. Imponiamo la validità del teorema di Carnot: =

Transcript

1 PROBLEMA 1 Nel piano riferito a coordinate cartesiane, ortogonali e monometriche, si considerino i triangoli ABC con A(1, 0), B(, 0) e C variabile sulla retta d equazione y =. 1. Si provi che i punti (1, ) e 6, 5 5 corrispondono alle due sole posizioni di C per cui è ACB ˆ = π Abbiamo C ( h;h). Imponiamo la validità del teorema di Carnot: ( ˆ ) AB = BC + AC BC AC cos ACB ( 1 ) ( h) ( h) ( 1 h) ( h) ( h) ( h) ( 1 h) ( h) cos( 5 ) = h h ( h h ) ( h h ) ( ) ( ) ( ) = h h+ = 5h 6h+ 9 5h h+ 1 5h 0h + 0h h+ 9 = 0 h = h= 1 5. Si determini l equazione del luogo geometrico γ descritto, al variare di C, dall ortocentro del triangolo ABC. Si tracci γ. Determiniamo le coordinate dell ortocentro, come intersezione delle altezze per C: = h, e per A: h y = ( 1). Cioè h = h = h h h h+ y = ( 1) y = h h parametriche del luogo. In forma cartesiana divengono:, che sono le equazioni

2 Che è l iperbole in figura. + 1 y = y = +. Si calcoli l area Ω della parte di piano delimitata da γ e dalle tangenti a γ nei punti A e B. Determiniamo le equazioni delle tangenti in A e in B. Calcoliamo intanto la derivata della 1 funzione: y ' =. Le tangenti sono perciò: 1 ta : y = 1; tb : y = La regione di cui calcolare l area è quella in figura: ( ) ( ) L intersezione delle tangenti è: y = ( 1) = 1. Quindi l area è: y = ( ) 1 y = / 1 + d d ln() 1 + = 1 / ( )

3 . Verificato che è ( ) Ω= ln 1 si illustri una procedura numerica per il calcolo approssimato di ln. Possiamo usare lo sviluppo in serie di ln(1 + ) che però converge solo per 0 < < 1, perciò scriviamo: e ln( ) = ln e = ln( e) + ln = 1+ ln 1+ 1 = 1+ ln 1+ e e e e n+ Ora ln( 1+ ) = ( 1) 1 n+. Quindi ln( ) 1 ln 1 1 ( 1) 1 1 n n Sviluppando fino a n =, abbiamo: e e e = + + = +. e 1 n e e e e e 5e 5e + 81e 5 ln( ) 1+ + = e 1,0986 e 6 Che è preciso fino al quarto decimale. PROBLEMA f =, g =, Siano f e g le funzioni definite, per ogni reale, da ( ) ( ) n 1. Si traccino i grafici di f e di g e si indichi con A la loro intersezione di ascissa negativa. Abbiamo un esponenziale e una parabola, che si disegnano facilmente e che rappresentiamo in un sistema di metrico per comodità:

4 . Si calcoli, con uno dei metodi di approssimazione numerica studiati, l ascissa di A con due cifre decimali esatte. Possiamo usare il teorema di esistenza degli zeri e il relativo metodo dicotomico, applicato alla funzione f() g(). h() -1-1/ 0 1 Quindi -1 < A < 0. Dimezziamo l intervallo: h ( ) ( ) 8 9 h / = > 0 1< A < 0,75; / = > < A < -0, / 7 9 h = h = < 0 0,875< A < 0,75; 8 6 0,875 0,75 h = h( 0,815) < 0 0,815 < A < 0,75; 0,815 0,75 h = h( 0,7815) < 0 0,7815 < A < 0,75; 0,7815 0,75 h = h( 0,76565) > 0 0,7815 < A < 0,76565; 0,7815 0,76565 h = h( 0,7775) < 0 0,7775 < A < 0,76565; 0,7775 0,76565 h = h( 0,769515) < 0 0, < A < 0,76565 Quindi il valore con due cifre decimali esatte è -0,76. h. Quanti e quali sono gli zeri della funzione ( ) Abbiamo ( ) =? Si tracci il grafico di h (). h' = ln, che è certamente positiva per < 0. Inoltre sappiamo che ha come zeri il precedente valore e anche, ovviamente, = e =. Visto che è infinito superiore a qualunque polinomio, non è difficile capire che per > si ha: >. Pertanto vi sono solo zeri. Il grafico è il seguente:

5 . Si calcoli l area racchiusa tra il grafico di h e l asse sull intervallo [, ]. Dobbiamo calcolare l area in figura 56 1 d = = ln ln. cioè ( ) QUESTIONARIO 1. Siano dati un cono equilatero e la sfera in esso inscritta. Si scelga a caso un punto all interno del cono. Si determini la probabilità che tale punto risulti esterno alla sfera. Ecco la situazione grafica:

