Alcuni esercizi risolti da esami di anni passati

Transcript

1 Alcuni esercizi risolti da esami di anni passati Andrea Braides ( x. Calcolare, se esiste, il limite lim (x,y (, x + y log + y + x 3 y. x + y Dato che log( + s = s + o(s per s, abbiamo lim (x,y (, ( x x + y log + y + x 3 y = lim x + y (x,y (, x 3 y = lim (x,y (, (x + y. ( x + y log + x3 y x + y Il limite è un quoziente di polinomi omogenei dello stesso grado, quindi non esiste. Basta vedelo per le rette x = su cui è e x = y su cui è lim x x 4 (x + x = 4.. Scrivere l equazione ( del piano tangente al grafico della funzione x + f(x, y = x (y log nel punto x = y =. y + Basta usare la formula z = f(x, y + x (x, y (x x + y (x, y (y y, con x = y =. Si ha (se pi comodo scrivendo f(x, y = e y log x log(x + + log(y + x = x(y y x x +

2 per cui: e il piano tangente è γ f(, =, y = x(y y log x + y +, x (, =, x (, = z = + (x + (y = (x + y. [ ] 3. Sia γ : π, π R, γ(t = (e t sin t, e t cos t. 4 4 ( y Calcolare x + y dx x x + y dy. Basta applicare la definizione di integrale di seconda specie, con dx = e t (sin t + cos t dt, dy = e t (cos t sin t dt. L integrale diventa, dopo le semplificazioni algebriche π/4 (cos t + sin t dt = π/4 π/4 π/4 dt = π. 4. Dire se l equazione sin(xe y + log(cos(x + y = definisce implicitamente una funzione ϕ = ϕ(y in un intorno di (,, e, se tale ϕ esiste, calcolarne lo sviluppo di Taylor di ordine. Sia f(x, y = sin(xe y + log(cos(x + y. Una condizione sufficiente affinché f(x, y = (= f(, definisca implicitamente una funzione della y è che (, x, che è verificata perché x = cos(xey e y tan(x + y che vale in (,. Lo sviluppo di Taylor di ϕ è dato da x = x + ϕ ((x x = ϕ (x. Dato che y = cos(xey xe y tan(x + y

3 si ha e lo sviluppo cercato è x =. ϕ ( = y x (, = (, 5. Trovare massimi e minimi assoluti di f(x, y = ye x sulla circonferenza di centro e raggio. Possiamo usare i moltiplicatori di Lagrange con g(x, y = x +y. Si ha quindi il sistema { ye x = λx e x = λy x + y =. Dato che x = y = non è soluzione possiamo eliminare λ e ottenere { x = y x + x =, che dà le soluzioni { x = + 5 y = e quindi min f = { x = + 5 y = e + 5, max = + 5, + 5 e + 5. (Si potrebbe notare che per il teorema di Weierstrass ci devono essere massimo e minimo, e dato che sia f che g sono regolari questi si possono trovare con i moltiplicatori di Lagrange. Dato che si trovano solo due punti non c è alcuna discussione ulteriore da fare. 6. Sia D = {(x, y : y x + y }. Disegnare D e calcolare ( x + x sin ydx dy. D (Suggerimento: disegnare prima D nel quadrante x, y. Usare le simmetrie di D e dell integrando Il primo suggerimento consiste nel fatto che D è simmetrico sia rispetto a x che y. Dunque basta disegnarlo nel primo quadrante, dove si riduce alla condizione y x + y

4 che è soddisfatta per y + 3 (o x Il secondo suggerimento ci dice che, dato che la funzione sin y è dispari, l integrando è antisimmetrico rispetto all asse x e quindi il suo integrale è nullo. Dato che x è simmetrica sia rispetto all asse x che quello delle y, l integrale diventa D + sia l intersezione di D con il primo quadrante 4 ( x + x sin ydx dy = D ( +y Questo integrale si calcola facilmente. Non includo i conti. y x dx dy. 7. Calcolare dominio di convergenza e la somma della serie nx n 9 n n= Per quanto riguarda il raggio di convergenza, trascurando il termine polinomiale n, è lo stesso di x n n che è una serie geometriva di ragione x /9 che converge per 9 n x /9 <, ovvero per 3 < x < 3. Inserendo x = ±3 nella serie si ha ± che diverge. Per calcolare la somma, scriviamo (invertendo sommatoria e derivazione n= n 3, n= nx n 9 n = n= d x n dx 9 = n d dx ( x n d = 9 dx n= x 9 = d 9 dx 9 x = 9x (9 x. 8. Calcolare la retta tangente all insieme C = {(x, y : y x + log( y = } nel punto x (,. Sia f(x, y = y x + log( y x = ex log y + log y log x. Allora l equazione della retta cercata è Dato che x (, (x + (, (y =. y x = yx log y x, y = yx x y + y,

