Corso di Laurea in Ingegneria Edile Prova scritta dell esame di Analisi Matematica I (M-Z).C

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1 Analisi Matematica I (M-Z).C ) Data la funzione h(x) = x log(x x + x + ) + log(1 + ) determinarne il dominio D. Provare poi che h(x) > 0 x D ]0, + [, h(x) = 0 x = 0. ) Utilizzando i risultati del precedente esercizio, provare dapprima che la successione a 1 = 1, a n+1 = log(a n a n + a n + ) log(1 + ) n N é a termini positivi, studiandone poi il comportamento per n +. 3) Data la funzione x + x x x ], 1[ ]0, + [ f(x) = sin(πx) x ] 1/, 0] x + x x [ 1, 1/] determinare gli eventuali punti di massimo e minimo relativo di f, precisando se si tratta di punti di massimo e minimo assoluto. 4) Calcolare il seguente integrale π/4 π/4 cos xlog(1 + cos x) 1 cos x dx

2 Analisi Matematica I (M-Z).C ) Provare, attraverso l uso del Principio di Induzione, che a 1 + a a n b 1 + b b n { } ai max : i = 1,,...n b i qualunque siano i numeri reali positivi a 1, a,...a n, b 1, b,...b n con n. ) Determinare la monotonìa della successione ( ) n! n n en e quindi i valori del parametro reale x per i quali converge la serie n! n n xn. 3) Data la funzione x + x x x ], 1[ ]0, + [ f(x) = sin(πx) x ] 1/, 0] x + x x [ 1, 1/] determinare gli eventuali punti angolosi di f, scrivendo le equazioni delle rette tangenti al grafico in tali punti. 4) Studiare la sommabilità della funzione f(t) = 1 (t + 1) t + t + t ] 1, 0], f( 1) = 0 nell intervallo [ 1, 0]. Determinare poi, sia in caso di sommabilità che in quello di non sommabilità, il valore dell integrale della f nell intervallo considerato, giustificando la risposta.

3 Analisi Matematica I (M-Z).C ) Studiare il seguente insieme numerico X = { n } n + 36 : n N determinandone gli estremi inferiore e superiore, precisando se si tratta di minimo o massimo. ) Studiare la successione a 1 = 1, a n+1 = 3 + a n 1 + a n n N 3) Data la funzione f(x) = 3 x x determinarne il dominio e gli eventuali punti di flesso. 4) Sia f : [0, + [ R una funzione derivabile tale che lim f (x) = l R x + Provare che f é uniformemente continua in [0, + [. 5) Calcolare l integrale seguente π cos 3 x dx

4 Analisi Matematica I (M-Z).C ) Dato un insieme non vuoto e limitato di numeri reali X, si denoti con Y l insieme dei valori assoluti degli elementi di X. Dimostrare che sup Y inf Y sup X inf X. ) Calcolare il seguente lim n log(n + 1) logn ( ). sin 1 n sin 1 n 1 3) Studiare la serie e n 1 n e n e, in caso di convergenza, calcolarne la somma. 4) Data la funzione f(x) = x 1 x + determinarne il dominio D. Dire poi se essa risulta iniettiva negli insiemi D ], 0[ e D ], + [. 5) Calcolare l integrale seguente 1 x( + x + x) dx x > 0

5 Analisi Matematica I (M-Z).C ) Determinare il carattere della serie numerica al variare del parametro x R. ) Studiare la funzione n=1 f(x) = x n n logn x3 1 Determinare, poi, l insieme immagine, giustificando la risposta. 3) Calcolare l integrale seguente x dx [ ] (x 1) 3 x x 1 4) Data una funzione f : [0, + [ [0, + [ continua, decrescente e sommabile in [0, + [, provare che lim x + f(x) = 0 Dire poi se il precedente risultato continua a valere senza l ipotesi f è decrescente, giustificando la risposta.

6 Analisi Matematica I (M-Z).C ) Studiare la successione seguente definita per ricorrenza ponendo a 1 = 3, a n+1 = 1 + a 3 n 1 a n n N ) Studiare la funzione f(x) = arctg x x 1 + log(x x + 1) Dire, poi, se f è invertibile per x domf [3/4, + [, giustificando la risposta. 3) Calcolare l integrale dx x x + x + 1 4) Data una funzione f : [0, + [ R derivabile tale che f (x) = 1 + f(x)arctgf(x), x [0, + [ dimostrare che f è crescente e che lim x + f(x) = +.