6 Consideriamo i triangoli simili in figura: vale la seguente proporzione: AV : AH = VC: CT Esprimiamo tutto in termini del raggio di base del cono: r RC r : r = r r RC : RC = = r 1 r = RC = r R R R C C C Quindi il volume del cono, che rappresentano i casi possibili, è π r r = π r Mentre il volume della sfera, complementare dei casi favorevoli, è Pertanto la probabilità cercata è π π r = r 7

7 π π r r 7 π r 9 5 = = 9 9. Ricordando che il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è sezione aurea del raggio, si provi che π sin = Dire che il lato è sezione aurea del raggio significa che vale la seguente proporzione: Adesso consideriamo la seguente figura: r + r 5 r : l = l: r l l + l r r = 0 l = l r + r 5 π AH 5 1 Abbiamo: sin = = = = 10 AC r r. Un solido ha per base un cerchio di raggio 1. Ogni sezione del solido ottenuta con un piano perpendicolare ad un prefissato diametro è un triangolo equilatero. Si calcoli il volume del solido. Ecco la figura

8 dobbiamo determinare la misura del lato del triangolo in funzione del raggio. Si ha: DE AH HB ( ) = =, con 0 < <. l area dei triangoli equilateri è perciò: Pertanto il volume richiesto è ( ) = ( ) 0 ( ) d =. Si esponga la regola del marchese de L Hôpital ( ) e la si applichi per dimostrare che 008 lim = 0. La regola è applicabile a forme indeterminate del tipo 0,, per rapporti di funzioni continue e 0 derivabili, per le quali esiste il limite del rapporto delle derivate. Tutte le ipotesi sono valide. Abbiamo allora: 008 lim = lim ln ( )

9 Il limite ottenuto è ancora forma indeterminata a cui è applicabile la regola. La applicheremo altre 007 volte, ottenendo: 008! ( ) 008 lim = ln Nel piano riferito a coordinate cartesiane (, y) si dica qual è l insieme dei punti per i quali risulta: y > 0. Per <0 è sempre verificata. Per > 0 essa equivale a y > y <. Graficamente si ha: 6. I lati di un parallelepipedo rettangolo misurano 8, 9 e 1 cm. Si calcoli, in gradi e primi sessagesimali, l ampiezza dell angolo che la diagonale mandata da un vertice fa con ciascuno dei tre spigoli concorrenti al vertice. Ecco la figura

10 I triangoli sono tutti rettangoli di ipotenusa la diagonale, lunga misurano = 17. Gli angoli cos 61 55'9";cos 58 '";cos 55'57" 7. Perché è geometria non euclidea? Che cosa e come viene negato della geometria euclidea? Si illustri la questione con gli esempi che si ritengono più adeguati. Si parla di geometrie non euclidee per quelle geometrie che non verificano qualcuno dei postulati della geometria euclidea. Per esempio il quinto postulato delle parallele, ottenendo le geometrie iperboliche, di Riemann, ed ellittiche, di Lobacewski. Ma ci sono anche quelle che non verificano il postulato archimedeo della continuità. π 8. Sia f la funzione definita da f ( ) = π. Si precisi il dominio di f e si stabilisca il segno delle sue derivate, prima e seconda, nel punto = π. La funzione è definita in tutti i reali positivi. Poi si ha: Inoltre: ( ) π ( π) π π ( ) π ( π) π ( π ) f ' = ln ; f " = ln 1 π π 1 π ( π) π ( π) π π π ( π) 1 π f ' = ln = ln 1 > 0; π π π 1 f "( π) = π ln ( π) π ( π 1) π = π ln ( π) 1+ > 0 π 9. In una classe composta da 1 maschi e 8 femmine, viene scelto a caso un gruppo di 8 studenti. Qual è la probabilità che, in tale gruppo, vi siano esattamente studentesse? I casi possibili sono tutte i modi di scegliere 8 elementi da un gruppo di 0, senza curarsi dell ordine di estrazione, cioè scelte da 8 e maschi, scelti da 1, cioè: 0. I casi favorevoli sono quelli che contengono femmine, La probabilità è perciò:

11 = 0, Qual è l equazione della curva simmetrica rispetto all origine di y = e? Quale quella della curva simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante? La simmetria rispetto all origine ha equazioni: y= e y = e. ' =, quindi la curva simmetrica è: y' = y La simmetria rispetto alla prima bisettrice ha equazioni: ' = y, quindi la curva simmetrica è: y' = ( ) ( ) = e y = ln y = ln. y 1.