limitato, T-periodico, e misrabile, cioè n elemento di B T,+. Convenzione Misrabilità dei segnali. Per non appesantire lteriormente l esposizione, salvo lteriori precisazioni, d ora in avanti spporremo sempre che ttti i segnali che incontreremo siano misrabili. Poniamo qindi la segente definizione: Definizione 4.15 Coefficienti di Forier Sia B T,+ ; i coefficienti di Forier di sono dati da û k : e ikωt t+t per ogni intero N N, l N-esimo polinomio di Forier di è dato da ˆP N t : t te ikωt dt; 4.38 û k e ikωt Rimane da capire qale rolo giocano i coefficienti di Forier per n segnale arbitrario: è qanto verrà discsso nel prossimo paragrafo. 4.3 Il problema della migliore approssimazione. Fissato n intero positivo N che misrerà qanti termini e relativi coefficienti siamo disposti a spendere per approssimare il segnale, in generale non potrà essere rappresentato esattamente come sovrapposizione di N+1 segnali trigonometrici aventi freqenze comprese tra Nω e Nω. Comnqe noi scegliamo i coefficienti α α k, k N,..., 1,,1,...,N, sostitendo a la somma P α t α k e ikωt 4.4 noi commettiamo n errore; qesto errore pò essere rappresentato come il segnale che rislta dalla differenza di con P α, cioè Err α t : t P α t t α k e ikωt Natralmente na bona scelta dei coefficienti α α k corrisponde al fatto che il segnale Err α sia piccolo : qale criterio tilizzare, però, per misrare qanto è piccolo Err α? Una delle nmerose scelte possibili è qella di richiedere che sia piccola la potenza di Err α, cioè lo scarto qadratico medio E α : P[Err α ] P[ P α ] t+t N P Pα α t α k e ikωt dt. 4.4 t

9 4. ANALISI DEI SEGNALI PERIODICI E SERIE DI FOURIER 4-9 Qesto nmero dipende in definitiva dai coefficienti α α k : ebbene, il prossimo risltato mostra che se scegliamo α k esattamente pari al coefficiente di Forier û k di, l errore E α è il più piccolo possibile. Qesta fondamentale proprietà, che gistifica il rolo privilegiato dei coefficienti di Forier, si esprime anche dicendo che qesti individano la miglior approssimazione del segnale in termini di n segnale trigonometrico P α. Teorema 4.16 Errore di miglior approsimazione Sia B T,+, P α il polinomio trigonometrico associato 4.4 ai coefficienti α α k, k N,...,N, e sia ˆP N il corrispondente polinomio associato ai coefficienti di Forier ˆP N t : û k e ikωt, û k : e ikω t t+t t te ikωt dt Si ha: [ E α P[ P α ] P ˆP N] + α k û k In particolare l errore E α è minimo qando l ltima sommatoria di destra in 4.44 si annlla, cioè per α k û k e in tal caso coincide con lo scarto qadratico medio tra e il so N-esimo polinomio di Forier ÊN P [ ˆP ] N. Teorema 4.17 Disgaglianza di Bessel Sia B T,+ e sia ˆP N il corrispondente polinomio associato ai coefficienti di Forier ˆP N t : û k e ikωt, û k : e ikω t t +T t te ikωt dt Allora [ Ê N P ˆP N] t+t t N t û k e ikωt dt P[] P[ˆPN ] P[] In particolare si ottiene la disgaglianza di Bessel û k ] P[ˆPN û k P[] t+t t t dt Dimostrazione Osserviamo innanzittto na importante proprietà: se P α è n polinomio trigonometrico di grado N allora ˆP N P α Infatti, svilppando i calcoli si ottiene P α α k e ikω t h N grazie al Lemma Analogamente ˆPN P α û h e ihω t α k e ikω t h, α k e ikω t û h α k e ihω t e ikω t û k α k, 4.49 û k α k. 4.5 In particolare, scegliendo α k û k, cioè P α ˆP N, ˆPN ˆPN ˆPN ] ˆPN P[ˆPN. 4.51

