ESERCIZI SULLA TERMODINAMICA

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1 ESERCIZI SULLA TERMODINAMICA

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3 CAPITOLO 1 Termometria e Calorimetria 1.1. Scale di Temperatura Exercise Calcolare per quale valore della temperatura espressa in radi Celsius un termometro centirado e uno con scala Fahrenhei forniscono lo stesso valore. Soluzione:: Ricordiamo che la scala Celsius è una scala centirada, perché, assenando il valore 0 alla temperatura del hiaccio in fusione e 100 all'acqua in eaporazione, indica come 1 rado la centesima parte di parte intervallo; la scala Fahrenheit assena invece a questi due punti ssi il valore di 32 e 212 ed è pertanto una scala centottantirada, essendo 1 la centottantesima parte di tale intervallo. Il rapporto tra le due scale è dato da C 100 = F Detto C il valore della scala Celsius e F quello della Fahrenheit, se C = F si ha da cui C 100 = C C = 100C C = 3200 C = Dilatazione termica dei solidi Exercise Una sbarra di alluminio, alla temperatura di 0 C, è luna 5 cm. Calcolare la nuova lunhezza della sbarra se la temperatura sale a 40 C. Soluzione:: La dilatazione esprime il fenomeno dell'aumentata aitazione molecolare e del conseuente aumento della distanza media tra le molecole oscillanti che componono il solido. Se prendiamo in esame la dilatazione luno una sola direzione (dilatazione lineare), essa viene descritta dalla relazione l l 0 = λl 0 T = l = l 0 (1 λt ), dove l 0 è la lunhezza iniziale, T la variazione di temperatura che ha prodotto la dilatazione e λ il coeciente di dilatazione lineare dipendente dal tipo di materiale considerato (il coeciente di proporzionalità). Nel nostro caso λ Al = C 1 e quindi, applicando la relazione si ha la sbarra si allunherà quindi di 48 µm. l = 5 cm ( C 1 40 C ) = 5, 0048 cm Exercise Calcolare il coeciente di dilatazione lineare dell'alluminio sapendo che una sbarra di alluminio luna 20 m si alluna di 24 cm se riscaldata da 20 C a 520 C. Soluzione:: L'esercizio è simile al precedente, tranne che in questo caso la randezza inconita è λ e che è quindi necessario applicare la formula inversa λ = l l 0 l 0 T = 0, 24 m 20 m 500 C = 2, C 1 Exercise Una sbarra di ferro, luna l 0 alla temperatura di 0 C, viene posta in un ambiente alla temperatura T C. Sapendo che la lunhezza della sbarra diventa 1, 0005 l 0, calcolare la temperatura dell'ambiente. 3

4 1.2. DILATAZIONE TERMICA DEI SOLIDI 4 Soluzione:: La tipoloia del problema è la stessa deli esercizi precedenti; in questo caso l'inconita è T, e quindi useremo sempre la formula inversa, sapendo che λ F e = C 1 e che T 0 = 0 T 0 = l l 0 = 1, 0005l 0 l 0 0, 0005 λl C 1 = l = 41, 7 C C 1 Exercise Alla temperatura di 0C la lunhezza del lo di un pendolo semplice è di 5 m. Portato in un luoo dove la temperatura è di 30C, il pendolo oscilla con un periodo pari a 4, 48 s. Sapendo che il coeciente di dilatazione lineare del lo è C 1, calcolare l'accelerazione di ravità del luoo. Soluzione:: in questo caso l'impostazione di questo problema richiede la conoscenza della relazione tra il periodo di oscillazione di un pendolo semplice, la lunhezza del lo e l'accelerazione di ravità del luoo. Essa si esprime come t = 2π, dove l è la lunhezza del lo e l'accelerazione di ravità. l L'esercizio chiede di valutare l'eetto della temperatura sulla misurazione di un pendolo. Calcoliamo prima la dilatazione del lo all'innalzamento della temperatura l = 5 m ( C 1 30C ) = 5, 003 m risolviamo la relazione che descrive l'oscillazione di un pendolo rispetto a, inserendo il valore trovato di l: = 4π2 l t 2 = 4π2 5, 003 m (4, 48 s) 2 = 9, 831 m s 2 Exercise Determinare il coeciente di dilatazione del lo di un pendolo semplice, sapendo che a 0C il periodo è di 2 s, mentre a 30C diventa 2, 0004 s. Soluzione:: il leamo tra la lunhezza del lo e il periodo di oscillazione è espresso da l = T 2 4π 2 ; applichiamo questa formula nei due casi a diverse temperature l 0 = (2 s)2 9.8 m s 2 4π 2 = 0, m l 1 = (2, 0004 s)2 9.8 m s 2 4π 2 = 0, m si ha quindi l = 0, , = 3, m e sostituendo nella relazione che esprime la dilatazione, si ha λ = l l 0 T = 3, m 0, m 30C = 1, C 1 Exercise La lunhezza delle rotaie di una linea ferroviaria è circa l 0 = 155 km. Sapendo che per l'acciaio è λ = C 1 e supponendo che le rotaie siano saldate con continuità, calcolare di quanto varierebbe la lunhezza complessiva se la massima variazione staionale di temperatura è di 40. Soluzione:: Dalla relazione l = l 0 λ T, sostituendo si ha l = 155 km C 1 40C = 0, 0651 km = 65, 1 m Exercise Una sostanza allo stato liquido occupa a 0C un volume pari a 30 cm 3. Sapendo che alla temperatura di 50C il suo volume aumenta di 0, 27 cm 3, determinare in base al coeciente di dilatazione cubica la natura della sostanza. Soluzione:: in questo caso consideriamo il corpo come solido e quindi tale per cui le lunhezze delle tre dimensioni hanno valori confrontabili, a dierenza della dilatazione lineare dove due dimensioni sono trascurabili rispetto alla terza. La relazione è del tutto analoa a quella della dilatazione lineare, se non per l'introduzione di un nuovo coeciente di dilatazione volumica α. Tale coeciente non è altro che il triplo del coeciente lineare, in quanto la dilatazione avviene luno le tre dimensioni. Esso rappresenta l'aumento del volume unitario di un solido per riscaldamento di un rado. V = V 0 (1 + α T )

