Scritto di Matematica per Biotecnologie Anno Accademico 2007/08 15/09/2008

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1 Anno Accademico 2007/08 5/09/2008 COG segnare preferenza per 6/09, 7/09 o inizio ottobre a Calcolare la derivata della funzione f definita da fx = x 7 arctanx2 sinπx b Sia g una funzione tale che g x = sinx 7 cosx Calcolare la derivata della funzione h definita da hx = gx 3 c Trovare gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione α definita da αx = x 2 + 4x n 3 4 3n 7 + n 2 n b Provare che la successione a n definita da a n = ln sinn + 7 e sin n è limitata Ricordo che una successione a n si dice limitata se esistono numeri reali c e b tali che c a n b per ogni n c Provare che se u è una funzione continua da R in R a valori positivi ossia ux > 0 per ogni numero reale x, allora è convergente la serie 3 a Calcolare l integrale definito 3 usin n 3 n x dx mostrando che il risultato è un x 5 2 numero intero b Sapendo che x lnx 2 + dx = 2 x 2 lnx 2 + x 2 + lnx c fatto che potete usare ma non siete tenuti a dimostrare, calcolare e 3x lne 6x + e 3x dx 4 Sia C la circonferenza di centro 2, 5 e raggio 5 Verficare che il punto P = 6, 8 appartiene a C Trovare inoltre un punto Q su C tale che il segmento passante per P e Q sia il diametro di C 5 a Svolgere l espressione 2x + 5x 2 + 3x 7 b Semplificare l espressione x6 2x 3 2 A livello indicativo cioè a meno di minime variazioni il primo esercizio vale circa punti, il secondo 3 punti, il terzo 7 punti e il quarto 4/5 punti La parte c del secondo esercizio è probabilmente le parte piú difficili del compito

2 Anno Accademico 2007/08 5/09/2008 COG segnare preferenza per 6/09, 7/09 o inizio ottobre a Calcolare la derivata della funzione f definita da fx = x arctan 6 x 3 cos5x b Sia g una funzione tale che g x = cose x + x 2 Calcolare la derivata della funzione h definita da hx = gsinx c Trovare gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione α definita da αx = x 2 + 6x n 8 3 8n 5 + n 4 n b Provare che la successione a n definita da a n = ln cosn + 9 e sin n è limitata Ricordo che una successione a n si dice limitata se esistono numeri reali c e b tali che c a n b per ogni n c Provare che se u è una funzione continua da R in R a valori positivi ossia ux > 0 per ogni numero reale x, allora è convergente la serie ucos n 3 n 9 x a Calcolare l integrale definito 5 x 3 3 dx mostrando che il risultato è un 2 numero intero b Sapendo che x lnx 2 + dx = 2 x 2 lnx 2 + x 2 + lnx c fatto che potete usare ma non siete tenuti a dimostrare, calcolare e 6x lne 2x + e 6x dx 4 Sia C la circonferenza di centro 7, 3 e raggio 5 Verficare che il punto P = 4, 7 appartiene a C Trovare inoltre un punto Q su C tale che il segmento passante per P e Q sia il diametro di C 5 a Svolgere l espressione x x 3x + 6 b Semplificare l espressione x8 3x 4 +3 A livello indicativo cioè a meno di minime variazioni il primo esercizio vale circa punti, il secondo 3 punti, il terzo 7 punti e il quarto 4/5 punti La parte c del secondo esercizio è probabilmente le parte piú difficili del compito

3 Anno Accademico 2007/08 6/07/2008 COG segnare preferenza per quest appello o dopo Sia f la funzione definita da fx = 3 5 2x +2 8 a Calcolare la derivata della funzione g definita da gx = x 3 fx b Risolvere la disequazione fx < 0 c Risolvere la disequazione fx 7 x 2 < 2fx n 7 5 3n+ + n n! + cos n b Sia a n una successione di numeri interi positivi con la proprietaà che a n+ = a n n 2 Provare che la serie a n 2 a 2n è convergente 3 a Calcolare l integrale indefinito x 3 x x 3x + dx b Dire se converge la serie n n+ e x2 dx 4 Dire per quali numeri reali positivi r la circonferenza di centro, e raggio r e la circonferenza di centro 3, 5 e raggio r hanno esattamente un punto in comune 5 Scrivere l espressione come un unica frazione x 2 3x x + A livello indicativo cioè a meno di minime variazioni il primo esercizio vale circa punti, il secondo 8 punti, il terzo punti e il quarto 4/5 punti La parte b del secondo e la parte b del terzo esercizio sono probabilmente le parte piú difficili del compito

