IL TEOREMA. Lezioni UNITÀ2. Geometria

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1 7_0_TEORI 9_ :8 Pagina 9 UNITÀ IL TEOREM I PITGOR Geometria Le conoscenze che devi avere Lezioni Le proprietà dei poligoni Il concetto di figure equivalenti Le abilità che devi avere Usare i procedimenti per determinare le aree delle figure Operare con le radici quadrate Le conoscenze che acquisirai E OS È IL TEOREM I PITGOR LE FORMULE EL TEOREM I PITGOR LE TERNE PITGORIE PPLIZIONI EL TEOREM I PITGOR LUNI SI PRTIOLRI 6 IL TEOREM I PITGOR NEL PINO RTESINO Il teorema di Pitagora Le terne pitagoriche Importanza della sintesi e della formalizzazione Le abilità che acquisirai pplicare il teorema di Pitagora per risolvere problemi Rafforzare l assimilazione del concetto di figure equivalenti Incrementare la capacità di saper valutare varianti e invarianti Incrementare la familiarità all uso corretto delle formule pprofondire la conoscenza dei numeri razionali Incrementare la capacità di risoluzione dei problemi

2 7_0_TEORI 9_ :8 Pagina 0 GEOMETRI U NITÀ - IL TEOREM I PITGOR abri Q Q LEZIONE he cos è il teorema di Pitagora La leggenda narra che Pitagora, passeggiando su un pavimento di piastrelle tutte uguali tra loro e aventi la forma di triangoli rettangoli isosceli, fosse colpito da alcune particolarità. Si dice che da queste osservazioni sia arrivato poi alla formulazione del suo celebre teorema. In realtà gli storici della Matematica non sono certi che le cose siano andate proprio così. Proviamo comunque a ripetere anche noi le osservazioni di Pitagora riportate dalla leggenda. Q Simulazione n. 0 Rappresentiamo un pavimento costituito da piastrelle aventi la forma di un triangolo rettangolo isoscele e fissiamo l attenzione sulla piastrella rosa. Osserviamo i quadrati verdi: Q e Q hanno per lato il cateto della piastrella; Q ha per lato l ipotenusa della piastrella. Q e Q sono formati ciascuno da due piastrelle, mentre Q è formato da piastrelle. Prendiamo una piastrella come unità di misura delle aree. Possiamo allora scrivere: rea Q = piastrelle rea Q = piastrelle rea Q = piastrelle onsideriamo ora altri triangoli rettangoli isosceli formati da più piastrelle. Per ognuno disegniamo i quadrati che hanno come lati i cateti e l ipotenusa dei triangoli. ESERITZIONE N. PG. 0 Q Q Q Q Q Q Q Q Q rea Q = piastrelle rea Q = 8 piastrelle rea Q = 6 piastrelle rea Q = piastrelle rea Q = 8 piastrelle rea Q = 6 piastrelle rea Q = 8 piastrelle rea Q = 6 piastrelle rea Q = piastrelle Osserviamo che in ogni situazione l area del quadrato costruito sull ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti. Vediamo ora di staccarci dall immagine delle piastrelle con considerazioni più generali. isegna un triangolo rettangolo isoscele qualunque e i quadrati che hanno come lati i cateti e l ipotenusa del triangolo; traccia le linee sottili come in figura (meglio è se disegni le figure su cartoncini colorati ed esegui effettivamente i tagli e le sovrapposizioni per i confronti). Osserva che il quadrato costruito sull ipotenusa è composto dallo stesso numero di elementi congruenti (triangoli rettangoli isosceli) che compongono complessivamente i due quadrati costruiti sui cateti. Possiamo allora generalizzare: # in un triangolo rettangolo isoscele, il quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. 0

3 7_0_TEORI 9_ :8 Pagina PGIN OPERTIV Un po di storia Pitagora e la scuola pitagorica Pitagora nacque nell isola greca di Samo attorno al 80 a.. (la data non è certa). Fece molti viaggi in Oriente e in Egitto, poi si stabilì a rotone, una colonia greca di quella che oggi è l Italia meridionale, all epoca Magna Grecia, dove fondò una scuola. Questa scuola aveva forse più le caratteristiche di una comunità di tipo religioso o, ancora meglio, di una setta vera e propria. I seguaci erano infatti tenuti ad appartenere alla scuola per tutta la vita e a mantenere segrete le conoscenze acquisite. La figura di Pitagora è circondata da una fama leggendaria e misteriosa: ben poco di quanto è stato riportato ha un valido fondamento storico. erto è che nella sua scuola ci si occupò di filosofia, matematica, magia, musica e astronomia. Le dottrine elaborate da Pitagora e dai discepoli erano un misto di razionalità e di misticismo. onsideriamo dapprima alcuni aspetti della parte razionale. Tutto è numero è il motto con il quale ancor oggi si sintetizza il pensiero della scuola pitagorica. I seguaci erano infatti convinti dell importanza suprema dei numeri nell origine dell universo. Secondo loro, quindi, ogni tipo di conoscenza doveva avere come base la conoscenza dei numeri, poiché tutta la realtà era esprimibile mediante numeri interi o razionali (cioè, come già sai, esprimibili sotto forma di frazione). Persino la musica era governata da leggi matematiche. I pitagorici espressero infatti la lunghezza dei suoni che compongono un armonia musicale mediante frazioni (; ; ; ; ). Questa modalità è ancor oggi in uso, anche se con 8 6 ampliamenti e modificazioni. Rappresentazione di Pitagora in una miniatura del XV secolo. Vediamo ora invece alcuni aspetti della parte mistica. I pitagorici credevano nella trasmigrazione dell anima, ossia erano convinti che le anime degli uomini e degli animali si reincarnassero dopo la morte in altri uomini o animali. Pitagora era probabilmente giunto a questa concezione derivandola dalla religione indiana durante uno dei suoi viaggi in Oriente. tal proposito Senofane racconta che Pitagora durante una passeggiata sgridò un uomo che percuoteva un cane con un bastone: Smettila, stai percuotendo un mio caro amico! Lo riconosco dai lamenti!. I seguaci della scuola si imponevano inoltre una rigida disciplina, anche mediante regole un po bizzarre: era infatti assolutamente proibito indossare abiti di lana o mangiare fave, nonostante si professasse la necessità di osservare una rigida dieta vegetariana per purificare lo spirito. La scuola pitagorica ebbe inoltre una caratteristica che la rese diversa da tutte le altre scuole filosofiche greche: ammetteva le donne come ascoltatrici! Particolare di una tavola del 96 in cui si ripropongono le teorie di Pitagora per spiegare le basi dell armonia musicale. ESERIZI pag. 8