10 4. ANALISI DEI SEGNALI PERIODICI E SERIE DI FOURIER 4-1 A qesto pnto si ha facilmente [ P ˆP N] Ricordando la 4.36d si conclde. ˆP N ˆPN + ˆPN ˆPN ˆPN ˆPN. ˆPN ˆPN La dimostrazione del Teorema 4.16 sege direttamente da qesta semplice decomposizione: P α ˆP N ˆPN + P α e, grazie alla 4.48, ˆP N ˆPN P α 4.5 da ci, per il teorema di Pitagora 4.18 [ P[ P α ] P ˆP N] [ˆPN ] +P P α ÊN + α k û k. 4.4 Proprietà elementari dei coefficienti di Forier Linearità Se,v sonodesegnalicicorrispondonoicoefficientidiforierû k,a k,b k eˆv k,a k,b k, allora al segnale +v corrispondono i coefficienti û k + ˆv k,a k +a k,b k +b k. In simboli } û k +v û k + ˆv k v ˆv k Segnali reali Se è reale allora û k û k. Si dice anche che la sccessione û k è hermitiana. Invarianza rispetto a cambiamenti di scala Se è T-periodica e λ > è il fattore di cambiamento di scala, la fnzione vt : R λ []t λt è T/λ-periodica e i coefficienti di Forier di v sono gli stessi di qelli di : Infatti, con la sostitzione s : λt, û k R λ [] û k ˆv k λ T /λ λte πi k T λt dt 1 T se πi k T s ds û k. Riflessione Se vt t è ottento per riflessione rispetto all origine dei tempi si inverte l ordine temporale, allora ˆv k û k, cioè Se è reale, in termini dei coefficienti a k,b k si ha û k t û k a k,b k t a k, b k. 4.56

11 4. ANALISI DEI SEGNALI PERIODICI E SERIE DI FOURIER 4-11 Parità e disparità Se è pari cioè t t allora Se è dispari cioè t t allora {û k û k, b k. {û k û k, a k. Ritardi Dato n segnale SR e n ritardo τ, abbiamo indicato con S τ [] il corrispondente segnale ritardato di τ vt S τ []t : t τ. I coefficienti di Forier di v : S τ [] risltano modlati per n esponenziale complesso di freqenza fondamentale pari a τ/t o plsazione τω, cioè û k ˆv k e iωτk û k È ovvio che n ritardo di n intero periodo o di soi mltipli interi non comporta alcna effettiva modlazione, essendo τ/t intero; più interessante osservare che n ritardo di mezzo periodo cambia alternativamente solo il segno dei coefficienti τ : T/ ˆv k 1 k û k. Modlazione Modlare n segnale significa moltiplicarlo per n segnale esponenziale del tipo e iαt, α R. Evidentemente, se si richiede che la modlazione mantenga la T-periodicità il coefficiente α dovrà essere n mltiplo intero n della plsazione fondamentale ω ; posto qindi vt : e inωt t si ha ˆv k û k n. Da qesta formla si dedce facilmente che vt : cosnω tt ˆv k 1 ] [û k n +û k+n, vt : sinnω tt ˆv k 1 ] [û k n û k+n. i Serie e trasformata di Forier Come vedremo nelle prossime lezioni, la trasformata di Forier di n segnale v B, + viene definita dall integrale ˆvf : + vte πif t dt, 4.58 e per alcni segnali particolarmente importanti il so valore si pò trovare s opportne tavole. Qeste tavole forniscono n asilio di calcolo anche per le serie di Forier; ecco la semplice procedra, nel caso di n segnale B T,+ : Si fissa n intervallo t,t +T di lnghezza pari al periodo tipicamente T/,T/ e a partire da si costrisce il novo segnale { t se t t,t +T, vt : t1 t,t +T 4.59 altrimenti. Nel caso dell intervallo simmetrico T/,T/ si ha vt trectt/t.