5 1.2. DILATAZIONE TERMICA DEI SOLIDI 5 sostituendo i valori si ha da cui, risolvendo rispetto ad α 30, 27 cm 3 = 30 cm 3 (1 + α 50C) 0, 27 cm3 α = 1500 cm 3 C = 1, C 1 dalle tabelle che riproducono i valori dei coecienti di dilatazione volumica si nota che tale valore corrisponde al H. Exercise Un blocco di metallo di massa m = 510, la cui densità è a 0 C pari a 8, 5 cm, viene immerso in 3 un recipiente contenente acqua a 40 C. Sapendo che il coeciente di dilatazione cubica del metallo è C 1, calcolare la spinta archimedea aente sul blocco, considerando uuale a 1 la densità dell'acqua. cm 3 Soluzione:: Calcoliamo innanzitutto il volume iniziale del metallo, a T = 0 C: V 0 = M d = 510 8, 5 = 60 cm 3 cm 3 Calcoliamo ora il volume del metallo dopo la dilatazione subita immerendolo in acqua più calda, a T = 40 C: V 1 = V 0 (1 + αt ) = 60 cm 3 ( C 1 40 C ) = 60, 12 cm 3 la densità, rimanendo invariata la massa, diverrà d 1 = 510 = 8, , 12 cm3 cm 3 la spinta archimedea è la forza esercitata dal uido nel quale il metallo è immerso, diretta verso l'alto, che è pari al peso del volume del liquido spostato. Tale forza si misura in Newton, k m s 2, per cui il volume andrà espresso in m 3, cioè V 1 = 60, m 3 F = peso specifico H2O V H2O = 1000 k m 3 9, 81 m s 2 60, m 3 = 0, 59 N Exercise Un tubo di vetro pirex contiene, completamente pieno, 60 cm 3 di H alla temperatura di 15C. Se viene riscaldato a 40C qual è la quantità di mercurio che fuoriesce dal tub0? (Coeciente di dilatazione lineare del vetro pirex: λ = C 1 ; coeciente di dilatazione cubica del mercurio: α = 1, C 1 ) Soluzione:: Calcoliamo la dilatazione subita dal mercurio, sapendo che il volume iniziale è di 60 cm 3 : V H = 60 cm 3 ( 1 + 1, C 1 25 C ) = 60, 27 cm 3 il tubetto di vetro ha una capacità iniziale uuale al volume del mercurio. Pertanto la capacità del tubetto iniziale di 60 cm 3 diviene da cui V pirex = 60 cm 3 ( C 1 25 C ) = 60, 014 cm 3 V H V pirex = 60, 27 cm 3 60, 014 cm 3 = 0, 256 cm 3 Exercise In tutto l'intervallo termico da 0C a 100C il ceociente di dilatazione cubica del mercurio è sensibilmente uuale a 1, C 1. Sapendo che la densità del mercurio a 20C è 13, 59 /cm 3, calcolare la sua densità a 80C. Soluzione:: calcoliamo la variazione del volume prodotta dall'innalzamento della temperatura, ricordando che la densità è d = M V, e quindi v = M d ne seue che V = V 0 αt = M 13, 59 cm 3 V 1 V 0 = 5, M 1, C 1 60C la densità nella nuova condizione è data da M d 1 = V 0 (1 + αt ) = d αt = 13, , = 13, cm 3

6 1.3. CALORIMETRIA Calorimetria Exercise Calcolare la quantità di calore necessaria per portare 1 k di acqua dalla temperatura di 0C alla temperatura di 25C. Soluzione:: Esercizio di semplice applicazione della relazione Q = mc s T dove m è la massa del corpo in k, c il suo calore specico in /k K, T la variazione di temperatura in radi Kelvin e Q la quantità di calore in oule. (Nel calcolo è possibile sostituire direttamente la dierenza in radi Celsius in quanto T (Kelvin) = T (Celsius). Infatti 1K = 1C, e cambia solamente l'oriine delle due scale). Essa esprime la quantità di calore ceduta o assorbita da un corpo nel rareddarsi o riscaldarsi. Sostituendo direttamente i valori assenati, vericando correttamente la rispondenza delle unità di misura si ha, ricordando che c acqua = 4180 /k K, Q = 1 k K = k K Usando come unità di misura il rammo e la caloria, il calore specico dell'acqua vale c acqua = 1, 01 cal K si ha Q = , 01 cal 25 = cal = 25, 25 kcal K Exercise Un corpo di massa m = 1 k dopo aver assorbito una quantità di calore pari a 30 cal varia la sua temperatura di 10 C. Calcolare il calore specico e la capacità termica del corpo. Soluzione:: Anche questo è un esercizio di applicazione della relazione della calorimetria che collea l'eneria ceduta o acquistata alla variazione di temperatura del corpo. Q = mc s T da cui, sostituendo e risolvendo rispetto a c s (ricordiamo che essendo la quantità di calore espressa in calorie, la massa deve essere espressa in rammi) la capacità è pertanto c s = Q m T = 30 cal C C = mc s = = cal C cal cal 1000 = 3 C C Exercise Per far funzionare correttamente un motore è necessario rareddarlo mediante circolazione di acqua. Sapendo che oni ora venono immessi, alla temperatura di 10 C, 2000 l di acqua, che poi escono alla temperatura di 30 C, calcolare la quantità di calore che viene sottratta al motore per oni ora di funzionamento. (ricordiamo che 1 l H2O = 1000 ) Soluzione:: calcoliamo la quantità di calore necessaria per ora (la relazione per la quantità di calore è sempre Q = mc s T ) Q h = H 20 h 1 cal kcal (30 10) C = C h Exercise In un recipiente termicamente isolato venono mescolati 0, 2 l di acqua alla temperatura di 70 C con 100 di acqua alla temperatura di 40 C. Determinare la temperatura nale di equilibrio, supponendo che la quantità di calore ceduta dall'acqua più calda sia interamente assorbita dall'acqua più fredda.

