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1 8,9(6,7 '(*/,678',',$7( )DFROWjGL,QJJQULD&RUVRGL/DXUDLQ,QJJQULD,QIRUPDWLFD (6(&,,',&$/&/,, SULPDSDUW,7(*$/, Calcolare i seguenti integrali definiti e indefiniti: ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ )( ) 9)( ) / cos cos 7cos cos 8 8 cos arctg / {6XJJULPQWR: )( ) } 9 )arcsen( ) ) arcsen arctg arctg

2 RWVXJJULPQWL S T Nella risoluzione di integrali del tipo (con D ), se E DF è negativo, D E F occorre ricondursi all'integrale, che dà arctg F Se invece <, è possibile D D D scomporre il denominatore in due fattori lineari e quindi applicare il metodo della decomposizione in fratti semplici, ma è anche possibile (consigliato soprattutto se gli zeri del denominatore sono D irrazionali) ricondursi all'integrale, che dà F Perciò è possibile che lo D D D stesso integrale dia luogo a due soluzioni apparentemente diverse, ma che in realtà sono identiche (o differiscono per una costante) Ad esempio, per risolvere si può scrivere ( 7) ; siccome poi F F, in conclusione si ha 6 7 F In questo caso però il denominatore ha radici razionali, per cui si scompone facilmente come $ % ( )( ) Scrivendo si trova subito $ e %, da cui 6 7 F 6 7 Nonostante l'apparenza, il risultato trovato è lo stesso di prima: infatti l'espressione ottenuta con il primo procedimento si può anche scrivere ( ) ( ) F F, il che dimostra appunto che, a parte la costante arbitraria F, le primitive trovate coincidono Consideriamo ora l'integrale A parte il caso banale in cui D > e (che si D E F risolve subito in quanto il radicando è il quadrato di un binomio moltiplicato per D), gli altri casi si possono sempre ricondurre ai seguenti integrali:

3 S S S se D > e < ; se D > e > ; se D < e > Il primo integrale dà settsenh F, che si può anche scrivere F, ovvero S S S (cambiando la costante) S ) F F S settcosh, ovvero anche S ) F un'espressione valida anche per < S occorre scrivere Il secondo integrale si può scrivere come, PD VROR QO FDVR! S; volendo S F Infine, il terzo integrale dà arcsen F S Più in generale, se indichiamo con, \) una qualsiasi espressione razionale in e \ (ovvero un rapporto di polinomi nelle due variabili e \), tutti gli integrali del tipo (, D E F) sono risolubili, in quanto con opportune sostituzioni essi si riconducono a funzioni razionali Esistono diverse sostituzioni (anche con sole funzioni algebriche), ciascuna delle quali presenta vantaggi e svantaggi Per semplificare la trattazione, si può suggerire di procedere come segue In primo luogo, si raccolga e si porti fuori dal radicale il termine D, quindi si riduca il radicando ad una delle tre forme "quadrato numero positivo", "quadrato numero positivo", "numero positivo quadrato" con il solito procedimento del completamento del quadrato del binomio Si ottiene così (una o più volte nello stesso integrale) un radicale di uno dei tre tipi P) S, P) S, S P) Nel primo caso la sostituzione di solito più conveniente è P S senh W, nel secondo caso bisognerebbe a rigore risolvere l'integrale separatamente nell'intervallo (S P, ), con la sostituzione P S cosh W, e nell'intervallo (, SP), ponendo P S cosh W, in ciascuno dei due casi ponendo W (ma nella pratica difficilmente sarà necessario eseguire il calcolo due volte, essendo noto l'intervallo in cui va trovata la primitiva), infine nel terzo caso basta porre P S sen W, con W Si ottiene così in ogni caso una funzione razionale in sen e cos, oppure in senh e cosh, che potrà poi essere integrata eventualmente tramite un'ulteriore sostituzione Ad esempio, si debba risolvere Essendo già unitario il coefficiente di, si può subito scrivere ), per cui la sostituzione da porre è senh W, cosh WGW Allora l'integrale diventa ) cosh WGW senh W cosh WGW cosh W GW,

