(per popolazioni finite)

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1 Se o è oto I geere lo carto quadratico medio della popolazioe, al pari della media μ, o è oto. Pertato, per otteere u itervallo di cofideza per la media della popolazioe, occorre utilizzare la deviazioe tadard del campioe. Al poto dell errore medio σ X = σ tadard timato: X = X = 1 N (per popolazioi fiite) Dove è la deviazioe tadard del campioe utilizziamo l errore Eercizio: tima ad itervallo co o oto Su u campioe di 120 itervitati i è rilevata ua pea media meile per telefoate u cellulare di 15 euro co carto quadratico medio di 5,4. Aumedo che la popolazioe è ditribuita i modo ormale, timare la pea media ella popolazioe di riferimeto, co u livello di fiducia del 95,45%. Come procedere 1. Idividuare il valore di z /2 corripodete al livello di fiducia del 95,44%. 2. Utilizzare il valore z per cotruire gli itervalli di cofideza, timado l errore tadard mediate lo carto quadratico medio del campioe. X Zα 2 1 μ X + Zα (5.4/ 119 ) μ (5.4/ 119 ) 14,01 μ 15,99 Poiamo duque affermare che a partire dalla pea media rilevata ul campioe di 15 euro, la pea media della popolazioe, è comprea tra 14,01 e 15,99 euro, co u livello di fiducia del 95,45% e co ua probabilità del 4,55% che ia etera (maggiore o miore) a queto itervallo. 1

2 Eercizio Su u campioe di 110 puti vedita i è rilevato che il prezzo di vedita di u oto modello di cellulare è di 355 euro, co uo carto quadratico medio di 16 euro. Aumedo che la popolazioe ia ditribuita i modo ormale, timare il prezzo di vedita di quel prodotto ella popolazioe di riferimeto, co u livello di cofideza del 99,73%. Se o è oto: approfodimeti Negli eercizi precedeti i cui era grade (>100), ache quado o era oto, abbiamo utilizzato l errore tadard timato e abbiamo fatto riferimeto, per emplicità, alla ditribuzioe ormale tadard. I realtà, e la variabile cauale X ha ua ditribuzioe ormale allora la tatitica : t = X μ ha ua ditribuzioe t di Studet co () gradi di libertà. Ua t di Studet co molti gradi di libertà (>100) i approima ad ua ditribuzioe ormale tadard. Tuttavia per u umero iferiore di gradi di libertà e duque al dimiuire di la ditribuzioe t di Studet differice da quella ormale e duque ivece della variabile z i utilizza t. 2

3 T di tudet La ditribuzioe t di Studet ha ua forma imile a quella della ormale tadardizzata. Il grafico è più appiattito e l area ottea ulle code è maggiore di quella della ormale perché il fatto che o è oto e viee timato da, è fote di icertezza e duque di maggiore variabilità di t. La ditribuzioe T è immetrica ripetto alla media 0 e la forma dipede dal umero dei gradi di libertà Gdl o v=( -1) Se è grade la ditribuzioe T i approima alla curva ormale. Itervalli di cofideza co la T di Studet gli itervalli di cofideza vegoo cotruiti facedo riferimeto a valori di t i corripodeza di u dato livello di cofideza e dei gradi di libertà (gdl o v=-1). Gli itervalli: x ± t 0,05 icludoo il valore icogito µ co il 95% di probabilità x ± t 0,01 icludoo il valore icogito µ co il 99% di probabilità I valori t α dipedoo dal umero di gradi di libertà e vegoo idividuati utilizzado appoite tavole. 3

