FUNZIONI ELEMENTARI RICHIAMI SULLE DISEQUAZIONI E GRAFICI DEDUCIBILI. Angela Donatiello 1

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1 FUNZIONI ELEMENTARI RICHIAMI SULLE DISEQUAZIONI E GRAFICI DEDUCIBILI Agela Doatiello 1

2 Ua fuzioe del tipo f() = m + q, co m e q umeri reali, è ua FUNZIONE LINEARE. Il umero q è detto INTERCETTA o ORDINATA ALL ORIGINE, il termie m è detto COEFFICIENTE ANGOLARE. Tale fuzioe è defiita R e rappreseta ua retta del piao cartesiao o parallela all asse y. Se q = 0, allora la retta passa per l origie degli assi. Esempio. y = 4 I tal caso le due gradezze e y soo tra loro i ua relazioe di proporzioalità diretta. Def. Due gradezze si defiiscoo direttamete proporzioali se il loro rapporto è costate. Agela Doatiello 2

3 Legge di Hooke: la forza elastica di richiamo è direttamete proporzioale all allugameto subito dalla molla o alla deformazioe elastica, mediate ua costate di proporzioalità k detta costate di elasticità. F = - k Se = 0 allora q = f(0) è detto VALORE INIZIALE. Tale valore assume u sigificato particolarmete importate se la variabile idipedete è il tempo t. Il valore iiziale corrispode all itersezioe della fuzioe co l asse delle ordiate. Durata del ciclo cellulare: (itervallo di tempo che itercorre tra ua divisioe e l altra) Fase S Posto t = 0 l istate iiziale della fase. P(t) = la frazioe di DNA di ua sigola cellula che risulta duplicata all istate t. Dati sperimetali provao che P(t) = a t (fuzioe lieare del tempo) co a dell ordie di decie di migliaia Agela Doatiello 3

4 2-1 y 2 -y 1 A ( 1,y 1 ) B( 2,y 2 ) m = y 2 2 y 1 1 = y = tgα dove α è l agolo che la retta forma co l asse delle ascisse valutato i seso atiorario. RAPPORTO INCREMENTALE o TASSO DI VARIAZIONE Tasso di crescita del peso di u eoato tra la secoda e sesta settimaa Tasso di dilatazioe termica Agela Doatiello 4

5 m > 0 la retta è ua fuzioe crescete ( 1 < 2 y 1 < y 2 ) y Per cui = α acuto tgα >0 m < 0 la retta è ua fuzioe decrescete ( 1 < 2 y 1 > y 2 ) y Per cui = α ottuso tgα < 0 Agela Doatiello 5

6 Codizioe di parallelismo tra rette: r // r' m = m' Codizioe di perpedicolarità tra rette: r r' m = 1 m' Equazioe del fascio proprio di rette (retta passate per u puto assegato P( 0,y 0 ) ): y = m( ) y 0 0 Equazioe della retta passate per due puti: A ( 1,y 1 ) B( 2,y 2 ) y y m = 2 1 e y y1 = m( 1) 2 1 y y y y 2 1 y y = 1 + ( y2 y1 ) = Agela Doatiello 6

7 Gradi Celsius e Fahreheit Temperatura di Cogelameto Temperatura di Ebollizioe = C y = F Gradi Celsius C Gradi Fahreheit F 0 C 32 F 100 C 212 F y y 2 y y 1 1 = F = C F = C Agela Doatiello 7

8 Es. Determiare la retta passate per P=(2,-4) e perpedicolare alla retta y=2-7 Es. Determiare la retta passate per P=(-3,1) e parallela alla cogiugete A=(-2,0) e B=(3,5) Es. Siao r:y=2+5 e s:y=-+7. Scrivere l equazioe della retta passate per il puto di itersezioe di r ed s e parallela alla retta di equazioe y=1/2+2. Agela Doatiello 8

