Filtri analogici Primi filtri elettrici per ripetitori. dei segnali. Un filtro è un calcolatore analogico

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1 Filtri analogici 95 Primi filtri elettrici per ripetitori Tutte le applicazioni di trattamento e tramiione dei egnali Un filtro è un calcolatore analogico componenti poco precii, oggetti a variazioni di temperatura ed all invecchiamento tecnologia emplice realizzazione poco cotoa dipoitivo affidabile

2 E' difficile trovare un itema elettronico che non impieghi un filtro. Un filtro elettrico è un dipoitivo progettato per eparare far paare o opprimere un gruppo di egnali da diveri egnali che utilizzano lo teo canale di tramiione. Altera l ampiezza e/o la fae di un egnale ripetto alla frequenza (modifica le ampiezze delle varie componenti e/o le loro relazioni di fae. Idealmente non aggiunge nuove frequenze al egnale in ingreo nè modifica le componenti in frequenza del egnale. Ha un guadagno che dipende dalla frequenza del egnale.

3 Eempio indeiderato

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5 Eempi Eliminare i ciò che contamina il egnale (rumore nei itemi i di comunicazione Separare componenti in frequenza rilevanti da quelle irrilevantiil Demodulare egnali Limitare i egnali in banda prima del campionamento Convertire i egnali campionati in continui Migliorare la qualità di egnali audio (altoparlanti Sintei del parlato Equalizzazione Su larga cala televiione e radio Su cala più piccola i componenti elettronici bae uati nei telefoni, nella televiione, nella radio, nei radar e nei computer.

6 uai tutte le apparecchiature elettroniche utilizzano dei filtri per copi diveri. Nelle radiocomunicazioni i filtri paa banda nei ricevitori migliorano la ricezione limitando l'amplificazione ai oli egnali deiderati. La larghezza di banda dei filtri adoperati nei itemi di comunicazione varia, econdo le applicazioni, da meno di Hz a molti MHz. Il filtro paa bao, applicato all'ucita dei raddrizzatori di alimentazione dei circuiti elettronici, elimina le componenti alternate della componente continua. L'azione elettiva dei filtri viene anche ampiamente utilizzata per uddividere l'ucita degli amplificatori audio in più bande rivolte a itemi di altoparlanti differenziati in frequenza di ripota.

7 Filtro ADSL: una volta inerito ulle pree dove i utilizza un telefono, tale filtro provvederà a ecludere tutte le frequenze audio uperiori ai 5 KHz, eliminando coi' il leggero rumore di fondo dovuto al collegamento dati ulle frequenze en e uperiori. Tecnicamente il filtro ADSL e' un circuito C paivo, in cui i valori dei componenti elettronici ono calcolati in bae alle frequenze audio che occorre laciar paare e quelle che invece occorre filtrare. Si monta emplicemente tra la prea telefonica e il telefono.

8 Filtri paivi (reitori, capacitori ed induttori problemi di coti e ingombri minore enibilità ripetto ai filtri attivi larghezza di banda fino a 5Hz Guadagno minore di uno In genere i vantaggi nell utilizzo dei filtri attivi uperano gli vantaggi in applicazioni relative alla tramiione di voci e dati. Per queto ono utilizzati in quai tutti i itemi elettronici ofiticati di comunicazione ed elaborazione dei egnali

9 Poiché X L L, valori elevati di reattanza richiedono alle bae L frequenze valori elevati di induttanza. Ex. LmH f MHz X L 6.8 Ω f Hz X L.68 Ω Elevato numero di pire della bobina aumento della, della dimenione e del coto dell induttore Materiali ferromagnetici con elevata μ L Gli induttori ono generalmente incompatibili con la miniaturizzazione Filtri i attivi i

10 Filtri attivi (reitori, capacitori ed elementi attivi economici (avanzamento della tecnologia dei circuiti integrati produzione di erie peano poco e occupano poco pazio larghezza di banda finita (<3Hz Guadagno anche maggiore di uno, amplificano il egnale filtrato Aenza di effetto caricante: collegamento in cacata di più celle filtranti che grazie alla loro baa impedenza d ucita non rientono dell influenza del carico. Effetti delle capacità paraite ridotte (a caua delle dimenioni ridotte Deriva (> enibilità alle variazioni delle caratteritiche dei componenti attivi a fronte di modifiche ambientali ichiedono una orgente di alimentazione