12 4. ANALISI DEI SEGNALI PERIODICI E SERIE DI FOURIER 4-1 Si calcola la trasformata di Forier di v definita dalla formla 4.58 e si ottiene n novo segnale ˆvf che dipende dalla freqenza f. Ovviamente il metodo è vantaggioso se il segnale v si trova facilmente a partire dalle tavole! I coefficienti di Forier di si ottengono dividendo per T i valori della trasformata ˆv campionata a passo f : 1 T : in formle û k : 1 T ˆvkf 1 T ˆv k T 4.6 Esercizio Dimostrare le formle precedenti. 4.5 Convergenza in energia delle serie di Forier Cosa significa che n segnale pò essere rappresentato dalla sovrapposizione cioè dalla serie di infiniti segnali, come nelle 4.3a,b,c? Ovviamente, dal pnto di vista nmerico, non è possibile trattare la somma di infiniti termini poiché ogni manipolazione digitale dei segnali deve fare intervenire necessariamente solo n nmero finito di addendi: ad esempio, nel caso della rappresentazione esponenziale 4.3c, proprio i polinomi ˆP N t : û k e ikωt a N + a k coskω t+b k sinkω t 4.61 che abbiamo considerato nella lezione precedente. Qesti ltimi fanno intervenire M : N + 1 termini in posizione simmetrica rispetto all indice k : ciò che si pò ragionevolmente sperare è che qando si sceglie N abbastanza grande la rappresentazione tramite ˆP N sia abbastanza accrata, cioè l errore tra il segnale originale e ˆP N sia piccolo. Abbiamo già visto che l errore Êrr N t : t ˆP N t 4.6 è esso stesso n segnale, cioè dipende dal tempo t e che il modo più comodo di misrarne la grandezza qando si ha a che fare con l analisi di Forier è qello di considerarne la potenza Ê N : P[Êrr N ] t+t È natrale pertanto introdrre la segente definizione: t t ˆP N t dt Definizione 4.18 Convergenza in energia Diciamo che la serie di Forier k û k e ikωt converge in energia al segnale qando lo scarto qadratico medio 4.63 tra e l N-esimo polinomio di Forier 4.61 tende a qando N tende a +. In simboli lim N + t+t t N t û k e ikωt dt L so di somme simmetriche è gistificato dall identità 4.61 con la rappresentazione trigonometrica tramite i coefficienti a k e b k ; si noti che se il segnale è reale nella somma 4.61 sono coinvolti N +1 coefficienti reali, in qanto i coefficienti û k e û k sono l no il conigato dell altro.

13 4. ANALISI DEI SEGNALI PERIODICI E SERIE DI FOURIER 4-13 Teorema 4.19 Le serie di Forier del segnale converge a Ogni segnale B T,+ ammette lo svilppo in serie di Forier nel senso della convergenza in energia 4.18: t û k e ikωt ρ + + ρ k coskω t+θ k k a + + a k coskω t+b k sinkω t, dove i coefficienti di Forier sono nivocamente determinati da 4.65 t+t û k t+t t te ikωt dt, a k tcoskω tdt, b k t { ûk û k a k ib k ρ k e iθ k, t+t ρ k a k ±ib k, θ k Arga k ib k t tsinkω tdt, per k Commento L avverbio nivocamente del precedente ennciato significa che se na qalnqe serie del tipo4.65 converge in energia ad n segnale, allora necessariamente i coefficienti û k,a k,b k sono determinati dall espressione In altre parole, il corollario 4.11 vale qalnqe sia il segnale. Teorema 4. Identità di Parseval Se,v sono de segnali in B T,+ con coefficienti di Forier û k,a k,b k, ˆv k,a k,b k rispettivamente, allora valgono le identità P[] t+t v t+t t t dt t tvtdt k k û k a û kˆv k a a a k +b k, 4.67 ak a k +b k b k Commento A differenza della 4.65, che coinvolge infiniti segnali, le de serie 4.67 e 4.68 sono più semplicemente serie nmeriche, la prima delle qali è oltrettto a termini non negativi. Fa parte dell ennciato del teorema garantire che qeste serie sono convergenti. È facile constatare che la 4.67 è n caso particolare della 4.68, ottento scegliendo v. Esercizio Considerando le somme parziali, verificare, indipendentemente dall ennciato del teorema, che le de serie in 4.68 coincidono. Esercizio Mostrare che 4.67 è na diretta consegenza del Teorema 4.19 e dell identità Esercizio Ripetendo lo stesso procedimento sato nella dimostrazione del Lemma 4.14, dimostrare la 4.68 qando e v sono de polinomi trigonometrici qindi le serie che intervengono in 4.68 sono in realtà somme finite. 4.6 Convergenza pntale e niforme Natralmente vi sono anche altri modi di stdiare la convergenza di na serie di Forier, che rispondono a differenti criteri di misra dell errore. Spponiamo ad esempio di essere interessati ad approssimare il segnale per na precisa scelta del tempo t t : vorremmo qindi che la serie di Forier converga ad proprio in t.

