C8. Teoremi di Euclide e di Pitagora

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1 8. Teoemi di uclide e di Pitagoa 8.1 igue equiscomponibili ue poligoni sono equiscomponibili se è possibile suddivideli nello stesso numeo di poligoni a due a due conguenti. Il ettangolo e il tiangolo in figua 8.1 sono equiscomponibili. infatti possibile suddividee il ettangolo in due figue e ed il tiangolo in due figue e tali che e. 8. igue equivalenti ig. 8.1 quiscomponibilità di poligoni. Non si daà una definizione fomale di estensione ma si intoduce tale concetto in maniea intuitiva con il seguente esempio: due figue hanno la stessa estensione se esse occupano esattamente lo stesso numeo di quadatini del foglio quadettato. Se una figua occupa più quadatini di un alta si dice che essa ha una maggioe estensione. d esempio in figua 9. il quadato e il cechio hanno la stessa estensione, anche se isulta difficile povalo contando il numeo di quadetti che occupano. ig. 8. quivalenza di poligoni. ue figue sono dette equivalenti (o equiestese) se hanno la stessa estensione. Ossevazione ssee equivalenti è una elazione di equivalenza. Infatti valgono le te popietà ichieste: o RILSSIV ogni figua è equivalente a sé stessa. o SIMMTRI se è equivalente a alloa è equivalente ad. o TRNSITIV se è equivalente a e è equivalente a alloa è equivalente a. Ossevazione Si noti che due figue equiscomponibili sono senz alto equivalenti, mente due figue equivalenti non è detto che siano equiscomponibili, come ad esempio il quadato e il cechio in figua ea L aea è la misua dell estensione di una figua. Pe misuae l aea di una figua è necessaio fissae una adatta unità di misua. Nel capitolo si è definita la misua dei segmenti confontandoli con un segmento fissato u che fungesse da unità di misua. Pe misuae le aee si pendeà come unità di misua il quadato di lato u, che veà indicato con u. L aea di una qualsiasi figua saà un multiplo o un sottomultiplo dell unità di misua u. u u ig. 8. Unità di misua delle lunghezze e delle aee. ue figue equivalenti hanno la stessa aea. Teoia 8-1

2 8.4 ea e peimeto del ettangolo Si considei un ettangolo avente i lati di misua u e 4u. semplice ossevae che il ettangolo contiene esattamente 1 quadatini di aea u. Si dià che il ettangolo ha aea 1u. u hiamando base e altezza i due lati del ettangolo si può intuitivamente concludee che l aea del ettangolo si calcola con la seguente fomula: ea(ettangolo)=base altezza Tale fomula esta valida anche nel caso in cui la base e l altezza non siano misuabili con un numeo inteo di quadetti. Il peimeto è invece la somma dei lati di un poligono. onsideando che due lati sono conguenti alla base e due all altezza si può concludee che il peimeto del ettangolo si calcola con la seguente fomula: Peimeto(ettangolo)= base+ altezza L aea del ettangolo è il punto di ifeimento pe calcolae le aee di tutte le alte figue geometiche. 8.5 ea e peimeto del tiangolo ig. 8.4 ea del ettangolo. Si vuole calcolae l aea del tiangolo. facile dimostae che il tiangolo e il tiangolo sono conguenti, e così il tiangolo e il tiangolo. Il ettangolo è dunque equivalente a +++= +. Il tiangolo è equivalente a +. L aea del tiangolo è dunque la metà di quella del ettangolo. L aea del ettangolo è ea()=base altezza, dunque quella del tiangolo è ea(tiangolo)= base altezza/ Il peimeto è semplicemente la somma dei lati del tiangolo, pe cui si ha: Peimeto(tiangolo)=somma dei lati siste un alta fomula detta fomula di one (che non dimosteemo) che pemette di calcolae l aea di un tiangolo conoscendone le misue dei lati. Indicando con a, b e c le misue dei lati e con p il semipeimeto, ossia p=(a+b+c)/ si ha: ea(tiangolo)= p( p-a) ( p-b) ( p-c ) 8.6 ea e peimeto del tapezio igua 8.5 ea del tiangolo. Si vuole calcolae l aea del tapezio, e pe questo si effettua la seguente costuzione (vedi figua 8.6). Si polunga la base maggioe di un segmento conguente alla base minoe. I tiangoli e sono conguenti. Infatti: l angolo ˆ è opposto all angolo ˆ, e gli angoli opposti sono conguenti. è conguente a pe costuzione. l angolo ˆ e l angolo ˆ sono alteni inteni quindi sono conguenti. Pe il secondo citeio di conguenza dei tiangoli e sono conguenti, quindi sono equivalenti. è equivalente ad +. è equivalente ad +=+. a ciò segue che il tiangolo e il tapezio sono equivalenti, quindi hanno la stessa aea. Pe tovae l aea del tapezio si deve quindi calcolae quella del tiangolo. Teoia 8-

