Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica Finanziaria aa lezione 15: 24 aprile 2012

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1 Dpartmento d Statstca Unverstà d Bologna Matematca Fnanzara aa lezone 15: 24 aprle 2012 professor Danele Rtell 1/18?

2 enal per antcpata estnzone e tr La somma A vene rmborsata con n rate d mporto α. All epoca m < n s estngue l debto antcpatamente. Se, oltre che al debto resduo δ m, è mposta una penale p > 0 l van è α a m + (p + δ m ) (1 + ) m A 2/18?

3 enal per antcpata estnzone e tr La somma A vene rmborsata con n rate d mporto α. All epoca m < n s estngue l debto antcpatamente. Se, oltre che al debto resduo δ m, è mposta una penale p > 0 l van è α a m + (p + δ m ) (1 + ) m A n termn d v = (1 + ) 1 e d a m = v vm+1 1 v (p + α + δ m ) v m+1 (p + δ m ) v m (A + α)v + A 2/18?

4 da cu l terazone d Newton F (v) = v + (p + δ m) v m + (p + α + δ m ) v m+1 (A + α)v + A m (p + δ m ) v m 1 (m + 1) (p + α + δ m ) v m + A + α 3/18?

5 Eserczo A = vengono rmborsate n 100 rate mensl al tasso 12 = 0, Contestualmente al pagamento numero 30 s estngue antcpatamente con una penale d Trovare l tasso effettvo 4/18?

6 Eserczo A = vengono rmborsate n 100 rate mensl al tasso 12 = 0, Contestualmente al pagamento numero 30 s estngue antcpatamente con una penale d Trovare l tasso effettvo α = , = 612, 50 4/18?

7 Eserczo A = vengono rmborsate n 100 rate mensl al tasso 12 = 0, Contestualmente al pagamento numero 30 s estngue antcpatamente con una penale d Trovare l tasso effettvo α = , = 612, 50 δ 30 = 612, 50 a ,00417 = , 70 4/18?

8 Eserczo A = vengono rmborsate n 100 rate mensl al tasso 12 = 0, Contestualmente al pagamento numero 30 s estngue antcpatamente con una penale d Trovare l tasso effettvo α = , = 612, 50 δ 30 = 612, 50 a ,00417 = , 70 F (v) = v ,20v ,70v ,50v v v ,50 4/18?

9 Eserczo A = vengono rmborsate n 100 rate mensl al tasso 12 = 0, Contestualmente al pagamento numero 30 s estngue antcpatamente con una penale d Trovare l tasso effettvo α = , = 612, 50 δ 30 = 612, 50 a ,00417 = , 70 F (v) = v ,20v ,70v ,50v v v ,50 l v che corrsponde al tasso 12 è 0,995847: sceglamo d partre da un valore leggermente nferore 4/18?

10 Eserczo A = vengono rmborsate n 100 rate mensl al tasso 12 = 0, Contestualmente al pagamento numero 30 s estngue antcpatamente con una penale d Trovare l tasso effettvo α = , = 612, 50 δ 30 = 612, 50 a ,00417 = , 70 F (v) = v ,20v ,70v ,50v v v ,50 l v che corrsponde al tasso 12 è 0,995847: sceglamo d partre da un valore leggermente nferore v 0 = 0, 994 4/18?

11 qund v 1 = F (v 0 ) = 0, ; v 2 = F (v 1 ) = 0, ; v 3 = F (v 2 ) = 0, x 12 = 1 v 3 v 3 = 0, /18?

12 Eserczo Un prestto d A = d vene rmborsato n 20 ann con rate mensl al 3, 95% annuo. Dopo 6 ann e 8 mes, l debtore decde, n conseguenza d un calo del tasso, presso un altro sttuto d credto, al 3, 05% d rfnanzare l operazone. La cosa è convenente n presenza d una penale par all 1% del captale erogato? Nel caso n cu lo sa, calcolare l tasso effettvo dell operazone d fnanzamento, per l debtore. 6/18?

13 n = 240, 12 = 12 1, = 0, α = Aα = , = 299, 844 7/18?

14 n = 240, 12 = 12 1, = 0, α = Aα = , = 299, 844 Rfnanzamento n m = = 80 δ 80 = αa = , h 12 = 12 1, = 0, β = (δ ) α 160 h12 = , , = 287, 902 7/18?

15 Il tasso effettvo è ndvduato dalla relazone: A = αa 80 x12 + βa 160 x12 (1 + x 12 ) 80 Usando Newton, rcordando che la funzone da terare è: F (v) = che nel nostro caso è: nβv n+1 + m(α β)v m+1 A (n + 1)βv n + (m + 1)(α β)v m (α + A) F (v) = 69096,48v ,04v ,382v ,578v ,44 8/18?

16 partendo da trovamo v 0 = 1 1, 0395 = 0, v 1 = F (v 0 ) 69096,48 (0, ) ,04 (0, ) = 69384,382 (0, ) ,578 (0, ) ,44 = 0, v 2 = F (v 1 ) 69096,48 (0, ) ,04 (0, ) = 69384,382 (0, ) ,578 (0, ) ,44 = 0, /18?