4 7_0_TEORI 9_ :8 Pagina GEOMETRI U NITÀ - IL TEOREM I PITGOR Le osservazioni sulle piastrelle appassionarono molto Pitagora, che proseguì i suoi studi, trovando la relazione che lega i cateti e l ipotenusa di un triangolo rettangolo qualunque. Troviamo ora anche noi questa relazione. isegniamo un triangolo rettangolo T qualunque. isegniamo ora due quadrati congruenti, e '''', che abbiano come lato la somma dei cateti del triangolo rettangolo. c T c G c T T c Q T c I α c c T c E c ' c Q T T c T c Q c T ' c c c c β F ' ' Sui lati del primo quadrato riportiamo le misure dei cateti, come nella figura a fianco. ongiungiamo i punti E, F, G, I. Il quadrato iniziale risulta così scomposto nei triangoli rettangoli T, T, T, T e nel quadrato Q. I triangoli rettangoli T, T, T, T sono congruenti tra loro e anche al triangolo T, infatti hanno: un angolo retto, perché è un angolo del quadrato ; i cateti congruenti a quelli di T. Q è un quadrato, ha infatti: tutti i lati congruenti all ipotenusa di T e quindi congruenti tra loro; tutti gli angoli retti (ognuno è supplementare alla somma di a e di b, che è 90 ). nche sui lati del secondo quadrato '''' riportiamo le misure dei cateti, e suddividiamolo come nella figura a fianco. Il quadrato risulta così scomposto in: triangoli rettangoli congruenti tra loro e congruenti al triangolo T; due quadrati Q e Q : Q ha come lato il cateto c, Q ha come lato il cateto c. c Osserviamo che: togliendo dal secondo quadrato grande '''' i triangoli T, T, T, T, si ottiene la somma dei quadrati Q e Q ; togliendo dal primo quadrato grande i triangoli T, T, T, T, si ottiene il quadrato Q. Possiamo allora concludere che il quadrato Q, che ha per lato l ipotenusa di T, è equivalente alla somma dei quadrati Q e Q, che hanno per lati rispettivamente i cateti c e c di T. bbiamo trovato dunque la relazione che lega i cateti e l ipotenusa di un triangolo rettangolo, nota a tutti come teorema di Pitagora: # in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Q Q Q Ricordando le nostre conoscenze sulle figure equivalenti, possiamo enunciare il teorema di Pitagora in quest altro modo: # in un triangolo rettangolo l area del quadrato costruito sull ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti. rea Q + rea Q = rea Q

5 7_0_TEORI 9_ :8 Pagina PGIN OPERTIV Laboratorio UN LTR VI PER RRIVRE LL RELZIONE I PITGOR Su un foglio di cartoncino disegna un triangolo rettangolo qualunque. isegna anche i quadrati che hanno per lati i cateti e l ipotenusa. al vertice del triangolo prolunga il lato del quadrato costruito sull ipotenusa, fino a incontrare in il lato "". a traccia la parallela a fino a incontrare in E il lato ". al vertice prolunga il lato " fino a incontrare ' in F. Ritaglia le parti che si sono così costituite, ossia,,,, e ricomponile come suggerito dalla figura sul quadrato che ha per lato l ipotenusa. quale conclusione puoi arrivare? " " E F ' ' ostruisci il triangolo rettangolo T e i quadrati su cartoncini colorati, in modo analogo alle figure, usando come unità di misura il centimetro. rea Q =... cm rea Q =... cm rea Q =... cm rea Q = Q T Q Q cm Q Q ostruisci il triangolo T e i quadrati su cartoncini colorati, in modo analogo alle figure, usando come unità di misura il centimetro. rea Q =... cm rea Q =... cm rea Q =... cm rea Q = T cm Q ESERIZI pag. 8

6 7_0_TEORI 9_ :8 Pagina GEOMETRI U NITÀ - IL TEOREM I PITGOR LEZIONE Le formule del teorema di Pitagora Riprendiamo la relazione che abbiamo trovato alla fine della Lezione precedente: Q Q i c c rea Q + rea Q = rea Q Ricordando le formule dell area del quadrato, possiamo anche scrivere in linguaggio simbolico: Q c + c = i dalla quale possiamo ricavare: c = i - c c i = - c c c i Vediamo ora come possono essere sfruttate queste relazioni per risolvere problemi. Supponiamo di conoscere le lunghezze dei due cateti, che indichiamo un c e c, di un triangolo rettangolo e di voler trovare la lunghezza dell ipotenusa, che chiamiamo i. Riprendiamo la relazione precedente: i c = + c L uguaglianza resterà valida se estraiamo la radice quadrata di entrambi i membri: i = c + c c c c c i i Se invece conosciamo le lunghezze di un cateto e dell ipotenusa, per trovare la lunghezza dell altro cateto possiamo riprendere la relazione: c = i - c per passare poi all uguaglianza delle radici quadrate: c i = - c nalogamente: c i = - c Riassumiamo le formule trovate. Se indichiamo con i, c e c le lunghezze dell ipotenusa e dei cateti di un triangolo rettangolo, si ha: i = c + c c i = - c c i = - c

7 7_0_TEORI 9_ :8 Pagina Esercizi risolti PGIN OPERTIV In un triangolo rettangolo i cateti misurano cm e cm. etermina la lunghezza dell ipotenusa. = cm = cm Ricordando la relazione di Pitagora i = c + c, puoi scrivere: = + da cui: = + = ( cm) + ( cm) = cm + cm = 69 cm = cm In un triangolo rettangolo l ipotenusa misura 7 cm e un cateto misura 8 cm. etermina la lunghezza dell altro cateto. = 7 cm = 8 cm = - da cui: = - = ( 7 cm) - ( 8 cm) = 89 cm - 6 cm = cm = cm In un triangolo rettangolo i cateti sono lunghi 7 cm e 0 cm. etermina la lunghezza dell ipotenusa. = 7 cm 0 cm 9 cm 00 cm = 9 cm ª, cm + = ( ) + ( ) = + = I cateti di un triangolo rettangolo misurano cm e 6 cm. etermina la misura dell ipotenusa. [0 cm] 6 In un triangolo rettangolo l ipotenusa misura cm e un cateto 7 cm. etermina l area del triangolo. [8 cm ] I cateti di un triangolo rettangolo misurano mm e 0 mm. etermina la misura del perimetro. [70 mm] 7 In un triangolo rettangolo un cateto e l ipotenusa misurano rispettivamente 0 mm e 0, mm. etermina la lunghezza del perimetro. [ mm] ESERIZI pag. 9

8 7_0_TEORI 9_ :8 Pagina 6 GEOMETRI U NITÀ - IL TEOREM I PITGOR LEZIONE Le terne pitagoriche Se tre numeri interi sono tali che il quadrato del maggiore dei tre è uguale alla somma dei quadrati degli altri due, si dice che formano una terna pitagorica. Infatti quei tre numeri possono essere considerati come le lunghezze (espresse ovviamente nella stessa unità di misura) dei lati di un triangolo rettangolo. Ecco alcuni esempi di terne pitagoriche: infatti = + ( = 9 + 6) infatti = + (69 = + ) 8 7 infatti 7 = 8 + (89 = 6 + ) 7 infatti = 7 + (6 = ) Queste terne sono dette primitive, perché sono formate da numeri primi tra loro. a ognuna di queste terne se ne possono ottenere infinite altre, moltiplicando tutti e tre i componenti della terna per uno stesso numero. Prendiamo ad esempio la terna. Moltiplichiamo per ogni componente della terna; otteniamo: Questa è un altra terna pitagorica, infatti: 0 = (00 = 6 + 6) Moltiplichiamo per 7 ogni componente della stessa terna; otteniamo: 8. nche questa è una terna pitagorica, infatti: = + 8 ( = + 78) ividendo invece ogni componente di una terna primitiva per uno stesso numero si ottengono tre numeri, non più interi, ma decimali. Tali numeri possono essere comunque considerati come le misure dei lati di un triangolo rettangolo, poiché verificano la relazione pitagorica. Se ad esempio dividiamo per ogni componente della terna,,, otteniamo:,,. Per essi vale ancora la relazione pitagorica:, =, +. (6, =, + ) u 6 0,, 8 6 Se a, b, c è una terna di numeri, scritti in ordine crescente, che rappresenta le misure dei lati di un triangolo, per stabilire se tale triangolo è rettangolo oppure no basterà verificare se a, b, c formano una terna pitagorica, ossia se a + b = c.

