f : A B NOTAZIONE DELLE FUNZIONI x associa A D y è l immagine di x : y = f (x) (variabile dipendente)
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- Giovanna Maggi
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1 Funzioni Dati due insiemi non vuoti A e B, si chiama funzione da A a B una relazione tra i due insiemi che a ogni elemento di A fa corrispondere uno e un solo elemento di B. A B
2 NOTAZIONE DELLE FUNZIONI Considerato un insieme A di elementi x e un insieme B di elementi y, una funzione da A in B è ogni relazione f che ad ogni elemento x di A associa uno e un solo elemento y di B. f : A B Se y è l elemento associato a x nella f si dice che x y = f(x) associa A D C B y è l immagine di x : y = f (x) (variabile dipendente) Viceversa, x è la controimmagine di y. (variabile indipendente) Dominio della funzione: A =D: gli elementi x di A che hanno un collegamento in B Codominio della funzione: insieme delle immagini (viene indicato con C ): gli elementi y di B che hanno un collegamento in A
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4 ...Esempi di funzione Sia A l insieme dei numeri naturali pari A= 0,2,4,6,8,10,12,14,16... e B l insieme dei numeri naturali B= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, La relazione è il doppio di determina una corrispondenza fra gli insiemi A e B; ad ogni elemento di A corrisponde uno, ed uno solo, elemento di B, perciò, la relazione è una funzione da A a B. f : A B x y = 1 2 x
5 COME TROVARE DOMINIO E CODOMINIO DALLA RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA DI UNA FUNZIONE
6 (blu) (rosso) (blu) (rosso) (blu) (rosso) (blu) (rosso)
7 Funzioni suriettive, iniettive, biunivoche (o biettive) Una funzione si dice: a. suriettiva se il codominio coincide con B, cioè gli elementi y di B sono tutte immagini di elementi x di A. Gli elementi y d B hanno almeno una freccia collegata. La funzione in fig.a è suriettiva se consideriamo come insieme B quello degli y che sono maggiori o uguali a - 2: ogni retta parallela all asse x la incontra in almeno un punto. b. iniettiva se a elementi distinti x di A corrispondono elementi distinti y di B. Gli elementi y di B hanno al massimo una freccia collegata. La funzione in fig.b è iniettiva: ogni retta parallela all asse x la incontra al massimo in un punto; c. biunivoca o biettiva se è sia suriettiva sia iniettiva. Gli elementi y di B hanno una e una sola freccia collegata La funzione in fig.c è biiettiva; ogni retta parallela all asse x la incontra in uno e un solo punto. 7
8 A Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche... Funzione iniettiva Funzione né iniettiva, né suriettiva A B B A Funzione biunivoca B A Funzione suriettiva B
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10 PROVA TU. Stabilisci tra le seguenti rappresentazioni grafiche, quali sono funzioni iniettive, suriettive o biunivoche (biettive) o né iniettive e né suriettive a. FUNZIONE.. b. FUNZIONE.. c. FUNZIONE.. d. FUNZIONE.
11 COME STABILIRE SE UNA FUNZIONE RISULTA INIETTIVA, SURIETTIVA O BIUNIVOCA DALLA RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA a. Funzione né iniettiva, né suriettiva b. Funzione biunivoca c. Funzione suriettiva d. Funzione biunivoca
12 PROVA TU. Stabilisci tra le seguenti funzioni, quali sono funzioni iniettive, suriettive, biunivoche (biettive) o né iniettive e né suriettive a. FUNZIONE.. b. FUNZIONE.. c. FUNZIONE.. d. FUNZIONE.
13 ALTRI ESEMPI. ESEMPIO y = 2x -1 - Suriettiva - Iniettiva - Biunivoca ESEMPIO Questi elementi y non sono immagini di nessun x y = x Non è suriettiva - Non è iniettiva: Es. +1, -1 hanno la stessa immagine 3
14 14 La funzione inversa Una funzione f : A B A è invertibile se la relazione che si ottiene scambiando gli insiemi e, cioè e, è ancora una funzione; la funzione inversa si indica con il simbolo ed è: B x B f -1 f -1 : B A y Î A Le funzioni suriettive e quelle iniettive non sono di norma invertibili, Le funzioni biunivoche sono sempre invertibili. Per trovare l equazione dell inversa di una funzione invertibile basta scambiare le x y y variabili e e risolvere l equazione ottenuta rispetto a. Il grafico della y x funzione inversa si ottiene per simmetria rispetto alla bisettrice.