9 FUNZIONE QUADRATICA Ua fuzioe del tipo f() = a 2 + b + c co a,b,c R ed a 0 È detta fuzioe quadratica. Il suo grafico è ua parabola geerica. Il grafico della parabola è simmetrico rispetto ad ua retta parallela all asse y, detto asse di simmetria, di equazioe = b 2a La parabola ha vertice el puto di coordiate co = b 2 4ac V Se a > 0 la parabola volge la cocavità verso l alto b 2a ; 4a Se a < 0 la parabola volge la cocavità verso il basso Agela Doatiello 9

10 Agela Doatiello 10

11 EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Risolvere u equazioe del tipo a 2 + b + c = 0 sigifica risolvere il sistema 2 y = a ossia cercare le itersezioi tra la fuzioe quadratica e l asse delle ascisse (asse ) Tali soluzioi vegoo defiite RADICI o ZERI della fuzioe. y = + 0 b + c Agela Doatiello 11

12 = b 2 4ac Se > 0 l equazioe ammette due soluzioi reali e b b + distite 1 = e 2 = 2a 2a (due itersezioi co l asse ) Se = 0 l equazioe ammette due soluzioi reali e b coicideti 1 = 2 = 2a (ua sola itersezioe co l asse ) Se < 0 l equazioe o ammette soluzioi reali, ciò vuol dire che la fuzioe quadratica o ha itersezioi co l asse Agela Doatiello 12

13 a > 0 a 2 + b + c >0 DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO > 0 = 0 < 0 > < 1 2 R, 1 R Agela Doatiello 13

14 a > 0 a 2 + b + c 0 > 0 = 0 < 0 R R 1 2 Agela Doatiello 14

15 a > 0 a 2 + b + c < 0 > 0 = 0 < 0 < < / R / R 1 2 Agela Doatiello 15

16 a > 0 a 2 + b + c 0 > 0 = 0 < = / R Agela Doatiello 16

17 DISEQUAZIONI RAZIONALI FRATTE N() D() N() 0 o 0 D() Si studiao il sego del umeratore e il sego del deomiatore, aalizzadoe la positività. Si costruisce poi u grafico dei segi su cui riportare gli itervalli di positività di umeratore e deomiatore. Si determia, ifie, co la regola dei segi, il sego del rapporto N/D Esempio Esempio Sol: (-2;2) Sol: (, 4) ( 2; + ) Agela Doatiello 17

18 D (X) > 0 ( < SISTEMI DI DISEQUAZIONI 0) Si determiao le soluzioi della prima 1 disequazioe, si determiao le soluzioi della D2(X) > 0 ( < 0) secoda disequazioe e si rappresetao tali soluzioi su u grafico di sistema. (Le soluzioi di ua sigola disequazioe vao rappresetate co ua liea cotiua su uo stesso livello, le disequazioi dell altra disequazioe su u secodo livello). Si ricercao ifie le soluzioi comui, ossia quelle che soddisfao etrambe le disequazioi. Esempio: > Sol: (, 3) (3,5] Agela Doatiello 18

19 Agela Doatiello 19 PROPRIETA DELLE POTENZE Cosidero a > 0 m m a a a + = (ab) b a = m m a a a = m m a ) (a = m m a a = 1 a a =

20 FUNZIONE POTENZA Ua fuzioe poteza è defiita come ua fuzioe del tipo α α>0 α pari f () = a co a 0 e α R Domiio: R Codomiio: [0;+ ) Fuzioe pari Fuzioe decrescete per < 0 e crescete per >0 Fuzioe o ivertibile i quato o iiettiva f() > 0 R f() = 0 co = 0 Agela Doatiello 20

21 α dispari Domiio: R Codomiio: R Fuzioe dispari Fuzioe mootoa crescete i seso stretto Fuzioe ivertibile f() > 0 per > 0 e f() < 0 per < 0 f() = 0 co = 0 Agela Doatiello 21

22 1 α = 1 f () = = pari Domiio: [0;+ ) Codomiio: [0;+ ) è l iversa della fuzioe y = ristretta all itervallo i cui 0 Agela Doatiello 22

23 1 α = 1 f () = = dispari R esiste è l iversa della fuzioe y =, co dispari Agela Doatiello 23