11 I filtri ono definiti dai loro effetti ul egnale nel dominio della frequenza decrizioni analitiche e grafiche nel dominio della frequenza Curve di guadagno v frequenza Curve di fae v frequenza Tool matematici nel dominio della frequenza

12 ipota in frequenza Eprime la relazione algebrica tra ingreo e ucita nel dominio della frequenza. E la traformata di Fourier della ripota all impulo h(t ( V i ( H ( V u ( - - Funzione di traferimento V i ( H ( V u ( ipota in frequenza i( - - H ( M ( e φφ ( ( ( M φ ipota in ampiezza/guadagno ipota in fae

13 M( K M( K M( H ( paa-bao c M( M( K K paa-alto c M( K paa-banda elimina-banda i (notch paa-tutto

14 per Il filtro paa bao ideale ha H ( altrove La corripondente ripota impuliva è h(t π C ( t en(ct e < C t C e d per t C πt πt C Il filtro ideale è quindi NON CAUSALE La ripota dovrebbe eitere prima dell applicazione dell impulo h(t.

15 Ordine di un filtro L ordine Lordinedi un filtro è la più alta potenza della variabile nella H(. è pari al n. di capacitori e induttori indipendenti nel circuito (un capacitore ottenuto combinando o più capacitori è ancora un capacitore/ poono eitere cai patologici. Maggiore è l ordine del flitro più è cotoo perchè ua più componenti ed è più difficile da cotruire. più pùè efficace nel dicriminare dc aetaeg tra egnali a divere frequenze e Tanto più alto è l ordine del filtro reale, tanto più i avvicina al filtro ideale

16 Performance nel rapporto di frequenze Ad eempio, peo i vuole apere quanta attenuazione i ha a c e a.5 c. avere le curve di ripota in ampiezza e fae che coprano un ampio range di frequenze (difficile con cala delle f lineare Scala in frequenza logaritmica Scala delle ampiezze in db fornice peo uguale a uguali Poichè anche il range delle rapporti di frequenze. ampiezze può eere molto grande, la cala delle ampiezze è uualmente eprea in db (log H(. db/ottava fattore nelle f db/decade fattore nelle f La forma delle curve di ripota dipende dalle rete che le realizza

17 Scale lineari Picco frequenza di rionanza/centrale frequenze di metà potenza Scala di frequenza logaritmica e cala delle ampiezze in db Notare la immetria H (

18 Ordine Pendenze (lope ordine 6 db/ottava db/decade ordine db/ottava 4 db/decade 4 ordine 4 db/ottava 8 db/decade 8 ordine 48 db/ottava 6 db/decade Ottava Un'ottava è l'intervallo di frequenze in cui la frequenza più elevata è doppia della minore. Decade La decade è l'intervallo di frequenze in cui la frequenza più elevata è dieci volte la minore.

19 Matematica dei filtri Filtri di ordine elevato difficili da decrivere- occorre un modello matematico generale ua termini tandard per decrivere le caratteritiche del filtro emplifica l applicazione dei computer ai problemi di progetto dei filtri. H(N(/D( Funzione di traferimento

20 Per una rete di di ordine n (n capacitori e induttori... ( a a a a b b b b H n n m m m m I valori dei coefficienti determinano le caratteritiche del filtro.... a a a a n n Eempio: filtro paa banda del II ordine n, m f(a ( H

21 p m zeri poli Zeri e poli ono reali o complei coniugati Eempio: filtro paa banda del II ordine Diagramma poli-zeri ete tabile poli con parte reale negativa Poli immaginari i i ripota inuoidale id non morzata Poli reali negativi ripota eponenziale morzata Poli cc con parte reale negativa ripota inuoidale morzata

22 3 Filtri attivi o a capacità commutate Coppia di poli cc H è il prodotto di funzioni di traferimento del II ordine (anche del I Filtro compoto da blocchi elementari connei in cacata H H LPLow Pa H e H, filtri del II ordine H LP filtro del IV ordine, cacata di H e H