9 7_0_TEORI 9_ :8 Pagina 7 PGIN OPERTIV ompleta la tabella. a b c a b Terna pitagorica: sì o no? c Terna primitiva: sì o no? Prendi una terna pitagorica primitiva tra quelle considerate finora; moltiplica ogni suo componente per uno stesso numero a tua scelta e verifica se ottieni un altra terna pitagorica. Le seguenti terne, ad eccezione di una, rappresentano le misure dei lati di un triangolo. Stabilisci quali triangoli sono rettangoli. (ttenzione: individua prima la terna che non può rappresentare i lati di un triangolo e spiega il perché.) 6, ,, 0 7, 6 8 7, 6 9, Un triangolo ha i lati lunghi, cm, cm e, cm. È rettangolo oppure no? Un triangolo ha i lati lunghi 7 cm, 6 cm e 0 cm. È rettangolo oppure no? 6 Un triangolo ha due lati che misurano Un po di storia Le terna pitagorica La più famosa terna pitagorica è certamente. Già gli Egizi, molto prima di Pitagora, sfruttavano questa terna per disegnare nel terreno angoli perfettamente retti. Erano quindi già a conoscenza del fatto che, se si disegna un triangolo con i lati aventi come misure (rispetto alla stessa unità),,, esso è certamente rettangolo! La terna è attualmente usata anche dagli edili e dagli agrimensori per verifiche rapide nei cantieri. Le forme squadrate di questo piccolo tempio mostrano come gli Egizi sapessero padroneggiare l uso degli angoli retti nelle loro attività. 9,6 cm e,8 cm. Quanto deve essere lungo il terzo lato perché il triangolo sia rettangolo? 7 ESERIZI pag.

10 7_0_TEORI 9_ :8 Pagina 8 GEOMETRI U NITÀ - IL TEOREM I PITGOR LEZIONE pplicazioni del teorema di Pitagora Il teorema di Pitagora può essere applicato ogni volta che, scomponendo una figura, si ottiene un triangolo rettangolo. = + = - = - h d = + = - = - b ossia d = b + h b = d - h h = d - b = + = + = + = - = - = + = - = - O = O + O = O + O O = - O O = - O O = - O O = - O = + = - = - = + = - = - S R RQ = R + Q Q = RQ - R R = RQ - Q P K Q RQ = R + Q Q = RQ - R R = RQ - Q = + = - = - = + = - = - = + = - = - 8 = + = - = -

11 7_0_TEORI 9_ :8 Pagina 9 Esercizi guidati PGIN OPERTIV etermina la lunghezza della diagonale di un rettangolo avente i lati lunghi 0 cm e 8 cm. = 0 cm = 8 cm pplica il teorema di Pitagora al triangolo : = + = (...) + (...) = =... =... cm cm cm cm In un triangolo isoscele un lato obliquo è lungo cm e la base è lunga cm. etermina la lunghezza dell altezza. = = cm = cm pplica il teorema di Pitagora al triangolo : = - = (...) - (...) = =... =... cm cm cm cm Un rombo ha le diagonali lunghe 6 cm e 8 cm. etermina la lunghezza del perimetro del rombo. = 6 cm p = 8 cm O =... cm :... =... cm O =... cm :... =... cm O pplica il teorema di Pitagora al triangolo O: = + = (... ) + (...) = =... =... O O cm cm cm cm p =... cm... =... cm In un trapezio rettangolo le basi misurano 9 cm e 7 cm, mentre il lato obliquo misura, cm. etermina la misura dell altezza. [, cm] Le basi di un trapezio isoscele misurano 8 cm e 0 cm e l altezza misura 0 cm. etermina la misura del lato obliquo. [ cm] ESERIZI pag. 9

12 7_0_TEORI 9_ : Pagina 0 GEOMETRI U NITÀ - IL TEOREM I PITGOR LEZIONE lcuni casi particolari IL QURTO Indichiamo con l la lunghezza del lato e con d quella della diagonale di un quadrato. onsideriamo il triangolo rettangolo colorato, nel quale d rappresenta la lunghezza dell ipotenusa ed l quella dei due cateti congruenti. ome sappiamo: d = l + l. l d d = l + l = l = [per la proprietà: la radice di un prodotto è uguale al prodotto delle radici] = l = l = l = l # [quest ultima scrittura ha lo stesso significato di quella immediatamente prima dell uguale, ma evita di fare confusione] La lunghezza della diagonale del quadrato si può ottenere moltiplicando la lunghezza del lato per la radice quadrata di. d = l Poiché: l d è il percorso diretto per determinare la lunghezza della diagonale conoscendo la lunghezza del lato l : d è il percorso inverso per determinare la lunghezza del lato conoscendo la lunghezza della diagonale. Quindi: l = d l l h IL TRINGOLO EQUILTERO Indichiamo con l il lato e con h l altezza di un triangolo equilatero. pplichiamo il teorema di Pitagora l al triangolo rettangolo colorato. Le lunghezze dei cateti sono h ed e la lunghezza dell ipotenusa è l. l l h = l - Ê l [riduciamo allo stesso denominatore le due quantità sotto radice] Ë Á ˆ h = - = = l - l l = = l l l = = # In un triangolo equilatero l altezza si può ottenere moltiplicando la metà del lato per la radice quadrata di. l h = : Poiché: l l h è il percorso diretto per determinare la lunghezza dell altezza conoscendo la lunghezza del lato, l l h è il percorso inverso per determinare la lunghezza del lato : conoscendo la lunghezza dell altezza. h Quindi: l = 0

13 7_0_TEORI 9_ :8 Pagina PGIN OPERTIV onsidera un quadrato con il lato di 0 cm. etermina la lunghezza della sua diagonale: applicando il teorema di Pitagora a uno dei triangoli rettangoli isosceli in cui la diagonale divide il quadrato; applicando la formula riportata a pagina precedente. Un quadrato ha la diagonale che misura 0 cm. etermina la lunghezza del suo perimetro. Un triangolo equilatero ha il lato che misura 6 cm. etermina la lunghezza dell altezza: applicando il teorema di Pitagora a uno dei triangoli rettangoli in cui l altezza divide il triangolo; applicando la formula riportata a pagina precedente. Un triangolo equilatero ha l altezza lunga,6 cm. etermina la lunghezza del suo perimetro. Un po di storia Il mostro Proprio il teorema di Pitagora, il più famoso teorema attribuito alla scuola pitagorica (anche se già noto a Egizi e abilonesi), fu in parte la causa della decadenza della scuola. pplicando infatti il teorema di Pitagora al quadrato per determinarne la lunghezza della diagonale, si trovò che tale diagonale si poteva ottenere moltiplicando il lato per il fattore. Ma proprio tra i pitagorici stessi qualcuno si accorse che questo fattore non poteva essere ottenuto da alcun rapporto di numeri interi, ossia non poteva essere il risultato di una divisione tra numeri interi. L armonia pitagorica dell universo, secondo la quale tutta la realtà che circonda l uomo poteva essere espressa mediante rapporti tra numeri interi, crollò rovinosamente. Il mostro ne aveva minato le basi! Leggende diverse si narrano sulla fine dello scopritore di questa assurdità nella teoria. Una leggenda narra che egli perì durante una tempesta, punito dagli dei per aver osato occuparsi di cose divine; un altra racconta che fu ucciso dai pitagorici stessi per evitare che la pericolosa notizia venisse a conoscenza di tutti gli allievi e quindi poi anche al di fuori della loro cerchia. Ma la verità non tardò ad affermarsi e contribuì, unitamente a ragioni di ordine politico, a decretare la fine della celebre scuola. L esagono EF è costituito da un quadrato (E) e da due triangoli equilateri affiancati (EF e ). Osserva la figura, poi calcola la lunghezza della diagonale F. 6 Il quadrilatero QRST è costituito da un quadrato (PQRS) e da un triangolo equilatero (QST) parzialmente sovrapposti. Osserva la figura, quindi calcola il perimetro del quadrilatero. E S cm R F cm P Q T ESERIZI pag. 9