7 Analisi Matematica I (M-Z).C ) Determinare il carattere della serie numerica n=1 (n 3) n n n+1 ) Determinare estremo inferiore ed estremo superiore dell insieme al variare del parametro λ [0, ]. 3) Studiare la funzione { } λ n X = 1 + λ n : n N f(x) = x 1 e x 4) Sia f : R R una funzione continua tale che Provare che lim f(x) = a R x + x+1 lim f(t)dt = a x + x Vale l implicazione inversa? Giustificare le risposte.

8 Analisi Matematica I (M-Z).C ) Calcolare il limite seguente al variare del parametro x [0, ]. ) Studiare la funzione lim n + n 1 + nx n f(x) = e log x x 3) Calcolare l integrale seguente + 1 x + x 1 x(x + 3) dx 4) Data la funzione f(x) = x 0 sin t 1 + t dt provare che essa è pari ed uniformemente continua in R.

9 Analisi Matematica I (M-Z).C ) Determinare il carattere della serie numerica al variare del parametro x R. ) Data la funzione n=1 x 4n n3 n f(x) = x 3/5 (1 + x) /5 determinare gli eventuali punti cuspidali e gli eventuali punti di flesso a tangente verticale per il grafico di f, giustificando le risposte. 3) Calcolare l integrale seguente π 0 dx cos x 4) Data una funzione f :]1, + [ R convessa (o concava) dotata di derivata prima, provare che lim f(x) = l R = lim f (x) = 0 x + x + Dire poi se il precedente risultato continua a valere senza l ipotesi f è convessa (o concava). Giustificare le risposte.

10 Analisi Matematica I (M-Z).C ) Calcolare il limite seguente lim n 3 n n log 1 n sin 1 n ) Studiare la funzione 3) Calcolare l integrale f(x) = + 3 x x x + x + 1 dx x x 4) Sia a n una serie numerica assolutamente convergente. Provare che a n è una serie convergente. Dire poi se il precedente risultato continua a valere se l ipotesi di assoluta convergenza è sostituita da quella di sola convergenza. Giustificare le risposte.

11 Analisi Matematica I (M-Z) ) Determinare il carattere della serie numerica n=3 x n log (log n) al variare del parametro x R. ) Studiare la funzione 3) Calcolare l integrale seguente f(x) = 1 + logx x 7 dx x + x + 4) Sia data una funzione f : [a, b] R continua e derivabile, per la quale esistono n, n, zeri x 1, x,...x n [a, b] a due a due diversi. Provare che f ha almeno n 1 zeri in ]a, b[.

12 Analisi Matematica I (M-Z) ) Studiare la successione seguente definita per ricorrenza ponendo a 1 = 1, a n+1 = 1 a n + a n. ) Provare che per x > 1 si ha x x + 1 log(x + 1) x. 3) Dire se la funzione seguente f(x) = x 4 risulta sommabile in [0, 1[. 4) Siano a n una serie numerica assolutamente convergente e (b n ) una successione limitata. Provare che a n b n è una serie assolutamente convergente. Dire poi se il precedente risultato continua a valere se l ipotesi di assoluta convergenza su a n è sostituita da quella di sola convergenza, sempre sotto l ipotesi di limitatezza su (b n ). Giustificare le risposte.

13 Analisi Matematica I. C ) Studiare la successione definita per ricorrenza seguente a 1 = 4, a n+1 = 1 ( a n + 4 ). a n ) Determinare il carattere della serie numerica n=1 [ ( log ) 1 ]. n n 3) Studiare la funzione seguente 4) Calcolare l integrale seguente 3 1 f(x) = (sin x + cos x) cos x { (1 x 1 x ) cos x } sin x + (1 x + 1 x ) 3x + 1 (1 x)(x dx. 5x + 6)

14 Analisi Matematica I. C ) Studiare la successione definita per ricorrenza seguente a 1 = 1, a n+1 = a n log(1 + a n ). ) Dire per quali p ]0, + [ si ha e x 1 x lim x 0 + x p = 0. 3) Studiare la funzione f(x) = x + 3 x 1 x + 1 x (x 1 + x 1 ) + e x 1 (x 1) 1 x 4) Calcolare l integrale 1 0 log 3 x + logx x 1 + log 4 x dx

15 Analisi Matematica I. C ) Calcolare il limite seguente [ lim log(1 + n x n ) log(n + x n ) ] n al variare del parametro reale x. ) Dire per quali h R si ha x + x (x + 1)log(x + 1) + h 0 x > 1. 3) Studiare la funzione f(x) = 4) Calcolare il seguente integrale ( arctg 1 ) ( x + x + x x 1 x ) ( x x x + 1 π ) ( 1 + x ) x [ ] (xe x + e x )log x ex dx. x

16 Analisi Matematica I. C ) Data la funzione f(x) = xe x determinarne il dominio X e, quindi, l estremo inferiore e l estremo superiore in X. ) Studiare il carattere della serie seguente + n=1 sin 1 n ( 1 n 1 ) n n ) Studiare la funzione f(x) = arctg x 1 x log x 1 x + 1 π 4 4) Calcolare il seguente integrale π 0 (sin x + 1) cos x cos x + sin x + 1 dx.