23 4 I parametri dipendono da quantità oervabili è un fattore di cala del guadagno è un fattore di cala della frequenza Sovraelongazione vicino alla f di rionanza Nella ripota in ampiezza, e alterano l ampiezza o la cala delle frequenze ma non la forma. La forma dipende da che è determinato da D( (log

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25 Filtri paa bao Segnale rumoroo Segnale filtratot Paa Bao (PA

26 ripple (variazione del guadagno g curve monotone curve con ovraelongazione curve con ripple

27 Filtri paa bao La funzione di rete di un paa bao del ordine H ( guadagno (in continua H ( >> H ( << H ( H max H (.7.7 H max t pulazione di taglio/di roll-off/di cut off -3db

28 v(t C v c (t H ( t V & V& c / C / / ( C / ( C / C C v(t ( v (t L

29 C f i f - v i (t (t v u Filtro attivo Z H( Z f i i f C f f C t non dipendeda i C f f Se ommodiveriingreicon divere f >< ic f i f ic f C i f f, rimanela tea per tuttigli ingrei.

30 La funzione di rete di un paa bao del ordine pulazione naturale ( H pulazione naturale guadagno fattore di merito ( H ( H << >> ( H ( (

31 f max f H ( f max / 4 Per un certo campo di valori di, H ha un maimo nelle vicinanze di f : Se è alto, i ha f f H ( f. > max, max Fra i filtri che non preentano il picco, quelli con ono quelli con decadenza d più rapida e f taglio f t f (Butterworth th.

32 /( ( LC H L v(t ( /( LC L C (t v C ( H LC L C

33 H ( Calcolare,,.

34 Eempio Un convertitore ac/dc conente di realizzare un alimentatore in continua partendo da una rete di alimentazione in corrente alternata Ingreo c.a. Ucita c.c. Ingreo c.a. Traformatore addrizzatore Filtro Ucita c.c. Il traformatore iola galvanicamente l ucita in continua dall ingreo in alternata ed adatta la tenione di rete alla tenione di ucita richieta. Il raddrizzatore è un componente non lineare che converte l energia da alternata a unidirezionale. Il filtro aolve la funzione di far paare olo la componente continua dello pettro prodotto dal raddrizzatore e di bloccare tutte le altre righe dello pettro (armoniche

35 La tenione (corrente all ucita del raddrizzatore non è rigoroamente continua ma poiede un certo reiduo (ripple Per far paare la ola componente continua i utilizza un filtro paa-bao Filtro LC ad ingreo induttivo Filtri ad ingreo capacitivo

36 Effetto del filtro paa-bao ull'onda quadra. T C C C3 C<C<C3

37 Filtri paa alto

38 La funzione di rete di un paa alto del ordine pulazione di taglio ( H t pulazione di taglio guadagno ( H << >> ( H

39 v(t v (t C H ( t V & V& / C / ( C / C v(t( L v L (t

40 Eempio Il circuito croover accoppia un amplificatore audio a degli altoparlanti di tipo woofer o tweeter. Un olo altoparlante non arebbe in grado di riprodurre tutta la gamma delle frequenze acutiche. Croover a due vie Canale di amplificatore tereo C L Tweeter Woofer V C L - V V - - T W Un woofer è un altoparlante progettato per riprodurre accuratamente la parte baa dell intervallo delle frequenze audio (<3 Hz, non gli acuti. Un tweeter è un altoparlante progettato per riprodurre accuratamente la parte alta dell intervallo delle frequenze audio (3- Hz non bai e medio bai. Un valore tipico è 8 Ω.

41 H H ( V V& C C C V / L ( V L L pulazione di taglio/di croover P.A. P.B. H ( H ( Croover a tre vie Midrange Paa banda Lo teo principio i ua nelle TV Lo teo principio i ua nelle TV 3Hz - 4MHz (immagini ampl. video 4.5MHz (audio ampl. audio

42 Eempio Nel circuito it cro-over a due vie 6Ω. Determinare L e C e deve riultare f.5hz. π 5 C. 6 μf C π 5 L 38 μ H L

43 f i C i Filtro attivo i i - (t v i (t v u ( i u f i f f i f Z Z H ( i i i i i C C Z i i t C i f

