1 Esercitazione tipo compitino

Transcript

1 1 Esercitazione tipo compitino Risolvo i primi due esercizi Esercizio 1. Sia g =: L B : R 4 R 4, la funzione definita da L B (X) = BX ove B = Si dimostri che L B è una funzione lineare (o omomorfismo), si descriva g in termini di coordinate di un vettore e si determinino equazioni Cartesiane per lo spazio immagine e per il nucleo; 2. si determinino una base per il nucleo e una base per l immagine; 3. si dica per quali vettori c R 4 il sistema BX = c ammette soluzione (è compatibile); 4. si determinino tutte e sole le soluzioni di BX = t (1, 2, 1, 4) descrivendole come sottospazio affine di giacitura??? SOLUZIONE. 1,2 Proviamo che la funzione g è lineare: in generale una funzione tra due spazi vettoriali V en W sul Campo K è lineare se valgono le due sguenti condizioni: (a) v 1, v 2 V risulta g(v 1 + v 2 ) = g(v 1 ) + g(v 2 ); (b) α K e v V, risulta g(αv) = αg(v): Siano dunque X, Y R 4. Per la proprietà distributiva del prodotto righe per colonne tra matrici, si ha B(X + Y ) = BX + BY, ovvero L B (X) + L B (Y ) = L B (X + Y ). Per la proprietà del prodotto per uno scalare risulta inoltre αbx = B(αX), ovvero αl B (X) = L B (αx) 1

2 Per descrivere g tramite le coordinate, semplicemente scrivo g t (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = t (x 2 +x 3 +2x 4, x 1 x 3 x 4, x 2 x 3 2x 4, x 1 +2x 2 +x 3 +3x 4 ) Per determinare Ker(g), basta trovare le soluzioni del sistema lineare omogeneo BX = 0. Applicando l eliminazione di Gauss alla matrice B, ottengo che il sistema è equivalente al sistema B X = 0, dove ( ) B = Equazioni cartesiane per Ker(g) sono pertanto { x 1 x 3 x 4 = 0 x 2 + x 3 + 2x 4 = 0 Si trova inoltre che una base B Ker(g) = { t (1, 1, 1, 0), t (1, 2, 0, 1)}. (ricordo che per determinare una base, dato che ho 4 incognite e due equazioni, con due incognite libere, x 3 e x 4, è sufficiente trovare due vettori linearmente indipendenti di Ker(g), dando valori alle incognite x 3 e x 4 e determinando x 1 e x 2 di conseguenza. Per trovare il primo vettore ho scelto x 3 = 1, x 4 = 0, per trovare il secondo ho scelto x 3 = 0, x 4 = 1) Per quanto riguarda lo spazio immagine, un vettore appartiene a Im(g) se e solo se è combinazione lineare delle colonne B 1, B 2, B 3, B 4 della matrice B. Si riconosce facilmente che il massimo numero di colonne linearmente indipendenti è 2 e che B 1 e B 2 costituiscono una base per Im(g). Le equazioni parametriche di Im(g) sono: c = λb 1 + µb 2, λ, µ R. Per trovare le equazioni cartesiane posso scrivere c = t (α, β, γ, δ) e eliminare i parametri λ e µ, oppure notare che il sistema BX = t c è equivalente al sistema SX = t c, con S =

