Modulazione OFDM 1 - Introduzione

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1 Modulazioe OFDM 1 - Itroduzioe I questo capitolo soo aalizzate le proprietà della modulazioe OFDM (Ortogoal Frequecy Divisio Multiplexig). Utilizzeremo volutamete la parola "modulazioe" ivece di multiplazioe, ad idicare che faremo qui riferimeto al trattameto del segale, piuttosto che agli effetti che questo apporta ad ua visioe complessiva del caale. Co riferimeto al segale, si tratta duque di ua modulazioe umerica attualmete adottata elle trasmissioi ADSL (Asymmetric Digital Subscriber Lie). OFDM permette ifatti di sfruttare i modo ottimo la bada del caale telefoico, cioè offre la possibilità di utilizzare la tradizioale liea telefoica per realizzare u collegameto umerico a più alta velocità, co u'occupazioe i bada maggiore di quella del segale vocale..

2 - Rappresetazioe el domiio del tempo e della frequeza La sigla FDM sitetizza che si tratta di ua trasmissioe a divisioe di frequeza, i cui i diversi caali adottao forme d'oda fra loro ortogoali. (-1) f f f f (-) f f f + (-) f fig. 1 Così come la modulazioe MSK poteva cocettualmete iterpretarsi alla stregua di ua evoluzioe della modulazioe QPSK, così è possibile pesare cocettualmete ad OFDM come ua evoluzioe della modulazioe FSK (Frequecy Shift Key), i cui tutte le frequeze f f + f ( ) =, co =,1,,-1, soo utilizzate cotemporaeamete, ed ogua realizza ua modulazioe umerica ache a più livelli (per esempio di tipo QAM se di ampiezza o QPSK se di fase)co impulso rettagolare. Idicado allora co a = a + ja le coordiate, el piao dell'iviluppo complesso, di u geerico puto della costellazioe realizzata per la portate f all'istate t= il segale OFDM può essere scritto come segue c c x OFDM ( t) = = + = 1 { c c } ( t ) a cos[ ω ( t )] a si[ ω ( t )] + ( ) 1 δ t rect ( t) [ a cos( ωt) a si( ωt) ] c c = rect = = = (1) 9

3 i cui la prima sommatoria (su ) idetifica gli istati di simbolo, e la secoda (su ) le diverse portati. x OFDM (t) x R (t) OFDM -1 segale OFDM trasmesso t h(t) caale t τ Fiestre di ricezioe t g segale OFDM ricevuto t τ S fig. Risulta facile osservare che tale segale preseta u iviluppo complesso pari a + 1 ( ) j f t δ ( ) () x () t = t rect () t a e π OFDM = = Si oti che l espressioe () ricavata o vicola la durata di u simbolo ad u valore particolare. Deve tuttavia risultare 1 = f, i quato il ricevitore opera sul segale i arrivo ua fiestratura temporale di estesioe allo scopo di redere ortogoali tra loro i cotributi = 1 f relativi alle frequeze f f + f ( ) =, e mettere i grado l'utete di calcolare i valori a per tutti gli preseti all'istate t=, mediate u semplice ricevitore a correlazioe. 1

4 L'itervallo è detto periodo pricipale di simbolo, metre la differeza g = - viee comuemete chiamato periodo o tempo di guardia od ache preambolo, come si ituisce dal ruolo che esso gioca. Il segale ricevuto ifatti durate il tempo g o viee utilizzato i ricezioe, ma viee scartato. Esso è itrodotto al fie di evitare l iterfereza itersimbolica. Il motivo di tale ridodaza sta el fatto che i u caale reale, la parte iiziale di ogi simbolo risete fortemete della iterfereza dovuta alla preseza di più simboli i trasmissioe ( iterfereza itersimbolica), che, come si ricorderà, è dovuta al risultato della covoluzioe tra la coda del simbolo precedete e la risposta impulsiva h(t) del caale. Cosideriamo ora u solo simbolo (fissiamo = e cosideriamo l'origie dei tempi ritardata di g ) ricevuto ell'itervallo iviluppo complesso x ( t) = rect ( ) t 1 = a e jπ f ( ) t (3) 1 =, co f Per calcolare l'occupazioe i bada e calcoliamo la sua rasformata di Fourier: X 1 ( f ) = sic ( f ) a δ [ f f ( )] = 1 = a sic = { [ f f ( )]} Otteiamo quidi il risultato mostrato i fig.3, dove si evidezia come ogi fuzioe sic risulti moltiplicata per uo dei coefficieti a, che potrebbero quidi essere riotteuti i ricezioe campioado X(f) co passo f. Dalla precedete equazioe si ottiee lo spettro di desità di poteza P x R (f) dell'iviluppo complesso ricevuto e fiestrato, di cui X (f) rappreseta la trasformata di u geerico periodo pricipale, dopo aver (4) 11

