Sull enumerazione di meccanismi a vite

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1 Sull enumerzione i menismi vite M. Cvee Università i Cssino, Cssino E-mil:vee@unis.it E. Pennestrì Università i Rom Tor Vergt, Rom E-mil:pennestri@me.unirom2.it L. Vit Università i Rom Tor Vergt, Rom E-mil:vit@ing.unirom2.it Keywors: Numer synthesis, Enumertion of mehnisms, Srew mehnisms SUMMARY: Enumertion of mehnisms is lssil fiel in kinemtis. In this investigtion it is resse the prolem of enumertion of srew mehnisms. It hs een propose new metho of enumertion of these mehnism lss n somewht new kinemti hins hve een isovere. The metho se on some noteworthy reltions eue y R. Krus, mkes use of the polynomil hrteristi isomorphism test pte for lele grphs. 1 INTRODUZIONE L nlisi ell struttur inemti ei menismi ostituise un importnte settore i rier, soprttutto i fini ell iniviuzione sistemti i innovtive soluzioni ostruttive. In epo moern, è F. Reuleux [2] he si eve l impostzione su si sientifihe el prolem ell nlisi ell struttur inemti ei menismi, ell loro rppresentzione in form shemti, nonhé ell rispettiv enumerzione. Per qusi mezzo seolo gli stuiosi Teeshi i Cinemti hnno fornito importnti e notevoli ontriuti nel settore ell progettzione sistemti grzie ll euzione i relzioni rtterizznti l struttur inemti i vrie lssi i menismi. Nel presente rtiolo l teni i enumerzione propost R. Krus [3, ], pprentemente poo not si livello emio he inustrile, viene moifit per pplirl lle tene inemtihe on prmetro λ i moilità riotto. L teni fu originrimente impostt osì onsentire un enumerzione mnule i tene inemtihe. Ciò è omprensiile poihé gli inizi egli nni 50, epo in ui furono puliti i testi itti, non erno iffusmente isponiili mezzi i lolo utomtio. Tuttvi, l generlità ell trttzione non ne soffre fftto, per ui, grzie opportune moifihe, può essere impiegt nhe nell impostzione i metoologie i enumerzione i tene inemtihe etihettte fonte sull impiego i proeure omputerizzte. Con riferimento l prolem i ui l titolo el presente lvoro, si osserv he i risultti ell enumerzione i menismi vite ostituiti 3 memri, originrimente presentti W. Jhr [5], sono stti più reentemente riportti nhe P.W. Jensen [6]. Rihimt l teni i enumerzione i Krus vli per menismi spzili e pini, si proee ll enumerzione i tene inemtihe e 5 memri un g..l. in ui sino presenti oppie elioili, prolem he non semr si stto ffrontto in mnier sistemti. Per l verifi ell isomorfismo i si è vvlsi el noto riterio el polinomio rtteristio (e.g. [1]), pplito però un mtrie elle ienze i ui elementi ontengono le informzioni ir l ntur elle oppie inemtihe presenti. Un volt iniviute le tene inemtihe si sono enumerti i menismi non isomorfi he queste isenono.

2 2 STRUTTURA CINEMATICA DI MECCANISMI SPAZIALI Com è noto, l formul i Kutzh per il lolo ei g..l. v nei menismi spzili ssume l espressione in ui - n è il numero totle i memri; - f il g..l. ell generi oppi inemti; v = λ(n 1) (6 f ) (1) j - λ, prmetro i moilità (usulmente 6 per menismi spzili, oppure 3 per menismi pini o sferii); mentre l sommtori è estes tutte le j oppie inemtihe presenti nel menismo. Si i memri he le oppie inemtihe possono suiviersi in ue tegorie: ) ienti l telio; ) non ienti l telio o intermei. Un memro iesi iente l telio se ollegto questo meinte un oppi inemti. Similmente, un oppi inemti iesi iente l telio se uno ei suoi elementi inemtii è proprio il memro telio. Pertnto, potremo srivere l uguglinz in ui srà - w è il numero ei memri ienti l telio; - n 0 è il numero ei memri non ienti, ovvero intermei. Initi on - f w il g..l. ell generi oppi inemti iente l telio; - f 0 il g..l. ell generi oppi inemti intermei; n = 1 + w + n 0, (2) f = f + f 0. (3) Ciò premesso, si può stilire l uguglinz (λ = 6) in ui s 0 è il numero elle oppie inemtihe intermeie. Pertnto, ll (1), tenuto onto elle (2) e (), si h (6 f ) = 6w f w + 6s 0 f 0, () v = f w + f 0 6(s 0 n 0 ). (5) Introuimo il numero z ei iruiti inipenenti in ui il memro telio non è presente. Grzie ll orrisponenz grfi-menismi, sriveremo z = s 0 (n 0 + w) + 1, (6) osihé f 0 = 6(z + w 1) + v f w. (7) Il numero egli elementi inemtii presenti nelle oppie inemtihe intermeie vle ove - n x numero i memri intermei l telio on moltepliità pri x; - w x numero i memri ienti on moltepliità pri x. 2s 0 = xn x + (x 1)w x, (8)