4 che si può anche scrivere GW Ora effettuiamo l'ulteriore sostituzione W X, GX X GW, per cui l'integrale diventa X GX Non conviene scomporre il fattore X( X X ) X quadratico (in quanto ha radici reali ma irrazionali), per cui scriviamo X( X X ) $ %X &, da cui $, % e & Si ha quindi X X X GX X X X X X F Possiamo ora tornare dapprima alla variabile W e poi alla, ma X possiamo anche scrivere subito X exp settsenh, ovvero ricordando l'espressione di settsenh Si ha quindi X, F Naturalmente, in caso di sostituzione in un integrale definito, non è necessario tornare alla variabile, ma basta calcolare direttamente l'integrale nella nuova variabile (non dimenticare di sostituire gli estremi!) Ad esempio, per risolvere 9 6 7, osserviamo dapprima che il dominio della funzione è ', (, ), per cui nell'effettuare il calcolo possiamo supporre 6 Risulta 9 cosh W Perciò, posto , l'integrale diventa 6 cosh W senhwgw senh WGW, dove 9 8 D settcosh e E settcosh Per risolvere l'ultimo integrale, basta scrivere esplicitamente l'espressione di senh W in termini di esponenziali, oppure si cosh può procedere come per le funzioni goniometriche, ricordando che senh W W Si ha pertanto W GW W W W W W] (cosh ) senh senh cosh cosh D ricaviamo 9 9 senh D, ed anaamente da cosh E si ha 9 senhe cosh E E senhd cosh D D Ora, da 8 senh D, 9 6 per cui il valore dell'integrale è { }

5 )8/$',7$</ Per ciascuna delle seguenti funzioni, scrivere il polinomio di Taylor di ordine Q generato dalla funzione nel punto : I) ; ; Q I ) cos ; ; Q I) ; ; Q I) ; ; Q I ) ; ; Q I) (); ; Q I) cos (); ; Q I) sen ; ; Q 7 I) cos (); ; Q 6 senh I ) ; ; Q Dimostrare le seguenti uguaglianze, dove il simbolo "R" si intende sempre per : R( ) R( ) cos R() cos 6 RWD il simbolo R() (per D) sta ad indicare "un generico infinitesimo", cioè una qualsiasi funzione che per D tende a (ma non se ne conosce l'ordine) R() R() ( ) ( ) R( ) R() senh ( ) R( ) ( ( )) R( ) 6 6 Utilizzando la formula di Taylor con il resto in forma di "o piccolo", calcolare i seguenti iti: ( ) ( ) cos sen cosh senh sen senh

6 6(,( Determinare il carattere delle seguenti serie: Q Q Q Q Q Q Q Q 8Q Q Q arctg Q Q Q 7Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q 9 Q Q Q 6 Q arctg( Q!) ( ) Q ( ) Q Q! Q ( Q ) Le seguenti serie sono tutte telescopiche Calcolarne la somma Q {6XJJULPQWR sommare e sottrarre Q al numeratore} Q ( Q ) {6XJJULPQWR scomporre il denominatore ed applicare il metodo dei 9Q Q fratti semplici} Q {6XJJULPQWR come sopra} ( Q )( Q Q ) Q Q ( Q Q )( Q Q ) {6XJJULPQWR come sopra} Q Q {6XJJULPQWR: sommare e sottrarre Q al numeratore} ( )( ) (Q ) sen cos {6XJJULPQWR: applicare le formule di Werner} Q( Q ) Q( Q ) 6/8,, 7 8 F 8 F 8 8 arctg arctg arctg F arctg arctg F 7 8 6

7 8 8 ( ) arctg ( ) F 6 F 6 ( ) F 9 sen cos F cos arctg sen F ( ) 6 ( cos ) arctg ( ) F arcsen F 8 6 F ( ) ( ) arctg 8 7 arctg( ) arctg( ) F ( ) ) settsenh F 7 7(7 8) F F ) ) 8 8 ) ) ) ) ) 6 ) 6 ( ) ) ( ) ) ) ) ( ) ( ) 6 7 ) 6 6 Diverge Converge Diverge Converge Diverge Converge Diverge Converge Diverge Converge Converge Converge Converge 6