24 f () α 1 = = α Caso particolare: α = 1 f () = 1 = 1 iperbole equilatera riferita agli asitoti L origie è cetro di simmetria. Fuzioe dispari. Due gradezze e y si defiiscoo iversamete proporzioali se e solo se il loro prodotto è costate, se e solo se y = k Agela Doatiello 24

25 ALCUNE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE TRASLAZIONI y = f(+k) co k > 0 y = f(+k) co k < 0 y = f() + h co h > 0 y = f () + h co h < 0 Traslazioe a siistra di ua quatità k Traslazioe a destra di ua quatità k Traslazioe verso l alto di ua quatità h Traslazioe verso il basso di ua quatità h Agela Doatiello 25

26 Grafici co programma Graph Agela Doatiello 26

27 Grafici co programma Graph Agela Doatiello 27

28 Applicado ua traslazioe orizzotale e ua traslazioe verticale alla fuzioe y = h si ottiee ua uova fuzioe detta fuzioe omografica. y = co c a c b d ad bc 0 Asitoti: = y = a c d c y = Agela Doatiello 28

29 Disegare il grafico di ua fuzioe omografica: Domiio Studio del sego Itersezioi co gli assi Ricerca di evetuali simmetrie (simmetrica rispetto al puto d a O, ) c c Asitoti Aalisi grafica di domiio e codomiio. Ua retta si defiisce asitoto per ua curva se e solo se, al tedere dell ascissa e/o dell ordiata di u puto qualuque della curva all ifiito, la distaza tra il puto e la retta tede a zero. Agela Doatiello 29

30 FUNZIONE VALORE ASSOLUTO f () = = < 0 0 Domiio: R Codomiio: [0;+ ) Fuzioe pari Decrescete co < 0 Crescete per > 0 f()=0 per = 0 Agela Doatiello 30

31 Proprietà del valore assoluto: = 2 2 R = R y + y y = y 2 = R +, y R, y R =, y R, y y y 0 = y = ± y, y R Agela Doatiello 31

32 EQUAZIONI SEMPLICI CON I MODULI K < 0 impossibile f () = k K > 0 f() = - k f() = k K = 0 f() = 0 f() = g() f() = ±g() Esempio. + 5 = 6 Sol: = - 11 = 1 Esempio. 2 2 = 3 Sol: = 0 = 5 Agela Doatiello 32

33 DISEQUAZIONI SEMPLICI CON I MODULI K < 0 impossibile f () < k K > 0 - k < f() < k K = 0 impossibile f () > k f () < k f () > k K < 0 sempre vera el domiio di f K > 0 f() < - k f() > k 2 2 > 3 < 1 > 3 K = 0 sempre vera el domiio di f co f o ulla Esempio: si applica la defiizioe Agela Doatiello 33

34 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI dispari f () = g() f () > g() f () < g() f () = f () > f () < [g()] [g()] [g()] Agela Doatiello 34

35 pari f () = g() f () g() f () = 0 0 [g()] superflua f () > g() g() f () < 0 0 g() f () f () > 0 0 [g()] superflua f () < g() f () 0 g() > 0 f () < [g()] Agela Doatiello 35

36 Esempi = 4 Sol: < 2 Sol: < 2 > 2 2 > 1 Sol: 0 2 Agela Doatiello 36

37 ALCUNE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE SIMMETRIE Agela Doatiello 37

38 y = f() (fuzioe i blu) y = f( - ) simmetria rispetto all asse y (i rosso) y = - f() simmetria rispetto all asse (i verde) Agela Doatiello 38

39 GRAFICI DEDUCIBILI f () y = f () = f () f () f () Coicide co la fuzioe stessa dove essa è positiva, metre costruisco la simmetrica rispetto all asse solo ei tratti i cui la fuzioe è egativa. < 0 0 y = f ( ) = f () f ( ) 0 < 0 Coicide co la fuzioe dove la variabile è positiva, metre va tracciata la sua simmetrica rispetto all asse y solo el tratto i cui è egativa. Agela Doatiello 39