14 7_0_TEORI 9_ :8 Pagina GEOMETRI U NITÀ - IL TEOREM I PITGOR 6 LEZIONE Il teorema di Pitagora nel piano cartesiano Vogliamo determinare la distanza fra due punti rappresentati in un sistema cartesiano. y ' ' O Simulazione n. y 9 ' ' u u O y 6 u O x x x onsideriamo i due punti (; ) e (7; ). Essi sono allineati su una semiretta parallela all asse delle ascisse. isegniamo le loro proiezioni sull asse delle ascisse, indicate con ' e ': si può facilmente constatare che la distanza tra ' e ' è uguale a u e che quindi '' = u. La distanza tra e è ovviamente uguale alla distanza tra ' e ', quindi = u. Osserviamo che la misura della distanza dei punti e è uguale alla differenza tra le ascisse dei punti: x - x = 7u - u = u In generale: # la distanza fra due punti allineati su una semiretta parallela all asse delle ascisse è uguale alla differenza delle ascisse. onsideriamo ora i punti (; ) e (; 8). Essi sono allineati su una semiretta parallela all asse delle ordinate. Procedendo in modo del tutto analogo a quello precedente, si può facilmente constatare che = 6 u. Osserviamo che in questo caso la misura della distanza dei punti e è uguale alla differenza tra le ordinate dei punti: In generale: # la distanza fra due punti allineati su una semiretta parallela all asse delle ordinate è uguale alla differenza delle ordinate. onsideriamo in ultimo i punti (; ) e (7; ). Essi non sono allineati su una semiretta parallela agli assi. isegniamo le proiezioni di e di su entrambi gli assi. Si viene così a formare il triangolo rettangolo, che ha come ipotenusa il segmento. Il punto ha la stessa ascissa di e la stessa ordinata di, cioè (; ). Procedendo come sopra, possiamo vedere che le misure dei suoi cateti sono: = x - x = u y - y = 8u - u = 6u = y - y = u pplicando il teorema di Pitagora al triangolo, possiamo determinare la misura di : = + = x - x y y u u = 6 u + 9 u = u = u ( ) + ( - ) = ( ) + ( ) = # La distanza di due punti qualunque e si ottiene applicando il teorema di Pitagora al triangolo che ha come ipotenusa il segmento e come misure dei cateti la differenza tra le misure delle ascisse e la differenza tra le misure delle ordinate.

15 7_0_TEORI 9_ :9 Pagina PGIN OPERTIV Nel riferimento cartesiano riportato a fianco rappresenta le coppie di punti: (; 0) e (7; 0) (; ) e (; ) etermina poi la lunghezza del segmento e la lunghezza del segmento. Nel riferimento cartesiano riportato a fianco rappresenta le coppie di punti: E(; 0) e F(; ) G(; ) e (; 7) etermina poi la lunghezza del segmento EF e la lunghezza del segmento G. Esercizi guidati y u O y 7 6 u O x x In un riferimento cartesiano rappresenta il punto P(6; 8). etermina la sua distanza dall origine. isegna il punto nel riferimento cartesiano a fianco e traccia il segmento OP: questo segmento rappresenta la distanza di P da O. Per determinare la lunghezza del segmento OP applica ora il teorema di Pitagora al triangolo OP. O = x P =... u P = y P =... u OP = O +... = =... =... u y P O u x Nel riferimento cartesiano riportato a fianco rappresenta i punti R(; ) e S(; 7). etermina poi la lunghezza del segmento RS. (Evidenzia il triangolo nel quale applicare il teorema di Pitagora.) R = x R - x S = =... S = y S -... = =... y 6 O u x RS = R = + = + = = u Nel riferimento cartesiano riportato a fianco rappresenta i punti (6,;,) e (; 7,). etermina poi la lunghezza del segmento. (Evidenzia il triangolo nel quale applicare il teorema di Pitagora.) = = =... = = =... = +... = = =... =... u y 7 6 O u x ESERIZI pag.

16 7_0_TEORI 9_ :9 Pagina GEOMETRI U NITÀ - IL TEOREM I PITGOR Riassumiamo quello che abbiamo studiato... IL TEOREM I PITGOR Relazione tra i lati di un triangolo rettangolo Utilizzo TRINGOLO ISOSELE Le terne pitagoriche l = l h b Ê b ˆ Á Ë + h c i i c c = = i -... i = c + c Tre numeri formano una terna pitagorica se il quadrato del maggiore è uguale alla somma dei... degli altri due. c = a + b a, b, c formano una... c =... - c asi particolari RETTNGOLO d h pplicazioni b d = b + h QURTO l d TRINGOLO EQUILTERO l h TRPEZIO d = l + l = l = = l h = l - Ê l Ë Á ˆ = = = l = + ROMO d d l RIFERIMENTO RTESINO y Q l = Ê d ˆ d Á + Ê ˆ Ë Ë Á O PQ P x =... + Q

17 7_0_ESER 8_ :8 Pagina 8 IL TEOREM I PITGOR UNITÀ Geometria Esercizi Lezione per lezione lezione he cos è il teorema di Pitagora in pillole Il teorema di Pitagora esprime una relazione che lega i cateti e l ipotenusa di un triangolo rettangolo. Teoria p. 0- Tale relazione può essere espressa in due modi: in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti oppure: in un triangolo rettangolo l area del quadrato costruito sull ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti. rea Q + rea Q = rea Q Q Q Q Laboratorio GIOIMO UN PO ON IL TEOREM I PITGOR isegna un triangolo isoscele con la base lunga cm e i lati e lunghi cm. è rettangolo?... isegna e ritaglia un quadrato Q con il lato lungo cm. Incollalo in modo tale che un suo lato coincida con il lato del triangolo isoscele. isegna e ritaglia due quadrati congruenti Q e Q aventi il lato lungo cm. Incolla questi quadrati in modo che un loro lato coincida con uno dei lati del triangolo. alcola le aree dei quadrati considerati. È valida la relazione rea Q = rea Q + rea Q?... isegna ora due triangoli diversi dal precedente che non siano rettangoli. Ripeti le operazioni proposte sopra. È valida la relazione rea Q = rea Q + rea Q?... Quali parole inseriresti nella seguente frase perché essa rappresenti la giusta conclusione delle precedenti osservazioni? Il teorema di Pitagora può essere applicato... ai triangoli rettangoli. 8