14 4. ANALISI DEI SEGNALI PERIODICI E SERIE DI FOURIER 4-14 Definizione 4.1 Convergenza pntale Diciamo che la serie di Forier k û k e ikωt converge pntalmente al segnale in t t qando l errore ÊrrN t t ˆP N t calcolato in t tra e l N-esimo polinomio di Forier 4.61 tende a per N che tende a +. In simboli lim N + t û k e ikωt Al contrario dello scarto qadratico medio, non è detto che l errore pntale tenda a, se il segnale è molto irregolare. È chiaro poi che i pnti di discontinità del segnale richiederanno n attenzione particolare. Definizione 4. Segnali regolari a tratti Diciamo che n segnale Ba, b definito s n intervallo anche illimitato a, b è regolare a tratti, se l intervallo a, b si pò decomporre in n nione finita o nmerabile di intervalli consectivi I n : t n 1,t n, in modo che sia derivabile all interno di ogni I n e la derivata sia limitata. Il segnale rislterà in particolare contino all interno di ogni intervallo e in ogni pnto t n il segnale avrà n limite sinistro t n e n limite destro + t n. Diremo che è regolare a tratti e contino qando qesti de valori coincidono in ogni pnto t n. Teorema 4.3 Convergenza pntale delle serie di Forier Se è na fnzione regolare a tratti allora la serie di Forier di converge pntalmente a cioè lim N + n N 1 t+ + t per ogni t R, 4.7 û n e inω t t+ + t t R In particolare la serie di Forier converge a t in ogni pnto t di continità del segnale. Un ltimo modo per misrare l errore tra e ˆP N è qello di considerare il massimo errore che si verifica in n periodo, cioè ˆM N : max t [,T] t PN t. 4.7 Chiaramente, se ˆM N tende a qando N +, siamo sicri che l errore che si verifica in ciascn tempo t sarà infinitesimo, essendo comnqe più piccolo di ˆM N : si parla in qesto caso di convergenza niforme. Teorema 4.4 Convergenza niforme delle serie di Forier Se è na fnzione regolare a tratti e contina allora la serie di Forier di converge niformemente a, cioè N lim ˆM N lim max N + N + t û n e inω t n N Inoltre la serie dei coefficienti di Forier è assoltamente convergente e soddisfa la disgaglianza k û k T t 1/ T dt 3 3 sp t t

15 4. ANALISI DEI SEGNALI PERIODICI E SERIE DI FOURIER Sintesi dei segnali Consideriamo na sccessione di coefficienti x x k : esisterà n segnale T-periodico tale che ogni x k è proprio il k-esimo coefficiente di Forier di, cioè x k û k? L idea natrale è qella di sintetizzare mediante la serie t : k x k e ikωt ; 4.75 natralmente qesto comporta lo stdio della convergenza di 4.75, senza però poter applicare i teoremi precedenti perché ancora non conosciamo le proprietà di. La disgaglianza di Bessel o l identità di Parseval ci fornisce na condizione necessaria: occorre che converga la serie k che a posteriori fornirà la potenza del segnale. x k < +, 4.76 Digressione. In realtà la condizione 4.76 sarebbe anche sfficiente, a patto di riscire a considerare segnali più generali di qelli da noi stdiati e di avere a disposizione na teoria dell integrazione qella di Lebesge più raffinata. Teorema 4.5 Condizioni sfficienti per la convergenza Spponiamo che i coefficienti x k x k 1 α k iβ k soddisfino la condizione necessaria Se essi sono anche a variazione limitata, cioè se α k+1 α k < +, β k+1 β k < +, 4.77 allora la serie di