ALTRI ESERCIZI SULL INTEGRALE DI LEBESGUE. A. Figà Talamanca

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1 ALTRI SRCIZI SULL INTGRAL DI LBSGU A. Figà Talamaca 29 ottobre 2006

2 2 L itegrale di Lebesgue che abbiamo defiito per le fuzioi misurabili, limitate defiite su u isieme misurabile di misura fiita, può essere esteso alle fuzioi misurabili o egative, defiite su u isieme misurabile di misura arbitraria attraverso la seguete defiizioe. Nella defiizioe e egli esercizi che seguoo si suppoe che l itegrale possa assumere il valore +. L itegrale è così defiito per ogi fuzioe misurabile e o egativa. defiizioe 1Sia f ua fuzioe misurabile o egativa, defiita su u isieme misurabile R. L itegrale di f è defiito come sup h f h(x)dx, dove h è ua fuzioe misurabile limitata, ulla fuori di u isieme di misura fiita sercizio 1 Dimostrare che se c >= ed f e g soo fuzioi misurabili o egative allora, cf(x)dx = c f(x)dx; se f g, allora f(x) + g(x)dx = f(x)dx f(x)dx + g(x)dx. g(x)dx; sercizio 2 Dimostrare che se f è ua successioe di fuzioi misurabili o egative e lim f (x) = f(x) quasi ovuque su u isieme misurabile, allora f(x)dx lim if f (x)dx. sercizio 3 Sia f ua successioe crescete di fuzioi o egative e misurabili. Suppoiamo che f = lim f. Allora f = lim f. sercizio 4 Sia f ua fuzioe misurabile e o egativa e sia successioe di isiemi misurabili e disgiuti. Sia =. Allora f(x)dx = f. ua

3 defizioe 2. Ua fuzioe misurabile e o egativa si dice itegrabile sull isieme misurabile se f(x)dx <. sercizio 5 Se f e g soo due fuzioi o egative e misurabili, g(x) < f(x) ed f è itegrabile sull isieme misurabile, allora f g = f g. Si osservi che l euciato può o essere vero o o avere seso se f o è itegrabile. sercizio 6 Sia f ua fuzioe o egativa ed itegrabile sull isieme misurabile. Dimostrare che per ogi ε > 0 esiste δ > 0, tale che, per ogi isieme misurabile A, per il quale, m(a) < δ risulta f(x)dx < ε. A sercizio 7 Dimostrare che se f è o egativa ed itegrabile su R, allora la fuzioe x F (x) f(t)dt, è cotiua. sercizio 8 Dimostrare che se f è ua fuzioe misurabile o egativa e f(x)dx = 0, allora f(x) = 0 quasi ovuque. sercizio 9 Dimostrare che se f è ua fuzioe misurabile o egativa esiste ua successioe di fuzioi semplici o egative φ ogua delle quali si aulla fuori di u isieme di misura fiita, e tali che lim φ (x) = f(x). sercizio 10 Nelle ipotesi del precedete esercizio, dimostrare che f(x)dx = if φ f φ(x)dx, dove φ varia su tutte le fuzioi semplici che assumoo valori o ulli su u isieme di misura fiita. 3

4 4 sercizio 11 Sia f ua successioe di fuzioi misurabili e o egative, defiite su u isieme misurabile, tali che f f e lim f (x) = f(x) per ogi x, allora f(x)dx = lim f (x)dx. sercizio 12 Dimostrare che se f è ua successioe di fuzioi misurabili o egative, allora lim if f lim if f. defiizioe 3 Sia f ua fuzioe misurabile, sia f + (x) = max{f(x), 0}, sia f (x) = f(x) f + (x). Osservare che f = f + f e f = f + + f. La fuzioe f si dice itegrabile se soo itegrabili ambedue le fuzioi f + e f. I tal caso si defiisce f = f + f. sercizio 13 Lo spazio delle fuzioi itegrabili uo spazio lieare e l itegrale defiisce u fuzioale lieare su questo spazio. Ioltre, se f g allora f g. Ifie se A B =, e gli isiemi misurabili A e B soo disgiuti, allora f = f + g. A B sercizio 14 Sia f ua successioe di fuzioi misurabili. Suppoiamo che lim f = f quasi ovuque su u isieme misurabile. Suppoiamo ioltre che f g, dove g è ua fuzioe misurabile, o egativa ed itegrabile. Allora lim f (x)dx = f(x)dx. sercizio 15 Dimostrare o cofutare la seguete affermazioe: Ogi fuzioe itegrabile cotiua e o egativa defiita su R soddisfa alla codizioe lim x + f(x) = 0. sercizio 16 Stabilire per quali α R esiste l itegrale improprio + se(x α )dx. Stabilire ache per quali α la fuzioe se(x α ) risulta itegrabile.

5 Riassuto Vale la pea di ripercorrere i passi che abbiamo compiuto per giugere ad ua completa defiizioe di itegrale di Lebesgue e a dimostrare il teorema euciato ell ultimo esercizio che va sotto il ome di teorema della covergeza domiata di Lebesgue. 1) Prima di tutto abbiamo defiito per tutti i sottoisiemi di R ua misura estera che coicide per gli itervalli co la lughezza. 2) Poi abbiamo ristretto la misura estera ad ua famiglia di sottoisiemi di R detti isiemi misurabili, i modo tale che la misura estera risultasse ifiitamete addittiva sulla famiglia degli isiemi misurabili. La misura estera, su questi isiemi ha assuto il ome di misura o misura di Lebesgue 3) Abbiamo poi defiito misurabile ogi fuzioe per la quale l immagie iversa di u itervallo aperto risulta u isieme misurabile. Sulle fuzioi misurabili che assumoo u umero fiito di valori diversi da zero su u isieme di misura fiita, è stato defiito u itegrale i modo ovvio: l itegrale della fuzioe caratteristica di u u isieme misurabile di misura fiita è la sua misura, sulle combiazioi lieari delle fuzioi caratteristiche è defiito i modo che risulti lieare. 4) Abbiamo poi preso i cosiderazioe le fuzioi misurabili, limitate defiite su u isieme di misura fiita. L itegrale per queste fuzioi è stato defiito i aalogia alla defiizioe dell itegrale di Riema su u itervallo, co la differeza che al posto delle fuzioi costati a tratti si soo utilizzate le fuzioi semplici. Tutte le fuzioi misurabili limitate e defiite su u isieme di misura fiita soo risultate itegrabili. 5) Utilizzado u teorema sulla covergeza delle fuzioi misurabili che, ella sostaza, cosete di passare dalla covergeza semplice alla covergeza uiforme, purché si escluda u isieme di misura piccola, abbiamo dimostrato il primo teorema di covergeza degli itegrali, il cosiddetto teorema della covergeza limitata, che si applica ad ua successioe di fuzioi misurabili uiformemete limitata che coverge ad ua fuzioe misurabile e limitata. 5