5 si ha (, = x e la retta cercata è 3y x =. (, = 3 y 9. Classificare i punti stazionari di f(x, y = x + xy + log(x 3y. Dato che f è infinitamente derivabile nel suo dominio x 3y > dobbiamo prima risolvere f =, ovvero x = x + y + x 3y = y = x 3 x 3y = x 3y > che dà la soluzione x = o anche x 3y 4x + 3y = x 3y > 3 3, y = 4. Le derivate seconde sono 3 = (x + y f x = (x 3y, f x y = + 3 (x 3y, f y = 9 (x 3y Dato che l hessiano è negativo nel punto trovato, si ha un punto di sella. 3y. Calcolare ω, dove ω = γ x + y dx x x + y dy e γ : [ π, π] R, γ(t = ( cos t, sin t. Basta applicare la definizione, con dx = sin t dt, dy = cos t dt per cui si deve calcolare π π (3 sin t + cos t dt. Il calcolo si effettua per esempio usando le formule di duplicazione o ricordando che π π sin t dt = Il risultato è quindi 5π. π π cos t dt = π π (sin t + cos dt = π.. Dire per quali α R l insieme {(x, y : (x αy (x y + α = } definisce implicitamente una curva regolare nell intorno di ogni suo punto.

6 Dobbiamo esaminare separatamente gli insiemi definiti da x αy =, x y + α = e quindi la loro unione. L insieme x y + α = è una parabola con asse l asse delle y. L insieme x αy = è dato da: due rette trasversali che si incontrano in (, per α > (quindi in questo caso già questo insieme non è una curva regolare in (, l asse delle y per α = (che interseca la parabola y = x in (, e quindi non è una curva regolare in questo punto 3 il punto (, per α < (che è esterno alla parabola x y + α =, e quindi l insieme non è una curva regolare in (,. Dunque l insieme in questione non definisce mai una curva regolare nell intorno di (,.. Trovare massimo e minimo assoluti di f(x, y = x + y + x + y sull insieme {(x, y : x + y }. Eventuali punti stazionari interni si trovano ponendo f =. Questo dà la soluzione x = y = che è esterna all insieme. Dunque massimi e minimi, che esistono per il teorema di Weierstrass, sono sulla frontiera, che è composta dai quattro lati del quadrato di vertici (±, e (, ±. Possiamo parametrizzare la frontiera quindi con (a I quattro vertici, su cui la funzione assume i valori 3 e. (b I quattro lati: (b y = x, < x <, su cui la funzione diventa f(x, x = x + ( x + x + ( x = x x + 3, che ha un minimo in x = /, che vale 5/; (b y = x, < x <, su cui la funzione diventa f(x, x = x + (x + x + (x = x + x, che non ha punti stazionari; (b3 y = + x, < x <, su cui la funzione diventa f(x, + x = x + ( + x + x + ( + x = x + 6x + 3, che non ha punti stazionari; (b4 y = x, < x <, su cui la funzione diventa f(x, x = x + (x + + x (x + = x + x, che ha un minimo in x = /, che vale 3/. In conclusione il minimo è 3/, ottenuto nel punto ( /, /, e il massimo è 3, ottenuto nei punti (, e (,. La stessa conclusione si ottiene facilmente usando i moltiplicatori di Lagrange.

7 3. Calcolare x + y dx dy, dove D = {(x, y : x +y 4, x +x+y }. D Il dominio è costituito dai punti esterni alla circonferenza di centro (, e raggio e interni alla circonferenza di centro (, e raggio. In coordinate polari il domino diventa: π θ π, ρ, e π θ 3 π, cos θ ρ, per cui l integrale è π π ρ dρ dθ + 3 π π cos θ ρ dρ dθ = 8 3 π π ( + cos 3 θ dθ. L ultimo integrale si svolge con la sostituzione s = sin θ. Tralascio i dettagli. 4. Calcolare l area della parte della superficie cilindrica x + y = x interna alla sfera x + y + z 4. La superficie in questione ha come base sul piano xy la circonferenza x +y = x e altezza data da z 4 x y (= 4 x sostituendo l equazione della circonferenza, ovvero 4 x. Se γ indica una parametrizzazione della circonferenza x +y = x l area è quindi 4 x. Una parametrizzazione di γ è per la quale γ = e l integrale diventa γ x = + cos θ, y = sin θ, θ π π π 4 ( cos θ dθ = + cos θ dθ. L integrale si risolve con la sostituzione cos θ = cos (θ/. Tralascio i conti. 5. Calcolare il dominio di convergenza e la somma di n= ( n x n n +.