4 Anno Accademico 2007/08 6/07/2008 COG segnare preferenza per quest appello o dopo Sia f la funzione definita da fx = 4 7 2x a Calcolare la derivata della funzione g definita da gx = sin x fx b Risolvere la disequazione fx < 0 c Risolvere la disequazione fx 7 x 2 < 2fx n 7 5 3n+ + n n! + cos n b Sia a n una successione di numeri interi positivi con la proprietaà che a n+ = a n n 2 Provare che la serie a n 2 a 2n è convergente 3 a Calcolare l integrale indefinito x 3 x x 3x + dx b Dire se converge la serie n n+ e x2 dx 4 Dire per quali numeri reali positivi r la circonferenza di centro, e raggio r e la circonferenza di centro 3, 5 e raggio r hanno esattamente un punto in comune 5 Scrivere l espressione come un unica frazione x 2 3x x + A livello indicativo cioè a meno di minime variazioni il primo esercizio vale circa punti, il secondo 8 punti, il terzo punti e il quarto 4/5 punti La parte b del secondo e la parte b del terzo esercizio sono probabilmente le parte piú difficili del compito

5 Anno Accademico 2007/08 23/06/2008 COG segnare preferenza per quest appello o dopo Calcolare il dominio e la derivata della funzione f definita da fx = 7 4 2x + 6 ln 5x 2x 2 3 n 2 + n 3n n + n 3 b Posto b n = 2 sin n + 3 cos n, provare che bn 8 per ogni n c Dire se converge la serie 3 a Calcolare l integrale indefinito b n n 3 n 4 + n + x+ 2 x e b Calcolare, per un opportuno numero reale a 0, l integrale indefinito e x dx 7x 2 + cos ax 3 + x dx 4 Siano C la circonferenza di centro 3, 4 e raggio 7 e C 2 la circonferenza di centro 38, 4 e raggio 5 a Determinare i punti che appartengono a C 2 aventi ordinata 6 b Determinare una retta che ha esattamente tre punti in comune con C C 2 5 Senza punteggio ufficiale a Svolgere la frazione x 2 x x 3 +7 x 6x b Semplificare la frazione 8x2 2 3x A livello indicativo cioè a meno di minime variazioni il primo esercizio vale circa punti, il secondo 2 punti, il terzo 6 punti e il quarto 5 punti La parte b del secondo esercizio è probabilmente la parte piú difficile del compito

6 Anno Accademico 2007/08 23/06/2008 COG segnare preferenza per quest appello o dopo Calcolare il dominio e la derivata della funzione f definita da fx = 2 6 2x + 6 ln 9x 4x 2 5 n 3 + n 2n n + n 4 b Posto b n = 5 sin n + 2 cos n, provare che bn c Dire se converge la serie 3 a Calcolare l integrale indefinito 2 b n n 3 n 4 + n + x+ 2 x e e x dx per ogni n b Calcolare, per un opportuno numero reale a 0, l integrale indefinito 5x 3 + cos ax 4 + x dx 4 Siano C la circonferenza di centro 23, 2 e raggio 5 e C 2 la circonferenza di centro 45, 2 e raggio 3 a Determinare i punti che appartengono a C 2 aventi ordinata 3 b Determinare una retta che ha esattamente tre punti in comune con C C 2 5 Senza punteggio ufficiale x a Svolgere la frazione x 2 x+3 x 3x b Semplificare la frazione 8x2 2 2x A livello indicativo cioè a meno di minime variazioni il primo esercizio vale circa punti, il secondo 2 punti, il terzo 6 punti e il quarto 5 punti La parte b del secondo esercizio è probabilmente la parte piú difficile del compito