7 1.3. CALORIMETRIA 7 Soluzione:: In questo caso la sorente di calore è l'acqua alla temperatura maiore, che trasferisce eneria all'acqua a temperatura minore. Il passaio di calore si manterrà nché le due masse d'acqua non avranno raiunto la stessa temperatura, detta temperatura di equilibrio. Per distinuere i due ussi di eneria, li indichiamo con due seni opposti, positivo il calore ceduto e neativo quello acquistato. Se indichiamo con Q 1 il calore ceduto si avrà Q 1 = cal C (70 T eql) se Q 2 è il calore acquistato dall'acqua a temperatura minore, si avrà Q 2 = cal C (T eql 40) supponendo che le due quantità siano uuali, cioè che non vi siano dispersioni di calore verso i recipienti o l'esterno, si avrà cal C (70 T eql) = cal C (T eql 40) e risolvendo rispetto all'inconita T eql, si ottiene cal 200T eql cal = 100T eql cal 4000 cal da cui cioè 300T eql cal = cal T eql = 60 C Exercise Un pezzo di rame di massa 200, portato alla temperatura di 50 C, viene immerso in un thermos che contiene una massa d'acqua di 400 alla temperatura di 0 C. Calcolare la temperatura di equilibrio. [Il passaio del calore da un corpo caldo ad uno più freddo cessa quando essi raiunono la stessa temperatura, che viene detta temperatura di equilibrio] Soluzione:: per descrivere questa situazione, si suppone che tutta l'eneria che viene ceduta dal rame vena trasferita completamente all'acqua, senza alcuna dispersione. Pertanto, se consideriamo com epositiva l'eneria ceduta, quella assorbita sarà rappresentata come neativa. L'eneria ceduta dal rame si può esprimere E ceduta = m Cu c Cu s (T in T eql ) = 200 0, 092 cal C (50 T eql) C l'eneria acquisita dall'acqua, sempre con le stesse unità di misura, è E acquisita = m H2Oc H2O s (T in T eql ) = 400 1, 01 cal C (T eql 0) C uualiando le due quantità si ottiene una equazione nella quale l'inconita è rappresentata dalla T eql risolvendo la quale, si ha 200 0, 092 cal C (50 T eql) C = 400 1, 01 cal C (T eql 0) C cioè , 4T eql = 404T eql T eql = 2, 18 C Exercise Un pezzo di metallo di massa m 1 = 500, inizialmente alla temperatura di 100 C, viene posto in un recipiente, fatto dello stesso metallo, di massa m 2 = 200, che contiene 300 di acqua a 20 C. Determinare il calore specico del metallo nell'ipotesi che oni scambio di calore avvena solo tra i corpi considerati e che la temperatura nale di equilibrio sia di 30 C.

8 1.3. CALORIMETRIA 8 Soluzione:: Utilizzando anche qui la relazione fondamentale della calorimetria, si ha 500 c s (100 30) C = 200 c s (30 20) (30 20) il calore specico dell'acqua vale 1, mentre il calore specico del metallo e del contenitore è lo stesso avendo questi la medesima composizione. Il calore ceduto si distribuirà tra il contenitore e l'acqua, supposti in condizione di equilibrio termico 33000c s = 3000 c s = 0, 091 cal C Exercise Un soetto in stato febbrile beve 0, 2 l di acqua alla temperatura di 10 C. Sapendo che per raiunere uno stato di equilibrio termico con il corpo umano l'acqua assorbe una quantità di calore pari a 5, 7 kcal, calcolare la temperatura dello stato febbrile. Soluzione:: La quantità di calore assorbita dai 0, 2 l di acqua che vanno a ridurer la temperatura e mitiare lo stato febbrile, può essere valutata tramite Q = m acqua c acqua s (T eql T iniziale ) conoscendo l'eneria assorbita dall'acqua, la randezza inconita è la T eql cioè la temperatura dello stato febbrile; 5700 cal = cal C (T eql 10 C) da cui T eql = = 38, 5 C 200 Exercise L'eneria sioloica minima necessaria per mantenere le sole funzioni vitali di un oranismo vivente è di circa 1860 kcal nelle 24 ore. Calcolare quanto zucchero dovrebbe inerire un uomo per sopperire a tale fabbisono, sapendo che l'eneria sviluppata nella combustione completa di 1 k di zucchero (potere calorico) è pari a 3900 kcal/k. Soluzione:: tenuto conto del potere calorico e del fabbisono iornaliero, si ha 1860 Kcal m zucchero = 3900 Kcal = 0, 431 k k Exercise La corrente del Golfo trasporta in media 10 8 m 3 di acqua al secondo verso l'europa. Se la temperatura invernale della corrente è superiore di 10 C di quella delle acque circostanti, calcolare: (1) la quantità di calore che viene trasportata oni secondo (2) il numero di centrali termiche da 100 M W necessarie per fornire la stessa potenza. Soluzione:: (1) la quantità di calore fornita è descritta dalla lee della termoloia. Nell'ipotesi che tutto il calore vena ceduto alla sola acqua circostante e che i calori specici dei due liquidi siano uuali, si ha [ ] kcal P = m H2O c H20 s T = cal kcal 0, C = 9, s s C s oppure [ ] P = m H2O c H20 11 k s T = 10 s s 4186 k C 10 C = 4, s (2) oni centrale ha una potenza di 1000 MW, cioè pari a 10 9 s, per cui n centrali = 4, s 10 9 s cioè oltre 4 milioni di centrali = 4, Exercise Per fare il bano in una vasca l'acqua deve essere ad una temperatura di 36 C. Se nella vasca vi sono 50 l di acqua a 15 C, quanti litri di acqua calda, dallo scaldabano a 60 C, sono necessari per portare l'acqua alla temperatura voluta?

