Esame di Stato di Liceo Scientifico Corso di Ordinamento. Soluzione dei Temi di Matematica proposti nella Sessione Ordinaria 2009.

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1 Corso di Ordinamento Soluzione dei Temi di Matematica proposti nella Sessione Ordinaria 9

2 Sommario Problema 3 Punto 3 Punto 3 Punto 3 5 Punto 4 6 Problema 7 Punto 7 Punto 7 Punto 3 8 Punto 4 8 Questionario 9 Quesito 9 Quesito 9 Quesito 3 9 Quesito 4 9 Quesito 5 Quesito 6 Quesito 7 Quesito 8 Quesito 9 Quesito

3 Problema Punto L area S richiesta è data dall area del settore circolare AOB meno quella del triangolo AOB L area del settore circolare OAB è (*) S r, quella del triangolo è S sin AOB AOB r e quindi: S S S sin AOB r r r sin AOB Punto Posto r la unzione da studiare è: S sin, con, Dominio La unzione è deinita su tutto l asse reale, ma per le limitazioni imposte la studiamo nell intervallo D, Simmetrie Risultando: S sin sin e S sin sin La unzione non presenta particolari simmetrie Segno Intersezioni con gli assi cartesiani Rappresento in uno stesso diagramma le unzioni y e y sin Osservo che: sin per, ; sin per ; sin per, Pertanto, risulta:, ; S per S per, L unica intersezione con gli assi cartesiani è l origine S Nel secondo estremo del dominio risulta: Discontinuità Comportamento negli estremi del dominio Asintoti La unzione non presenta discontinuità Determino il limite negli estremi del dominio Risulta: 3

4 lim sin in quanto somma di una unzione ininita con una limitata; lim sin in quanto somma di una unzione ininita con una limitata Pertanto la unzione non ammette asintoti orizzontali Risulta: sin sin lim lim lim in quanto il rapporto tra una unzione limitata (sin) con una unzione ininita () è ininitesima, e lim sin lim sin questo secondo limite non esiste Pertanto la unzione non ammette asintoti obliqui Studio della monotonia Massimi e minimi relativi Calcolo la derivata prima Risulta S ' cos La derivata prima è positiva, e si annulla per La unzione è sempre crescente, F, sono rispettivamente il minimo e il massimo Per le limitazioni imposte i punti O e assoluto Convessità, concavità, punti di lesso Calcolo la derivata seconda Risulta S '' sin, e si annulla per La derivata seconda è positiva Pertanto la unzione S è: convessa per,, concava per, Nei punti O, e F, presenta lessi a tangente orizzontale Nel punto F, presenta un lesso a tangente obliqua la cui tangente è : t ' F y S, cioè : tf y Graico In rosso è riportato il graico della unzione con le limitazioni, in nero la stessa unzione disegnata senza 4

5 Punto 3 Posto S AOB m, per conronto con l uguaglianza (*), si ottiene: r r Il perimetro del settore circolare AOB è la unzione: P r r la cui derivata prima è: ' P 5 e risulta ; P' per Pertanto il perimetro del settore circolare AOB è minimo per e per Per determinare in gradi sessagesimali, imposto la proporzione: : :8 da cui ' 96'' r 5

6 Punto 4 Fisso un sistema di rierimento cartesiano ortogonale con l origine in O e l asse delle ascisse coincidente con il lato OB, il lato OA appartiene alla retta di equazione roa : y tg cioè roa : y 3, l arco 3 BA alla semicirconerenza positiva con il centro nell origine e raggio la cui equazione è y 4 In questo sistema di rierimento il punto A ha coordinate Acos ;sin 3 3, ossia A ; 3 I solidi ininitesimi hanno volumi dati da: dv 3 d 3 d per ; dv 4 d 4 d per ; Pertanto il volume del solido W è: 8 8 W d d

7 Problema Punto Preso un punto P generico sulla curva G : ln, esso ha coordinate P ;ln L equazione della tangente in P è: tp : y ln, la cui intersezione con l asse delle ordinate è il punto A ;ln La parallela per P all asse X ha equazione pp : y ln e, quindi, il punto B ha B ;ln coordinate Il segmento AB ha lunghezza data da: d A, B y y ln ln B A e, pertanto, il segmento AB ha lunghezza costante, indipendente dalla scelta del punto P Generalizzando la questione e considerando la unzione G : g log si ha: P ;log a ; t : y log log e ; P a a a a B;log a e, quindi, d A B A ;log log e, log a e, ossia anche in questo caso il segmento AB ha lunghezza costante, indipendente dalla scelta del punto P Punto La tangente alla unzione g G : g log nel suo punto di ascissa ha coeiciente g angolare g ' logae logae Ricordando il signiicato goniometrico del coeiciente angolare di una retta, risulta: loga e tg tg45 da cui a e Analogamente per 35 si ottiene: log e tg tg5 da cui a e a a a 7