5 specificato il umero di bit M e la poteza P assegate alla portate - esima, vicolate a forire 1 = 1 = M P = M = P (5) Essedo le portati ortogoali el periodo, possiamo applicare la ε ( f ) relazioe P( f ) σ statali. = alle sigole compoeti e sommare i cotributi a el caso i cui la sequeza { a } sia a valori statisticamete idipedeti ed uiformemete distribuiti su di ua costellazioe QAM quadrata co L = M, si ottiee che a = E{ a } = P σ, permettedo di scrivere la desità di poteza dell iviluppo complesso del segale ricevuto i igresso al demodulatore come P x R ( t ) 1 1 ( f ) = P sic { [ f f ( )]} = (6) cui corrispode ua poteza complessiva 1 = P x = P R (7) Ifie la poteza totale del segale reale i ricezioe risulta: P + 1 = + = 1 = x P xr P xr P 4 x P (8) R R = che evidezia, mediate il fattore < 1, la perdita di poteza legata alla preseza del preambolo, a vataggio dell itelligibilità del segale. 1

6 3 Architettura di Modulazioe Ua caratteristica fodametale della modulazioe OFDM è quella di essere realizzata seza oscillatori ed itegratori, ma esclusivamete tramite circuiti digitali. Co riferimeto alla fig.5, il flusso biario prodotto dalla sorgete, caratterizzato da u ritmo biario f b viee segmetato i blocchi composti da M simboli biari. Ciascu blocco, tramite u covertitore seriale-parallelo, viee ulteriormete suddiviso i ~ gruppi ~ di M (co =,1,, 1 ), co il vicolo ~ 1 M =. M = Ad ogi gruppo di M bit è poi applicata ua codifica che associata a ciascua sequeza M biaria di M simboli u puto a di ua costellazioe composta da L = elemeti. fb fb f = =. La sequeza { } L M log L a viee arricchita co ~ valori ulli (metà all iizio e metà alla fie) cosicchè l iviluppo complesso del segale il cui spettro vale 1 { } ( ) = ( ) X f a sic f f = è praticamete limitato i bada tra [- f, + f] Hz., e può pertato essere rappresetato dai suoi campioi prelevati co u ritmo di f c = f campioi/sec. 13

7 (valori ulli aggiuti) (valori ulli aggiuti) f X OFDM (f) f f ~ f fig. 4 Il blocco idicato i fig.5 come FF -1 esegue proprio il calcolo DF: 1 = a e jπ h 1 = h ( 1) x ( h ) c (9) Il risultato della FF -1 è quidi ua sequeza di coefficieti complessi { x h }, che a meo di u sego altero soo uguali ai campioi dell iviluppo complesso x ( t) forito dalla (3) relativo ad u simbolo. Il preambolo da trasmettere durate il tempo di guardia g si ottiee apputo aggiugedo i testa ad { x h } u gruppo di campioi prelevati dalla coda. 14

8 preambolo g M bit/simbolo M ROM a { x h } Re D/A f b S/P (M) M 1 ROM a 1 FF -1 () (-1) h cos(ωt) si(ωt) M - 1 ROM a -1 Im D/A M bit/simbolo/portate ~ valori ulli fig..5 fig. 5 Ifie le parti reale ed immagiaria di { x h } vegoo iviate ad ua coppia di covertitori D/A operati a frequeza f c + g = i modo da otteere le compoeti aalogiche di bassa frequeza, utilizzate per produrre il segale x OFDM (t) mediate ua coppia di modulatori i fase ed i quadratura. 4 Algoritmo FF per il calcolo di DF FF è u algoritmo sviluppato egli ai 6 per il calcolo veloce della DF, grazie al quale si ha ua riduzioe rilevate del umero di operazioi da compiere per il calcolo della DF, aspetto molto importate soprattutto quado l implemetazioe avviee su u sistema che deve garatire u processameto real-time, come el ostro caso. Per evideziare i vataggi itrodotti da tale algoritmo volgiamo calcolare la complessità computazioale O(t) della DF e cofrotarla co la FF. 15