3 3 LIMITAZIONI SUL NUMERO DI COPPIE CINEMATICHE, TIPOLOGIE DI MEMBRI, CIRCUITI INDIPENDENTI Dll ominzione ell (6) e ell (8), tenuto onto ell onizione si h per ui ovvero, esseno segue l relzione n 0 = n x, (9) 2 n x + 2z + 2 w x = xn x + (x 1)w x, (x 2)n x + (x 3)w x 2z + 2 = 0, (x 2)n x = (2 2)n 2 + (3 2)n 3 + (x 2)n x, n 3 = 2z 2 (x 2)n x (x 3)w x, (10) he fornise il numero i memri ternri pprtenenti ll insieme ei memri intermei. In moo nlogo, sostitueno n 3 nell (9), segue Quest ultim, stnte l (6), si risrive nell form Esseno n 2 0, ovrà essere rispettt l isuguglinz n 2 = n 0 + 2(1 z) + (x 3)n x (x 3)w x. (11) n 2 = s 0 + 3(1 z) + (x 3)n x + (x )w x. (12) s 0 3(z 1) (x 3)n x (x )w x (13) sul numero i oppie inemtihe intermeie. Inoltre, ll (10) segue z = 1 + n (x 2)n x (x 3)w x, (1) osihé il minimo vlore i z vle z (x 3)w x. (15) Infine, oveno essere n 3 0, srà rispettt l isuguglinz STRUTTURA CINEMATICA DI MECCANISMI PIANI (x 2)n x 2(z 1) (x 3)w x. (16) L preeente trttzione può essere prtiolrizzt per i menismi pini quno si impong λ = 3 per il prmetro i moilità. In tl so, l formul i Kutzh si semplifi nell espressione (3 f ) = 3(n 1) v, ovvero v = 3(n 1) (3 f ). (17)

4 Posto f = 1 e (3 f ) = 2s, ll (17) segue l not formul i Grüler D ltro nto, esseno l (18) fornise Sempre per i menismi pini vrrnno le uguglinze per ui ll (7) segue ovvero, grzie ll (6), In virtù i quest ultim relzione, l (11) si prtiolrizz nell seguente v = 3(n 1) 2s (18) n = 1 + w + n 0, (19) s = w + s 0, (20) v = w + 3n 0 2s 0. (21) f 0 = s 0, (22) f w = w, (23) s 0 = 3(z 1) + 2w + v, (2) n 0 = 2(z 1) + w + v. (25) n 2 = v + (x 3)n x + (x 2)w x. (26) 5 STRUTTURA DI CATENE CINEMATICHE CON PARAMETRO DI MOBILITÀ λ=2 Vi è un lsse i menismi pini in ui il prmetro i moilità è pri 2. A esempio, se un menismo è ostituito eslusivmente oppie prismtihe i suoi memri ovrnno eseguire solo elle trslzioni, unque λ = 2. A quest lsse pprterrnno nhe i menismi pini in ui sono presenti oppie elioili ssi oinienti. È opportuno quini estenere le relzioni i Krus per l nlisi ell struttur inemti quest prtiolre lsse i menismi e, suessivmente, proeere ll enumerzione ei meesimi. Per λ=2, l formul i Kutzh si riue v = 2(n 1) (2 f ), ovvero, inito on s il numero totle i oppie inemtihe presenti, srà Inoltre, posto v = 2(n 1) s. (27) n = 1 + w + n 0, (28) s = w + s 0, (29) l (27) fornise Inoltre, esseno v = w + 2n 0 s 0. (30) w = f w, s 0 = f 0,