3 ea()=ea()= /=(+) /=(+) /=(ase maggioe + base minoe) altezza / La fomula cecata è dunque ea(tapezio)=(base maggioe + base minoe) altezza/ Il peimeto saà semplicemente la somma dei lati del tapezio. Peimeto(tapezio)=somma dei lati ig. 8.6 ea del tapezio. 8.7 ea e peimeto del paallelogamma Si vuole calcolae l aea del paallelogamma, e pe questo si effettua la seguente costuzione (vedi figua 8.7). Si taccia la pependicolae a passante pe e si tova il punto. è detta altezza del paallelogamma. Si polunga il lato dal lato di di un segmento. nche è una altezza del paallelogamma. I tiangoli e sono conguenti. Infatti: l angolo ˆ ˆ peché coispondenti delle ette e tagliate dalla tasvesale. è conguente a pe costuzione. è conguente a in quanto lati opposti del paallelogamma. Pe il pimo citeio di conguenza dei tiangoli e sono conguenti, quindi sono equivalenti. a ciò segue che: ea()=ea()+ ea()= ea()+ ea()=ea(). L aea del paallelogamma è dunque la stessa dell aea del ettangolo avente come base uno dei lati del paallelogamma e come altezza l altezza del paallelogamma. La fomula cecata è dunque ea(paallelogamma)=base altezza Il peimeto saà semplicemente la somma dei lati del paallelogamma, che peò sono due a due conguenti. Si dovà quindi sommae il doppio del pimo lato con il doppio del secondo lato. Peimeto(paallelogamma)= lato1+ lato Si mosta nella figua 8.8 come in ealtà sia possibile consideae come base anche il lato minoe del paallelogamma. In questo caso l altezza è indicata con o. ig. 8.7 ea del paallelogamma. 8.8 ea e peimeto del ombo Il ombo è un paallelogamma, petanto è possibile calcolane aea e peimeto con le stesse fomule mostate nel paagafo pecedente. a peò una caatteistica che pemette di utilizzae anche una fomula altenativa pe calcolae l aea, ossia il fatto che le diagonali sono pependicolai. ssendo inolte tutti i lati conguenti isulta più semplice anche la fomula pe il calcolo del peimeto. Si considei il ombo in figua 8.9 e si effettui la seguente costuzione. Si tacci la diagonale e poi le ette ad essa paallele passanti pe e. Si tacci poi la diagonale e poi le ette ad essa paallele passanti pe e. Le 4 ette così tacciate sono ta loo pependicolai e fomano un ettangolo G. facile mostae che i tiangoli O, O, O, O,, G, e sono tutti conguenti ta loo. Teoia 8- ig. 8.8 ea del paallelogamma.