4 La tavola della T di tudet La tavola forice i valori critici per la ditribuzioe t. La coloa a iitra cotiee il umero dei gradi di libertà, metre le altre coloe dao i valori di t i corripodeza dei vari livelli di igificatività, cioè le porzioi di area elle due code della ditribuzioe. Quidi =0,050 corripode a due aree /2=0,025, a detra e a iitra della ditribuzioe. Eercizio: tima ad itervallo co o oto e piccolo Su u campioe di 30 itervitati i è rilevata ua pea media meile per igarette elettroiche di 58 euro co carto quadratico medio di 4 euro. Aumedo che la popolazioe è ditribuita i modo ormale, timare la pea media ella popolazioe di riferimeto, co u livello di fiduciaa del 95%. Come procedere 1. Calcolare = (1-0,95)=0, Calcolare i gradi di libertà v= (-1) 3. Cercare ulla tavola della t di Studet il valore di t i corripodeza del valore e di v. 4. Idividuare il valore di t corripodete. 3. Utilizzare il valore t per cotruire gli itervalli di cofideza X t α 1 μ X + t α ,045 (4/ 29 ) μ 58 +2,045 (4/ 29 ) 56,48 μ 59,52 Poiamo duque affermare che a partire dalla pea media rilevata ul campioe di 58 euro, la pea media della popolazioe, è comprea tra 56, ,52 euro, co u livello di fiducia del 95% e co ua probabilità del 5% che ia etera (maggiore o miore) a queto itervallo. 4

5 Eercizio Su u campioe di 25 doe i è rilevato u coumo medio di alcol ettimaale di 9 uità co uo carto quadratico medio di 2,5 uità. Aumedo che la popolazioe è ditribuita i modo ormale, timare il coumo medio della popolazioe di riferimeto, co u livello di fiducia del 99%. Come procedere 1. Calcolare = (1-0,99)=0,01 2. Calcolare i gradi di libertà v= (-1) 3. Cercare ulla tavola della t di Studet il valore di t i corripodeza del valore e di v. 4. Idividuare il valore di t corripodete. 3. Utilizzare il valore t per cotruire gli itervalli di cofideza 9 2,797 (2,5/ 24 ) μ 9 +2,797 (2,5/ 24 ) 7,57 μ 10,42 X t α 1 μ X + t α 1 Quado il parametro da timare è ua proporzioe Speo elle ricerche di mercato le tatitiche che itereao o oo eprei i valori medi, ma i proporzioi. Si è itereati ad eempio a coocere la proporzioe di clieti oddifatti o ioddifatti, oppure di coumatori di u determiato prodotto. Ua volta rilevate quete proporzioi u u campioe come poiamo procedere a timare la proporzioe reale ella popolazioe di riferimeto? Ache i queto cao poiamo procedere aalogamete alla tima dei valori medi, poiché la ditribuzioe delle proporzioi campioarie p, tede, e è grade a ditribuiri ecodo ua ditribuzioe ormale, co co media: E(p) =P dove P è la proporzioe reale ella popolazioe e variaza : Var (p) = PQ/ dove Q=(1-P) (popolazioe, o fiita co qualuque tipo di etrazioe; popolazioe fiita co etrazioe co ripetizioe, >30) ) Var (p) = PQ/ [(N-)/(N-1)] (popolazioe fiita co etrazioe eza ripetizioe) 5

6 Poiamo duque procedere aalogamete a quato abbiamo fatto per timare i valori medi, ache el cao di proporzioi. Sappiamo ifatti che: Per grade, o per popolazioi o fiite, o ell etrazioe co ripetizioe: il 68.26% delle proporzioi dei campioi è compreo tra P ± PQ il 95.44% tra P ± 2 PQ il 99.73% tra P ± 3 PQ Per popolazioi il 95.44% tra fiite, P ± ell etrazioe 2 PQ eza ripetizioe: il 68.26% delle proporzioi dei campioi è compreo tra PQ N il P 99.73% ± tra P ± 3 PQ N 1 il 95.44% tra P ± 2 PQ N N 1 il % tra P ± 3 PQ N N 1 Eercizio Su u campioe di =100 egozi, riulta che 40 hao adottato u uovo orario di apertura. Perciò la proporzioe campioaria è di 0,40. Da altre idagii di fote ufficiale riulta ivece che la porzioe di egozi i tutta la zoa che hao adottato il uovo orario è del 36%, quidi la proporzioe della popolazioe è di 0,36. Quale è la probabilità di otteere u campioe che ha ua proporzioe uperiore di 0,40 e quella della popolazioe è di 0,36? Facedo riferimeto alla ditribuzioe delle proporzioi campioarie la proporzioe media di tutti i poibili campioi di 100 uità etraibili dalla popolazioe i ditribuice ormalmete co media: E(p) =P =0,36 e errore medio delle proporzioi: Var (p) = PQ/ = 0,048 Z= 0,40 0,36 0,048 = 0,83 Come procedere 1. Trovare il valore medio e l errore tadard delle proporzioi campioarie 2. Calcolare il valore tadardizzato 3. Diegare la ditribuzioe ormale 4. Calcolare la probabilità ulla tavola della ditribuzioe ormale 5. Trarre le cocluioi La probabilità di otteere u campioe co ua proporzioe -uperiore a 0,40 è di (1-0,7967)=0,2033 = 20% Quidi il 20% 6