9 1.3. CALORIMETRIA 9 Soluzione:: se trascuriamo oni dispersione termica, la quantità di calore ceduta dall'acqua dello scaldabano andrà a riscaldare esclusivamente l'acqua presente nella vasca; questo è quindi un esercizio nel quale la temperatura di equibrio corrisponde ai 36 C. Essendo le due masse costituite dalla stessa sostanza, i due calori specici si possono considerare uuali, e quindi risolvendo rispetto alla massa inconita m H2O 1 cal cal (60 36) = (60 15) C C m = = 43, 75 k Exercise Un pezzo di metallo di massa m 1 = 200, immerso in 275 di acqua, fa innalzare la temperatura dell'acqua da 10 C a 12 C. Un secondo pezzo dello stesso metallo di massa m 2 = 250 alla stessa temperatura del primo, immerso in 168 di acqua, fa innalzare la temperatura da 10 C a 14 C. Calcolare la temperatura dei due pezzi di metallo e il calore specico. Solzuione:: In questo caso le inconite sono due; sarà pertanto necessario costruire un sistema di due equazioni in due inconite. Le relazioni necessarie sono ricavabili dai due diversi tipi di riscaldamento, supponendo che il metallo rimana nei due casi invariato e che la sua temperatura iniziale, come specicato, sia la stessa { 200 cs (T 12) C = cal C 250 c s (T 14) C = cal C eseuendo il calcolo si ottiene (omettendo le unità di misura): { 200cs (T 12) = c s (T 14) = 672 ricaviamo c s da entrambe le equazioni { cs = (T 12) c s = (T 14) (12 10) C (14 10) C uualiamo i due secondi membri, applicando la proprietà transitiva, e semplichiamo i valori numerici moltiplichiamo per il mcm risolviamo rispetto a T e 11 4 (T 12) = (T 14) 1375T = 1344T c s = T = = 97, 8 C 11 cal = 0, (97, 8 12) C Exercise Una persona di 80 k vuole diminuire di 10 k passando da una dieta iornaliera di 3500 kcal a una di 2500 kcal senza variare la sua attività sica. Sapendo che l'ossidazione di 100 di rasso animale fornisce 880 kcal, quanti iorni occorrono per bruciare le sue riserve di rasso per arrivare alla massa corporea voluta? Soluzione:: la riduzione di 10 k di rasso corrispondono a : 100 ossidazione = 100 ossidazioni. Le 100 ossidazioni equivalono al consumo di 880 kcal 100 = kcal. Consumando 100 kcal in meno al iorno, serviranno kcal 1000 kcal = 88 iorni iorno Exercise Una persona addetta a lavori pesanti inerisce 600 di lucidi (4 kcal/), 400 di protidi (4 kcal/) e 200 di lipidi (9 kcal/). Calcolare il corrispondente valore eneretico.

10 1.3. CALORIMETRIA 10 Soluzione:: basta moltiplicare il corrispettivo valore eneretico per rammo per il numero dei rammi assunti e sommare i sinoli contributi 4 kcal kcal kcal 200 = 5800 kcal Exercise Una piscina coperta contenente 150 m 3 di acqua si raredda di 2 C oni iorno. Calcolare: (1) Quanti kw h sono necessari oni iorno per mantenere costante la temperatura dell'acqua; (2) quanti m 3 di acqua dovrebbero cadere dall'altezza di 30 m per poter produrre l'eneria necessaria per riscaldare oni iorno la piscina di 2 C. Soluzione:: (1) ricordiamo che 1 kw h = 3, ; calcoliamo quindi l'eneria necessaria in oule. Q = 1, k 4186 applicando il fattore di trasformazione, si ha Q = 1, , kw h k K 2 K = 1, = 348 kw h (2) Se sono necessari 1, al iorno, ricordando che il lavoro compito da una massa in caduta libera è pari alla sua eneria potenziale, in condizioni ideali, si ha risolvendo rispetto ad m, si ottiene 1, = massa 9, 81 m s 2 30 m massa[k] = 1, , 3 m2 s 2 = k = 4281 m 3 Exercise Un piatto di ferro di raio r = 10 cm e di spessore s = 2 cm ha una faccia a contatto con vapore acqueo a 100 C, mentre l'altra faccia si trova a temperatura ambiente pari a 20 C. Sapendo che il coeciente di conducibilità termica del ferro è 50 kcal/h m C, calcolare la quantità di calore che passa da una faccia all'altra oni minuto. Soluzione:: Questo è un esercizio sulla propaazione del calore; trattandosi di corpi solidi il calore si propaa prevalentemente per conduzione. Utilizzeremo pertanto la relazione di Fourier che descrive questo fenomeno: Q = hs T 1 T 2 t d dove h è il coeciente di conducibilità termica interna della sostanza, S è un elemento di supercie della parete, T 1, T 2 le temperature alle quali si trovano le due facce, d lo spessore e t il tempo di propaazione. Apllicando tale relazione, si ha Q = 50 kcal h m C 0, 12 π m 2 80 C 0, 02 m 1 h = 105 kcal 60 Exercise Un locale isolato, le cui pareti sono di spessore costante e di supercie interna pari a 50 m 2, è a contatto con l'esterno. Se, per eetto di una dierenza di temperatura interno-esterno di 15 C, lo scambio termico che avviene solo attraverso le pareti sia caratterizzato da una quantità di calore uuale a cal/h, calcolare lo spessore della parete. Soluzione:: Anche questo esercizio sfrutta la relazione di Fourier per la conduzione, con lo spessore come randezza inconita; ciò richiede che l'equazione di Fourier sia risolta rispetto a questa randdezza, mediante la cosiddetta formula inversa da cui 1250 kcal h kcal = 0, 5 h m C 50 m2 ( 15 C) d d = 375 kcal m h 1250 kcal h = 0, 3 m