Forier 4.75 converge in ttti i pnti di R tranne al più i mltipli interi del periodo T e definisce n segnale limitato i ci coefficienti di Forier sono proprio x k. Se poi k x k < + o, eqivalentemente α k + β k < +, 4.78 allora la serie di Forier converge anche niformemente e il segnale rislta contino. Precisazione Serie dipendenti da indici n Z. Avremo modo di sare ripettamente serie di fnzioni il ci indice n varia in Z, cioè da a +. Tra i vari modi di intendere la convergenza di tali serie, de sono particolarmente significativi: 1. Si scinde la serie nella somma di de serie sali e si impone la convergenza di entrambe; in formle + + n : n + + n 4.79 n Z n1 n1 abbiamo distinto il termine per pra simmetria estetica.... Si considera il limite delle somme parziali simmetriche: n : lim n. 4.8 N + n Z n N Natralmente in entrambi i casi le proprietà formali che valgono per le serie in N si estendono banalmente, inoltre qando si abbia a che fare con serie nmeriche a termini positivi, o serie assoltamente convergenti, o serie di fnzioni ci si sta applicando n criterio di Weierstrass generalizzato, i de metodi di somma danno lo stesso risltato; in generale il primo modo di sommare na serie è più restrittivo

16 4. ANALISI DEI SEGNALI PERIODICI E SERIE DI FOURIER 4-16 del secondo, pò cioè capitare che la somma esista come limite delle somme parziali simmetriche 4.8 ma non come somma delle de serie separatamente 4.79: ad esempio basta considerare la serie n n Z che certo non converge nel primo modo, mentre nel secondo fornisce il risltato. Nel caso delle serie di Forier, qest ltima accezione è qella solitamente più sata; la prima invece è stata sata per gli svilppi in serie di Larent. 4.8 Serie di potenze e serie di Forier Uno dei problemi più importanti che si incontrano nella manipolazione delle fnzioni olomorfe è qello di ottenere i coefficienti a k dello svilppo in serie di potenze conoscendo la fnzione somma fz. La formla di Taylor 1.87 fornisce na possibile risposta a qesto problema: essa è anche praticabile se si è in grado di valtare esplicitamente ttte le derivate di f nel pnto z. Vi è anche n altra possibilità, che mostra n collegamento a prima vista sorprendente... tra la teoria delle serie di potenze e qella delle serie di Forier. Ttto si ridce alla segente osservazione, la ci dimostrazione è immediata: Osservazione 4.6 Sia fz + k a kz z k na serie di potenze con raggio di convergenza r >. Allora per ogni raggio < ρ < r la fnzione θ f ρ θ : fz +ρe iθ, θ R 4.81 è π periodica e il so svilppo in serie di Forier ha come coefficienti ˆf k a k ρ k, cioè f ρ θ k a k ρ k e ikθ. 4.8 Corollario 4.7 Sia fz + k a kz z k na serie di potenze con raggio di convergenza r >. Allora per ogni raggio < ρ < r a k : 1 πi C ρz fzz z k dz z z La dimostrazione del corollario è così facile che la riportiamo: sappiamo che i coefficienti di Forier di f ρ sono dati dalla formla a k ρ k ˆf k 1 π π f ρ θe ikθ dθ 1 π π Dividendo ambo i membri per ρ k e operando la sostitzione si ha fz +ρe iθ e iθ k dθ, cioè dθ z z +ρe iθ, dz iρe iθ dθ iz z dθ dz iz z. a k 1 fzz z k dz, 4.84 πi C ρz z z poiché qando θ descrive l intervallo, π la variabile complessa z descrive la circonferenza di centro z e raggio ρ.