4 Il ettangolo G è scomponibile negli 8 tiangoli appena elencati, da cui ea(g)=8 ea(o), mente il ombo è scomponibile in 4 tiangoli, da cui ea()=4 ea(o). a ciò segue che l aea del ombo è la metà dell aea del ettangolo. Il ettangolo ha base G, che è la diagonale maggioe del ombo, e altezza G che è la diagonale minoe del ombo. L aea del ombo saà dunque la metà dell aea del ettangolo, quindi ea(ombo)=diagonale maggioe diagonale minoe/ Il peimeto saà la somma dei lati del ombo, che peò sono tutti conguenti. Si dovà quindi moltiplicae il lato pe quatto. Peimeto(ombo)=4 lato O ig. 8.9 ea del ombo. G 8.9 ea e peimeto del quadato Un quadato è un ettangolo, ed è anche un ombo, quindi valgono le fomule pe il calcolo dell aea e del peimeto sia del ettangolo che del ombo. vendo peò esso tutti i lati e gli angoli conguenti è possibile semplificae le fomule pecedenti. onsideando il quadato un caso paticolae di ettangolo pe calcolae l aea anziché moltiplicae la base pe l altezza basteà moltiplicae il lato pe sé stesso. ea(quadato)=lato lato=lato onsideando invece il quadato un caso paticolae di ombo pe calcolae l aea basteà moltiplicae la diagonale pe sé stessa e dividee il tutto pe due. ea(quadato)=diagonale diagonale/= diagonale / Pe il calcolo del peimeto si deve invece moltiplicae il lato pe 4. Peimeto(quadato)=4 lato 8.10 ea e peimeto dei poligoni egolai Pe il calcolo dell aea di un poligono egolae si effettui la seguente costuzione. Si disegnino i segmenti che uniscono il cento del poligono egolae ai suoi vetici. Si ottengono così tanti tiangoli isosceli quanti sono i lati del poligono egolae. Pe calcolae l aea del poligono egolae basta dunque calcolae l aea di uno qualsiasi dei tiangoli isosceli e moltiplicae tale aea pe il numeo dei lati del poligono. L aea di uno dei tiangoli isosceli può essee calcolata moltiplicando il lato pe l apotema e dividendo il isultato pe due. Si ottiene quindi la fomula pe il calcolo dell aea dei poligoni egolai di n lati. ea(poligono egolae di n lati)=lato apotema n/ ig ea dei poligoni egolai. Il poblema che spesso si veifica nel calcolo dell aea dei poligoni egolai è che si deve calcolae l apotema (ossia il aggio della ciconfeenza inscitta) conoscendo solamente il lato. Questo è un poblema di non semplice isoluzione che veà affontato in maniea completa quando si studieà la tigonometia. In questo capitolo si studieanno invece alcuni casi paticolai come l aea dell esagono o dell ottagono dopo avee tattato i teoemi di uclide e Pitagoa. Non cea invece nessun poblema il calcolo del peimeto che è banalmente il podotto ta un lato e il numeo dei lati. Peimeto(poligono egolae di n lati)=n lato Pe calcolae invece l aea di un poligono qualsiasi è necessaio suddividelo in tiangoli, calcolae l aea dei tiangoli che lo compongono e sommae tali aee. Teoia 8-4

5 Pe calcolae, ad esempio, l aea del poligono in figua 8.11 si dovanno dunque fissae al suo inteno un punto qualsiasi e tacciae i segmenti che congiungono tale punto ai vetici del poligono. Si dovanno poi calcolae le aee dei tiangoli,,,, e sommale. ig ea dei poligoni ea e peimeto della ciconfeenza Pe affontae il poblema del calcolo del peimeto o, meglio, della lunghezza di una ciconfeenza, si considei il seguente esempio. Si penda un filo e lo si tenga ditto, in modo da fissae su di esso l unità di misua u, come pe esempio un meto da sato, nel quale l unità di misua u è il cm. desso il meto (o il filo) possono essee piegati in modo da fali adeie pefettamente alla ciconfeenza e così misuane la lunghezza. Il poblema è: come calcolae la lunghezza di una ciconfeenza conoscendone il aggio? ig. 8.1 Lunghezza di una ciconfeenza. Si considei la figua 8.1. Se si pende la misua del aggio con un filo è possibile poi falo adeie alla ciconfeenza in modo da contae quante volte si deve utilizzae il aggio pe copie l intea ciconfeenza. Pe icopie metà ciconfeenza seve quindi poco più di volte la lunghezza del aggio. Indichiamo con il simbolo π il numeo di aggi che sevono pe icopie una ciconfeenza. La lunghezza della semiciconfeenza è dunque π. Si può dunque tovae una appossimazione dicendo che la lunghezza della ciconfeenza è poco più di sei volte la lunghezza del aggio, ossia π. Lunghezza(ciconfeenza)=π L appossimazione di π che abbiamo tovato è peò molto gossolana, in quanto abbiamo detto che è un po più di te. necessaio deteminae l appossimazione in maniea più pecisa, e mostiamo adesso il pocedimento ideato da chimede nel III secolo a.c. chimede ha consideato pe una ciconfeenza di aggio il poligono egolae inscitto e quello cicoscitto. La lunghezza della ciconfeenza saà sicuamente un numeo compeso ta il peimeto del poligono egolae inscitto e quello del poligono egolae cicoscitto. chimede ha pensato che all aumentae del numeo dei lati del poligono egolae si saebbe ottenuta una miglioe appossimazione di π. ig. 8.1 Lunghezza di una ciconfeenza. Metodo di chimede pe l appossimazione di π. Teoia 8-5

