Geometria e Algebra Lineare
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- Arnoldo Beretta
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1 Università di Bergamo Primo anno di Ingegneria Anno accademico Geometria e Algebra Lineare Domande su: Numeri complessi e Risoluzione di sistemi con il metodo di Gauss 1 Numeri complessi Esercizio 1.1. Calcolare z = ( ) 5 10i 1 + i + 1 2i (2 + 4i) in forma algebrica e in forma esponenziale. Risulta z = 15 15i per cui z = 15 2 e iπ 4. Esercizio 1.2. Siano a, b, c, d, e e f sei numeri reali e z 1 = a + ib, z 2 = c + id e z = e + if. Calcolare z 1 z 2, (z 1 z 2 )z, z 2 z e z 1 (z 2 z ). z 1 z 2 = (a + ib)(c + id) = ac bd + i(ad + bc) (z 1 z 2 )z = (ac bd + i(ad + bc))(e + if) = (ac bd)e (ad + bc)f + i ( (ac bd)f + (ad + bc)e ) = ace bde adf bcf + i(acf bdf + ade + bce) z 2 z = (c + id)(e + if) = ce df + i(cf + de) z 1 (z 2 z ) = (a + ib)(ce df + i(cf + de)) = a(ce df) b(cf + de) + i ( a(cf + de) + b(ce df) ) = ace adf bcf bde + i(acf + ade + bce bdf). Dedurne che il prodotto dei numeri complessi è associativo. 1
2 Osserviamo che le espressioni per (z 1 z 2 )z e z 1 (z 2 z ) dieriscono solo per la posizione di bde nella parte reale e di bdf nella parte immaginaria. Per le proprietà di commutatività e associatività nei numeri reali, le due espressioni sono uguali, quindi (z 1 z 2 )z = z 1 (z 2 z ). Siccome la dimostrazione è fatta per qualsiasi numeri reali a,..., f, cioè qualsiasi complessi z 1, z 2 e z, il prodotto dei numeri complessi è associativo. Esercizio 1.. Determinare modulo e argomento di z = i. quindi Abbiamo 2 = ( ) = + 9 = 12 = 12 = 2. Un argomento θ di z soddisfa cos θ = Re z sin θ = Im z = 1 2 = 2. Quindi abbiamo θ = 2π Calcolare + 2kπ, con k Z. arccos Re z, e vericare che nessuna è uguale a arg z. Im z arcsin e arctan Im z Re z. arccos Re z arcsin Im z ( = arccos 1 ) = 2π 2 θ. ( ) = arcsin = π 2 θ. ) = π θ. arctan Im z Re z = arctan ( Esercizio 1.4. Se le radici seste di z formano un esagono regolare di lato 2, allora = A (A) 64 (B) 2 (C) 8 (D) nessuna delle altre 2
3 Anzitutto va ricordato che le radici seste di un qualsiasi numero complesso z sono i vertici di un esagono regolare, inscritto nella circonferenza centrata nell'origine e avente raggio 6. Bisogna poi tener conto del fatto che tale raggio coincide con il lato dell'esagono. Possiamo quindi concludere che = 2 6 = 64. Esercizio 1.5. NO NO Le soluzioni dell'equazione 5 i=0 a iz i = 0, dove gli a i sono reali e a 5 0, sono z 1 = 2, z 2 = 5, z = 2 + i, z 4 = 2 i. Allora necessariamente D (A) z 1 ha molteplicità 2 (B) z 2 ha molteplicità 2 (C) z ha molteplicità 2 (D) nessuna delle altre Il teorema fondamentale dell'algebra aerma che l'equazione proposta ha 5 soluzioni, se esse sono contate con la loro molteplicità. Quindi una (e una sola) tra le soluzioni z i deve avere molteplicità 2. Poiché i coecienti a i sono reali, è facile vedere che z e z 4 devono avere la stessa molteplicità. Quindi né z né z 4 possono avere molteplicità 2. Tutto quello che possiamo dire è che z 1 oppure z 2 (ma non entrambe) devono avere molteplicità 2. Non potendo sapere quale delle due, la risposta corretta è la quarta. 2 Risoluzione di sistemi con il metodo di Gauss Esercizio 1.6. Risolvere il seguente sistema, dopo averlo portato in forma triangolare usando esclusivamente le mosse di Gauss. x 2y + 2z = x + 2y 4z = 1 9x + 2y 8z = Osserviamo che l'incognita x ha coeciente 1 nella seconda equazione. Ci conviene perciò usare la seconda equazione per eliminare l'incognita x dalla prima e dalla terza. Il sistema diventa allora x + 2y 4z = 1 8y + 14z = 6 16y + 28z = 12 Osserviamo che la terza equazione è la doppia della seconda e quindi non dà nessuna informazione, cioè la possiamo eliminare. seconda per 2. { x + 2y 4z = 1 4y + 7z = Nel contempo possiamo anche dividere la
4 Possiamo allora usare la seconda equazione per eliminare l'incognita y dalla prima, previa moltiplicazione per 2. Il sistema diventa { 2x z = 1 4y + 7z = Abbiamo allora con z parametro arbitrario. scegliendo x come parametro. x = z 1 2 y = 7z + 4 Una soluzione con meno denominatori si poteva ottenere Esercizio 1.7. Risolvere il seguente sistema, dopo averlo portato in forma triangolare usando esclusivamente le mosse di Gauss. x y + z 2w u = 1 2x + 2y 4z u = 1 x 4y + 8z w u = 1 2x y + 8z 4w u = 2 Usiamo la prima equazione per eliminare l'incognita x dalle equazioni successive. Il sistema diventa x y + z 2w u = 1 2z 4w u = 1 y z + w + 2u = 2 Scambiamo ora la seconda equazione con la quarta, x y + z 2w u = 1 y z + w + 2u = 2 2z 4w u = 1 ed eliminiamo la y dalla terza equazione, sommandola con la seconda: x y + z 2w u = 1 z + w + u = 2 2z 4w u = 1 A questo punto ci basta eliminare la z dall'ultima equazione per mettere il sistema in forma triangolare: x y + z 2w u = 1 z + w + u = 2 10w 9u = 5 4
5 Pertanto le soluzioni sono x = u, y = u, z = u, w = u, u arbitrario. 10 5
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