Unità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita

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1 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit ) L definizione di equzione di seondo grdo d un inognit ) L risoluzione delle equzioni di seondo grdo inomplete ) L risoluzione dell equzione di seondo grdo omplet ) Equzioni frzionrie rionduiili d equzioni di seondo grdo 5) Relzioni fr le rdii ed i oeffiienti di un equzione di seondo grdo ) Somposizione in fttori di un trinomio di seondo grdo 7) L regol dei segni di Crtesio 8) Equzioni di seondo grdo prmetrihe Pgin di

2 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit Equzioni di seondo grdo d un inognit Diesi equzione di seondo grdo d un inognit ogni equzione rionduiile ll seguente form: [*] L [*] è dett nhe form tipi, o normle o noni dell equzione di seondo grdo. termine qudrtio, termine linere, termine noto o terzo oeffiiente primo oeffiiente o oeffiiente del termine qudrtio seondo oeffiiente o oeffiiente del termine linere Risult sempre:. Inftti se fosse, l equzione [*] sree di primo grdo. Se risult:,, l equzione [*] diesi equzione omplet. In so ontrrio diesi inomplet. OSSERVAZIONE N Diesi soluzione o rdie di un equzione d un inognit, ogni numero he, sostituito l posto dell inognit, rende il primo memro numerimente ugule l seondo memro. OSSERVAZIONE N Un equzione di seondo grdo d un inognit mmette due soluzioni he vengono indite oi simoli ed. Nel so di soluzioni reli si pone per onvenzione:, ioè rppresent l rdie minore, mentre rppresent l rdie mggiore. Risoluzione delle equzioni di seondo grdo inomplete L equzione [*] divent: [] e si die equzione di seondo grdo pur. Ess si risolve nell seguente mnier:,, ± -,, ESEMPI 9, 9, 9, ± 9 ±,, 8, 8, ± 8 ± 9 i, i, i 9 9 Pgin di

3 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit 7 7, 7,, ± 7 ±,, L equzione [*] divent: [] Ess prende il nome di equzione di seondo grdo spuri. Si risolve nell seguente mnier: ( ) Applindo l legge di nnullmento di un prodotto di fttori srivimo:,,, Le rdii dell equzione [] sono:, ESEMPI, ( ),,,,, 5, ( ) 5,, 5, 5, 5, Osservzione: L legge di nnullmento di un prodotto di fttori die he se un prodotto di fttori è nullo, llor lmeno uno dei fttori è nullo>>. ALTRI ESEMPI ( )( ) ( )( ) ( )( ) 7 ( ) ( ) ( ) ,, ± ±,, ( ) ( ) ( ) 9,,, ± ±, ( )( 5) ( )( ) ( ) 5 5,,,,, 7 ( )( ) Si trtt di un equzione frzionri in qunto l inognit figur l denomintore. Pgin di

4 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit ( ) ( )( ) 7 ; ( ) ( )( ) m.. m. ±, 9 7,,,, Risoluzione dell equzione di seondo grdo omplet Voglimo risolvere l equzione di seondo grdo omplet Si trsport il termine noto l seondo memro: Moltiplihimo mo i memri per : Aggiungimo d mo i memri il numero : ( ), ±, ± - ± - [] L [] prende il nome di formul risolutiv dell equzione di seondo grdo. Il numero diesi delt o disriminnte dell equzione di seondo grdo. In un equzione di seondo grdo omplet possimo supporre >. In questo so l rdie più piol è: mentre l rdie più grnde è: Il disriminnte dell equzione può essere. Disutimo seprtmente i tre si: - - ) > : se il delt è mggiore di zero l equzione mmette due rdii reli e distinte, ) : se il delt è ugule zero l equzione mmette due rdii reli e oinidenti, ) > : se il delt è minore di zero l equzione mmette due rdii omplesse e oniugte Pgin di

5 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit 5 ESEMPI ± 89 7 ± ,, ± 8 ± 8 ± 7 ( ) 7 7 ( ) 7 7 5, 5, 5 ± ± 5 ± i 5 i 5 i Formul risolutiv ridott e ridottissim L formul risolutiv di un equzione di seondo grdo è: Ess può sriversi nell seguente mnier: ± [] ± ± ± - ± - Dividendo numertore e denomintore per ottenimo: L [] è dett formul ridott e si ppli qundo il oeffiiente è un numero pri, ioè [] qundo è divisiile per. L espressione diesi disriminnte ridotto. Se poi risult nhe l [] divent: - ± - [] Pgin 5 di

6 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit RIEPILOGO ) L formul ridott si ppli qundo è un numero pri ) L formul ridottissim si ppli qundo è un numero pri ed risult ugule d 8 ± ± ± ± ±,, Relzioni fr le rdii ed i oeffiienti di un equzione di seondo grdo Tr le rdii ed dell equzione di seondo grdo ed i oeffiienti,, interorrono le seguenti relzioni: - Dimostrzione Noi sppimo he :, 5 ( ) 5 Pgin di

