Fisica Generale A. Gravitazione universale. Scuola di Ingegneria e Architettura UNIBO Cesena Anno Accademico Maurizio Piccinini

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1 A.A Mauizio Piccinini Fisica Geneale A Gavitazione univesale Scuola di Ineneia e Achitettua UNIBO Cesena Anno Accademico

2 A.A Mauizio Piccinini Gavitazione Univesale N. C xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 70. B xx xxxxxxxxxxxxxxxxx45 x 55 G. K xxxxx xxxxx0 xxxxxxxxxxxxx 59 G. G xx xxxxxxxxx7 xxxxxxxxxxxxxxxxx 78 I. N xxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 85 Nicola Copenico oun, Polonia 19/0/1473 4/05/1543 ycho Bahe Knudstup, Danimaca 14/1/1546 4/10/1601 Giovanni Kepleo Weil de Stadt, Gemania 7/1/ /11/1630 Galileo Galilei Pisa, Italia 15/0/ /01/164 Isaac Newton Woolsthope-by-Colstewoth, Inhiltea 5/1/164 0/03/

3 A.A Mauizio Piccinini Espeimento di Cavendish Heny Cavendish (Nizza 1731 Londa 1810) Bilancia di tosione Dall alto: P 1 ϕ F u F P1 P M F All equilibio: P F F Mu + Mu 0 Speimentalmente si osseva che 1 P P F kϕ M u kϕ 3

4 A.A Mauizio Piccinini Espeimento di Cavendish Bilancia di tosione Dall alto: ϕ F P 1 F P P1 P F kϕ Pocedimento: a) Conoscendo F, P 1 P e misuando ϕ, possiamo icavae k, cioè calibae la bilancia. b) In seuito, misuando l anolo ϕ podotto da una foza F inconita possiamo icavae la foza inconita. 4

5 A.A Mauizio Piccinini Espeimento di Cavendish ϕ ϕ ( k, c, ) i S i i Ipotesi: I copi possiedono una caica avitazionale esponsabile della foza di attazione avitazionale c c c L espeimento consiste nel misuae li anoli di tosione ispetto all equilibio, dovuti all attazione ta le sfee P ed S, pe divesi valoi di c delle sfee, pe divese distanze fa le stesse e anche con divese bilance di tosione. Dalle misue si ottiene: ϕ γ c c P P P S 1 k 5

6 A.A Mauizio Piccinini Espeimento di Cavendish ϕ γ c c P P P S 1 k P1 P F kϕ F ϕ P k P 1 F γ cp cs P1 P k k P P 1 F γ c c P S ˆ 6

7 A.A Mauizio Piccinini Espeimento di Cavendish Gavitazione Univesale In conclusione a) Sceliendo oppotunamente le unità di caica avitazionale, dalle misue di Cavendish è possibile icavae la costante univesale γ. b) Un copo P che si tova a distanza da un alto copo S, cambieà il suo stato di moto a causa della foza misuata da Cavendish, acquistando una acceleazione in base al secondo pincipio della dinamica. c c F γ m a P P S S ˆ ˆ P P S ˆ P 7

8 A.A Mauizio Piccinini Espeimento di Cavendish Gavitazione Univesale Un copo P che si tova a distanza da un alto copo S, cambieà il suo stato di moto a causa della foza misuata da Cavendish, acquistando una acceleazione in base al secondo pincipio della dinamica, che nel caso specifico si scive: c c F γ m a P S ˆ P P E il appoto ta la sua caica avitazionale e la sua massa ineziale saà dato da: Nomalmente la caica avitazionale viene chiamata massa avitazionale mc P m γ mc PP S a Misuando ed a e conoscendo m s è possibile calcolae il appoto m P /m P 8

9 A.A Mauizio Piccinini Gavitazione Univesale Lei di Kepleo 1 a Lee: I pianeti si muovono su obite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei fuochi. La foza esecitata dal sole sui pianeti è attattiva. a Lee: Il aio vettoe che va dal Sole a un pianeta spazza aee uuali in intevalli di tempo uuali. t A A t AA 3 a Lee: I quadati dei tempi peiodici di ivoluzione dei pianeti stanno ta loo come i cubi dei semiassi maioi delle ellissi coispondenti. a 3 α a 9

10 A.A Mauizio Piccinini Gavitazione Univesale a Lee di Kepleo: Il aio vettoe che va dal Sole a un pianeta spazza aee uuali in intevalli di tempo uuali. 1 A ( P O) v A cost A( t) lim t 0 S t da 1 [ v v ( P O) a] 0 dt + ( P O) a L acceleazione, e quindi la foza esecitata dal sole su un pianeta, è dietta luno il aio vettoe che unisce sole e pianeta. 10

11 A.A Mauizio Piccinini ˆ tˆ Luna L Gavitazione Univesale ea 1 a Lee di Kepleo a Lee di Kepleo * a ɺɺ stˆ + sɺ ˆ ρ 3 a Lee di Kepleo 3 4π 1 F ma FL ml ˆ k L v 1 π a v L ˆ 4π L L a 4ππ k L k L a Simmetizzazione basata sul 3 Pincipio della dinamica. π FL m 4 1 ˆ kl L * N.B. Nel caso di obita ellittica, espimendo l acceleazione in coodinate cilindiche si annulla la componente tasvesa a ( ɺɺ ɺ ϕ ) i ˆ + ( ɺɺ ϕ + ɺ ϕ ) ɺ î ϕ 11

12 A.A Mauizio Piccinini Gavitazione Univesale Simmetizzazione basata sul 3 Pincipio della dinamica. ml m 4π F ˆ L + FL 0 k kl L mlkl m k K 4π 4π m γ m k K π FL m F 4 1 L ˆ k L m m γ L ˆ L 1

13 A.A Mauizio Piccinini Gavitazione Univesale L a L 4π 9,8 ms 6 6,4 10 m 8 L 3,84 10 m 3,36 10 a 6 s 3604 a,7 10 L ms 3600 a 4π k L 4π k ˆ a m m 4π p m p γ k L γ m m γ 13

14 A.A Mauizio Piccinini Gavitazione Univesale Lee di avitazione univesale di Newton: Un qualsiasi punto mateiale P 1, di massa m 1, esecita su un qualunque alto punto mateiale P, di massa m, una foza avitazionale F 1 dietta secondo la coniunente P 1 con P, attattiva, di modulo diettamente popozionale al podotto delle due masse e invesamente popozionale al quadato della distanza fa P 1 e P. m m F γ ˆ, P P γ (talvolta scitta anche G) costante univesale, dipende solo dalle unità di misua 14

15 A.A Mauizio Piccinini F Gavitazione Univesale 1 1 γ ˆ Massa ineziale massa avitazionale m m? F c c 1 ˆ 1 γ Caduta libea di un punto mateiale di massa ineziale m c c F γ ˆ m Ossevazione speimentale c m γ c costante Se pe entambe le andezze, massa ineziale m (o m i ) e massa avitazionale c (o m ), si scelie lo stesso campione unitaio c γ m γ 15

16 A.A Mauizio Piccinini Gavitazione Univesale Espeimento di Cavendish m m F F 1 1 γ ˆ γ 1 m1 m Costante della Gavitazione Univesale γ m k s m M m γ M ˆ γ Massa della tea M k 16