7 Anno Accademico 2007/08 22/02/2008 COG segnare preferenza per quest appello o dopo Sia α la funzione definita da αx = x 2 3+x + x 3 x 3 x+2 2 x + 5 a Scrivere α come quoziente di due polinomi b Calcolare la derivata della funzione β definita da βx = αx cos 2 Dire se converge la serie n 2 + n x 2 sin 3 lnx e se converge la serie 3 2n + n a Calcolare gli integrali indefiniti x 3 x 5 x 3 x 2 dx n=2 e cos n lnn x 3x x3 + x dx Per il calcolo del secondo integrale può essere utile usare il fatto che data la funzione f definita da fx = 3x 2 +, la derivata f di f vale f x = 6x 3x 2 + x 2 b Posto F x = 7 cost 2 dt, provare che F x Si consiglia di NON 3 calcolare questo integrale c Dire per quali numeri reali a, si ha F x a x + + x Siano A il punto, 0 e B il punto 0, 0 Determinare i punti Q aventi ascissa 2 tali che la distanza tra Q e B sia il doppio della distanza tra Q e A È obbligatorio consegnare il presente testo del compito con segnati nome e cognome A livello indicativo cioè a meno di minime variazioni il primo esercizio vale circa 9 punti, il secondo 8-9 punti, il terzo 4 punti e il quarto 3-4 punti Nel primo la parte a conta poco La parte b del terzo esercizio è probabilmente la parte piú difficile del compito

8 Anno Accademico 2007/08 22/02/2008 COG segnare preferenza per quest appello o dopo Sia α la funzione definita da αx = 5 x+5 x + x2 2 x + 5 x 7 x 4 + a Scrivere α come quoziente di due polinomi b Calcolare la derivata della funzione β definita da βx = αx ln 2 Dire se converge la serie n 4 + n x 8 cos + 7 sinx e se converge la serie 2 5n + n n=2 e n lnn 3 a Calcolare gli integrali indefiniti x 6 x 4 x 3 x 4 dx e x 3 5x x5 + x dx Per il calcolo del secondo integrale può essere utile usare il fatto che data la funzione f definita da fx = 5x 4 +, la derivata f di f vale f x = 20x3 5x 4 + x 2 b Posto F x = 9 + sint 4 dt, provare che F x Si consiglia di NON 3 calcolare questo integrale c Dire per quali numeri reali a, si ha F x a x + + x Siano A il punto 0, 3 e B il punto 0, 5 Determinare i punti Q aventi ordinata 4 tali che la distanza tra Q e B sia il triplo della distanza tra Q e A È obbligatorio consegnare il presente testo del compito con segnati nome e cognome A livello indicativo cioè a meno di minime variazioni il primo esercizio vale circa 9 punti, il secondo 8-9 punti, il terzo 4 punti e il quarto 3-4 punti Nel primo la parte a conta poco La parte b del terzo esercizio è probabilmente la parte piú difficile del compito

9 Anno Accademico 2007/08 25/0/2008 COG segnare preferenza per quest appello o dopo Sia f la funzione definita da fx = 3x 2 e x + 2e x a Determinare i minimi relativi di f b Dire se esiste x R tale che fx = 00 e se esiste x R tale che fx = c Provare che per ogni funzione u : R R esiste un numero reale a tale che l equazione u fx = a nell incognita x ha almeno due soluzioni distinte d Calcolare la derivata della funzione g definita da gx = fx sin b Calcolare, se esiste, n 2 7 n 8 n + n 2 + lim 5 n n! n 2 + cosn n + 3x + lnx Si può usare il fatto, che non siete tenuti a dimostrare, che n n n! per ogni numero naturale n 3 Sia α la funzione data da Calcolare l integrale definito e l integrale indefinito αx = 6 x 7 x + x x 7 x + x αx dx αx x dx 4 Sia P il punto 3, 4 Determinare i punti Q appartenenti alla retta di equazione x+y = 2 tali che P appartiene alla circonferenza di centro Q e raggio 8 A livello indicativo cioè a meno di minime variazioni il primo esercizio vale circa 7 punti, il secondo 9 punti, il terzo 6 punti e il quarto 4 punti La parte c del primo esercizio è probabilmente la parte piú difficile del compito