9 Matematicamete la DF ha la seguete espressioe: X ( ) = 1 = avedo posto per semplicità =1 e co x( ) W W jπ = e. Per otteere ciascu termie bisogerà quidi eseguire moltiplicazioi complesse ed somme. Dato che le moltiplicazioi richiedoo u tempo di calcolo molto maggiore delle somme, trascureremo il tempo impiegato da queste ultime. Il calcolo quidi degli valori della DF richiederà u umero di operazioi pari ad. Suppoiamo ad esempio di avere a disposizioe 16 campioi { ( ), x( 1),, x( 15) } x. Allora per il calcolo di u sigolo valore della x( ) si devoo eseguire 16 moltiplicazioi complesse. Per calcolare tutti gli campioi (16 el ostro esempio) dovremmo eseguire = 16 = 56 moltiplicazioi complesse. L idea alla base di FF è quella di operare ua suddivisioe dei campioi i due sottoisiemi coteeti ciascuo campioi. La DF applicata, i questo caso, a ciascu sottoisieme per il calcolo di tutti gli elemeti, avrebbe richiesto u umero di operazioi pari a ( ). Per il calcolo poi di tutti i campioi sarao ecessarie ( ) operazioi, che el ostro esempio sarao duque 18 moltiplicazioi. E possibile scrivere aaliticamete tale ripartizioe i pari e dispari: X( ) = 1 = x( ) W = 1 = x( ) W + 1 = x( + 1) W ( + 1 ) = = 1 = x( ) W + W 1 = x( + 1) W = X p ( ) + W X ( ) d 16

10 t O f d m Questo processo di suddivisioe può essere iterato sio ad arrivare a lavorare su due campioi per volta, fatta l ipotesi che il umero di campioi sia poteza di due ( = ). Ricordado che trattasi di trasmissioe digitale, va detto tutta questa suddivisioe si realizza praticamete osservado il bit meo sigificativo della parola biaria che rappreseta l idice del campioe (se 1 corrispoderà dispari, se corrispoderà a pari). Per le suddivisioi successive si osserva il valore del peultimo bit, iterado tale procedimeto, fiché si arriverà a cosiderare due soli puti. Essedo allora =, al più si avrà u umero di successivi dimezzameti pari a log,che soo proprio pari al umero di passi ecessari per eseguire la FF. Dato che ad ogi passo sarao ecessarie moltiplicazioi, allora FF richiederà al massimo log (3 operazioi el ostro esempio a 16 campioi) cotro le richieste el calcolo della DF. Grazie ad FF duque è possibile otteere u processameto realtime passado da ua complessità mostrate el grafico sotto riportato. O DF ( t ) = t ad ua O FF ( t ) = t log t Efficieza OFDM OFDM è la tecica di modulazioe umerica che meglio approssima i risultati teorici della teoria dell'iformazioe. 17

11 Per il calcolo della sua efficieza misuriamo la frazioe di segale utile rispetto all'occupazioe i bada ed al umero di campioi/simbolo preseti el segale modulato. Si cosideri ifatti che solo ~ portati su trasportao iformazioe, e che solo f c campioi su f c soo uici. Combiado opportuamete queste quatità defiiamo duque efficieza il parametro ~ ~ g ( ) ρ = = 1 (1) come misura della frazioe di segale utile rispetto all occupazioe i bada pesata sul umero di campioi per simbolo preseti. Si può osservare che la ridodaza itrodotta (le portati vuote ed il preambolo) è della stessa atura di quella itrodotta dal roll-off γ di u impulso a coseo rialzato, itrodotto ei filtri co caratteristica di yquist, ecessaria per evitare feomei di iterfereza. Osserviamo duque che l'efficieza migliora all'aumetare della cocetrazioe di campioi per periodo, com'era ituibile, per fissati valori di g ed ~. 6 Architettura di Demodulazioe Per riotteere i ricezioe gli elemeti della sequeza { a } di modulazioe, di fig.5, e quidi il gruppo di M bit che hao origiato il simbolo della costellazioe trasmesso, soo ecessari diversi passaggi. Ricordado che il segale visto i ricezioe è di tipo aalogico su portate ω, esso dovrà iazitutto essere demodulato (per potere poi realizzare u filtraggio basso dei soli campioi portatori di iformazioe) e uovamete trasformato alla Fourier sui soli elemeti utili. Otteuti 18