17 v 3 = F (v 2 ) 69096,48 (0, ) ,04 (0, ) = 69384,382 (0, ) ,78 (0, ) ,44 = 0, v 4 = F (v 3 ) 69096,48 (0, ) ,04 (0, ) = 69384,382 (0, ) ,578 (0, ) ,44 = 0, v 5 = F (v 4 ) 69096,48 (0, ) ,04 (0, ) = 69384,382 (0, ) ,578 (0, ) ,44 = 0, /18?

18 x 12 = 1 v 5 1 = 0, coè x = 0, /18?

19 Ancora BT Il problema della determnazone del tasso de buon polennal del tesoro è stato trattato n una condzone estremamente partcolare. 12/18?

20 Ancora BT Il problema della determnazone del tasso de buon polennal del tesoro è stato trattato n una condzone estremamente partcolare. Questa volta consderamo l caso n cu l valore d acqusto del ttolo, per ragon legate alle trattatve d mercato e per ragon fscal non concde con l valore rmborsato alla scadenza dell operazone. C a C C C CC r n1 n 12/18?

21 Se ndchamo con C a > 0 l valore d acqusto del ttolo e con C r l valore d rmborso C a + C a n + C r (1 + ) n = 0 13/18?

22 Se ndchamo con C a > 0 l valore d acqusto del ttolo e con C r l valore d rmborso C a + C a n + C r (1 + ) n = 0 La sequenza de fluss d cassa sarà, allora: 13/18?

23 Se ndchamo con C a > 0 l valore d acqusto del ttolo e con C r l valore d rmborso C a + C a n + C r (1 + ) n = 0 La sequenza de fluss d cassa sarà, allora: C a, C,..., C, C + C r, 13/18?

24 Se ndchamo con C a > 0 l valore d acqusto del ttolo e con C r l valore d rmborso C a + C a n + C r (1 + ) n = 0 La sequenza de fluss d cassa sarà, allora: C a, C,..., C, C + C r, l nvestmento sarà fnanzaramente accettable se s verfca la condzone: 13/18?

25 Se ndchamo con C a > 0 l valore d acqusto del ttolo e con C r l valore d rmborso C a + C a n + C r (1 + ) n = 0 La sequenza de fluss d cassa sarà, allora: C a, C,..., C, C + C r, l nvestmento sarà fnanzaramente accettable se s verfca la condzone: nc + C r > C a 13/18?

26 Eseguendo calcol possamo cercare soluzon postve dell equazone: C C (1 + ) n + (1 + ) n C a C r = 0 14/18?

27 Eseguendo calcol possamo cercare soluzon postve dell equazone: C C (1 + ) n + (1 + ) n C a C r = 0 la radce = 0 non ha nteresse fnanzaro 14/18?

28 Eserczo Un Btp trennale, d valore nomnale C n = 100 ha la cedola annua del 5%, prezzo d sottoscrzone C a = 101 e valore d rmborso C r = 99. Quale è l tasso effettvo dell nvestmento? 15/18?

29 Eserczo Un Btp trennale, d valore nomnale C n = 100 ha la cedola annua del 5%, prezzo d sottoscrzone C a = 101 e valore d rmborso C r = 99. Quale è l tasso effettvo dell nvestmento? F (v) = 312v4 198v v 3 297v /18?

30 Eserczo Un Btp trennale, d valore nomnale C n = 100 ha la cedola annua del 5%, prezzo d sottoscrzone C a = 101 e valore d rmborso C r = 99. Quale è l tasso effettvo dell nvestmento? F (v) = 312v4 198v v 3 297v Charamente l rendmento effettvo è nferore al 5%, pertanto nzamo l terazone dal tasso 0 = 4, 5% cu corrsponde v 0 = (1 + 0 ) 1 = 0, /18?

31 Le terazon sono: v 1 = F (v 0 ) = 0, ; v 2 = F (v 1 ) = 0, ; v 3 = F (v 2 ) = 0, /18?

32 Le terazon sono: v 1 = F (v 0 ) = 0, ; v 2 = F (v 1 ) = 0, ; v 3 = F (v 2 ) = 0, La stablzzazone delle cfre decmal c dce che la rcerca, se c s accontenta d se decmal, può arrestars. Rtornando a s trova: = 1 v 3 v 3 = 0, = 4, 31815%. 16/18?

33 Un BT trennale d valore nomnale 100 d rendmento del 4,5% è rmborsato a scadenza con 99,15 d. Tasso effettvo: a) 4,22832% b) 4,60832% c) 4,00832% d) 3,89832% 17/18?

34 Un BT trennale d valore nomnale 100 d rendmento del 4,5% è rmborsato a scadenza con 99,15 d. Tasso effettvo: a) 4,22832% b) 4,60832% c) 4,00832% d) 3,89832% Uso la relazone C C (1 + ) n + (1 + ) n C a C r = 0 con C a = 100, C r = 99, 15, C = 4, 5, n = 3 con = 0, trovando l valore 0, /18?

35 Un BT trennale d valore nomnale 100 d rendmento del 4,5% è rmborsato a scadenza con 99,15 d. Tasso effettvo: a) 4,22832% b) 4,60832% c) 4,00832% d) 3,89832% Uso la relazone C C (1 + ) n + (1 + ) n C a C r = 0 con C a = 100, C r = 99, 15, C = 4, 5, n = 3 con = 0, trovando l valore 0, Allora passo a = 0, che va bene 17/18?

36 Grafco del van /18?