8 Dato che la serie di Taylor dell arcotangente converge per x (per x = ± si può usare Leibniz e si ha n= ( n x n+ n + = arctan x, la nostra serie converge anch essa nello stesso dominio e si ha, per x n= ( n x n n + = x n= ( n x n+ n + Per x = la somma della serie è. = x ( n= ( n x n+ n + x = ( arctan x x. x ( x 6. Calcolare, se esiste, il limite lim (x,y (, x + y log + x 4 + y 4 y 8. 4 x + y 4 Esaminiamo l andamento della funzione sugli assi: sull asse delle x (ovvero per y = si ha ( x x + y log + x 4 + y 4 y 8 = ( x 4 x + y 4 x log + x 4 = ( x x log + x. Per il limite notevole log( + z lim = z z abbiamo ( lim x x log + x = sull asse delle y (ovvero per x = si ha ( x x + y log + x 4 + y 4 y 8 = ( y 4 4 x + y 4 y log y 8 = ( 4 y 4 y log y. 4 4 che tende a per y. Dunque sull asse delle y il limite è mentre sull asse delle x è, quindi non esiste. 7. Scrivere l equazione del piano tangente al grafico della funzione f(x, y = (cos(x y log(x+ nel punto x = y =. Si ha ( log cos(x y f = (cos(x y log(x+ tan(x y log(x+, tan(x y log(x+ x +,

9 per cui e quindi il piano tangente è 8. Calcolare γ(t = (t, e t sin tπ. Un potenziale è dato da γ f(, = log =, f(, = (,, z =. ( (x + y + y sin(xy dx + (x + x sin(xydy dove γ : [, ] R, per cui l integrale vale f(x, y = x3 3 + xy cos(xy, f(γ( f(γ( = f(, f(, = Dire se l equazione (x + y (cos(x y e x y = definisce implicitamente una funzione ϕ = ϕ(y in un intorno di (,, e, se tale ϕ esiste, calcolarne lo sviluppo di Taylor di ordine. Dato che f(x, y = cos(x y e x y = per x y = (e x + y = solo in questo punto questa equazione è equivalente alla prima. Il gradiente di f è per cui f(x, y = ( sin(x y e x y, sin(x y + e x y f(, = (,, da cui, per il teorema di Dini la ϕ cercata esiste e, dato che la retta tangente all insieme delle soluzioni in (, è y = x, questo è lo sviluppo cercato.. Trovare massimi e minimi assoluti di f(x, y = ye x sulla circonferenza di centro e raggio. Per il teorema di Weierstrass massimo e minimo esistono. Usiamo i moltiplicatori di Lagrange per trovare i punti stazionari (tra i quali cercare massimo e minimo: si deve risolvere il sistema xye x = xλ e x = yλ x + y =

10 Una soluzione è x =, y = ± (e λ = ±/. Altrimenti si ha λ = ye x e, sostituendo, { = y da cui x = ± and y = ±. Sostituendo i valori ottenuti: f(, ± = ±, x + y = ( f ±, ± = ± e e = ±. Dunque, dato che e >, massimo e minimo sono ± e.. Sia D = {(x, y, z : x + y, y + z }. Calcolare Possiamo integrare per fili e usare la parità di y e y y dx dy dz = y y dx dy = D = y {x +y } dx y y y dy = 4 Si può anche integrare prima in dy: x y y dy dx = 4 3 D {x +y,y>} y dx dy dz. y y dx dy y( y dy = [ ( y ] =. [( y 3/ ] x dx = 4 3 ( 3 x 3 dx 3 e quindi si conclude (qui bisogna fare attenzione che (x 3/ = x 3 e non x 3. x arctan(xy y log( + x. Calcolare, se esiste, il limite lim. (x,y (, yx 4 Il punto (, è di accumulazione per la funzione in esame, quindi possiamo calcolare il limite. Usando gli sviluppi di Taylor x arctan(xy = x(xy + o(x 3 y = x y + o(x 4 y ( y log( + x = y x x4 + o(x 4 = yx yx4 + o(yx 4 Dunque x arctan(xy y log( + x yx 4 = yx4 + o(yx 4 yx 4 = + o(