6 Numeo dei lati Semipeimeto del poligono inscitto Semipeimeto del poligono cicoscitto alla tabella pecedente si vede che all aumentae del numeo dei lati si ottiene una sempe più pecisa appossimazione del valoe di π. L appossimazione utilizzata solitamente è π.14, ma si può fae di meglio, in quanto si è aivati ad appossimae π con centinaia di migliaia di cife decimali dopo la vigola. impotante sapee che tali cife decimali NON SONO PRIOI. Se ci fosse una peiodicità saebbe possibile scivee π sotto foma di fazione, ma non essendoci un peiodo ciò è impossibile. Se si deve calcolae invece la lunghezza di un aco di ciconfeenza il cui angolo al cento è α espesso in gadi basta applicae la popozione seguente Lunghezza aco ciconfeenza: angolo al cento=60 :π ottenendo la fomula Lunghezza(aco di ciconfeenza)=απ/180 =α che diventa Lunghezza(aco di ciconfeenza)=α se l angolo è espesso in multipli o sottomultipli dell angolo piatto indicato con π. Pe il calcolo dell aea di un cechio si può pocedee in maniea analoga mediante le appossimazioni delle aee dei poligoni inscitti e cicoscitti al cechio. Il isultato che si ottiene è: ea(cechio)=π Se si deve calcolae l aea di un settoe cicolae si può pocedee anche in questo caso con la popozione ea settoe cicolae: angolo al cento=π :60 ottenendo la fomula ea(settoe cicolae)= απ /60 che diventa ea(settoe cicolae)=α / se l angolo è espesso in multipli o sottomultipli dell angolo piatto indicato con π. 8.1 Pimo teoema di uclide I Teoema di uclide In un tiangolo ettangolo il quadato costuito su un cateto è equivalente al ettangolo avente come lati l ipotenusa e la poiezione del cateto sull ipotenusa. IPOTSI: è un tiangolo ettangolo,. TSI: G è equivalente a. L I G M ig I teoema di uclide. Teoia 8-6