10 Anno Accademico 2007/08 25/0/2008 COG segnare preferenza per quest appello o dopo Sia f la funzione definita da fx = 5x 2 e x 4e x a Determinare i minimi relativi di f b Dire se esiste x R tale che fx = 2 e se esiste x R tale che fx = 50 c Provare che per ogni funzione u : R R esiste un numero reale a tale che l equazione u fx = a nell incognita x ha almeno due soluzioni distinte d Calcolare la derivata della funzione g definita da gx = cos fx ln b Calcolare, se esiste, n 7 5 n 6 n + n lim n + n3 2 n n! + sinn 2x x Si può usare il fatto, che non siete tenuti a dimostrare, che n n n! per ogni numero naturale n 3 Sia α la funzione data da αx = x 9 x + x 3 x 9 x + 3 x Calcolare l integrale definito e l integrale indefinito 8 αx dx αx x 2 dx 4 Sia P il punto 5, Determinare i punti Q appartenenti alla retta di equazione x y = 7 tali che P appartiene alla circonferenza di centro Q e raggio 0 A livello indicativo cioè a meno di minime variazioni il primo esercizio vale circa 7 punti, il secondo 9 punti, il terzo 6 punti e il quarto 4 punti La parte c del primo esercizio è probabilmente la parte piú difficile del compito

11 Secondo Esonero di Matematica per Biotecnologie Anno Accademico 2007/08 09/0/2008 COG Chi accetta di mettere in rete il risultato di questo scritto firmi la riga seguente Autorizzo a mettere in rete il risultato di questo scritto a Determinare il dominio e gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione f definita da fx = x + 2 x b Sia g la funzione definita da gx = ln fx + x 3 cosx Calcolare la derivata di g 2 a Sia u la funzione definita da Calcolare, se esiste, il limite lim ux x + b Dire se converge la serie + un x 4 + cosx 2 + x ux = 30 + sin 2 + x 4 c Date le disequazioni D e D 2 x 4x 5 0 D x 4x x ux 0 D 2 dire se tutte le x che risolvono D risolvono anche D 2 e dire se tutte le x che risolvono D 2 risolvono anche D 3 Sia α la funzione data da Calcolare l integrale definito 2 3x αx = 3 4 x αx dx e l integrale indefinito cos αx π α x dx 4 a Sia s una funzione da R in R periodica di periodo Provare che la funzione r definita da rx = s x 5 è periodica Ricordo che una funzione f si dice periodica se esiste un numero reale a > 0 tale che fx + a = fx per ogni x R In tal caso si dice che a è un periodo di f b Provare che se f è una funzione continua da R in R tale che f2x = fx per ogni x R, allora f è costante È obbligatorio consegnare il presente testo del compito con segnati nome e cognome A livello indicativo cioè a meno di minime variazioni i primi due esercizi valgono circa -2 punti, il terzo 7 punti e il quarto 0 punti Nel terzo la parte c è quella che vale di piú Riteniamo la parte b del quarto esercizio piú difficile del resto del compito

12 Secondo Esonero di Matematica per Biotecnologie Anno Accademico 2007/08 09/0/2008 COG Chi accetta di mettere in rete il risultato di questo scritto firmi la riga seguente Autorizzo a mettere in rete il risultato di questo scritto a Determinare il dominio e gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione f definita da fx = 7 x + 4 x + 3 b Sia g la funzione definita da gx = x 2 fx 4 + x Calcolare la derivata di g 2 a Sia u la funzione definita da Calcolare, se esiste, il limite lim ux x b Dire se converge la serie + u n x 3 ux = 40 + cos cos2 x x 6 c Date le disequazioni D e D 2 x x 2 0 D x x 2 + x 80 ux 0 D 2 dire se tutte le x che risolvono D risolvono anche D 2 e dire se tutte le x che risolvono D 2 risolvono anche D 3 Sia α la funzione data da αx = 2 4 x x Calcolare l integrale definito 3 αx dx e l integrale indefinito e αx2 α x dx 2 4 a Sia s una funzione da R in R periodica di periodo Provare che la funzione r definita da rx = s x 4 è periodica Ricordo che una funzione f si dice periodica se esiste un numero reale a > 0 tale che fx + a = fx per ogni x R In tal caso si dice che a è un periodo di f b Provare che se f è una funzione continua da R in R tale che f3x = fx per ogni x R, allora f è costante È obbligatorio consegnare il presente testo del compito con segnati nome e cognome A livello indicativo cioè a meno di minime variazioni i primi due esercizi valgono circa -2 punti, il terzo 7 punti e il quarto 0 punti Nel terzo la parte c è quella che vale di piú Riteniamo la parte b del quarto esercizio piú difficile del resto del compito