8 Punto 3 La regione D è la regione riportata nel graico a lato Tale area è data dalla dierenza dell area del rettangolo, di dimensioni ed e, e l area sottesa dalla unzione G : ln con l asse delle ascisse Il punto d intersezione tra la retta y e la unzione G : ln è il punto di coordinate e, Il valore dell area D è: Punto 4 e e e e e D e ln d e ln D d e ln d e e e Per determinare il volume del solido generato da D in una rotazione completa attorno alla retta O ', le cui, opero inizialmente una traslazione di assi che porti l origine nel punto equazioni sono: X y Y In tale sistema, la unzione equazione G : Y ln X L equazione dell inversa è: Y G : X e G ha Il volume richiesto è dato dal volume generato dalla rotazione di G, da a (valori della Y), diminuito del volume del cilindro interno di altezza e raggio di base Quindi: y y y y e y V e dy e e dy e y e e 5 e e 8

9 Questionario Quesito Per ipotesi deve essere: Si ottiene d sin d d sin d, da cui integrando entrambi i membri: cos k Impongo la condizione di passaggio: cos k k da cui 3 k e, quindi, cos 3 Quesito Ricordo la deinizione di unzione iniettiva, suriettiva e biiettiva Siano A, B e : A B una unzione Si dice che è iniettiva se:, A se è suriettiva se: y B A ' y ossia se è biiettiva se è iniettiva e suriettiva, ossia se: Un applicazione suriettiva da A in B è la seguente: a b 3 4 c,, allora ; A B ; y B A ' y Avendo l insieme A 4 elementi e l insieme B 3 elementi, non è possibile creare un applicazione iniettiva o biiettiva, in quanto non è possibile associare ad ogni coppia di elementi distinti di A elementi distinti in B Quesito 3 I punti di una unzione a tangente orizzontale sono i punti in cui la tangente deve essere parallela all asse delle ascisse, ossia i punti in cui il coeiciente angolare della tangente è uguale a Tali punti possono essere o estremanti locali o punti di lesso Calcolo la derivata prima della unzione e impongo che sia uguale a Risulta: y ' 3 k 3 Ainché il punto a tangente orizzontale sia unico, l equazione deve ammettere due soluzioni coincidenti, ossia deve essere: k 9, da cui k 3 4 Quesito 4 Nella Geometria dello spazio i poliedri regolari sono i poliedri le cui acce sono poligoni regolari tra loro tutti congruenti e i cui angoloidi sono congruenti tra loro La somma delle acce di un angoloide è minore di quattro angoli retti Le acce di un angoloide devono essere angoli di poligoni regolari e devono essere almeno tre 9

10 Inoltre la somma degli angoli interni di un poligono regolare di n lati è pari a n L angolo interno di un esagono ha ampiezza 6 che moltiplicato per 3 da 6 3 La conseguenza è che non si possono avere poliedri regolari le cui acce siano esagoni, ettagoni, etc Quesito 5 All espressione è possibile attribuire valore numerico, in quanto il numero che moltiplicato per da è All espressione non è possibile attribuire valore numerico in quanto un qualunque numero moltiplicato per da All espressione non è possibile attribuire valore numerico in quanto nessun numero moltiplicato per da All espressione non è possibile attribuire valore numerico in quanto, ricordando la deinizione di potenza con esponente naturale, si pone, per convenzione: n : n : n n Applicando entrambe le convenzioni per n si otterrebbe =! Quesito 6 La unzione accumulazione per D ha come dominio l insieme \ Risulta: lim lim lim In quanto, per risulta Quesito 7 Ricordando la deinizione di coeiciente binomiale, si ha che: n n n n n k n k k k! D e, pertanto è punto di n n n n k n k n n n n k n k k k! k! k n n k k k

11 Quesito 8 P 9, tale unzione polinomiale risulta continua in Posto 9 Osservato che: P e P per il teorema degli zeri, l equazione proposta ha una radice, Per dimostrare che tale radice è unica, calcolo la derivata prima di Risulta P' Ne deduco che la unzione unica Quesito 9 P e tale derivata è strettamente positiva Seziono l intera igura con un piano parallelo al piano delle basi e calcolo le aree delle sezioni della scodella e del cono Il triangolo VOA è un triangolo rettangolo isoscele in quanto VO e OA sono raggi di una stessa sera Indicata con la distanza del punto V dal piano scelto, il raggio di base del cono è anch esso in quanto FG // AO e, di conseguenza, anche il triangolo VFG è un triangolo rettangolo isoscele Il cerchio di centro F e raggio FG ha area Per il teorema di Pitagora risulta: HF r P è strettamente crescente in tutto e, pertanto, il cerchio di centro F e raggio FH ha area r Il cerchio di centro F e raggio FE ha area r e,pertanto la soluzione è L area della corona, sezione del piano con la scodella è r r Pertanto, per il principio di Cavalieri, la scodella ha volume pari al cono Quesito Ricordo che: Siano A e \ A: T A; A: T T Una unzione : A si dice periodica di periodo T se: La unzione coseno è una unzione periodica di periodo T, ossia: : cos k cos con k

12 Dimostro che, dati ab, con a, la unzione cos a b Risulta: ha periodo cosa b cos a b cos a b cos a b a T 5 Pertanto la unzione cos5 ha periodo pari a T a