11 1.3. CALORIMETRIA 11 Exercise Misurando la radiazione solare che iune sulla Terra è possibile valutare la temperatura superciale del Sole e la potenza irradiata dall'unità di supercie. Supponendo che il Sole si comporti come un corpo nero, calcolare la potenza irradiata dall'unità di supercie, assumendo una temperatura superciale del Sole di 6000 K. Soluzione:: In questo caso, come ben risulta dal testo, la propaazione del calore avviene mediante irraiamento e supponendo che il Sole si comporti come un corpo nero, vale la relazione E = σt 4 dove σ è la costante di Stefan che vale 5, W m 2 K. Sostituendo i valori assenati, si ha 4 E = 5, W m 2 K = 7, W m 2 Exercise Il muro esterno di una stanza fatto di mattoni è laro 5 m, alto 3 m e spesso 40 cm. Calcolare la quantità di eneria (in oule) che attraversa il muro in un'ora sapendo che la temperatura esterna è di 30 C, quella interna di 18 C e che il coeciente di conducibilità termica è 0, 5 kcal/h m C. Soluzione:: la supercie del muro è di 15 m 2 ; dovendo calcolare l'eneria in oule, trasformiamo il coeciente di conducibilità nelle opportune unità di misura: si ha quindi 0, cal h m C 4, 186 cal h = 3600 s h Q = 0, 58 = 0, 58 s m C s m C C m2 0, 40 m 3600 s = 9, Con una stufa si vuole mantenere a 20 C la temperatura di una stanza di forma cubica Exercise con un volume di 27 m 3. Le pareti di spessore costante pari a 20 cm sono caratterizzate da un coeciente di conducibilità termica 2, 5 kcal/h m C. Sapendo che la temperatura esterna è di 2 C, calcolare la quantità di calore che la stufa deve fornire rimanendo accesa per 5 h. Soluzione:: La quantità di calore che la stufa deve fornire è pari a quella che viene dispersa attraverso le 6 pareti della stanza, che si suppone si comportino tutte allo stesso modo. Essendo il volume di un cubo V = l 3, il lato della stanza cubica è l = 3 m e quindi la supercie della parete di 9 m 2. Utilizziamo la relazione di Fourier per calcolare il calore disperso da una parete: quindi Q = 2, 5 kcal h m C 9 22 C m2 0, 2 m 5 h = 1, kcal Q tot = 6 1, kcal = 7, kcal Exercise Un radiatore di supercie S = 200 cm 2 a temperatura costante T 2 = 70 C si trova immerso in un uido pure a temperatura costante T 1 = 20 C. Supponendo che vala la relazione Q = λ e (T 2 T 1 ) St, calcolare il coeciente di conduttività termica esterna, λ e, nell'ipotesi che il radiatore riesca a disperdere nel uido in 12 h una quantità di calore pari a kcal. Soluzione:: si tratta solamente di applicare la relazione assenata kcal = λ e kcal h m C 50 C m 2 12 h risolvendo rispetto a λ, quindi applicando la formula inversa, si ha λ e = kcal 12 h m C = 86667, 7 kcal h m C Exercise Un corpo sferico di raio 5 cm si trova alla temperatura di 1000 C. Nell'ipotesi che si comporti come un corpo nero, calcolare con che ritmo (eneria per unità di tempo, potenza) l'eneria viene irradiata dal corpo.

12 1.3. CALORIMETRIA 12 Soluzione:: è evidente che il meccanismo di propaazione considerato è l'irraiamento e nell'ipotesi del corpo nero possiamo utilizzare la lee di Stefan, che esprime la radianza (eneria per unità di tempo e suipercie) alla quarta potenza della temperatura. Radianza [ W m 2 ] = σt 4 = 5, W m 2 C C 4 = W m 2 il corpo è sferico e la sua supercie è espressa da S = 4πr 2 = 4π ( ) 2 = 0, 03 m 2. Quindi la potenza vale: P = W m 2 0, 03 m2 = 1784 W

13 CAPITOLO 2 Equazione di Stato dei Gas Perfetti La mole. Exercise Sapendo che una mole di idroeno ha una massa di 1, 008, calcolare la massa di un atomo di idroeno. Soluzione:: una mole ha una massa pari al peso atomico dell'elemento, se il as è monoatomico, e contiene un numero di atomi pari al Numero di Avoadro N A = 6, atomi. Quindi la massa totale è data dalla massa di un atomo di idroeno per il N di Avoadro 1, 008 m H2O = 6, = 1, = 1, k Exercise Un as, alla temperatura iniziale di 0 C, viene riscaldato a pressione costante in modo che il suo volume diventi il triplo. Calcolare la temperatura a cui è stato riscaldato il as. Soluzione:: ricordando la lee di Boyle, per la quale il prodotto pv = cost, si ha nel nostro caso p 1 = p 2, per cui p 1 V 1 T 1 = p 2V 2 T 2 T 2 (K) = T 1V 2 = 273 K 3V 1 = 819 K V 1 V 1 Exercise Un cilindro, con un pistone scorrevole a perfetta tenuta, contiene un volume V 1 = 3 l di un as perfetto alla pressione atmosferica e alla temperatura di 300 K. Mantenendo costante la pressione, il as nel cilindro viene portato alla temperatura di 400 K. Calcolare il volume occupato dal as. Soluzione:: applicandoo sempre la lee di Boyle, a pressione costante, cioè p 1 = p 2, si ha da cui V 2 = V 1 T 1 = V 2 T 2 3 l 300 K 400 K = 4 l Exercise Una bombola di volume V 0 = 10 2 cm 3 contiene un as perfetto alla pressione p 0 = 10 7 N/m 2. Nell'ipotesi che durante il processo la temperatura rimana costante, calcolare quanti palloncini si possono riempire, considerando che oni palloncino deve avere un volume V = 15 cm 3 e una pressione p = 1, N/m 2. Soluzione:: utilizziamo sempre la lee di Boyle, questa volta a temperatura costante, cioè T 1 = T 2 : V 1 = p 0 V 0 = 107 N m m 3 = 5, m 3 p 1 1, N m 2 calcoliamo il numero dei palloncini n palloncini = 5560 cm3 15 cm 3 = 370 Exercise Determinare la natura chimica di un as perfetto sapendo che, alla temperatura di 27 C, una quantità pari a 56 occupa un volume di 16, 42 l ed esercita una pressione pari a 2280 mmh. 13