7 IMOSTRZION I tiangoli ettangoli I e hanno: peché lati dello stesso quadato. I ˆ ˆ peché complementai dello stesso angolo ˆ M. Quindi i tiangoli ettangoli I e sono conguenti pe i citei di conguenza dei tiangoli ettangoli. a ciò segue che I. Il ettangolo e il paallelogamma LI hanno la stessa base I e la stessa altezza e quindi sono equivalenti. Il quadato G e il paallelogamma LI hanno la stessa base e la stessa altezza G, quindi sono equivalenti. è equivalente a LI, LI è equivalente a G, pe la popietà tansitiva è equivalente ad G. Si può concludee che l aea di G è uguale all aea di, ossia: =. 8.1 Teoema di Pitagoa Teoema di Pitagoa In un tiangolo ettangolo il quadato costuito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei quadati costuiti sui cateti. IPOTSI: è un tiangolo ettangolo. TSI: è equivalente a IG+LM. IMOSTRZION Pe il pimo teoema di uclide è equivalente a IG. Sempe pe il pimo teoema di uclide LM è equivalente a. Sommando si ha IG+LM è equivalente a +. Ma + è equivalente popio a. a ciò segue che è equivalente a IG+LM. Si può concludee che l aea di è uguale alla somma delle aee di IG e di LM, ossia: = +. L I M G 8.14 Secondo teoema di uclide ig Teoema di Pitagoa. II Teoema di uclide In un tiangolo ettangolo il quadato costuito sull altezza elativa all ipotenusa è equivalente al ettangolo avente lati le poiezioni dei cateti sull ipotenusa. IPOTSI: è un tiangolo ettangolo. TSI: IL è equivalente a MN. IMOSTRZION: In figua 8.16 si costuisce il quadato G sul lato, si tacciano, M N, M N. Si applica il teoema di Pitagoa al tiangolo, che è ettangolo con ipotenusa e si ottiene che G è equivalente a IL+NM. Si applica il pimo teoema di uclide al tiangolo. G è equivalente ad che è a sua volta equivalente a NM+MN. G è dunque equivalente sia a IL+NM che a NM+MN. lloa IL+NM è equivalente a NM+MN, e cancellando NM esta IL equivalente a MN. Si può concludee che l aea di LI è uguale all aea di MN, ossia: =. Teoia 8-7

8 L G I M N 8.15 ea di un tiangolo ettangolo L aea di un tiangolo ettangolo si può calcolae consideando l ipotenusa come base e l altezza elativa all ipotenusa come altezza, ottenendo la fomula: ea = ipotenusa altezza elativa all ipotenusa/ possibile calcolae la stessa aea anche consideando come base un cateto e come altezza l alto cateto, ottenendo la fomula: ea = cateto cateto/ onfontando le due fomule si ottiene la seguente Ipotenusa altezza elativa all ipotenusa = cateto cateto 8.16 omule iassuntive pe i tiangoli ettangoli Negli esempi che seguono l unità di misua è sottintesa e si useà la notazione di figua 8.17, ossia: Ipotenusa c ateti a, b ltezza h Poiezioni dei cateti sull ipotenusa x, y on questa notazione i teoemi di uclide e Pitagoa e la egola dell aea assumono la seguente foma: I teoema di uclide a =c x b =c y II teoema di uclide h =x y Teoema di Pitagoa a +b =c omula di equivalenza dell aea di un tiangolo c h=a b ig II teoema di uclide. a h b x y 8.17 sempi ed esecizi c ig Notazioni. sempio 8.17a La mediana taglia un tiangolo in due pati equiestese. Svolgimento: I due tiangoli M e M hanno basi M e M che sono conguenti ta loo in quanto M mediana e dunque M è il punto medio di. L altezza dei due tiangoli M e M è lo stesso segmento. vendo basi e altezze conguenti i due tiangoli hanno la stessa aea. Teoia 8-8