11 e il limite è. 3. Discutere il dominio e classificare i punti stazionari di f(x, y = x log(y + yx. Il dominio è dato dalla relazione y( + x > e quindi consta di due quadranti {x >, y > } e {x <, y < }. Il gradiente di f è ( log(y + yx + x + x, x y che si annulla per x = e y =. Le derivate seconde sono f x = + x x ( + x, f x y = y, f y = x y Per x = e y = il determinante della matrice hessiana è e quindi si ha un punto di sella. ( y + x + y x 4. Calcolare dx γ x + y x + y dy dove γ : [, π] R, γ(t = (sin t, cos t. Possiamo applicare direttamente la definizione: π (( cos t sin t + cos t + sin t cos t + sin t + cos t sin t dt = π ( + cos tdt = π. 5. Dire per quali valori di α l insieme {(x, y : (αx y (x + y α = } definisce una curva regolare nell intorno di ogni suo punto. Per simmetria possiamo discutere solo il caso α, dato che se (x, y appartiene all insieme per un certo α, allora ( x, y appartiene all insieme per α. Per α = l equazione αx y = non ha soluzione e x + y α = è un punto, dunque non si ha una curva regolare. Per α > l equazione αx y = rappresenta una parabola di vertice (/α, e x + y α = è una circonferenza di centro e raggio α. L insieme è regolare se le due curve non si intersecano, ovvero se il vertice della parabola è esterno alla corconferenza, ovvero α > α, che dà α <. Per α < si ha invece la condizione α >.

12 In conclusione, la risposta è α < e α. 6. Trovare massimi e minimi assoluti di f(x, y = x 4 y x 3 y sul triangolo di vertici (,, (, e (, usando i moltiplicatori di Lagrange ove possibile. I punti stazionari liberi di f sono dati da { 4x 3 y 3x y = x 4 x 3 y =. Eventuali punti stazionari interni al triangolo verificano { 4x 3y = x y =. Questo sistema ha la sola soluzione x = y = quindi non vi sono punti stazionari interni. Vediamo i punti del bordo. Dato che la funzione è su due lati, basta esaminare il lato tra i punti (, e (,, di equazione x + y = e normale (,. Il sistema è dunque 4x 3 y 3x y = λ x 4 x 3 y = λ x + y =, < x, y < da cui e (semplificando per x 4x 3 y 3x y = x 4 x 3 y 4xy 3y = x xy, x 6xy + 3y =. Dunque { x = (3 ± 6y x + y = da cui si ottengono i due punti cercati. 7. Sia D = {(x, y : ( x + + ( y + 5}. Disegnare D e calcolare y dx dy. D ( + L insieme è simmetrico rispetto a x e y. Basta disegnarlo nel primo quadrante, dove è la parte del cerchio di centro (, e raggio 5.

13 L integrale è 4 volte l integrale su D + = D {x >, y > }, ovvero 4 5 (y+ dx(y + dy = 4 ( 5 (y + (y + dy [ = ] 3 (5 (y + 3/ (y + = 3. { x y 8. Dire se è differenziabile in (, la funzione f(x, y = se (x, y (, x + y. se x = y = Dato che le derivate parziali sono entrambe nulle, si deve vedere se f(x, y = o( (x, y, ovvero se è nullo il limite lim (x,y x y (x + y 3/. Passando in coordinate polari (o considerando la restrizione a x = y si vede che il limite non esiste, e f non è differenziabile. 9. Disegnare il dominio della funzione f(x, y = (x y (x + y. Si divide il piano in quattro regioni tracciando i grafici della parabola x y = e la retta x y =. Per determinare quale regione è nel dominio ci si deve ricordare di tenere conto della regola dei segni. 3. Trovare i punti di massimo e minimo relativi della funzione f(x, y = (y x(x + y. Dato che f è una radice (e quindi non negativa, i punti di minimo assoluto sono il bordo del dominio, dove f(x, y =. Basta quindi esaminare i punti interni, dove possiamo porre f(x, y =, per cui si ottiene (si semplifica, di poco, il calcolo se si nota che basta cercare i punti stazionari di g(x, y = (y x(x + y { gx = (x + y + (y x = g y = y(x + y + (y x =, ovvero (sottraendo la prima equazione alla seconda { x = y + y y(x + y + (x y = (x + y(y + = { y = x = 3 8. Questo punto sta nel dominio di f. Calcolando la matrice Hessiana di g in questo punto, si vede che è definita negativa, ovvero si ha un massimo relativo.