7 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit 7 Applizioni Clolre un rdie di un equzione di seondo grdo qundo onosimo l ltr rdie Bst utilizzre un delle due seguenti relzioni:, Se, d esempio, onosimo, per lolre si proede ome segue: oppure 7 7 7,, 7 oppure, Srivere l equzione di seondo grdo he i ome rdii due numeri ssegnti Divido mo i memri per, S, P, Pongo : S ( ) P S P REGOLA L equzione di seondo grdo vente ome rdii due numeri dti h il primo oeffiiente ugule ll unità, il seondo oeffiiente è l somm dei due numeri mit di segno, il terzo oeffiiente oinide ol prodotto dei due numeri. Srivere l equzione di seondo grdo vente ome rdii i numeri: 5 5, S 5 5, P 5 5, 8 Pgin 7 di

8 8 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit Determinre due numeri onosendo l somm S ed il loro prodotto P I due numeri rihiesti oinidono on le rdii dell equzione: S P S, P,, ± 9 ± 5 5, 5 Somposizione in fttori di un trinomio di seondo grdo Se risult llor è possiile dimostrre he il trinomio di seondo grdo T() può essere deomposto nel prodotto di due fttori di primo grdo seondo l seguente formul: T() ( - )( - ) dove i numeri ed sono gli zeri del trinomio, ossi le rdii dell equzione ssoit. [ ( ) ] [ ] ( )( ) [ ] ( ) ( ) Se il trinomio h due zeri reli e oinidenti, ioè se llor l preedente formul ssume l seguente form: ( ) Deomporre in fttori il seguente trinomio di seondo grdo 5 8. Gli zeri di questo trinomio oinidono on le rdii dell equzione ssoit 5 8 ± ± ± ( )(5 ) 5 Pgin 8 di

9 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit 9 Equzioni prmetrihe (k ) k è un equzione prmetri in qunto lmeno uno dei tre oeffiienti dipende d un prmetro. Prmetro di un equzione nell inognit è un letter qulsisi he rppresent un numero il ui vlore non dipende dll inognit. Questo signifi he i vlori numerii he possimo ttriuire l prmetro non dipendono di vlori numeri ssunti dll inognit. Invee i vlori numerii ssunti dlle rdii, dell equzione dt dipendono di vlori numerii he ttriuimo l prmetro k. I prolemi sulle equzioni di seondo grdo prmetrihe si risolvono tenendo presente he: ), ) rdie di un equzione è un numero he, sostituito nell inognit dell equzione, rende il primo memro numerimente ugule l seondo memro ) le rdii, di un equzione di seondo grdo sono uguli se: ioè se : ) le rdii, di un equzione di seondo grdo sono opposte se: ioè se : ioè se: 5) le rdii, di un equzione di seondo grdo sono reiprohe se: ioè se: ioè se: ) le rdii, di un equzione di seondo grdo sono ntireiprohe se: ioè se: ioè se: Esempi Per qule vlore del prmetro k un rdie dell equzione ( k) k é ugule zero?>> k k Per qule vlore del prmetro k le rdii dell equzione k k ( ) sono opposte?>> k k Pgin 9 di

10 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit Per qule vlore del prmetro le rdii dell equzione ( ) 5 sono uguli?>> 5 ( )( ) Per qule vlore del prmetro k un rdie dell equzione (k ) k vle? >> () (k ) k 8 k k k k dt l equzione lolre : ) ) ( ) ) ) ( ) 5) ( ) ( ) ) ( ) Pgin di

11 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit 7) ( ) Se l equzione dt h l form p q imo: p p q 8) ( ) Pgin di

12 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit Pgin di

13 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit L regol dei segni di Crtesio Considerimo un equzione di seondo grdo rdii reli: [ ] Possimo supporre he si positivo. Inftti, nel so ontrrio, mindo il segno dei oeffiienti,, ottenimo un equzione equivlente ll dt. Definizione: Diremo he i tre oeffiienti,, dell equzione [ ] (onsiderti nell ordine sritto) presentno un permnenz ogni volt he due oeffiienti onseutivi hnno lo stesso segno, presentno un vrizione ogni volt he due oeffiienti onseutivi hnno segni ontrri. Si possono presentre i seguenti si : Teorem di Crtesio In ogni equzione di seondo grdo ridott form noni, omplet ed disriminnte positivo o nullo, d ogni vrizione orrisponde un rdie positiv, d ogni permnenz un rdie negtiv. Se l equzione present un rdie negtiv ( ) ed un positiv ( ) llor il vlore ssoluto dell rdie negtiv è mggiore del vlore ssoluto dell rdie positiv ( > ) se l permnenz preede l vrizione, il vlore ssoluto dell rdie positiv è mggiore del vlore ssoluto dell rdie positiv ( > ) se l vrizione preede l permnenz. > Dimostrimo he due permnenze dnno luogo due rdii negtive. > > > > > Pgin di