15 ESEMPIO Troviamo l inversa della funzione y 3x 6 La funzione è invertibile perché è biunivoca; Troviamo l equazione dell inversa scambiando i ruoli di e Ricavando la y in funzione di x x= 3y + 6 x y 6 y x 3y = x y = x 6 y = x 6 3 y = 1 3 x 2 y 3x 6 Il grafico della funzione è quello in colore blu; quello dell inversa (in rosso) è il suo simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. 15
16 Funzione costante Una funzione f:a B si dice costante quando tutti gli elementi del dominio hanno la stessa immagine A B Funzione costante
17 Le funzioni numeriche (reali di variabile reale) La classificazione Possiamo classificare le funzioni in base alla forma dell espressione analitica che le definisce in: Funzioni algebriche: funzioni la cui espressione algebrica contiene solo operazione di addizione sottrazione, moltiplicazione e divisione, elevamenti a potenza ed estrazioni di radice nella variabile. x In tutti gli altri casi si dice che la funzione è trascendente. 17
18 Classificazione delle funzioni numeriche Funzioni numeriche Funzioni algebriche Funzioni trascendenti Razionali Irrazionali Intere Fratte Intere Fratte y = x 2-7x 5 y = 5- x x 2-3 y = x + 2 y = 2 x + 1 Goniometriche Logaritmiche Esponenziali y = sin x y = log(x + 1) y = e x 1
19 Il dominio naturale di una funzione Il dominio naturale di una funzione, detto anche insieme di definizione o campo di esistenza, è sempre un sottoinsieme dell insieme dei numeri reali R che dipende dalle operazioni che compaiono ( ) f x nell espressione di.. y = f ( x) Per esempio: La funzione y = x 4-6 ha dominio A=R y = 1 x 2-4 La funzione ha dominio l insieme esclusi i punti che annullano il denominatore: R x x ±2 DOMINO: A={tutto R escluso +2, -2} 19
20 Regole per la ricerca del Dominio delle funzioni razionali ed irrazionali FUNZIONE RAZIONALE INTERA Una funzione razionale intera è definita per qualsiasi valore della x. A=DOMINIO=R (tutti i numeri reali) Esempio. La funzione: y x 3 3x è definita per qualsiasi valore attribuito all incognita x. Pertanto il suo grafico si troverà in tutto il piano cartesiano.
21 FUNZIONE RAZIONALE FRATTA Una funzione razionale fratta non è definita per i valori della x che denominatore. annullano il Esempio. La funzione: y è definita per tutti i valori della x diversi da 1. x x A=DOMINIO={x 1 0 x 1} Pertanto il suo grafico si troverà in tutto il piano cartesiano escluso x=1.
22 FUNZIONE IRRAZIONALE CON INDICE PARI Una funzione irrazionale con indice di radice pari è definita per i valori della x che rendono il radicando non negativo. Esempio. La funzione: y x 2 2x DOMINIO A={x x 2 2x 0} 2 x 2x 0 x x 2 0 x 0 x 2
23 FUNZIONE IRRAZIONALE CON INDICE DISPARI Una funzione irrazionale con indice di radice dispari è definita per ogni numero reale x Esempio. La funzione: y = 3 x 2 1 DOMINIO A=R
24 Regole per la ricerca del Dominio delle funzioni trascendenti FUNZIONI LOGARITMICHE Nelle funzioni logaritmiche bisogna imporre l argomento del logaritmo strettamente maggiore di zero Esempio: y log(3 x) A= DOMINIO = {x (3-x)>0} 3 x 0 e quindi x 3 0 x 3 D : x R, x DOMINIO A = {x x<3} 3
25 FUNZIONI ESPONENZIALI Nelle funzioni esponenziali occorre invece soffermarsi sull esponente che a sua volta potrebbe rappresentare una espressione intera, fratta, irrazionale. Esempio: y = 2 x+1 DOMINIO A=R perché l esponente è una funzione razionale intera y = 2 1 x DOMINIO A={x 0} perché l esponente è una funzione razionale fratta
26 FUNZIONI GONIOMETRICHE Nelle funzioni goniometriche seno e coseno hanno come dominio tutti i numeri reali, occorre invece soffermarsi sull argomento che a sua volta potrebbe rappresentare una espressione intera, fratta, irrazionale. Esempio: y = sin x DOMINIO A=R y = cos(x 1) DOMINIO A=R y = cos( x) DOMINIO A={ x 0} dovuto al domino della radice di indice pari
27 FUNZIONI COMPOSTE CON PIU CONDIZIONI DI ESISTENZA Esempio y x 1 x 5 E una funzione irrazionale intera che contiene due radici; pertanto le due condizioni di esistenza delle radici devono valere contemporaneamente e quindi sarà necessario risolvere un sistema di disequazioni x x DOMINIO AD : x R, x 1 27
Esempi di funzione...
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