44 ( Paa alto del ordine L v(t (t v L H ( C H ( H * ( completare

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46 H (

47 Effetto del filtro paa-alto ull'onda quadra. V C C C3 C<C<C3

48 Filtri paa banda Filtri del II ordine Approimazione poco cotoa dei filtri ideali Blocco elementare per cotruire filtri più complei di tutti i tipi Ordine minimo per realizzare paa e ocura banda (notch p p ( guadagno pulazione di centrobanda/centrale/di ( H p rionanza (valore di picco fattore di qualità pulazione di taglio inferiore/di metà potenza ( pulazione di taglio uperiore ( H >> >> ( H ( << /,

49 ( H ( H ( H ± quelle poitive : delle 4 oluzioni, prendendo,, ± p q p 4, poono coniderare immetriche per i taglio non ono immetriche ripetto a di pulazioni Le., >> ± Banda Ampiezza di, B B. tretta e' tanto piu' elevato e' tanto piu' Fiato,

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51 Il numero di poibili caratteritiche di ripota in banda paante è infinito, ma hanno tutte la tea forma di bae.

52 (t v LC L L L H ( L v(t C L C L LC L L Vedi lide 7 per un altro eempio - C C C (t v i (t v u (A- PBanda A A 3

53 I filtri paivi garanticono una buona elettività a patto che il fattore di merito ia elevato. Poiché: L ext reitenza dell avvolgimento ext tutte le altre reitenze del circuito, è effettivamente elevata e le reitenze ono piccole; dipende dal numero di pire dell avvolgimento e dalla conducibilità del materiale uato. Bobine a radiofrequenza (Hz 3 GHz L piccolo poche pire bobine con piccola elevato, nel campo delle radiofrequenze, i filtri LC ono molto uati Nel campo audio L elevata molte pire bobine ingombranti e cotoe. In campo audio, ono molto uati i filtri attivi.

54 Filtri ocura banda/notch Speo utilizzati per opprimere il rumore di rete a 5Hz.

55 Filtri di ordine elevato Speo realizzati come cacata di filtri del II ordine (quando n è dipari occorre anche uno tadio del I ordine. V ( H V ( V ( V ( V ( ( H ( 3 n H n ( n Cacata di n tadi del II ordine Ucita tadio i ingreo tadio i Molto peo il comportamento di uno tadio cambia quando viene conneo ad un altro tadio (caricamento. Il econdo tadio carica il primo Z u ( V i ( Z i i( ( - H ( V ( i Modello circuitale di uno tadio adatto all analii del caricamento

56 Z u ( Z u ( V ( Z i ( - HV V Z i ( - H V V ( 3 Senza il tadio i avrebbe Invece i ha V V 3 H Z V Z i u Zi H V V ' V ' H V Il tadio carica il. Ciò i può eliminare rendendo infinita la Z i o nulla la Z u Zi V3 H V H H V Z Z H V V 3 H Z Z u i u Z i i H

57 Se Z u o e Zi, H H H (e il econdo tadio NON carica il primo I filtri di Sallen Key hanno Z u, pertanto poono eere collegati in cacata enza caricare l ucita. H i H i I filtri LC hanno Z u, e Z i H i H i

58 Eempio Sallen Key Paa Banda Calcolo della Z u Z u V I u u V i C 3 V ( C i V u ( I ( (A- u - u V V V Vu V V / C / C V V V / C V V Vu (V 3 V ( A V u Z u

59 Eempio Individuazione id i di egnali generati da un telefono in multifrequenza (devono eere individuati i digit decimali da a 9 e bottoni * e # uati per copi peciali 697 Hz ABC DEF 3 Banda baa 77 Hz 85 Hz 94 Hz GHI JKL MNO PS 7 * TUV 8 oper # WXY 9 egnale coppia di toni inuoidali 9 Hz 336 Hz 477 Hz Banda alta Come i individuano i numeri da chiamare? uando viene compoto un n. di telefono viene trameo un inieme di egnali alla centralina dove vengono decodificati.

60 BP Filtri paa-banda D ivelatore A Amplificatore Paa bao BP D BP D BP 3 D Hz 77 Hz 85 Hz A BP 4 D 4 94 Hz Al itema di witch BP 5 D 5 9 Hz Paa alto BP 6 D Hz BP 7 D Hz Ogni filtro paa-banda fa paare un olo tono ed è eguito da un rivelatore D che i attiva quando la ua tenione upera un determinato livello. L ucita del rivelatore fornice il egnale in corrente continua neceario al itema di commutazione per connettere l utente al numero chiamato.