14 2. EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTI 14 Soluzione:: utilizziamo l'equazione di stato dei as perfetti, pv = nrt, dove n è il numero di moli che componono il as, n = N N A, dove N A è il numero di Avoadro e N il numero di molecole che può essere dedotto dal rapporto tra la massa e la massa molecolare del as, N = m m mol. Trasformiamo il valore della pressione in pascal: 2280 mmh = 3p atm = 3, P a e ricordando che R = 8, 31 da cui 3, N m 2 16, m 3 = n 8, 31 K mole 300 K k mole n = = 2 moli le 2 moli devono corrispondere ad una massa m = 56 e quindi 1 mole = 28; questo valore identica la molecola del as biatomico di azoto N 2. Exercise Calcolare il volume occupato da 50 di elio (M = 4), allorché alla temperatura di 73 C esercita una pressione pari a N/m 2. Soluzione:: possiamo fare riferimento alla lee dei as perfetti, supponendo tale il nostro as, P V = nrt e determiniamo il numero di moli che componono tale as n = 50 4 mole = 12, 5 moli calcoliamo ora il volume, risolvendo la lee di stato rispetto a V : 12, 5 moli 8, 31 C mole V = 200 C = 0, 0415 m 3 = 41, 5 l N m 2 Exercise Quanti rammi pesa 1 m 3 di aria secca in condizioni normali il cui peso molecolare sia assunto pari a 29? Soluzione:: basta ricordare che oni mole ha un volume di 22, 4 l e poiché 1 m 3 = 1000 l si ha la massa del as è data da n moli = 1000 l = 44, 64 22, 4 l m = n moli peso molecolare = 44, = 1295 Exercise Calcolare la densità dell'ossieno (M = 32) a 27 C e alla pressione di 10 6 dine/cm 2 Soluzione:: la pressione è espressa in unità di misura c..s e va trasformata in unità del SI, cioè 10 6 dine cm 2 = 10 5 N m 2, essendo 1 N = 10 5 dine; dalla equazione di stato dei as, si ha V n = RT p = 8, 31 K mole 300 K 10 5 N m 2 = 0, m3 mole ora la densità è data dal rapporto tra la massa e il volume da essa occupata; la massa può essere ottenuta dal prodotto tra il numero di moli e la massa di una mole d = M V = n 32 V = k mole 0, m3 mole = 1, 284 k m 3 Exercise Un recipiente di volume V = 20 l contiene una massa m di ossieno (M = 32 /mole) alla pressione p = 5 atm e alla temperatura t = 27 C. Calcolare la massa dell'ossieno.

15 2. EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTI 15 Soluzione:: ricordiamo che 1 atm = 1, N m, applichiamo l'equazione di stato pv = nrt, dalla 2 quale si ricava la massa sarà pertanto n = pv RT N 5 1, m m 3 = 2 8, 31 K mole 300 K = 4, 06 moli m = 4, = 130 Exercise Una bombola di volume V = 24, 93 l pesa vuota 15 k. Riempita di as avente peso molecolare 44 pesa 16, 76 k. Calcolare la pressione del as entro la bombola, nell'ipotesi che l'operazione avvena alla temperatura di 27 C. Soluzione:: calcoliamo la massa del as toliendo la tara della bombola, m as = 16, = 1, 76 k. Calcoliamo il numero di moli n = = 40 moli mole la pressione è ora 40 moli 8, 31 K mole p = 300 K 24, m 3 = P a Exercise Calcolare il numero di molecole che si trovano in un tubo a rai X di volume pari a 82, 8 cm 3 mantenuto alla temperatura di 27 C, sapendo che la pressione esercitata dal as residuo che si trova all'interno del tubo è pari a 7, mmh. Soluzione:: possiamo applicare l'equazione di stato, risolvendo rispetto a n da cui n = pv RT N 1, m 8, m 3 = 2 8, 31 K mole 300 K = 3, moli N = n N avoadro = 3, , = 2, molecole Exercise Un recipiente metallico, considerato perfetto conduttore, contiene un as perfetto alla temperatura di 27 C. Il recipiente è dotato di un manometro che indica una pressione di 1, 5 atm. Se il recipiente viene immerso in azoto liquido a 200 C, quale sarà la pressione senata dal manometro, rimanendo il volume costante? Soluzione:: possiamo usare la lee di Boyle per la quale p1v1 T 1 (con V 1 = V 2 ) p 2 = p 1 T 2 T 1 = 1, 5 atm 73 K 300 K = 0, 36 atm = p2v2 T 2 ; risolvendo rispetto a p 2, si ha Exercise Se la dilatazione lineare della colonna di mercurio contenuta in un termometro è direttamente proporzionale alla temperatura assoluta, calcolare la lunhezza della colonna a 27 C sapendo che a 3 C l'altezza della colonna è pari a 2 cm. Soluzione:: è un esercizio di applicazione del sinicato di proporzionalità diretta che viene assunta descrivere la dilatazione del mercurio nella colonna di vetro. Dopo aver trasformato le temperature nella scala Kelvin, si ha 300 K : x cm = 270 K : 2 cm risolviamo, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, per la quali il prodotto dei medi è uuale al prodotto deli estremi x = 300 K 2 cm 270 K = 2, 2 cm

