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1 1 IDENTITA ED EQUAZIONI Consideriamo la seguente uguaglianza: ( 2x + 3) 2 = 4x 2 +12x + 9 Diamo alcuni valori arbitrari all incognita x e vediamo se l uguaglianza risulta vera. Per x = 1 si avrà: ( ) 2 = ( 5) 2 = 25 Proviamo ora a dare alla x un altro valore: 25 = 25 Per x = - 2 si avrà: 2 #$ 2 ( 2) + 3% & = 4 ( 2 ) ( 2) + 9 = ( 1) 2 = = +1 Potremmo andare avanti così a provare a sostituire tutti i valori che vogliamo alla x e scoprire che la nostra uguaglianza è sempre vera, cioè risulta sempre verificata. Un uguaglianza che presenta queste caratteristiche si chiama IDENTITA Si definisce identità un uguaglianza fra due espressioni letterali che risulta sempre verificata per qualsiasi valore attribuito alla lettera o alle lettere che figurano in essa.

2 2 Consideriamo ora la seguente uguaglianza 4x = 8 Diamo alcuni valori arbitrari alla x e vediamo se l uguaglianza risulta vera. Per x = 1 si avrà: 4 1= 8 4 = 8 Come possiamo vedere l uguaglianza non risulta vera. Proviamo a dare altri valori alla x Per x = 2 4 ( 2) = 8-8 = 8 Come possiamo vedere, anche per x = 2 l uguaglianza non risulta vera. Potremmo provare a sostituire alla x altri valori, ma è abbastanza intuitivo capire che, solamente se diamo alla x il valore 2, la nostra eguaglianza sarà verificata. Infatti: 4 2 = 8 8 = 8 Quindi possiamo concludere che l uguaglianza 4x = 8 EQUAZIONE non è un identità ma assume il nome di Si definisce equazione un uguaglianza fra due espressioni letterali, o fra un espressione letterale ed una numerica, che risulta verificata solo per particolari valori attribuiti alla lettera o, alle lettere che figurano in essa.

3 3 Consideriamo la seguente equazione: 2x + 9 = 3x + 5 Questa presenta una sola incognita ( x) con esponente 1 ( sottointeso), per tale motivo viene detta equazione di primo grado ad un incognita Le due espressioni letterali separate dal simbolo di uguaglianza sono dette rispettivamente primo e secondo membro. 2x + 9 = 3x + 5 Primo membro secondo membro I monomi presenti nelle espressioni algebriche sono detti termini della equazione. Il termine che presenta la lettera prende il nome di termine incognito, mentre i termini che non contengono l incognita sono detti termini noti. 2x + 9 = 3x + 5 termine incognito termine noto termine noto termine incognito Risolvere un equazione significa trovare tutti i numeri, se ce ne sono, che sostituiti all incognita fanno diventare l uguaglianza vera. Tali valori numerici si chiamano radici o soluzioni dell equazione. EQUAZIONI EQUIVALENTI Due equazioni si dicono equivalenti se hanno la stessa soluzione Supponiamo di avere le due equazioni: 3x +1= 4 e 3x = 3 Le due equazioni hanno entrambi la stessa soluzione x =1, vediamo se è vero: 3 1+1= 4 e 3 1= 3 vero vero Pertanto, in base alla definizione, possiamo dire che le due equazioni sono equivalenti

4 4 PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri una stessa quantità si ottiene un equazione equivalente a quella data Supponiamo di avere la seguente equazione: Sommando al primo e al secondo membro -1 si avrà: 4x +1= 3x + 5 ( 1) 4x +1-1= 3x Semplificando avremo: cioè: 4x +1-1= 3x x = 3x ( 2) Ho ottenuto un equazione equivalente a quella data. Attenzione : ottenere un equazione equivalente non significa che l equazione resta uguale ma significa che ha la stessa soluzione, infatti la (1) e la (2) hanno come soluzione x = 4 Conseguenze del primo principio di equivalenza 1. Osservando la ( 1) e la ( 2) si può notare che +1 che si trovava al primo membro lo ritroviamo al secondo membro cambiato di segno, da qui la regola del trasporto che è una conseguenza del primo principio di equivalenza Regola del trasporto Si può trasportare un termine da un membro all altro purché lo si cambi di segno. 2. Data l equazione : 3x +1= 2x (1) Applicando la regola del trasporto si avrà: 3x = 2x e -1 al secondo membro si possono elidere perché opposti e rimane : 3x = 2x + 6 equazione equivalente a quella data cioè alla (1) con soluzione x = 6. Da qui la regola della cancellazione: Regola della cancellazione Se in entrambi i membri dell'equazione compaiono termini uguali, questi si possono elidere