61 Filtri paa tutto o phae-hift Neun effetto ull ampiezza del egnale alle divere frequenze. Modifica della fae In ritardo φ (fae, rad φ / (ritardo, Sono tipicamente uati per introdurre phae hift nei egnali, per cancellare anche parzialmente phae hift dovuti ad altra circuiteria o mezzi di tramiione.

62 H ( Il valore aoluto del guadagno è uguale all'unità a tutte le frequenze, ma la fae varia con la frequenza. Le funzioni di traferimento vite finora per i filtri del II ordine condividono lo teo denominatore. Tutti i numeratori ono cotituiti da termini trovati nel denominatore: il numeratore del paa-alto è il primo termine ( al denominatore, il numeratore del paa banda è il econdo termine (, il numeratore del paa-bao è il terzo termine ( il numeratore dell ocura banda è la omma del primo e del terzo ( e. Il numeratore per la funzione di traferimento paa tutto è un po divero, nel eno che include tutti i termini del denominatore, ma uno dei termini ha un egno negativo..

63 I filtri del II ordine ono caratterizzati da 4 proprietà: il tipo di filtro (paa-alto, alto paa-banda, ecc, il guadagno in banda paante la frequenza naturale il fattore di merito utile per decrivere la forma della ripota in ampiezza. può eere trovato dal denominatore della funzione di traferimento e il denominatore è critto nella forma Per i paa e ocura banda, all aumentare di, la ripota diviene più tretta. I filtri paa-bao e paa-alto motrano picchi al crecere di.

64 Simmetria della ripota in ampiezza per cala logaritmica delle frequenze Le curve per il paa-banda e notch ono immetriche ripetto af O : il guadagno a fo è pari al guadagni a f O /; il guadagno a f O è pari al guadagno a f O /, e coì via. Le curve per il paa-bao e paa-alto ono immetriche l una ripetto all altra. altra. Ee ono effettivamente immagini peculari ripetto a f O. Coì, il guadagno del paa-alto a fo arà pari al guadagno del paa-bao f O /ecoìvia. Le omiglianze tra le varie curve ono molto utili per la Le omiglianze tra le varie curve ono molto utili per la progettazione di filtri complei.

65 Il numero di poibili curve di ripota di un filtro è infinito. it Le differenze tra le divere ripote per dato un tipo di filtro (ad eempio, paa-bao poono includere, frequenze caratteritiche, ordine del filtro, roll-off (la pendenza con cui inizia a variare il guadagno del filtro, appena ci i allontana dalla banda paante; db/dec piattezza della banda paante e delle regioni i fuori banda.

66 Un filtro ditorce il egnale in ingreo. Ditorione d ampiezza ipota in ampiezza non cotante componenti in frequenza divere del egnale amplificate diveramente. Ditorione di fae Ditorione di fae ipota in fae non lineare componenti in frequenza divere del egnale ritardate diveramente (modifica la forma del egnale.

67 Eempio ( t X co ( t X co ( t x( t X co a a b b > b > a xˆ ( t X co a ( t X co( t a b b egnale deiderato ˆ( L ucita accettabile è u a ( t x( t τ Filtro paa bao con ripota in frequenza ritardo attenuazione < < C M ( C < ripota in ampiezza f a <f b <f<f c < f φ ripota in ( fae

68 L ucita del filtro è u( t a Se la ripota in fae è lineare φ ( ( t φ( X ( t φ( X co co τ a φ φ ( a ( b a τ a τ Infatti, in tal cao u ( t X co ( ( t τ X co ( ( t τ x ( t τ a a b b b b b b L importanza di avere un filtro con una fae lineare (ritardo di gruppo cotante e un guadagno cotante riiede nel fatto che permetterà di ottenere in ucita un egnale che riulterà emplicemente una verione calata e ritardata dell ingreo. Se la fae del filtro non foe tata lineare, ma avee avuto una dipendenza non lineare da f, l ucita del filtro arebbe tato una verione più o meno ditorta dell ingreo.