16 2. EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTI 16 Exercise Una data quantità di as perfetto contenuta in un cilindro munito di un pistone mobile presenta alla temperatura di 27 C una densità pari a /cm 3. Calcolare la variazione della densità se, a pressione costante, la temperatura del as viene portata a 900 K. Soluzione:: sempre la lee di Boyle, tenendo conto che p 1 = p 2, V1 T 1 ha V 2 = V 1T 2 T 1 = V2 T 2 ; risolvendo rispetto a V 2, si essendo nota la densità, d = M V, sostituiamo V = M d, tendendo conto che la massa è sempre la stessa M d 1 T 1 = M d 2 T 2 il rapporto tra le due densità, che esprime la variazione, è uuale al rapporto inverso tra le temperature d 2 d 1 = 300 K 900 K = 1 3 per cui la densità d 2 sarà un terzo di quella iniziale d 1. Exercise moli di as perfetto, alla pressione iniziale p = 5 atm, contenute in un cilindro di volume V = 16, 42 l, si espandono no a triplicare il volume occupato dal as. Calcolare la temperatura nale del as, nell'ipotesi che l'espansione avvena a pressione costante. Soluzione:: Utilizziamo l'equazione di stato di un as, dopo aver trasformato l'unità della pressione in quella del SI, p = 5 atm = 5 (1, ) N m 2 5 (1, ) N m 2 3 (16, ) m 3 = 10 8, 31 N K m T risolvendo rispetto a T, si ha T = Nm 10 8, 31 K mole = 300 K Exercise Due litri di as perfetto mantenuti alla temperatura di 17 C e alla pressione di 700 mmh hanno una massa di 3, 5. Calcolare il peso molecolare del as. Soluzione:: applichiamo l'equazione di stato dei as perfetti pv = nrt e risolviamo rispetto a n (1 atm = 760 mmh = 1, N m [P ascal],pertanto 700 mmh = 1, N 2 m = 9, N m 2 n = pv RT N 9, m m 3 = 2 8, 31 K mole 290 K = 0, 077 moli il peso molecolare del as è dato dal rapporto tra la massa del as stesso e il numero di moli che lo componono 3, 5 peso molecolare = 0, 077 moli = 45 mole Exercise Utilizzando il peso molecolare del metano, pari a 16 /mole, nonché il volume occupato da una mole in condizioni normali, pari a 22, 4 l, calcolare la massa del metano contenuto in un serbatoio di 500 l. Soluzione:: i valori assenati nel testo sono quelli che si trovano nella denizione di mole e nell'introduzione del sinicato del numero di Avoadro. Calcoliamo il numero di moli che componono il as attraverso il rapporto tra il volume del as e quello occupato da una mole n moli = 500 l = 22, 32 22, 4 l la massa è data dal prodotto del numero di moli per il peso molecolare di una mole m = 22, 32 moli 16 mole = 357

17 2. EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTI 17 Exercise Un paziente deve respirare 1 l di ossieno al minuto alla pressione di 1 atm da una bombola che contiene 20 l di ossieno alla temperatura di 25 C e alla pressione di 20 atm. Poiché la bombola possiede un riduttore di pressione che mantenendo la temperatura a 25 C riduce la pressione a 1 atm, per quanto tempo il paziente potrà utilizzare la bombola? Soluzione:: Applichiamo la lee di Boyle a temperatura costante, p 1 V 1 = p 2 V 2 per calcolare il volume dell'ossieno dopo la riduzione di pressione attraverso il riduttore V 2 = p 1 p 2 V 1 = 20 atm 1 atm 20 l = 400 l poiché il paziente respira 1 l al minuto, la bombola avrà una durata di t = 400 l 1 l = 400 min 10 h min Exercise Una quantità m 1 di O 2 occupa, alla temperatura T 1 = 7 C, un volume V 1 = 20 dm 3, alla pressione di N/m 2. Una quantità m 2 di H 2 occupa alla temperatura T 2 = 27 C, un volume V 2 = 50 dm 3 alla pressione di 1 atm. Calcolare la pressione che eserciterebbe il misculio dei due as posti in un recipiente di volume V = 70 l alla temperatura 0 C. Soluzione:: prima di mescolare idealmente i due as dobbiamo portarli alla stessa pressione, applicando la lee di Boyle, 1V 1 p T 1 = p2v2 T 2. Calcoliamo prima la pressione che avrebbe il as di O 2 alla temperatura di 0 C N/m 2 20 dm 3 20 dm3 = p 280 K 273 K risolvendo rispetto a p, si ottiene p O2 calcoliamo la pressione di H 2 = N/m 2 20 dm K 280 K 20 dm 3 = 1, N m 2 p H2 = 1, N/m 2 50 dm K 300 K 50 dm 3 = 9, N m 2 sommiamo le due pressioni p = p O2 + p H2 = 1, N m 2 + 9, N m 2 = 1, N m 2 il volume totale di 70 dm 3 è la somma dei due volumi. Exercise Nota la pressione p = 1, atm esistente nel centro del Sole, valutare l'ordine di randezza della temperatura all'interno nell'ipotesi che il Sole sia costituito da una sfera assosa di densità costante formata da atomi di idroeno, onuno di massa 1, k. Soluzione:: per risolvere questo esercizio dobbiamo utilizzare le randezze relative al Sole, in particolare r Sole = 6, m, da cui si ottiene il suo volume V Sole = 4 3 π ( 6, ) 3 m 3 = 1, m 3 ; la massa del Sole m sole = 1, k. Per poter applicare l'equazione di stato dei as, è necessario calcolare il numero di moli attraverso il numero di molecole che componono il Sole supposto che sia formato di solo idroeno. N = m sole m H = 1, k 1, = 1, k da qui n = N 1, = N A 6, n = 1, moli mole applichiamo ora l'equazione di stato, risolvendola rispetto alla temperatura ( 1, , ) N m 1, m 3 T = 2 = 1, K 1, moli 8, 31 K mole

