Parte Seconda. Geometria

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1 Parte Seconda Geometria

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3 Geometria piana 99 CAPITOLO I GEOMETRIA PIANA Geometria: scienza che studia le proprietà delle figure geometriche piane e solide, cioè la forma, l estensione e la posizione dei corpi. Enti fondamentali della geometria piano superficie piana che si estende indefinitamente in tutti i sensi punto ente geometrico privo di dimensioni: cioè non ha lunghezza, né altezza né profondità; i punti si indicano con la lettera maiuscola Figura geometrica: insieme di enti geometrici LE RETTE linea insieme ordinato di punti; essa ha una sola dimensione della lunghezza Retta: insieme di punti che si susseguono all infinito seguendo una medesima direzione; le rette si indicano sempre con la lettera minuscola. Assiomi relativi alle rette Due rette possono essere fra loro: Incidenti: se hanno un punto in comune il numero di rette passanti per un piano è infinito il numero di rette passanti per un punto è infinito; l insieme di rette passanti per un punto si dice fascio di rette per due punti può passare una sola retta Perpendicolari: due rette incidenti che formano quattro angoli retti

4 100 Parallele: quando giacciono sullo stesso piano e, prolungandole, non si incontrano mai, ossia mantengono la stessa distanza LE SEMIRETTE E I SEGMENTI Semiretta: individuato un punto A su una retta, esso la divide in due semirette; la semiretta è dunque un insieme di punti che si susseguono all infinito secondo la stessa direzione, ma seguendo un unico verso; il punto A viene chiamato origine della semiretta Segmento: individuati due punti A e B su una retta, la parte di retta compresa fra loro si chiama segmento; i punti A e B vengono chiamati estremi del segmento e il segmento si indica con le lettere degli estremi e un trattino sopra: AB o più semplicemente con le sole lettere: AB Confronto tra segmenti segmenti consecutivi due segmenti che hanno un estremo in comune segmenti adiacenti (o congruenti) due segmenti consecutivi che appartengono alla stessa retta segmenti coincidenti due segmenti che hanno entrambi gli estremi in comune segmenti uguali segmenti con estremi diversi, ma con la stessa lunghezza Parte Seconda Altre definizioni relative ai segmenti: punto medio di un segmento: punto che divide un segmento in due segmenti uguali e adiacenti asse di un segmento: retta perpendicolare che passa per il punto medio

5 Geometria piana 101 spezzata: successione di segmenti consecutivi; può essere: 1. aperta: l ultimo estremo non coincide con il primo 2. chiusa: l ultimo estremo coincide con il primo 3. intrecciata: due segmenti non consecutivi si intersecano I PIANI E LE RETTE Assiomi relativi ai piani GLI ANGOLI il numero di piani è infinito per tre punti non allineati passa un solo piano se una retta passa per due punti di un piano, appartiene al piano ogni retta divide il piano in due semipiani Angolo: parte di piano compresa tra due semirette aventi la stessa origine Vertice dell angolo: il punto che fa da origine comune alle due semirette Lati dell angolo: le due semirette Grado: unità di misura dell angolo; corrisponde alla trecentosessantesima parte dell angolo giro Bisettrice di un angolo: semiretta che, avendo come origine il vertice di un angolo, lo divide in due parti uguali Come si indica un angolo: si utilizzano 3 lettere maiuscole corrispondenti al vertice e a due punti posti sui lati, es. AOB; oppure una lettera dell alfabeto greco: α, β, γ, δ etc.

6 102 CLASSIFICAZIONE DEGLI ANGOLI Nome Definizione Figura Concavo Convesso angolo contenente il prolungamento dei suoi lati angolo non contenente il prolungamento dei suoi lati Acuto angolo di ampiezza minore dell angolo retto (meno di 90 ) Retto Ottuso Piatto Giro Confronto tra angoli angolo avente i lati perpendicolari; misura 90, la metà di un angolo piano angolo di ampiezza maggiore dell angolo retto, ma minore dell angolo piatto (più di 90 e meno di 180 ) angolo in cui uno dei suoi lati è il prolungamento dell altro (misura 180 ) angolo costituito dalla somma di due angoli piatti o quattro angoli retti (misura 360 ) Parte Seconda uguali (o congruenti) Sono uguali due angoli i cui lati, se sovrapposti, coincidono. In altre parole hanno la stessa ampiezza in gradi. complementari Angoli la cui somma è uguale ad un angolo retto (90 ). Il complementare di un angolo acuto è un altro angolo acuto.