17 Analisi Matematica I. C ) Determinare l estremo inferiore e l estremo superiore della successione di termine generale n + 3 a n = log 1 n IN. n ) Determinare il carattere della serie numerica n=1 n ( 4 n ) n. n 3) Studiare la funzione seguente f(x) = x + x x + 1 4) Calcolare l integrale seguente cos x(1 + sin x) sin x + sin dx. x cos x

18 Analisi Matematica I. C ) Studiare la successione definita per ricorrenza a 1 = 1, a n+1 = 4a n + a n + 3 n IN. ) Data la funzione f(x) = (x )e x x 1 determinarne il dominio X e quindi studiarne la invertibilità negli insiemi X [0, ] e X ]1, + [. 3) Studiare la funzione 4) Calcolare l integrale f(x) = (x 1)e x x x x 1 x dx

19 Analisi Matematica I. C ) Calcolare il limite seguente lim n 4n + n n e quindi il limite seguente lim n ( sin π 4n + ) n. ) Data la funzione f(x) = x 1 x 3 determinarne il dominio X e quindi studiarne la invertibilità negli insiemi X ]0, + [ e X ], 3/[. 3) Studiare la funzione f(x) = log x + 1 arctgx + π 4 4) Calcolare il seguente integrale e x ex e x e x e x dx.

20 Analisi Matematica I. C ) Determinare l estremo inferiore e l estremo superiore della successione di termine generale a n = cos ( 1)n πn n IN. 4(n + 1) ) Data la funzione determinarne dominio e codominio. 3) Studiare la funzione 4) Calcolare il seguente integrale f(x) = log[ x + 3x + (x + 1)] f(x) = 1 log x x dx (x + 1) x + x + 1.

21 Analisi Matematica I ) Determinare il carattere della serie numerica + n=1 ( e n ) n ( n n 1 cos 1 n. n n) ) Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) = nel punto di ascissa x = 0. x 3) Studiare la funzione seguente 4) Calcolare l integrale seguente 0 (1 + t) log(1 + t ) dt x [0, ] f(x) = 3 1 x e 1 e cos logx dx. x 1 sin logx

22 Analisi Matematica I ) Calcolare i limiti seguenti sin x x cos x e x lim x 0 sin, lim x x 0 sin x 1 x. ) Date le funzioni f 1 (x) = sin x, f (x) = cos x definite e continue in [0, + [ calcolare, se esistono, i limiti f 1 (x) f 1 (0) f (x) f (0) lim, lim, x 0 x 0 x 0 x 0 spiegando poi il significato geometrico dei risultati ottenuti. 3) Studiare la funzione seguente f(x) = ex e x e x + e x Dire poi se essa risulta invertibile nel proprio dominio e, in caso di risposta positiva, determinare la funzione inversa. Dimostrare anche che f(x) 1, f(x) x x [0, + [. 4) Calcolare gli integrali seguenti π 4 0 sin x cos x + cos x 1 cos x cos x 1 dx, π 3 π 4 sin x cos x + cos x 1 cos x cos x 1 dx.

23 Analisi Matematica I ) Determinare il carattere della serie numerica n=1 al variare del parametro reale x ]0, + [. ) Data la funzione f(x) = ( ) 1 + sin 1 n n (x) n log(8 x) logx provarne la invertibilità nell intervallo [, 7], calcolando poi la derivata della funzione inversa nel punto y = 1. 3) Studiare la funzione seguente 4) Calcolare l integrale seguente f(x) = 3 4 x x 3 0 π 3 1 sin x cos x(1 + sin x) dx.