12 quidi uovamete i campioi dell iviluppo complesso richiesti sarà baale riprodurre il segale sorgete. L architettura del demodulatore è mostrato ella fig.6 seguete. preambolo: g Filtraggio passa-basso ~ A/D Re { } x h a M x OFDM () t SIC. cos(ω t) si(ω t) A/D (-1) h Im FF () a 1 a -1 DEC DEC M 1 M - 1 P/S (M) f b ~ fig..6 fig. 6 Come si può osservare lo schema svolge ua azioe del tutto iversa a quella del modulatore. Iazitutto il ricevitore deve acquisire il sicroismo di simbolo per determiare l iizio della ricezioe di u sigolo blocco di campioi. Il segale ricevuto viee quidi demodulato i fase ed i quadratura per otteere le compoeti aalogiche i bassa frequeza, le quali vegoo campioate a frequeza f c + g =. Dopo l iversioe di sego ad idici alteri, gli f = campioi del preambolo vegoo rimossi, ed ua FF permette di otteere i valori c g g h j 1 1 π x he h= = a (11) 19

13 Solo gli ~ valori cetrali soo avviati verso altrettati decisori, che determiao, secodo regole viste, il puto di costellazioe più vicio al simbolo a ricevuto per ciascua portate, lo codifica co M bit, ed il risultato fiale viee uovamete serializzato per produrre gli M bit origiari che hao dato origie al simbolo. 7 Prestazioi Idicado co b(t) il segale di rumore itrodotto dal caale, supporremo che esso sia additivo oché membro di u processo gaussiao, stazioario ergodico, a valor atteso ullo e spettro di desità di poteza Pb ( f ) = uiforme i u itoro sufficietemete ampio della portate p sia cioè u rumore biaco. f : Co riferimeto alla fig.6, all igresso dell operatore FF soo preseti i campioi delle compoeti aalogiche di bassa frequeza del rumore rispetto a f p. La gaussiaità del rumore implica cha ache le compoeti aalogiche di bassa frequeza b c (t) e b s (t) soo cogiutamete gaussiae, a valor atteso ullo co spettro di desità di poteza P ( f) = P ( f) = e variaza σb = σb = σb = f. bc bs c s Pertato idicado, co W l operatore FF, co elemeti [ W ] = 1 e j π co b= b c +jb s il vettore dei campioi dell iviluppo complesso del rumore, e co B = B Re +jb Im il vettore corrispodete all uscita della FF B= Wb.

14 Si oti che l operatore FF gode della proprietà WW = W W = I 1 Ioltre, essedo il rumore biaco,la matrice di covariaza R b del vettore b= b c +jb s vale { } σ b 4 R = E bb = I= f I. b Pertato, i virtù delle proprietà delle trasformazioi lieari di variabili aleatorie, la matrice di covariaza R B del vettore B all uscita dell operatore FF vale: { } σ b RB = E ΒΒ = WRbW = σ bwiw = I = 4 fi Dalla precedete relazioe e cosegue che, rimaedo il rumore gaussiao biaco ache all uscita dell FF, è possibile applicare uo schema di rivelazioe semplice il cui la rivelazioe relativa a ciascu simbolo avviee separatamete da quella di tutti gli altri. Ioltre, sempre dalla precedete relazioe si ha che le variaze della compoete reale e della compoete immagiaria del rumore all uscita dell FF valgoo: σ σ b B = σ Re B = = Im f Per il calcolo delle prestazioi possoo essere direttamete impiegate le formule che foriscoo la probabilità d errore per la modulazioe QAM e per la modulazioe PSK, osservado che il sistema complessivo si comporta come u isieme di sottoisiemi, ciascuo operate co ua larghezza di bada pari a f. 1

15 8 CODFM ei sistemi tradizioali è frequete che la fuzioe di trasferimeto del caale H C ( f ) o sia di tipo tempo ivariate e preseti delle fluttuazioi. Ciò potrebbe far sì che la fuzioe di trasferimeto complessiva del sistema o corrispoda più ad ua caratteristica di yquist, itroducedo così iterfereza itersimbolica. H (f) c f p B f fig. 7 Ua prima soluzioe potrebbe essere quella di adottare ua codifica per il segale da trasmettere, di modo che tramite i bit di cotrollo di possibile la correzioe degli errori (secodo quato oto dalla teoria dell iformazioe). Può capitare tuttavia che le distorsioi itrodotte siao tali che la codifica da sola o riesca a recuperare il segale origiario. Ua soluzioe potrebbe allora essere quella di parallelizzare il flusso complessivo (otteedo così ua multiplazioe del segale) i flussi ciascuo a velocità f b, operati i bade adiaceti di occupazioe B,