18 7_0_ESER 8_ :8 Pagina 9 Esercizi Lezione per lezione lezione Le formule del teorema di Pitagora in pillole Il teorema di Pitagora può essere sfruttato per calcolare la misura di un lato di un triangolo rettangolo conoscendo la misura degli altri due. i = c + c c = i - c c = i - c da cui da cui da cui c = i - c Teoria p. - i = c + c c = i - c Osserva la figura, i dati e risolvi. = 80 mm = 0 mm = 9 cm = cm = cm c i c = cm ompleta la tabella. I triangoli considerati sono tutti rettangoli. c c i Triangolo 0 cm Triangolo cm cm cm Triangolo mm mm Triangolo 7, cm, cm Triangolo dm dm 6 In un triangolo rettangolo i cateti misurano 7, cm e 8 cm. etermina l area del triangolo e la misura del perimetro. [67, cm ; cm] 7 In un triangolo rettangolo i cateti misurano,9 cm e, cm. etermina l area del triangolo e la misura del perimetro. [0, cm ;,6 cm] 8 In un triangolo rettangolo i cateti misurano 0 mm e mm. etermina l area del triangolo e la misura del perimetro. [80 mm ; 0 mm] 9 In un triangolo rettangolo un cateto misura mm e l altro cateto è congruente a del primo. etermina l area del triangolo e la misura del perimetro. [0086 mm ; 9 mm] 0 In un triangolo rettangolo l ipotenusa misura, m e il cateto minore, dm. etermina la misura del perimetro e l area del triangolo. [ dm;, dm ] In un triangolo rettangolo l ipotenusa misura, cm e il cateto minore è congruente a dell ipotenusa. etermina l area del triangolo e la misura del perimetro. [67, cm ; 0 cm] In un triangolo rettangolo l ipotenusa e il cateto maggiore misurano rispettivamente 8, cm e 6,8 cm. etermina l area del triangolo e la misura del perimetro. [8,8 cm ; cm] = 8 cm = 9 cm L ipotenusa e un cateto di un triangolo rettangolo sono lunghi rispettivamente 6, cm e,6 cm. etermina la lunghezza del perimetro e l area del triangolo. [, cm; 9, cm ] I cateti di un triangolo rettangolo sono lunghi cm e 8 cm. etermina la lunghezza del perimetro del triangolo. [ 9, cm] 9

19 7_0_ESER 8_ :8 Pagina 0 GEOMETRI U NITÀ - IL TEOREM I PITGOR In un triangolo rettangolo i cateti misurano cm e 8 cm. etermina la lunghezza del perimetro del triangolo. [ 6, cm] Esercizio guidato 7 Osserva la figura, i dati e risolvi. =, cm =, cm 6 In un triangolo rettangolo l ipotenusa e un cateto misurano rispettivamente cm e cm. etermina la lunghezza del perimetro del triangolo. [ 77, cm] = + = I cateti di un triangolo rettangolo possono essere considerati come base e altezza relativa; quindi, moltiplicandoli tra loro, ottieni la doppia area del triangolo. Ovviamente, anche l ipotenusa e l altezza possono essere considerati come base e altezza relativa; quindi, dividendo la doppia area per l ipotenusa, puoi ottenere l altezza. = = =... cm = =... cm =... cm... cm 8 I cateti di un triangolo rettangolo sono lunghi cm e 8 cm. etermina la lunghezza del perimetro e quella dell altezza relativa all ipotenusa. [ cm;, cm] Esercizio guidato 9 In un triangolo rettangolo l ipotenusa misura 6,9 cm; un cateto è dell ipotenusa. etermina la misura del perimetro del rettangolo e la misura dell altezza relativa all ipotenusa. [9 cm; 6 cm] 0 In un triangolo rettangolo i due cateti misurano 7, cm e 0 cm. etermina la misura dell ipotenusa, la misura dell altezza relativa all ipotenusa e la lunghezza delle proiezioni dei cateti sull ipotenusa. =... cm = 0 cm... pplica il teorema di Pitagora al triangolo. = +... = = =... = = = = pplica il teorema di Pitagora al triangolo. = -... = = =... =... = =... 0

20 7_0_ESER 8_ :9 Pagina Esercizi Lezione per lezione I cateti di un triangolo rettangolo sono lunghi mm e 7 mm. etermina: a la lunghezza dell ipotenusa; b la lunghezza dell altezza relativa all ipotenusa; c la lunghezza delle proiezioni dei cateti sull ipotenusa. [90 mm;, mm;, mm; 7,6 mm] In un triangolo rettangolo le proiezioni dei cateti sull ipotenusa misurano 0,8 cm e 9, cm; l altezza relativa all ipotenusa misura, cm. etermina la lunghezza del perimetro del triangolo. [7 cm] L ipotenusa e un cateto di un triangolo rettangolo misurano, cm e 0 cm. etermina: a la lunghezza del perimetro; b la lunghezza dell altezza relativa all ipotenusa; c la lunghezza delle proiezioni dei cateti sull ipotenusa. [0 cm; 6 cm;, cm; 8 cm] In un triangolo rettangolo l ipotenusa e un cateto misurano rispettivamente, cm e, cm. etermina: a la lunghezza del perimetro; b la lunghezza dell altezza relativa all ipotenusa; c la lunghezza delle proiezioni dei cateti sull ipotenusa. [ cm; 0,8 cm; 8, cm;, cm] Le proiezioni dei cateti sull ipotenusa di un triangolo rettangolo misurano 8,8 cm e, cm; l altezza relativa all ipotenusa misura 8, cm. etermina la misura del perimetro del triangolo. [9 cm] 6 L area di un triangolo rettangolo è, cm ; la misura di un cateto misura 8 cm. etermina: a la misura del perimetro del triangolo; b la misura dell altezza relativa all ipotenusa; c la misura delle proiezioni dei cateti sull ipotenusa. [ cm;,8 cm; 7, cm; 0, cm] 7 Il perimetro di un triangolo rettangolo misura 68 cm; i due cateti sono congruenti rispettivamente 8 a e a dell ipotenusa. etermina: 7 7 a la misura di ogni lato del triangolo; b la misura dell altezza relativa all ipotenusa; c la misura delle proiezioni dei cateti sull ipotenusa. [,6 cm;, cm; 8,9 cm; cm; 6, cm;, cm] 8 La somma dei cateti di un triangolo rettangolo è 9 cm. Sapendo che un cateto è dell altro, determina l area e la lunghezza del perimetro del triangolo. [9 cm ; 8 cm] 9 La differenza tra l ipotenusa e un cateto di un trian- golo rettangolo misura cm; il cateto è dell ipotenusa. etermina la misura del perimetro e l area del triangolo. [68 cm; 76 cm ] Esercizio guidato 0 L area di un triangolo rettangolo è 86 cm. del- Sapendo che un cateto è congruente ai l altro, determina la lunghezza del perimetro. G F E L = 86 cm... =... cm EFG =... cm :... =... cm E =... cm =... cm L... [ cm] L area di un triangolo rettangolo misura 70 mm. Sapendo che un cateto è congruente a dell altro, determina la lunghezza del perimetro. [0 mm] La somma dei cateti di un triangolo rettangolo è lunga 8 cm e la loro differenza è lunga cm. etermina la lunghezza del perimetro del triangolo. [ 66,8 cm] 8 In un triangolo rettangolo un cateto è dell altro. etermina la misura del perimetro del triangolo, sapendo che la sua area misura 0 cm. [0 cm]