5 ll orrisponente ll (7) per i menismi spzili, si h ui Le relzioni (10) e (11) f 0 = 2(z + w 1) + v f w, (31) s 0 = 2(z 1) + w + v, (32) n 0 = z + v 1. (33) n 3 = 2z 2 (x 2)n x (x 2)w x, n 2 = n 0 + 2(1 z) + (x 3)n x (x 3)w x, restno invrite in qunto nell loro euzione non interviene il prmetro λ i moilità. L ultim relzione, tuttvi, può essere risritt nell form n 2 = 1 z + v + (x 3)n x (x 3)w x. (3) quno si teng onto ell (33). Similmente, le isuguglinze (15) e (16) mnterrnno l rispettiv vliità nhe per un riotto vlore el prmetro i moilità. 6 ENUMERAZIONE DI CATENE CINEMATICHE A VITE Le formule presentte nel preeente prgrfo possono impiegrsi per l enumerzione elle strutture inemtihe rtterizzte prmetro i moilità λ = 2, quli, esempio: menismi on solo oppie prismtihe; menismi on solo oppie elioli; menismi on oppie elioili, rotoili e prismtihe. Si osserv he nel presente lvoro i si ist ll pproio i Krus he iniviu, priori, il memro telio (vertie el grfo) per ui si proeerà inizilmente ll enumerzione i tene inemtihe. I ti fornire per poter inizire l enumerzione sono ostituiti : numero w ei memri intermei e loro gro i moltepliità; gro i liertà v el menismo; numero z ei iruiti inipenenti. Cso A: w = 2w 2, i ue memri ienti sono meue inri, v = 1, z 0. Cso A1 z = 0, s 0 =1, n 0 =0 (v. Figur 1) Cso A2 z = 1, n mx =1 n, s 0 =3, n 0 =1, n 3 =2, n 2 =-1. NON ESISTE. Cso B: w = 2w 2 + 1w 3, i ue memri inri e uno ternrio, v = 1, z 0. Cso B1 z = 0, s 0 =2, n 0 =0 (v. Figur 1) Cso B2 z = 1, n 2 =-1. NON ESISTE. Cso C: w = 3w 2, i memri ienti sono tre e tutti inri, v = 1, z 0.

6 A 1 A 6 A 1 A 2 e A 5 A 1 A 2 A 5 A 3 A A 2 A A 3 A 3 ) ) ) Figur 1: Grfi i tene inemtihe pine 1 g..l. on oppie elioili Cso C1 z = 0, s 0 =3, n 0 =1, n 3 =1, n 2 =0 (v. Figur 1) Per onurre l enumerzione: si stilise l ntur elle oppie inemtihe presenti; si etihettno i lti el grfo rppresentnte l ten inemti in tutti i moi non equivlenti; si eliminno le soluzioni isomorfe e non soisfenti l punto i vist inemtio. Nell presente ingine tli fsi sono stte eseguite seono molità e riteri ifferenti quelli previsti Krus, osì vvlersi i proeure utomtihe e grntire l esustività ei risultti. L Figur 6 rissume le fsi qui impiegte. Clol tutte lepermutzioni ell sequenz i etihette i oppie inemtihe Per isun elemento ell list lol ilpolinomio rtteristio Assegn isun lto un'etihett e form l list elle potenzili tene inemtihe Elimin tene inemtihe isomorfe o non ionee Figur 2: Flow hrt el progrmm i enumerzione sviluppto 7 ENUMERAZIONE DI CATENE CINEMATICHE PIANE AD 1 g..l., 3 MEMBRI E 1 COPPIA ELICOIDALE Come mostrto in Figur 1, per λ = 2, l più semplie ten è formt 3 memri e 3 oppie inemtihe (R=Rotoile, P=Prismti, S=Elioile) un gro i liertà. Nell enumerzione si può istinguere un form pien e un form v ell elemento inemtio he onorre formre l generi oppi inemti [5, 6]. Per isuno ei memri, e i memri he ompongono l ten inemti, possono presentrsi quttro ominzioni i elementi inemtii, per ui, in totle, vi srnno 12 morfologie i memri, osì ome mostrto in Figur 3. Consierte non equivlenti le forme ostruttive elente nell Figur 3, le ominzioni i queste nno luogo 8 tene inemtihe, osì ome speifito nell Tell 3.