13 Risolvere le disequazioni Esonero di Matematica per Biotecnologie Anno Accademico 2007/08 24//2007 COG x 5 43x + 2 5x 2 x 5 < 0, 2 x x 5 2 x a Dire se il punto P = 5, 3 sta sulla circonferenza di centro 3, e raggio 4 b Siano α e β le funzioni definite da αx = 2 x 8, βx = x 6 2xx 5x 4 e siano u e v le funzioni definite da ux = αx βx, vx = αx + βx Dire quali punti del grafico di u appartengono alla retta di equazione y = 0 e quali punti del grafico di v appartengono alla retta di equazione y = 0 3 Siano date le successioni a n = 2n n 2 + 2n n 3 + sinn 2, b n = + 4n 2 4 n n + 3 a Calcolare, se esistono, lim a n, lim n + n + 2n a n b Provare che esiste un numero naturale N tale che b n > 0 se n N c Dire se converge la serie 4 a Calcolare n 2 n=0 2 n Si suggerisce di tenere conto della formula k n=0 valida per ogni numero naturale k e per ogni x b Sia a n una successione tale che a n+3 = a n per ogni numero intero positivo n Provare che la successione b n definita da b n = n b n n k= a k x n = xk+ x, è convergente ricordo che convergente significa che ha un limite che è un numero reale È obbligatorio consegnare il presente testo del compito con segnati nome e cognome A livello indicativo cioè a meno di minime variazioni il primo esercizio vale 0 punti, il secondo 7, il terzo 3, il quarto 0 o poco piú Nel secondo vale di piú la parte b Riteniamo la parte b del quarto esercizio molto piú difficile del resto del compito

14 Esonero di Matematica per Biotecnologie Anno Accademico 2007/08 24//2007 COG Risolvere le disequazioni 3x 24x 5 x 7 3 < 0, x 7 x x 7 x a Dire se il punto P = 3, 2 sta sulla circonferenza di centro 7, 5 e raggio 5 b Siano α e β le funzioni definite da αx = x 2, βx = 3 x 96 4xx x + 3 e siano u e v le funzioni definite da ux = αx βx, vx = αx + βx Dire quali punti del grafico di u appartengono alla retta di equazione y = 0 e quali punti del grafico di v appartengono alla retta di equazione y = 0 3 Siano date le successioni a n = 0 n 5 + cosn 3 + 3n n n , b n = 6n 3 6 n n + 8 a Calcolare, se esistono, lim a a n n, lim n + n + 3 n b Provare che esiste un numero naturale N tale che b n > 0 se n N c Dire se converge la serie 4 a Calcolare 3 7 5n n=0 n 3 b n Si suggerisce di tenere conto della formula k n=0 x n = xk+ x, valida per ogni numero naturale k e per ogni x b Sia a n una successione tale che a n+4 = a n per ogni numero intero positivo n Provare che la successione b n definita da b n = n è convergente ricordo che convergente significa che ha un limite che è un numero reale È obbligatorio consegnare il presente testo del compito con segnati nome e cognome A livello indicativo cioè a meno di minime variazioni il primo esercizio vale 0 punti, il secondo 7, il terzo 3, il quarto 0 o poco piú Nel secondo vale di piú la parte b Riteniamo la parte b del quarto esercizio molto piú difficile del resto del compito n k= a k