18 CAPITOLO 3 Teoria Cinetica dei Gas Exercise Calcolare la velocità quadratica media delle molecole di anidride carbonica alla temperatura di 27 C sapendo che il peso molecolare è pari a 44 /mole. Soluzione:: La formula di oule-clausius, p = Nm 3V v2, dove N è il numero di molecole del as m la massa, e v 2 è il valore medio dei quadrati delle velocità molecolari; se si pone v 2 = v qm dove v qm è la velocità quadratica media nella distribuzione delle velocità delle sinole molecole che componono il as, e applicando al as l'equazione di stato, si perviene alla relazione 3kT v qm = m dove k = R N A = 1, K è detta costante di Boltzmann. La soluzione dell'esercizio richiede quindi solo l'applicazione di tale formula, dopo aver calcolato la massa della molecola. Se 1 mole ha una massa di 44 e se in una mole vi sono N A molecole, allora la massa di una molecola è 0, 044 m = 6, = 7, , K v qm = 300 K 7, = 412 m k s Exercise Calcolare a quale temperatura le molecole di idroeno hanno una velocità quadratica media pari a m/s. Soluzione:: Possiamo sempre fare riferimento alla relazione dell'esercizio precedente, risolvendola però rispetto a T 3kT v qm = T = v2 qmm m 3k T = ( ) m 2 1, k s 2 3 1, K = 726 K Exercise Sapendo che le molecole di un as, mantenuto in condizioni normali, hanno una velocità quadratica media pari a 460 m/s, calcolare la massa molecolare del as. Soluzione:: dovendo calcolare la massa molecolare del as, è preferibile riferirsi alla relazione nella quale compare tale randezza; per ottenere ciò basta sostituire alla costante di Boltzmann, la costante di Rydber R = kn A e invece della massa di una sinola molecola, appunto la massa molecolare M 0 = mn A : 3RT v qm = da cui M 0 = 3RT v 2 qm M 0 = 3 8, 31 K mole 273 K (460) 2 = k m 2 mole = 32 mole s 2 Exercise A quale temperatura la velocità quadratica media delle molecole di azoto è uuale a quella posseduta dalle molecole di idroeno a 27 C? 18

19 3. TEORIA CINETICA DEI GAS 19 Soluzione:: ci basiamo sulla relazione che collea l'eneria cinetica media delle molecole (microscopiche) con la temperatura (randezza che descrive una proprietà macroscopica), la v qm dell'idroeno è data da 1 2 mv2 qm = 3 2 kt v qm = 3kTH m H tale valore deve essere uuale a quello della molecola di azoto, cioè 3kTN v qm = quindi Elevando al quadrato e semplicando si ha m N 3kTH 3kTN = m H m N T N = T H mn m H = 300 K 14 = 4200 K Exercise Una mole di idroeno alla pressione di 1 atm occupa il volume di 22, m 3. Calcolare la velocità quadratica media delle molecole. Soluzione:: dobbiamo prima applicare l'equazione di stato dei as perfetti, supponendo tale l'idroeno, per poter ricavare la sua temperatura, da P V = nrt si ha T = 1, N m 2 22, m 3 1 mole 8, 31 mole K = 273, 2 K ora possiamo calcolare la v qm v qm = 3kT m = 3 1, K 273, 2 K 2 1, k = 1840 m s Exercise Calcolare l'eneria cinetica media per molecola, espressa in ev, di un as mantenuto alla temperatura di 0 C. Soluzione:: ricordando che E c = 3 2kT si ha E c = 3 2 1, K 273, 2 K = 5, , ev = 3, ev Exercise Calcolare la variazione di eneria cinetica che si verica in 28 di azoto quando la temperatura iniziale varia di 100 C. Soluzione:: conoscendo la massa del as e quindi anche la massa di una mole, possiamo utilizzare la relazione che esprime l'eneria cinetica in funzione di queste due randezze oltre che della temperatura E = 3 m 2 M R (T , 31 mol K f T i ) = K = 1246, 5 mol Exercise Sapendo che la velocità quadratica media delle molecole dell'aria considerata a 0 C è uuale a 484 m/s, calcolare la velocità quadratica media a 37 C.

20 3. TEORIA CINETICA DEI GAS 20 Soluzione:: Un esercizio analoo al precedente 1 ( ) 2 m v qm f v qm i = 3 m 2 M R (T f T i ) da cui, risolvendo rispetto a v qm f v qm mol K 28 mol f = 484 m s + 3 8, K = 517 m s Calcolare: il cammino libero medio delle molecole dell'aria, nell'ipotesi puramente teorica che esso corrisponda a quello di un as perfetto, per esempio una mole di idroeno mantenuto in condizioni normali come le molecole di aria. Assumere come diametro molecolare tipico il valore d = 2, m. Soluzione:: il libero cammino medio, cioè la distanza percorsa da una molecola tra due urti successivi, è espresso da 1 l = 4 2πr 2 n dove 4πr 2 è la sezione ecace (supercie del cerchio massimo della molecola supposta sferica) e n il numero di molecole per unità di volume. Possiamo calcolare il valore di n attraverso l'equazione di stato dei as perfetti, supposta tale l'aria: da pv = NkT (per una mole) n = N V di Boltzmann 1, N m molecole n = 2 = 2, 51 1, K 293 K m 3 sostituendo tale valore nella relazione che esprime il cammino libero medio, si ha l = 1 4 2π (2, m) 2 2, molecole m 3 = 2, m = p kt con k costante

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