7 Tell 1: Forme ostruttive egli elementi inemtii Coppi inemti Form Pien Simolo Form v Simolo Elioile Vite S + Mrevite S Rotoile Perno P + Foro ilinrio P Prismti Pistone P + Glifo P Tell 2: Cominzioni i elementi inemtii per i memri ell ten inemti 1 :R + S + 5 :S + P + 9 :P + R + 2 :R + S 6 :S + P 10 :P + R 3 :R S + 7 :S P + 11 :P R + :R S 8 :S P 12 :P R Figur 3: Forme ostruttive egli elementi inemtii ei memri formnti oppie elioili [5]

8 Tell 3: Ctene inemtihe non isomorfe Cten inemti Memri Cten inemti Memri I V II VI III VII 5 11 IV VIII ENUMERAZIONE DI CATENE CINEMATICHE PIANE AD 1 g..l., MEMBRI E COPPIE ELICOI- DALI Si è ipotizzto he nel menismo sino presenti ue oppie elioili, ue oppie prismtihe e un oppi rotoile. Il progrmm i lolo sviluppto seono il flowhrt i Figur 6 tr le trent possiili permutzioni ell list {A} {SSPPR}, ovvero tr i trent possiili moi i etihettre il grfo quttro vertii e inque lti, h enuleto le seguenti nove liste non isomorfe: {A} 1 {SPPSR}, {A} 2 {SPSPR}, {A} 3 {SPSRP}, {A} {PSPSR}, {A} 5 {PSPRS}, {A} 6 {PSSPR}, {A} 7 {RSPPS}, {A} 8 {RSPSP}, {A} 9 {RSSPP}. Il test i isomorfismo el polinomio rtteristio è stto pplito ll mtrie elle ienze etihettte in moo onsierre l ntur elle oppie inemtihe (lti el grfo). Ques ultim, esempio, nel so ell list {A} 1, ssume l form [M] = 0 S P R S 0 P S P P 0 0 R S 0 0. (35) Sono eliminre ll eleno elle tene inemtihe quelle in ui i memri inri sono ienti ue oppie prismtihe (tene e 1 e 9 ell Figur ). In tl so, inftti, vi srà un g..l. non ontrollile ostituito ll trslzione el memro inrio lungo l sse elle oppie. Sempre on riferimento ll Figur, le rimnenti tene possono iviersi in ue tegorie: quelle in ui lo spostmento reltivo tr ue memri è proporzionle ll ifferenz tr i pssi elle oppie elioili (2,3,6,7); quelle in ui lo spostmento non soisf il preeente requisito e, unque, presentno minore interesse l punto i vist ell funzionlità inemti (,5,8). Gli tlnti i menismi onsultti [2, 7, 9, 10, 11, 12, 6] riportno prevlentemente menismi tre memri e, tlvolt, l ten inemti 7, mentre le rimnenti tre strutture inemtihe semrno originli. 9 ENUMERAZIONE DI CATENE CINEMATICHE AD 1 g..l., 5 MEMBRI E COPPIE ELICOIDALI Si è ipotizzto he nel menismo sino presenti ue oppie prismtihe, ue oppie rotoili e ue oppie elioili. Il progrmm i lolo sviluppto seono il flowhrt i Figur 6 tr le sessnt possiili permutzioni ell list {A} {SSSPPR} h enuleto le seguenti sei liste non isomorfe: {A} 1 {SPPSRS}, {A} 2 {SPPSSR}, {A} 3 {SPPRSS}, {A} {SPSRPS}, {A} 5 {SPSRSP}, {A} 6 {SSPRPS} Le orrisponenti tene inemtihe sono stte shemtizzte in Figur 5, trnne quell reltiv ll list {A} 6 poihé present un memro inrio iente ue oppie prismtihe.

