FONDAMENTI DI AUTOMATICA 11 novembre 2018 Prima prova in itinere Cognome Nome Matricola

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1 FONDAMENTI DI AUTOMATICA novembre 28 Prima prova in itinere Cognome Nome Matricola Verificare che il fascicolo sia costituito da 7 pagine compresi il foglio di carta semilogaritmica. Scrivere le risposte ai singoli esercizi negli spazi che seguono ogni domanda. Oltre alla firma apposta su questo frontespizio, siglare tutti i fogli di questo fascicolo in alto a destra. Non consegnare fogli addizionali. Non scrivere sul retro. Non si possono consultare libri, appunti, dispense etc.. Si consideri il sistema dinamico descritto dalle seguenti equazioni + +. Calcolare i valori di per cui il sistema è asintoticamente stabile. La chiarezza e precisione nelle risposte saranno oggetto di valutazione ( ) + + ( + ) (6 + ) Affinchè il sistema sia ansintoticamente stabile deve essere: 6 + > che è sempre valida per qualsiasi reale..2 Per calcolare il movimento dello stato in corrispondenza della condizione iniziale () e dell ingresso costante 6., Il movimento libero è Il movimento forzato è Quindi si ha () + () ( 6) ( ) ( ) ( ) ( ).3 Sempre per calcolare il valore costante dell ingresso in corrispondenza del quale lo stato evolve dalla condizione iniziale () al valore asintotico. La soluzione si può ricavare in due modi.

2 Partendo dall espressione del movimento dello stato, il movimento libero è nullo per condizioni iniziali nulle (e comunque sarebbe asintoticamente nullo dal momento che il sistema è asintoticamente stabile) e quindi resta il movimento forzato che, per un generico ingresso costante risulta e asintoticamente si ottiene Per ottenere deve essere 6. Alternativamente si poteva usare direttamente l equazione di equilibrio da cui si ricava il medesimo risultato. 2. Si consideri il sistema dinamico descritto dalle seguenti equazioni Calcolare stato ed uscita di equilibrio in corrispondenza dell ingresso costante Linearizzare il sistema nell intorno dello stato di equilibrio con la prima componente positiva. (, ) (, ) 27 (, ) [ ] (, ) 2.3 Giudicare la stabilità dell equilibrio La matrice di stato del sistema lineare tangente ha autovalori reali negativi in 27 e per cui l equilibrio è asintoticamente stabile. 2

3 3. Si consideri il sistema dinamico descritto dal seguente schema a blocchi u(t) G (s) y(t) G 2 (s) + _ 3. Dire, motivando la risposta, quali condizioni devono soddisfare e affinchè il sistema complessivo sia asintoticamente stabile. Il sistema descritto da è in serie al successivo sistema retroazionato, per cui deve essere asintoticamente stabile, ovvero le radici del suo denominatore devono avere parte reale strettamente negativa. Il successivo sistema retroazionato ha funzione di trasferimento + e anche questa deve essere asintoticamente stabile. Volendo si può essere più specifici, definendo e calcolando da cui si ottiene la condizione che le radici del polinomio + devono avere parte reale strettamente negativa. 3.2 Sia. Dire quali condizioni deve soddisfare la funzione di trasferimento affinchè l uscita a transitorio esaurito sia. ( ) quando l ingresso è ( ) Per il teorema della risposta in frequenza si ha: e ( ) ( ) + ( ). ( ) ( ) + ( ) Volendo si può proseguire ed osservare che ( ). (è un numero reale positivo). Dal momento che ( ) + ( ) si deduce che anche ( ) è un numero reale. In particolare, ( ) deve essere o un numero reale positivo oppure un numero reale negativo minore di. Dall equazione in modulo si ottengono le due soluzioni ( ) oppure ( ), delle quali solo la prima è accettabile per la condizione sulla fase. Quindi ( ). 3.3 Sia. Calcolare la funzione di trasferimento per cui l uscita è. + +., in corrispondenza dell ingresso. La trasformata di Laplace dell uscita è ( + )( + 2 ) 2 ( +.2)( +.) 6 ( +.) + 3 ( +.2) ( +.2)( +.) 2 ( +.2)( +.) 3

4 Essa è la risposta allo scalino, cioè Si ha quindi che da cui si ottiene + 3. Sia. Trovare una funzione di trasferimento del primo ordine strettamente propria tale che il tempo di assestamento della risposta allo scalino sia e che il valore di regime dell uscita sia sempre pari all ampiezza dello scalino in ingresso. Dal momento che deve essere del primo ordine e strettamente propria essa sarà + Il sistema complessivo ha quindi funzione di trasferimento ( + )( + ) Poiché viene richiesto, si ha che la costante di tempo del polo dominante del sistema complessivo dovrà essere circa τ. Quindi è una buona scelta. Inoltre, dal momento che viene specificato che il valore di regime dell uscita deve essere sempre pari all ampiezza dello scalino in ingresso, il guadagno del sistema dovrà essere unitario e quindi. Quindi: +. Si consideri il sistema con ingresso ed uscita descritto dalla funzione di trasferimento con > Determinare il valore del parametro tale per cui l ampiezza dell uscita sinusoidale di regime in risposta all ingresso ( ) sia uguale a. Per il teorema della risposta in frequenza: ( ) + + ( ) + da cui ( ) ( ) ( ) ( 96) + () 8,2 Da cui si deduce che 82,.

5 .2 Ponendo ora, tracciare l andamento qualitativo del diagramma asintotico di Bode del modulo della risposta in frequenza di. db. Enunciare il teorema della risposta in frequenza. Vedi slide/appunti/libro.