9 ig La mediana taglia ogni tiangolo in due pati equiestese. secizio 8.17b Sapendo che i cateti di un tiangolo ettangolo sono lunghi ispettivamente e 4 tovae l ipotenusa. Svolgimento: si sostituiscono i dati a=, b=4 nella fomula del teoema di Pitagoa. +4 =c 9+16=c 5=c c =5 c = 5 = 5 L ipotenusa è lungo 5. secizio 8.17c Sapendo che in un tiangolo ettangolo un cateto è lungo 5 e l ipotenusa è lunga 8 tovae la lunghezza dell alto cateto. Svolgimento: si sostituiscono i dati c=8, a=5 nella fomula del teoema di Pitagoa. 5 +b =8 5+b =64 b =64-5 b =9 b = 9 L alto cateto è lungo 9. secizio 8.17d Sapendo che in un tiangolo ettangolo un cateto è lungo 4 e la sua poiezione sull ipotenusa è lunga tovae la lunghezza dell ipotenusa. Svolgimento: si sostituiscono i dati a=4, x= nella fomula del pimo teoema di uclide. 4 =c 16= c c =16 c=16/ c=8 L ipotenusa è lunga 8. secizio 8.17e Sapendo che in un tiangolo ettangolo le poiezioni dei due cateti sull ipotenusa hanno lunghezza ispettivamente e 5 tovae l altezza elativa all ipotenusa. Svolgimento: si sostituiscono i dati x=, y=5 nella fomula del secondo teoema di uclide. h = 5 h =15 h = 15 L altezza elativa all ipotenusa è lunga 15. secizio 8.17f Sapendo che un quadato ha lato 1 tovae la lunghezza della diagonale del quadato. Svolgimento: si fa ifeimento alla figua Il tiangolo è ettangolo con ipotenusa e cateti e. Si può applicae ad esso il teoema di Pitagoa =c 1+1=c =c c = c = La diagonale è lunga. Tale isultato può essee genealizzato: se un quadato ha il lato di lunghezza l, alloa la sua diagonale ha lunghezza l. M secizio 8.17g Sapendo che il lato di un tiangolo equilateo ha lunghezza 1 tovae la lunghezza di una sua altezza. Svolgimento: si fa ifeimento alla figua 8.0. Il tiangolo è ettangolo con ipotenusa, che si sa avee lunghezza 1, e cateti e. è la metà di, ha lunghezza 1, quindi ha lunghezza 1/. Si applica il teoema di Pitagoa al tiangolo. 1 ( ) + b = b = 1 b = 1 1 b = 4 1 b = b = b = L altezza del tiangolo equilateo è ig alcolo della misua della diagonale del quadato.. Teoia 8-9

10 Tale isultato può essee genealizzato: se un tiangolo equilateo ha un lato di lunghezza l, alloa la sua diagonale ha lunghezza l. secizio 8.17h Sapendo che il lato di un tiangolo equilateo ha lunghezza tovae la distanza del suo cento dai suoi lati e dai suoi vetici. Svolgimento: si fa ifeimento alla figua 8.1. Il tiangolo equilateo è inscivibile in una ciconfeenza di aggio O, che è popio la lunghezza che dobbiamo tovae pe deteminae la distanza del cento del tiangolo equilateo dai suoi vetici. al fatto che il lato del tiangolo equilateo è si ha che =1. è l altezza del tiangolo equilateo OG. Se il lato è l l altezza del tiangolo equilateo è l. La fomula invesa dice che se l altezza del tiangolo equilateo è h alloa il suo lato è h = l. Il lato O cecato è dunque O = =. ig. 8.0 alcolo della misua dell altezza di un tiangolo equilateo. Pe quanto detto nell esecizio 8.17g l altezza del tiangolo equilateo è = l = =. a ciò si può concludee che O = O = = Il cento divide petanto ogni altezza di un tiangolo equilateo in due pati una doppia dell alta. O G ig. 8.1 alcolo della distanza del cento di un tiangolo equilateo da lati e vetici. secizio 8.17i Sapendo che il peimeto di un tapezio isoscele inscitto in una semiciconfeenza di aggio è 5, deteminane i lati. Svolgimento: si fa ifeimento alla figua 8.. ig. 8. Tapezio inscitto in una semiciconfeenza. Si indichino con x la misua della base minoe e con y la misua dei lati obliqui. al peimeto si icava la seguente elazione: x+y+y++=5, da cui x+y=. possibile icavae sottaendo la base minoe dalla maggioe e dividendo pe due. Teoia 8-10

11 =(-)/=(-x)/ Il tiangolo è ettangolo e applicando ad esso il I teoema di uclide si ottiene che =, che espesso con le incognite x e y diventa x ( ) = y. Si deve dunque isolvee il sistema x = y x + y = x = y x ( y) ( ) = y = y ( + y) = y x = y x = y x = y ( y) y y y y y + = + = + = 0 x = y x = x = ( y ) = 0 y = y = La base minoe è quindi lunga come il lato obliquo ed ha la stessa lunghezza del aggio della semiciconfeenza. Teoia 8-11