21 7_0_ESER 8_ :9 Pagina GEOMETRI U NITÀ - IL TEOREM I PITGOR alcola l area e la lunghezza del perimetro di un triangolo rettangolo, sapendo che un cateto è congruente ai dell altro e che la loro somma è 0 cm. [080 cm ; 80 cm] 7 Una scala a pioli lunga, m è appoggiata al muro. La sua base dista dal muro 90 cm. quale altezza dal suolo è appoggiata l altra estremità della scala? In un triangolo rettangolo la differenza tra i cateti misura 8 cm, un cateto è dell altro. etermina 8 la misura del perimetro e l area del triangolo. [60 cm; 960 cm ] 6 Se a e b sono le misure dei cateti di un triangolo rettangolo e c è quella dell ipotenusa, quali delle seguenti relazioni sono vere? Indicalo con una crocetta.?, m a + b = c a = b + c c = a + b b = c - a 90 cm [, m] a = b - c a = c - b lezione Le terne pitagoriche in pillole Teoria p. 6-7 Tre numeri interi, tali che il quadrato del maggiore sia uguale alla somma dei quadrati degli altri due, formano una terna pitagorica. Se la terna è costituita di numeri interi primi tra loro si dice primitiva, ad esempio: a una terna pitagorica se ne possono ottenere infinite altre, costituite di numeri interi o decimali, moltiplicando o dividendo ogni elemento della terna per uno stesso numero.,, ompleta la tabella. a b c a b a + b c Terna pitagorica: sì o no? Terna primitiva: sì o no?

22 7_0_ESER 8_ :9 Pagina Esercizi Lezione per lezione Laboratorio GIOIMO ON LE TERNE PITGORIE Le terne pitagoriche affascinarono fin dall antichità i matematici, che ne fecero spesso l oggetto dei loro studi. Lavoriamo insieme per trovare alcune particolarità di queste terne di numeri. Prendi un numero naturale dispari e chiamalo d. d - d + partire da questo numero d puoi costruire una terna pitagorica calcolando le quantità e. ostruisci una tabella. d 7 d = = - = = d = = Verifica Terna primitiva: sì o no? + = sì 9 Puoi continuare, se vuoi, a trovare altre terne. In generale, puoi affermare che se d è un numero dispari, la terna da numeri... ed è una terna... d d - d + è costituita Prendi ora un numero naturale pari e chiamalo p. p - p + partire da questo numero p puoi costruire una terna pitagorica calcolando le quantità e. ostruisci una tabella. p 6 p - - = =, 6 - = = 7, p + + = =, Verifica Terna primitiva: sì o no?, + =, No, è derivata da (; ; ) 8 0 Puoi continuare, se vuoi, a trovare altre terne. In generale, puoi affermare che se p è un numero pari, la terna da numeri... ed è una terna... p p - p + è costituita

23 7_0_ESER 8_ :9 Pagina GEOMETRI U NITÀ - IL TEOREM I PITGOR lezione pplicazioni del teorema di Pitagora in pillole Teoria p. 8-9 Il teorema di Pitagora può essere applicato ogni volta che, componendo una figura, si ottiene un triangolo rettangolo. =, cm = cm =, cm h d d = b + h b = d - h h = d - b b Osserva la figura, i dati e risolvi. 9 = cm = 9 cm 0 = mm p = 6 mm = 6 cm p = cm = cm = 9 cm = 0 cm Misura in centimetri i lati della pagina del tuo quaderno; applicando il teorema di Pitagora trova la misura della diagonale approssimata ad una cifra dopo la virgola. Verifica con l uso del righello il risultato ottenuto. 6 Misura in centimetri i lati della pagina del tuo libro di matematica; applicando il teorema di Pitagora trova la misura della diagonale approssimata ad una cifra dopo la virgola. Verifica con l uso del righello il risultato ottenuto. 7 Misura in centimetri i lati del piano d appoggio del tuo banco; applicando il teorema di Pitagora trova la misura della diagonale approssimata ad una cifra dopo la virgola. Verifica con l uso della riga il risultato ottenuto. = 9 cm = cm K K = 8 cm 8 L area di un rettangolo è, cm e la sua base è lunga, cm. etermina la lunghezza della sua diagonale. [,9 cm] 9 L area di un rettangolo è 70 cm e la sua altezza misura cm. etermina la misura della sua diagonale. [, cm]

24 7_0_ESER 8_ :9 Pagina Esercizi Lezione per lezione 0 Il perimetro di un rettangolo è lungo 76 cm e la base è lunga cm. etermina la lunghezza della sua diagonale. [ 6, cm] La diagonale di un rettangolo misura 6,8 cm, l altezza, cm. etermina la lunghezza del perimetro e l area del rettangolo. [8, cm; 9, cm ] La base di un rettangolo è lunga 60 mm e la diagonale 68 mm. etermina la lunghezza del perimetro e l area del rettangolo. [8 mm; 90 mm ] La diagonale di un rettangolo misura cm, una dimensione 0 cm. etermina la misura del perimetro del rettangolo. [ 7 cm] Il perimetro di un rettangolo misura, cm; l altezza del rettangolo è congruente a della base. etermina la misura della sua diagonale. [6,9 cm] L area di un rettangolo è cm. Sapendo che la sua base è congruente a dell altezza, determina la lunghezza della diagonale. [0 cm] 6 Il perimetro di un rettangolo misura cm, la differenza tra la base e l altezza misura 7 cm. etermina l area del rettangolo e la misura della sua diagonale. [70 cm ;,7 cm] 7 Per costruire una staccionata si piantano dei paletti, 80 cm distanti,0 m uno dall altro, in modo che,0 m sporgano di 80 cm dal terreno; si collegano le estremità con un asse orizzontale. Per irrigidire la struttura si dispongono due traverse lungo le diagonali. Quanto deve essere lunga ogni traversa? [, m] 8 Il perimetro di un quadrato è lungo 0 cm. etermina la lunghezza della diagonale. [ 6,77 cm] 9 L area di un quadrato è 8 dm. etermina la lunghezza della diagonale. [ dm] 60 Il perimetro di un quadrato misura 60 cm. etermina la misura della sua diagonale. [, cm] 6 L area di un quadrato è cm. etermina la misura della sua diagonale. [ 9, cm] 6 Un rettangolo ha il perimetro lungo 00 cm e una dimensione lunga 8 cm. etermina la lunghezza della diagonale del quadrato equivalente al rettangolo. [,9 cm] 6 In un triangolo isoscele il perimetro è lungo 7 dm e la base è lunga 0 dm. etermina l area del triangolo. [0 dm ] 6 In un triangolo isoscele ogni lato obliquo misura 9 cm, il perimetro misura 08 cm. etermina l area del triangolo. [0 cm ] 6 In un triangolo isoscele il perimetro misura 0 cm, la base misura 9,6 cm. etermina l area del triangolo. [, cm ] 66 In un triangolo isoscele l area è 7 cm e la base è lunga 9 cm. etermina la lunghezza del perimetro. [ cm] 67 L area di un triangolo isoscele è 9, cm, la sua altezza misura 8, cm. etermina la lunghezza del perimetro del triangolo. [, cm] 68 L area di E è 96 cm. etermina l area di E e la misura del suo perimetro. E E p E 69 Osserva la figura, i dati e risolvi. p EFGI =, cm L =, cm EFGI E [90 cm, 0, cm] G F I E M K L [78,7 cm ]