7 Geometria piana 103 Confronto tra angoli LA DISTANZA supplementari Angoli la cui somma è uguale ad un angolo piatto (180 ). Due angoli adiacenti sono sempre supplementari. Il supplementare di un angolo ottuso è un angolo acuto. esplementari Angoli la cui somma è uguale ad un angolo giro (360 ). consecutivi Angoli giacenti su un medesimo piano. Hanno il vertice e un lato in comune e gli altri due lati da parti opposte, rispetto al lato comune, non giacciono uno sul prolungamento dell altro. adiacenti Sono angoli consecutivi che hanno i lati non comuni disposti uno sul prolungamento dell altro. Essi sono sempre supplementari. opposti al vertice Angoli in cui i lati dell uno sono il prolungamento dei lati dell altro. Essi sono uguali o congruenti. Due rette, semirette o segmenti che intersecandosi danno luogo a quattro angoli retti si dicono perpendicolari. Questo principio si utilizza per definire il concetto di distanza. Distanza tra un punto e un retta: segmento perpendicolare alla retta che ha il punto per estremo. LE RETTE PARALLELE Rette parallele: si dicono parallele due rette che, giacendo sullo stesso piano, non hanno alcun punto in comune Assioma fondamentale delle rette parallele: data una retta e un punto non appartenente ad essa, per quel punto può passare soltanto una retta parallela a quella data.

8 104 Due rette parallele intersecate da una trasversale formano angoli dalle proprietà particolari: Angoli formati da due Alterni interni (3-5 e 4-6) e alterni esterni (2-8 e 1-7) rette parallele e una Coniugati interni (3-6 e 4-5) e coniugati esterni (2-7 e 1-8) trasversale Corrispondenti (3-7, 4-8, 1-5, 2-6) Parte Seconda Regola: gli angoli alterni sono uguali fra loro; allo stesso modo gli angoli coniugati e gli angoli corrispondenti I POLIGONI Poligono: parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa. Elementi del poligono Lati: i lati della spezzata che delimita il poligono Vertici: gli estremi dei segmenti che formano la spezzata Perimetro: la somma della misura dei lati Area: la misura del piano delimitato dai lati Angoli interni: angoli convessi che hanno come vertice un vertice del poligono e come lati due lati del poligono aventi come origine il vertice Nota: ogni poligono ha tanti angoli interni quanti sono i suoi lati Diagonali: segmenti che uniscono due vertici non consecutivi Apotema: segmento originato dal centro del poligono e perpendicolare a uno dei suoi lati

9 Geometria piana 105 Classificazione dei poligoni Occorre poi distinguere: convessi quando il poligono non contiene il prolungamento dei suoi lati (ha, cioè, tutti angoli convessi) concavi quando il prolungamento di uno qualunque dei lati attraversa il poligono poligono inscritto in una circonferenza: quando tutti i suoi vertici toccano internamente la circonferenza poligono circoscritto ad una circonferenza: quando tutti i suoi lati toccano esternamente la circonferenza Il centro della circonferenza inscritta e circoscritta ad un poligono regolare è detto centro del poligono. Il raggio della circonferenza circoscritta è detto raggio del poligono regolare. Il raggio della circonferenza inscritta corrisponde all apotema del poligono regolare, perché partendo dal centro, tocca tutti i vertici. I TRIANGOLI Triangolo: poligono con 3 lati ELEMENTI DEL TRIANGOLO Nome Definizione Punto di incontro Figura base uno qualsiasi dei suoi lati // Segue

10 106 altezza bisettrice perpendicolare tracciata dal vertice sul lato opposto o sul suo prolungamento semiretta, che uscendo dal vertice, divide l angolo in due parti uguali ortocentro incentro mediana segmento che uscendo dal vertice divide il baricentro lato opposto in due parti uguali asse retta perpendicolare al lato nel suo punto circocentro medio CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI Secondo i lati Nome Definizione Figura equilatero isoscele Tutti i lati e gli angoli interni sono uguali. Ortocentro, incentro e baricentro si incontrano nello stesso punto Due lati uguali (gli angoli alla base sono uguali) Parte Seconda Segue