24 Analisi Matematica I ) Studiare la successione definita per ricorrenza seguente al variare del parametro reale λ. ) Data la funzione a 1 = λ, a n+1 = a n + a n + a 3 n, n N f(x) = x sin x dire quali derivate esistono nel punto x = 0 e calcolarle. 3) Date le funzioni seguenti f 1 (x) = sin 1 x + cos[ 1 x ] f (x) = x + 1 x arctg 1 x 1 + x (a) determinare il dominio di f 1 e studiarne la derivata prima (b) determinare il dominio di f ed il numero dei punti di flesso del suo grafico. Giustificare le risposte. 4) Calcolare l integrale seguente π 0 sin xlog sin xdx.

25 Analisi Matematica I ) Dati due numeri reali positivi α, β con α < β si ponga e quindi a 1 = αβ, b 1 = α + β a n+1 = a n b n, b n+1 = a n + b n Provare che i) a n > 0, b n > 0 per ogni n N ii) b n+1 a n+1 = ( b n a n ) n N iii) (a n ) è crescente, (b n ) è decrescente iv) lim a n = lim b n. ) Data la funzione f(x) = log(e x x) n N. i) determinarne il dominio ii) dire, giustificando la risposta, se il grafico di f ammette asintoto per x + iii) dire, giustificando la risposta, quante soluzioni ha l equazione f (x) = 0. 3) Studiare il carattere della serie n=1 al variare del parametro reale positivo λ. 4) Calcolare l integrale seguente 1 0 ( ) n λn 10 4n + 1 x x 4 + x 3 8x 16 dx.

26 Analisi Matematica I per studenti fuori corso ) Trovare la somma della serie ) Studiare la funzione n=1 3n + (n + 1)(n + )(n + 3) f(x) = log(4 cos x + 8 sin x 7) e disegnarne il grafico; determinare, poi, intervalli dove f è invertibile. 3) Sia f : R R una funzione dotata di derivata prima continua in R e tale che lim x + xf (x) = h R e lim x xf (x) = k R. Provare che f è uniformemente continua. 4) Calcolare l integrale seguente e sin x x cos3 x sin x cos x dx x ] π, π [.

27 Analisi Matematica I ) Calcolare il seguente lim n log(n + 1) logn ( ). sin 1 n sin 1 n 1 ) Dire per quali x R converge la serie seguente n=1 e quindi, per tali x, calcolarne la somma. ( x n + 1 ) n x n 3) Sia f una funzione dotata di derivate continue fino a quella seconda in R, tale che f() = 1, f () = 4, 3 (3 x)f (x) dx = 7. Calcolare f(3). 4) Studiare la funzione f(x) = tgx ( x ) sin x x in [ π, 3 π] 5) Calcolare il seguente integrale definito π 0 dx 13 cos x + 8 sin x + 4.

28 Analisi Matematica I.C ) Calcolare il seguente limite ( lim 1 + sin 3 ) x x + x ) Studiare la serie numerica n=1 al variare del parametro reale positivo α. 3) Studiare la funzione 4) Calcolare i seguenti integrali f(x) = 1 + ( α ) n n! n log (x 1) π 9 π 16 sin x cos x x dx 1 1 x /3 dx. 1 + x4/3

29 Analisi Matematica I.C ) Calcolare il seguente limite ( log(1 + x) lim 1 ) x 0 + x 3/ x 1/3 ) Studiare la serie numerica n=1 (3x + ) n 4 n 3 n al variare del parametro reale x [ 7, + [. 3) Studiare la funzione 4) Calcolare gli integrali seguenti + 0 f(x) = x π dx, x + x x 3 0 dx cos x.

30 Facoltà di Ingegneria - A.A Prova scritta di Analisi Matematica I del ) Dato a ]0, π[, si consideri la seguente successione definita per ricorrenza x 1 = a, x n+1 = x n + sin x n, n N. Dire se essa converge ed eventualmente calcolarne il limite. Giustificare le risposte. ) Data la funzione 1 + x x [0, 1] f(x) = + (x 1) x [1, ] Provare che essa è iniettiva e suriettiva da [0, ] su [1, 3]. Detta f 1 la sua funzione inversa, provare che il punto di coordinate (, 1) è punto angoloso per il grafico di f 1, scrivendo le equazioni delle rette tangenti a tale grafico in tale punto. 3) Sia f : R R una funzione continua in x = 0 tale che esiste α ]0, + [ per cui f(x) x α per ogni x R. Dire per quali α ]0, + [ la precedente disuguaglianza implica l esistenza di f (0) e calcolare tale derivata. Giustificare la risposta. 4) Studiare la funzione 5) Dire per quali h R la funzione f(x) = ammette primitive e quindi calcolarle. f(x) = x (x + 1)log 1 x x 4x+3 + h x 0 e x +e x e x +8 x < 0