9 Figur : Ctene inemtihe PPSSR i menismi memri 10 ENUMERAZIONE DI MECCANISMI Un volt enumerte le tene inemtihe è interessnte rionosere, per isun i esse, il numero i menismi non isomorfi he tli tene inemtihe isenono. In generle, il numero i menismi strutturlmente non isomorfi non è ientimente ugule l numero i memri he ostituise il menismo stesso. L mggior prte ei ontriuti he si ritrovno in lettertur è rivolt ll enumerzione i tene inemtihe più he i menismi he si ottengono per inversione inemti. A esempio, un risultto notevole, vlio per le 230 tene inemtihe non etihettte 10 memri e 1 g..l., su ui i riertori ormi onorno, è he queste si ottengono 183 menismi [13, 1, 15]. È osservre, l riguro, he i test i isomorfismo [13, 1, 15] tr inversioni i un ssegnt ten inemti si limitno onsierre tene inemtihe non etihettte. Nel so in rgomento, tuttvi, è neessrio inluere nel test i isomorfismo quest ulteriore informzione. Per questo motivo, si è moifito il test proposto Mruthyunjy e Rghvn [13] pplinolo ll mtrie elle ienze etihettte. Con riferimento ll Figur, tutte le inversioni elle tene inemtihe 2, 3 e 6 sono ritenersi non isomorfe, ioè i menismi he si ottengono reneno telio strutturle 1 uno qulsivogli ei uno qulsivogli ei memri sono onsierrsi non equivlenti. Ciò vle nhe per l ten inemti 7, eezione ei memri e. Le inversioni inemtihe rispetto tli memri sono inftti ritenersi isomorfe. Con riferimento ll Figur 5, tutte le inversioni elle tene inemtihe 1,, 5 sono onsierrsi non isomorfe. Ciò vle nhe per le tene inemtihe 2 e 3 on l eezione elle inversioni rispetto i memri e. 1 Diesi telio strutturle il memro fisso el menismo llorhé questo si onsierto nel suo rele funzionmento. Vievers, iesi telio inemtio quel memro rispetto l qule si onsier il moto reltivo i un ltro memro el menismo. v. [1], p.178

10 e e e e e 5 Figur 5: Ctene inemtihe PPSSSR i menismi 5 memri 11 CONCLUSIONI È stt presentt un metoologi per l enumerzione i tene inemtihe e menismi rtterizzti prmetro i moilità λ = 2. A tle tegori pprtengono i menismi on memri nimti moto pino e in ui sino presenti oppie inemtihe rotoili, prismtihe e elioili. L metoologi propost si vvle ell teori i Krus per l efinizione elle rtteristihe ell struttur inemti, el riterio el polinomio rtteristiho per il test i isomorfismo e el riterio i Mruthyunjy e Rghvn per il test i isomorfismo tr le inversioni inemtihe. Ameue i suetti riteri sono stti ppliti ll mtrie elle ienze etihettte. L enumerzione qui esritt h onotto ll efinizione i menismi l mggior prte ei quli non erno noti in lettertur. Riferimenti iliogrfii [1] Di Beneetto, A., Pennestrì, E., Introuzione ll Cinemti ei Menismi, Cs Eitrie Amrosin, Milno, vol.i, [2] Reuleux, F., Kinemtis of Mhinery, Truzione i A.B.W. Kenney, Reprint of Dover Pulitions, New York. [3] Krus, R., Getrieelehre, Verlg Tehnik, Berlin [] Krus, R., Grünlgen es Systemtishen Getrieeufus, Verlg Tehnik, Berlin [5] Jhr, W., Knehtel, P., Grunzüge er Getrieelehre, Dr. Mx Jäneke, Verlguhshnlung, Leipzig, 1930, pp [6] Jensen, P.W., Clssil n Moern Mehnisms for Engineers n Inventors, Mrel Dekker, New York, 1991, pp [7] Brown, H.T., Five Hunre n Seven Mehnil Movements, 1868 (Menismo n.266). [8] Gimroono, A., I Menismi Prtii, Uffio Brevetti Internzionli, Npoli, 1926, p.185. [9] Mlvsi, C., 750 Menismi, E. Ulrio Hoepli, Milno, 196, p.113 (menismo n.301).

11 [10] Brer, T.W., The Engineers Sketh Book, Chemil Pulishing Co., New York, [11] Chironis, N.P., Slter, N., Mehnisms n Mehnil Devies Soureook, MGrw-Hill, 1990, pp [12] Artoolevsky, I.,I., Mehnisms in Moern Engineering Design, MIR Pulishers, Mosow, 1975, vol.ii, pp [13] Mruthyunjy, T.S., Rghvn, M.R., Computer-Aie Anlysis of the Struture of Kinemti Chins, Mehnism n Mhine Theory, vol.19, 198, pp [1] Ro, A.C., Vr Rju, D., Applition of the Hmming Numer Tehnique to Detet Isomorphism Among Kinemti Chins n Inversions, Mehnism n Mhine Theory, vol.26, 1991, pp [15] Pennestrì, E., Letter to the Eitor on Applition of the Hmming Numer Tehnique to Detet Isomorphism Among Kinemti Chins n Inversions, Mehnism n Mhine Theory, vol.28, 1993, pp