25 7_0_ESER 8_ :9 Pagina 6 GEOMETRI U NITÀ - IL TEOREM I PITGOR 70 Su ogni lato di un quadrato è stato costruito un triangolo isoscele, avente la base coincidente con il lato del quadrato e l altezza di 0,9 cm. L area del quadrato è 6 cm. etermina la misura del perimetro del poligono ottenuto dopo le costruzioni. [,8 cm] 77 Osserva la figura, i dati e risolvi. = 7 mm = mm p = 6 mm 7 Un rettangolo ha la dimensione lunga cm e la dimensione lunga 0 cm. Indica con M il punto medio di. etermina la lunghezza del perimetro del triangolo M. [7 cm] [86 mm ; 98 mm] 7 Il perimetro di un triangolo isoscele è 7 cm e la 6 sua base è congruente a del lato. etermina l area del triangolo. [ cm ] 7 alcola la misura del perimetro di un triangolo scaleno, sapendo che il lato è lungo cm, il lato è lungo 0 cm e l altezza relativa al lato misura cm. è un triangolo rettangolo oppure no? Perché? [p = 60 cm] 7 In un triangolo scaleno l altezza è lunga 7, cm e divide il lato in due parti lunghe rispettivamente, cm e 9,6 cm. etermina la lunghezza del perimetro di. [6 cm] 7 Osserva la figura, i dati e risolvi. = 6 cm = 9 cm p = cm [76 cm ; 76 cm] 76 Questo disegno rappresenta lo schema di una capriata, struttura in legno per sostenere un tetto, simmetrica rispetto a M. Sapendo che = 8 m e M = M, determina la lunghezza di. 78 Un quadrilatero è formato da due triangoli isosceli aventi la base in comune, lunga cm. I lati obliqui dei triangoli isosceli misurano rispettivamente 0 cm e cm. etermina l area del quadrilatero. [ cm ] 79 Un trapezio rettangolo ha le basi lunghe 6 cm e 0 cm. etermina la lunghezza del perimetro del trapezio, sapendo che l altezza misura 0 cm. [0 cm] 80 Un trapezio rettangolo ha il lato obliquo, l altezza e la base minore lunghe rispettivamente, cm, 9, cm e 7 cm. etermina la misura del perimetro del trapezio. [,6 cm] 8 Un trapezio rettangolo ha le basi e il lato obliquo lunghi rispettivamente cm, 7, cm e, cm. etermina la misura del perimetro e l area del trapezio. [ cm; 97, cm ] 8 Un trapezio isoscele ha le basi che misurano rispettivamente 8 cm e cm. etermina la lunghezza del perimetro, sapendo che l altezza è lunga cm. [8 cm] 8 In un trapezio isoscele un lato obliquo e la sua proiezione sulla base maggiore misurano rispettivamente 9, cm e 8 cm. etermina l area del trapezio, sapendo che la base minore misura 0 cm. [0 cm ] 8 Un trapezio isoscele ha le basi che misurano rispettivamente 7 mm e 0 mm. alcola l area del trapezio, sapendo che il perimetro è lungo 60 mm. [00 mm ] 6 M [, m] 8 Un trapezio isoscele ha il perimetro lungo 0 cm e le basi che misurano rispettivamente 7 cm e 0 cm. etermina l area del trapezio. [0 cm ]

26 7_0_ESER 8_ :9 Pagina 7 Esercizi Lezione per lezione 86 Osserva la figura, i dati e risolvi. = cm = cm p Osserva la figura, i dati e risolvi. 9 [6 cm ; 68 cm] 87 In un trapezio rettangolo la base maggiore è lunga 9 cm, la base minore è lunga,6 cm e la diagonale maggiore misura cm. alcola l area e la misura del perimetro del trapezio. [69,6 cm ; 7, cm] 88 In un trapezio rettangolo la base maggiore misura 7,8 cm; il lato obliquo misura cm ed è perpendicolare alla diagonale minore. etermina: a la misura dell altezza del trapezio; b la misura del perimetro; c l area. [ cm;,6 cm; 87, cm ] 89 In un trapezio rettangolo la diagonale minore, lunga, cm, è perpendicolare al lato obliquo, lungo cm. etermina: a la misura dell altezza del trapezio; b l area. [ cm; 7,6 cm ] 9 = cm p = 8 cm K K =,8 cm =, cm p = 6 cm = cm [7, cm] [7,8 cm ;,8 cm] 90 Un trapezio rettangolo ha l area di cm, il lato obliquo e l altezza che misurano rispettivamente 9 cm e 6 cm. alcola la lunghezza delle due basi. [7 cm; cm] 96 Il lato di un rombo è lungo, cm e una sua diagonale misura 9 cm. etermina l area del rombo. [, cm ] 9 alcola la misura del perimetro di un trapezio rettangolo avente l area di 8,88 m, l altezza che misura, cm e una base tripla dell altra. [8,8 cm] 9 Un trapezio isoscele ha l area di 60 cm, l altezza e il lato obliquo che misurano rispettivamente 8 cm e, cm. etermina la misura delle basi e quella della diagonale. [, cm; 8, cm; 9, cm] 9 In un trapezio rettangolo il lato obliquo è lungo cm, l altezza misura 0 cm e la diagonale minore è congruente a dell altezza. etermina l area e la lunghezza del perimetro del trapezio. [0 cm ; 60 cm] 97 Un rombo ha le diagonali che misurano rispettivamente,8 dm e 9,6 dm. etermina la lunghezza del suo perimetro. [0 dm] 98 Il perimetro di un rombo misura 8 cm; una sua diagonale è lunga, cm. etermina l area del rombo. [,6 cm ] 99 L area di un rombo è 0 cm e una sua diagonale è lunga 0 cm. etermina la lunghezza del perimetro. [68 cm] 00 La somma delle diagonali di un rombo è cm e 7 la diagonale minore è congruente a della diagonale maggiore. etermina la lunghezza del perimetro del rombo. [00 cm] 7