3 e t c = (β, α, γ + α, β δ + 2α). Se il sistema deve essere risolubile, occorre che sia γ + α = 0 = β δ + 2α. le equaxioni delo spazio immagine sono dunque: { α+ γ = 0 β δ+ 2α = 0 Abbiamo provato i primi due punti dell esercizio. 3 Anche il punto 3 è gia fatto: c = t (α, β, γ, δ) Im(g) γ + α = 0 = β δ + 2α 4 Dalla teoria (si veda la soluzione dell esercizio 4), sappiamo che se f : V W è un applicazione lineare tra gli spazi V e W e w 0 = f(v 0 ) Im(f), allora f 1 (w) = {v V : f(v) = w 0 } = Ker(f) + v 0. Nel nostro caso dunque si tratta di trovare una soluzione del sistema BX = t (1, 2, 1, 4). Tale soluzione è ad esempio v 0 = t (2, 1, 0, 0). Pertanto l insieme delle soluzioni è lo spazio affine Ker(g)+ t (2, 1, 0, 0), di giacitura Ker(g). OSSERVAZIONE Al posto di t (2, 1, 0, 0) si può scegliere una qualsiasi soluzione di BX = t (1, 2, 1, 4) Esercizio 4. Siano V e W due spazi vettoriali sul campo K 1. si dia la definizione di applicazione lineare f tra V e W, di nucleo di f, Ker(f) e di Im(f), 2. si dimostri che ker(f) e Im(f) sono sottospazi vettoriali rispettivamente di??? e di??? 3. se w 0 Im(f), si dimostri che f 1 (w 0 ) = {v V : f(v) = w 0 } è un laterale di W = Ker(f), ovvero f 1 (w 0 ) = W + v 0, dove f(v 0 ) = w 0 Soluzione 3

4 1. Una funzione f tra due spazi vettoriali V en W sul campo K è lineare se valgono le due sguenti condizioni: (a) v 1, v 2 V risulta g(v 1 + v 2 ) = g(v 1 ) + g(v 2 ); (b) α K e v V, risulta g(αv) = αg(v): Il nucleo di f, Ker(f) è così definito: L immagine di f è invece Ker(f) = {v V : f(v) = 0 W } V ; Im(f) = {w W : v V : f(v) = w} W 2. Dimostriamo che sono sottospazi vettoriali rispettivamente di V e di W : Ker(f): a) Ker(f) poiché 0 V Ker(f): infatti v V, f(v) = f(v + 0 V ) = f(v) + f(0 V ) e quindi f(0 V ) = 0 W e 0 V Ker(f); b) Siano v 1 e v 2 Ker(f). Allora f(v 1 + v 2 ) = f(v 1 ) + f(v 2 ) = 0 W + 0 W = 0 W e quindi Ker(f) è chiuso rispetto alla somma. c) Sia α K e v Ker(f). Allora f(αv) = αf(v) = α0 W = 0 W e quindi Ker(f) è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare. 3. Ricordiamo che in generale, se T è un sottospazio di V, un laterale di T in V (detto anche spazio affine di giacitura T ) è un elemento dello spazio quoziente V/T ed è l insieme T + v 0 = {v V : t T, v = t + v 0 }; inoltre un laterale è individuato da un qualsiasi elemento che vi appartiene; ovvero: T + v 1 = T + v 2 per ogni v 2 T + v 1, o ancora T + v 1 = T + v 2 v 1 v 2 T. Sia dunque v 0 V tale che f(v 0 ) = w 0. Vogliamo dimostrare: Ker(f) + v 0 = f 1 (w 0 ). Sia pertanto t + v 0 Ker(f) + v o : risulta f(t + v 0 ) = f(t) + f(v 0 ) = f(v 0 ) = w 0, poichè t Ker(f), provando che Ker(f) + v 0 f 1 (w 0 ); viceversa, sia v f 1 (w 0 ); si ha allora w 0 = f(v) = f(v 0 ) e quindi f(v) f(v 0 ) = 0 W da cui segue che v v 0 = t Ker(f) e quindi v = t + v 0 Ker(f) + v 0. 4

5 Esercizio Sia r R 3 la retta (affine) congiungente i punti (3, 1, 2) t e (0, 2, 1) t. Trovare equazioni Cartesiane e rappresentazione parametrica per r; 2. stabilire se r è un sottospazio vettoriale di R 3 ; 3. determinare la distanza tra r e l origine; 4. determinare l equazione di un piano Φ per il punto (1, 1, 1) t che sia perpendicolare a r. Esercizio 3. Sia A uno spazio vettoriale reale con n = dim(a) < si dia la definizione di insieme di vettori linearmente indipendenti, di sistema di generatori e di base per A; 2. dati due sottospazi B e C di A, si dimostri che B C è un sottospazio di A; si definisca lo spazio somma B+C e si dimostri che è un sottospazio; 3. si enunci il Teorema (formula) di Grassmann che lega dim(b + C) e...; 4. Lo si dimostri. 5