16 per cui la bada totale o vega complessivamete alterata. E questa l idea base della modulazioe OFDM. el caso della modulazioe OFDM allora l adameto della H C ( f ) determia u peggiorameto di prestazioe limitatamete a quelle sottoportati per le quali H C ( f ) si è ridotta. Pertato l applicazioe di ua codifica di caale al blocco di M bit che costituisce u simbolo, cosete di ricostruire l iformazioe i ricezioe co risultati decisamete migliori. La trasmissioe OFDM i cui sia presete ua codifica di caale prede il ome di COFDM (Coded OFDM). b[] Modulatore COFDM CODIFI- CA DI SEGALE c[] M MODULA- ZIOE DI SEGALE Segale modulato e protetto fig. 8 9 Applicazioi, attualità e frotiere La tecologia OFDM icotra vastissimi campi applicativi elle telecomuicazioi modere. I questa sede ci propoiamo di dare solo qualche flash, affiché il lettore abbia ua, seppur semplice, idea delle 3

17 applicazioi di cui tale tecologia è forse il costituete fodametale e le possibilità di sviluppo che tutt oggi offre. a) ADSL è la tecologia oggi gioro più diffusa di trasmissioe digitale, che cosete di utilizzare la tradizioale liea aalogica telefoica i rame (doppio telefoico). Il modem ADSL è i grado di trasmettere e ricevere dati i formato digitale, suddividedo la liea telefoica i tre caali di frequeze distite: il primo dedicato alla ricezioe di dati dal provider all utete (dowstream), il secodo dedicato all ivio dei dati dall utete al provider (upstream) ad il terzo riservato al ormale traffico voce. Le velocità raggiugibili co tale tecologia soo piuttosto elevate, seppur per scelte di mercato esse vegoo fissate a valori piuttosto limitati. I particolare esse soo differeti per i tre tipi di flussi iformativi: il Voce/Fax Dati 4 3 C O F D M f (Hz) fig. 9 primo è tipicamete variabile da provider a provider (tuttavia elecom Italia ha fissato per tutti i provider che utilizzio la sua rete telefoica il limite massimo a 64bps), metre l upstream è geeralmete a 56 bps. Presso l utete, per mateere separato il segale digitale del computer da quello voce, possoo essere utilizzate due soluzioi: a filtri multipli ed a filtro uico. La prima è la più semplice e viee utilizza qualora o vi siao altre coessioi sulla liea telefoica (tipo sistemi di 4

18 teleallarme, cetralii, ecc. ). I questo caso occorre mettere u filtro su ogi presa della liea telefoica utilizzata (da qualsiasi apparecchio). I questo caso il modem ADSL potrà essere collegato a qualsivoglia filtro delle prese telefoiche (fig.1). La soluzioe a filtro uico ivece è ecessaria qualora la liea telefoica sia codivisa da cetralii, sistemi si teleallarme, smart-box, o altri prodotti. I questo verrà istallato u filtro uico chiamato splitter (divisore) sulla presa pricipale della liea a cui va collegato il modem ADSL (fig.1). cetr. fax A FILRO MULIPLO Dati DSLAM rete dati filtro Splitter rete telefoica Voce Switch A FILRO UICO Splitter fig. 1 ella cetrale telefoica acora uo splitter (aalogo a quello precedete) separa i due tipi di segale proveieti dal cliete. Il segale voce viee messo attraverso uo switch sulla ormale rete telefoica, metre il traffico dati viee deviato attraverso u apposito apparecchio (DSLAM) su rete digitale adibita al trasporto di dati ad alta velocità che lo cosega al provider per l accesso ad Iteret. b) I appedice alle pp.4-5 soo state riportate a titolo di esempio due pagie di presetazioe di u modem OFDM commerciale per trasmissioi wireless, prodotto dalla Wevesat elecom ic. 5

19 Il lettore potrà otare le specifiche teciche i secoda pagia. Vogliamo i particolar modo evideziare fra esse: il tipo di modulazioe (COFDM i tre possibili soluzioi: 4, 16 e 64QAM co velocità sio a 5Mbps), la larghezza di bada (6MHz), il rapporto segale/rumore a 64QAM (5dB) e la tecologia di cotrollo dell errore (Reed-Solomo) possibile grazie alla codifica di sorgete. Esso è ioltre iterfacciato per trasmissioi AM (Asycroius rafer Mode). c) OFDM trova vasta possibilità di utilizzo ache elle uove teciche di trasmissioe. L idea base è quella di multiplare u caale ache per segali a bada larga, ovvero modulare u segale CDMA mediate OFDM (ovvero l iverso che equivale). Il risultato di ciò è ua Multi-Carrier-Code- Divisio-Multiple-Acess, (MC-CDMA ovvero OFDM-CDMA). Uo schema possibile di modulazioe è mostrato i figura. COFDM (PSK) COFDM receiver Correlatio c C c C fig. 11 Come questa altre teciche allo stato di ricerca fao di OFDM u valido strumeto per le telecomuicazioi. 6