11 Geometria piana 107 scaleno Tutti lati disuguali Secondo gli angoli Nome Definizione Figura rettangolo acutangolo ottusangolo Ha un angolo retto; i due lati adiacenti a questo angolo si chiamano cateti; il terzo lato si chiama ipotenusa Ha tutti gli angoli acuti Ha un angolo ottuso Nota Un triangolo ha sempre 3 angoli interni, la cui somma corrisponde sempre a 180, cioè a un angolo piatto. La somma fra un angolo interno il corrispondente angolo esterno è 180. Criteri di uguaglianza dei triangoli Rapporto fra triangoli e circonferenze Due triangoli sono uguali se hanno rispettivamente i tre lati uguali Due triangoli sono uguali se hanno rispettivamente uguali due lati e l angolo compreso Due triangoli sono uguali se hanno rispettivamente uguali due angoli ed il lato da essi compreso Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo in cui l ipotenusa è uguale al diametro. Il lato di un triangolo equilatero circoscritto ad una circonferenza è uguale al doppio della misura del raggio moltiplicato per radice di tre. Il lato di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza è uguale alla misura del raggio moltiplicata per radice di tre. L apotema di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza è uguale alla metà della misura del raggio ap = r : 2. L altezza di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza è uguale al triplo della misura del raggio diviso due. In un triangolo rettangolo la somma delle misure dei cateti è uguale alla somma tra la misura dell ipotenusa e il diametro del cerchio inscritto. Relazioni fra i lati In un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due a < b + c; b < di un triangolo a + c; c < a + b

12 108 FORMULE RELATIVE AI TRIANGOLI Perimetro: si ottiene sommando la misura dei lati. Nota In un triangolo equilatero, avendo i lati uguali, è p = I 3. bh Area: la formula generale è a = ovvero base per altezza diviso 2. 2 Parte Seconda Nota In un triangolo rettangolo sono altezze entrambi i cateti; perciò l area si calcola moltiplicando i cateti fra loro e dividendo per 2: c 1 c 2 2 FORMULA DI ERONE In un triangolo quando sono note le misure dei lati, si ottiene l area estraendo la radice quadrata dal prodotto del suo semiperimetro per le differenze fra il semiperimetro e ciascuno dei tre lati: p p p p a = I I I TEOREMA DI PITAGORA In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Questo risulta molto utile per la risoluzione di alcuni problemi. Ne deriva il concetto di terna pitagorica: sequenza di tre numeri a, b, c per cui vale la relazione a 2 + b 2 = c 2, potrebbero perciò essere misure dei lati di un triangolo rettangolo. Es. la terna pitagorica primitiva è 3, 4, 5: infatti = 5 2, perché = TEOREMA DI EUCLIDE In ogni triangolo rettangolo, ciascun cateto è medio proporzionale fra l ipotenusa e la sua proiezione sull ipotenusa.

13 Geometria piana TEOREMA DI EUCLIDE In ogni triangolo rettangolo l altezza relativa all ipotenusa è media proporzionale tra le due proiezioni dei cateti sull ipotenusa. I QUADRILATERI Quadrilatero: poligono con 4 lati. Classificazione dei quadrilateri Relazioni tra i lati di un quadrilatero IL TRAPEZIO Trapezi Hanno solo 2 lati paralleli Parallelogrammi Hanno i lati paralleli a due a due In un quadrilatero ogni lato è minore della somma degli altri tre Trapezio: quadrilatero con 2 lati paralleli. Elementi del trapezio basi: i lati paralleli; a seconda della dimensione si chiamano base minore e base maggiore lati obliqui: gli altri 2 lati altezza: distanza tra le basi Somma degli La somma degli angoli interni angoli interni è sempre 360 Romboide: parallelogramma con 2 angoli acuti e 2 angoli ottusi Rettangolo: parallelogramma con 4 angoli retti Rombo: parallelogramma con 4 lati uguali, le cui diagonali risultano tra loro perpendicolari Quadrato: parallelogramma con 4 angoli retti e i lati uguali

14 110 ottusangolo CLASSIFICAZIONE DEI TRAPEZI Nome Definizione Figura acutangolo o isoscele rettangolo ha un angolo ottuso ha tutti gli angoli acuti; sono uguali fra loro: i lati obliqui le diagonali i 2 angoli adiacenti alla base maggiore i 2 angoli adiacenti alla base minore ha un lato obliquo perpendicolare alle basi, formando 2 angoli retti; pertanto quel lato coincide con l altezza Perimetro: si calcola sommando fra loro i lati ( bm + bm) h Area: somma delle basi per altezza diviso 2: a = 2 IL PARALLELOGRAMMA Parallelogramma: quadrilatero con lati paralleli a due a due. una diagonale divide un parallelogramma in due triangoli uguali i lati oppo- sti sono uguali gli angoli opposti sono uguali Particolarità dei parallelogrammi IL ROMBOIDE Parte Seconda le diagonali si tagliano scambievolmente a metà gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari Romboide: parallelogramma con 2 angoli acuti e 2 angoli ottusi. Nota I lati opposti sono uguali Perimetro: essendo i lati uguali a due a due, si calcola moltiplicando per 2 la loro somma, cioè p= ( l + l ) Area: considerando come base uno dei lati, è uguale alla base per la sua altezza, quindi a = b h

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