5 5 SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Supponiamo di avere la seguente equazione: Questa ha per soluzione x =1. 8x + 4 =12 ( 1) Moltiplichiamo i due membri della ( 1) per un qualsiasi numero diverso da zero ad es. 4 Avremo: Svolgendo il prodotto si avrà: 4 ( 8x + 4) = 4 ( 12) 32x +16 = 48 Anche questa avrà per soluzione x =1 cioè abbiamo ottenuto un equazione equivalente alla ( 1) Proviamo ora a dividere i due membri della ( 1) per 2 Si avrà: Facendo la divisione si avrà: ( 8x + 4) : 2 =12 : 2 4x + 2 = 6 Anche questa avrà per soluzione x =1 quindi, anche in questo caso abbiamo ottenuto un equazione equivalente alla 1 ( ). Da qui il secondo principio di equivalenza che dice: Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una equazione per uno stesso numero diverso da zero o per una stessa espressione letterale si ottiene una equazione equivalente a quella data.

6 6 Conseguenze del secondo principio di equivalenza Se in un equazione intera compaiono frazioni o termini con coefficienti frazionari, è possibile ridurre entrambi i membri allo stesso denominatore e poi eliminare il denominatore comune Data l equazione: 2 3 x 3 5 x = 1 3 Calcoliamo il m.c.m. fra i denominatori dei due membri che è uguale a 15. Quindi avremo: 10x 9 15 Applichiamo il secondo principio di equivalenza e moltiplichiamo primo e secondo membro per 15 liberando così l equazione dal denominatore, cioè: otteniamo quindi: = 5 15 # 10x 9 & 15 % ( = 5 $ 15 ' x 9 = 5 In ogni equazione si può cambiare il segno di tutti i termini di entrambi i membri Ciò equivale a moltiplicare per -1 entrambi i membri dell equazione Es. 2x + 3 = x 5 ( 1) Moltiplicando i due membri per -1 si avrà: ( 1) ( 2x + 3) = ( 1) ( x 5) Cioè: +2x 3 = x + 5 Confrontando l equazione ottenuta con la ( 1) possiamo notare che tutti i segni dell equazione sono cambiati.

7 7 Forma normale di un equazione di primo grado Consideriamo la seguente equazione: 3x = 6 ( 1) E facile intuire che la soluzione di tale equazione è x = 2 Un equazione che si presenta sotto forma di : ax = b Si dice equazione ridotta in forma normale dove a e b rappresentano due numeri qualsiasi Se a è diverso da zero basta dividere primo e secondo membro per il coefficiente del termine incognito per ottenere la soluzione dell equazione, cioè: quindi possiamo dire che: ax a = b a semplificando si avrà x = b a La soluzione di un equazione di primo grado sotto forma normale è uguale al quoto del termine noto per il coefficiente dell incognita Es 12x = 25 Poiché l equazione è ridotta in forma normale possiamo ricavare subito il valore della x x = 25 12

8 8 Discussione dell equazione di primo grado Data l equazione generica : 1. Sia a 0 e b 0 Si avrà che : x = b a Essa, dunque, sarà una equazione DETERMINATA. 2. Sia a = 0 e b 0 Si avrà che : x = 0 a In questo caso, poiché non esiste alcun numero che moltiplicato per zero dia un numero diverso da zero, l equazione non ha nessuna soluzione e quindi è IMPOSSIBILE 3. Sia a = 0 e b = 0 Si avrà che: x = 0 0 In questo caso si avrà che l equazione ha infinite soluzioni perché qualsiasi valore diamo alla x l equazione risulta sempre soddisfatta; quando ciò si verifica l equazione si dice INDETERMINATA

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