27 7_0_ESER 8_ :9 Pagina 8 GEOMETRI U NITÀ - IL TEOREM I PITGOR 0 L area di un rombo è 76 cm ; una sua diagonale misura cm. etermina la lunghezza del suo perimetro. [0 cm] 0 Osserva la figura, i dati e risolvi. etermina: a la misura di ; b la misura dell altezza del parallelogramma relativa ad ; c l area del parallelogramma. [7, cm; 8 cm; 67 cm ] O 06 In un parallelogramma la diagonale minore è lunga 70 cm ed è perpendicolare al lato minore, lungo, cm. alcola la lunghezza del perimetro del parallelogramma. [80 cm] = 696 cm = 66 cm [6 cm; 6,9 cm] 07 Nel deltoide i lati congruenti e misurano, cm e i lati congruenti e misurano, cm. etermina l area del deltoide, sapendo che la diagonale misura cm. 0 Un rombo ha il perimetro lungo 0 cm e una diagonale che misura 60 cm. etermina: a l area del rombo; b la misura dell altezza relativa al lato. [70 cm ;, cm] 0 Nel parallelogramma il lato e il lato misurano rispettivamente, cm e cm. La proiezione del lato sul lato misura 7, cm. etermina l area del parallelogramma. [,6 cm ] 08 In un deltoide PQRS la diagonale PR, che è anche asse di simmetria, è divisa dalla diagonale QS, lunga, cm, in due parti che misurano rispettivamente, cm e cm. etermina la lunghezza del perimetro del deltoide. [0,8 cm] 09 Osserva la figura, i dati e risolvi. E [8, cm ] F K 8 0 Nel parallelogramma la diagonale minore misura 0 cm ed è perpendicolare al lato, lungo, cm. = = E = EF =, cm EF = cm p EF = F [690 cm ; 6 cm]

28 7_0_ESER 8_ :9 Pagina 9 Esercizi Lezione per lezione lezione lcuni casi particolari in pillole Formule che legano il lato e la diagonale del quadrato: d = l l = Formule che legano il lato e la diagonale del triangolo equilatero: l l = l = h d Teoria p. 0- l l d h = 0 cm = = = cm Osserva le figure, i dati e risolvi. 0 = cm = 8 cm Laboratorio LE RELZIONI I PITGOR ON I TRINGOLI EQUILTERI isegna su un cartoncino un triangolo rettangolo con i lati che misurano rispettivamente 6 cm, 8 cm, 0 cm. isegna ora tre triangoli equilateri: uno con il lato lungo 6 cm (indicalo con T ), uno con il lato lungo 8 cm (indicalo con T ), uno con il lato lungo 0 cm (indicalo con T ). Ritagliali e incollali in modo che un lato di ogni triangolo coincida con il lato di uguale misura del triangolo rettangolo. rea T =... rea T =... rea T =... T T rea T = rea T... rea T T Ripeti ora tutte le operazioni precedenti applicandole ad altri triangoli rettangoli a tua scelta. Puoi generalizzare i risultati dicendo che: in un triangolo rettangolo la somma delle aree dei triangoli equilateri costruiti sui cateti

29 7_0_ESER 8_ :9 Pagina 0 GEOMETRI U NITÀ - IL TEOREM I PITGOR Un quadrato ha il perimetro lungo 8 cm. etermina la lunghezza della diagonale. [, cm] Un quadrato ha il perimetro lungo 0 cm. etermina la lunghezza della diagonale. [ 9, cm] 6 L area di un quadrato è 79 cm. etermina la lunghezza della diagonale. [ 8, cm] 7 La diagonale di un quadrato è lunga 6 cm. etermina l area e la lunghezza del perimetro. [68 cm ; 0,8 cm] 8 etermina il perimetro di uno dei triangoli in cui resta diviso un quadrato dalle sue diagonali, sapendo che l area del quadrato è 900 mm. [ 7, mm] = cm = p K [90 cm ; 6, cm] 0 9 Un triangolo rettangolo ha un cateto lungo 0 cm e un angolo di. etermina l area e la lunghezza del perimetro del triangolo. [00 cm ; 68, cm] 0 L area di un quadrato è 6 cm. etermina la misura del perimetro di uno dei triangoli in cui il quadrato è diviso dalle diagonali. [8,6 cm] L area di uno dei triangoli in cui le diagonali dividono un quadrato è 6, cm. etermina: a l area del quadrato; b la lunghezza della diagonale del quadrato; c la lunghezza del perimetro del triangolo considerato. [6 cm ;, cm; 60, cm] Osserva la figura, i dati e risolvi. K = mm p [ mm ; 6,9 mm] = 0 cm = p [67 cm ;,9 cm] Il perimetro di un triangolo equilatero misura 9 cm. etermina la sua area. [ 7, cm ] 6 Il lato di un triangolo equilatero misura cm. etermina la sua area. [ 09,6 cm ] 7 L altezza di un triangolo equilatero è lunga,8 cm. etermina la misura del perimetro del triangolo. [ cm] 8 Il perimetro di un triangolo equilatero misura 8 cm. etermina la sua area. [ 0,9 cm ] 9 L altezza di un triangolo equilatero è lunga 0,76 cm. etermina la misura del perimetro e l area del triangolo. [ 7,9 cm; 8,8 cm ]

30 7_0_ESER 8_ :9 Pagina Esercizi Lezione per lezione Esercizio risolto 0 Osserva la figura, i dati e risolvi. = 0 cm p Il triangolo può essere considerato come la metà di un triangolo equilatero, avente come lato il doppio di. = 0 cm = 0 cm = 0 cm,6 cm p = 0 cm + 0 cm +,6 cm 9,6 cm = 0 cm, 6 cm 6 cm Un triangolo rettangolo ha il cateto minore lungo 8 cm e l angolo ad esso opposto di 0. etermina la misura del perimetro e l area del triangolo. [, cm; 679 cm ] Un triangolo rettangolo ha l ipotenusa lunga 0 mm e un angolo di 60. etermina la misura del perimetro e l area del triangolo. [ 8, mm; mm ] Osserva la figura, i dati e risolvi. = = 0 cm ^ = 0 p 0 60 [, cm ; 7, cm] Un triangolo isoscele ha un angolo di 0 e l altezza uscente dal vertice di questo angolo lunga 0 cm. etermina la misura del perimetro e l area del triangolo. [ 9, cm; 69,8 cm ] Un triangolo rettangolo ha gli angoli acuti di e un cateto lungo 0 mm. etermina la lunghezza del suo perimetro. [ 68, mm] 6 Si vuole realizzare una siepe di biancospino.? Perché si sviluppi con vigore, le piantine devono essere disposte come in figura, cioè ai vertici di triangoli equilateri affiancati. In questa particolare siepe le piantine sono disposte a 0 cm una dall altra. Qual è la distanza tra due file di piantine? [ 6 cm] 7 Un trapezio rettangolo ha l angolo acuto di ampiezza e le basi lunghe rispettivamente 6 cm e cm. etermina la lunghezza del perimetro del trapezio. [ 7, cm] 8 Un trapezio rettangolo ha l angolo acuto di ampiezza, l altezza lunga cm e la base minore lunga 8 cm. etermina la lunghezza del perimetro del trapezio. [, cm] 9 Un trapezio isoscele ha gli angoli acuti di ampiezza, l altezza e la base minore che misurano rispettivamente 6 cm e cm. etermina la lunghezza del perimetro del trapezio. [,8 cm] 0 Un trapezio rettangolo ha l angolo acuto di ampiezza 0, l altezza lunga cm e la base minore lunga cm. etermina la misura del perimetro del trapezio. [, cm] isegna il quadrato di un tangram avente il lato di 0 cm. etermina la misura del perimetro di ogni figura che lo compone. Un trapezio rettangolo ha l angolo acuto di 60, il lato obliquo lungo 0 cm e la base minore congruente al lato obliquo. etermina la lunghezza del perimetro e l area del trapezio. [ cm; 97 cm ] Un trapezio isoscele ha gli angoli acuti di 0, l altezza e la base minore lunghe cm e 0 cm rispettivamente. etermina la misura del perimetro. [ cm]