7 Itervallo di cofideza per proporzioi p zα 2 PQ PQ P p + zα 2 A partire dalla proporzioe del campioe p poiamo cotruire u itervallo di valori ottraedo e ommado z /2 e moltiplicado per l errore. Come appiamo z /2 è il valore a cui corripode u area cumulata della ditribuzioe ormale tadardizzata pari a (1- /2 ). Se è grade poiamo uare la proporzioe p del campioe come buoa approimazioe della proporzioe della popolazioe el calcolo dell errore tadard: p = pq Eercizio: tima ad itervallo di ua proporzioe Su u campioe cauale emplice di 150 itervitati i è rilevata che la percetuale di oggetti che legge u quotidiao è del 40%. Stimare la vera percetuale di lettori di quotidiai ella popolazioe, co u livello di fiducia del 95,45% e del 99%. Come procedere: 1. Idividuare il valore di z corripodete a livello di fiducia richieto. 2.Utilizzare il valore z per cotruire gli itervalli di cofideza pq p Zα 2 P p + Zα pq 2 Attezioe p o è la percetuale, ma la proporzioe!! 0,40 2 0,40 2,58 0,40 0, ,40 0, (1- )=95% P 0, ,32 P 0,48 (1- )=99% P 0,40 + 2,58 0,30 P 0,50 0,40 0, ,40 0, Poiamo duque affermare che a partire dalla percetuale rilevata ul campioe, la percetuale di lettori di quotidiai ella popolazioe di riferimeto è comprea tra il 32% e il 48% co u livello di fiducia del 95,45% e tra il 30% e il 50% co u livello di fiducia del 99%. 7

8 Eercizio I u campioe di 80 itervitati, 36 clieti hao detto di preferire l hotel Royal agli altri hotel della zoa. A- Si vuole applicare il riultato all itera popolazioe di riferimeto, co u livello di cofideza del 95%. Quale itervallo di gradimeto i ottiee per l hotel Royal? B- Se i decide di etedere la rilevazioe a 250 clieti otteedo ua percetuale di prefereze per l hotel Royal del 48%, quali oo i uovi itervalli di cofideza? Come procedere: 1. Calcolare la proporzioe p di clieti che prefericoo l hotel Royal 2. Calcolare l errore tadard delle proporzioi 3. Idividuare il valore di z corripodete a livello di fiducia richieto. 4. Utilizzare il valore z per cotruire gli itervalli di cofideza p Zα 2 pq P p + Zα pq 2 Ripota A p=36/80=0,45 p = pq 0,45 (1 0,45) = = 0, ,45 1,96 0,056 P 0,45 + 1,96 0,056 0,34 P 0,56 Eercizio Da ua ricerca di mercato effettuata u u campioe di 200 itervitati riulta che olo 100 idividui oo a favore della cotruzioe di u cetro commerciale. A- Si timi la proporzioe della popolazioe a favore della cotruzioe calcolado l itervallo di cofideza al 95,45% B- Se l imprea che cotruice il cetro commerciale otiee che ella popolazioe il 60% è a favore della cotruzioe, qual è la probabilità di avere u campioe di 200 peroe co la proporzioe miore o uguale a quella che abbiamo oervato e la vera proporzioe della popolazioe è dello 0,6? L imprea ha ragioe o torto? 8

9 Itervallo di cofideza 95,45% 0,5±2 0,50 (1 0,50) = (0,465; 0,535) 200 Probabilità di avere u campioe co p 0,50 e P=0,60 Errore tadard = 0,60 (1 0,60) 200 = 0,035 z= 0,50 0,60 0,035 =-2,86 Pr (z -2,86)= 0,02 9