Si calcoli prezzo e quantitá d equilibrio quando il reddito R = 25 e quando il reddito è R = 50.
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1 1 Domanda e Offerta Exercise 1. Supponiamo di avere un unico bene x, la quantitá domandata di tale bene è descritta dalla curva Q D = 300 P + 4 R mentre la quantitá offerta è descritta dalla curva Q O = 3 P 0. Si calcoli prezzo e quantitá d equilibrio quando il reddito R = e quando il reddito è R = 0. Si calcoli l elasticitá della domanda e dell offerta al prezzo e l elasticitá della domanda al reddito nel punto d equilibrio. Per trovare il prezzo d equilibrio uguagliamo la quantitá domandata alla quantitá l offerta, Q D = Q O, 300 P + 4 R = 3 P 0 P = R Usando l equazione a destra possiamo trovare il prezzo d equilibrio, quando R = P = R = = 90 la quantitá d equilibrio è Q D = 300 P + 4 R = = 0 Per R = 0 abbiamo che p = 110 e Q = 70. Passiamo al secondo punto dell esercizio, l elasticitá della domanda al prezzo è EP D = P Q D P. La variazione della domanda sulla variazione di prezzo: p = (300 P + 4 R) (300 P R) = (P P 1 ) = P P 1 P P 1 Osserviamo che se la domanda è lineare nel prezzo allora la variazione della domanda sulla variazione di prezzo non è altro che il coefficiente che moltiplica P. Per R =, EP D = 90 0 = 0.81 anelastico. Per R = 0, EP D = = 0.81 anelastico. L elasticitá dell offerta al prezzo è EP O = P Q O Q O P, la variazione della offerta sulla variazione di prezzo: Q O P = (3 P 0) (3 P 1 0) P P 1 = 3(P P 1 ) P P 1 = 3 1
2 Per R =, EP D = = 1.3 elastico. Per R = 0, EP D = = 1. elastico. L elasticitá della domanda al reddito è E D R = R Q D R, in questo caso R = (300 P + 4 R ) (300 P + 4 R 1 ) R R 1 = 4(R R 1 ) R R 1 = 4 Per R =, ER D = 0 4 = 0.9 anelastico. Per R = 0, ER D = = 0.74 anelastico Exercise. Esame del Il mercato di un particolare bene è descritto dalle seguenti equazioni: Q D = 0 6 P ; Q S = 10 + P dove Q D, Q S e P sono rispettivamente la quantitá domandata quella offerta e il prezzo. Si calcoli il valore dell elasticitá dalle domanda al prezzo in equilibrio. = P L elasticitá della domanda al prezzo in equilibrio è EP D Q P. Per risolvere l esercizio dobbiamo calcolare il prezzo d equilibrio P, la quantitá d equilibrio Q e la variazione della domanda sulla variazione del prezzo. Uguagliando la domanda con l offerta troviamo il prezzo d equilibrio, 0 6 P = 10 + P P = La quantitá d equilibrio è Q = 0 6 = Osserviamo che la domanda è funzione lineare del prezzo, pertanto P è il coefficiente che moltiplica P nell equazione che definisce la quantitá domandata, P = 6. Inserendo i valori trovati nell equazione che definisce l elasticitá della domanda al prezzo in equilibrio otteniamo EP D = 1.. Dato che il valore assoluto di ED P è maggiore di 1 la domanda è elastica rispetto al prezzo. Scelta del consumatore = Exercise 3. Esame del Si considerino due beni x e y; i cui prezzi sono rispettivamente P x = 0 e = 40. Si determini la scelta ottimale per un individuo le cui preferenze sono rappresentate dalla funzione utilitá U(x, y) = x y e che dispone di un reddito pari a R = 000.
3 Per risolvere l esercizio uguagliamo il SMS x,y (saggio marginale di sostituzione di x rispetto ad y) a Px (rapporto tra prezzi), all equilibrio le quantitá dei due beni sono legate dalle seguente relazione U x U y = P x La derivata di U x è uguale a y, la derivata di U y è uguale a x, pertanto y = 1 x. Sostituendo y nella retta di bilancio, R = y + P x x, otteniamo il seguente sistema x = R (/)+P x = 000 (40/)+0 = 1 1 y = x = 1 = 6. La scelta ottimale del consumatore è (1, 6.). Il secondo metodo usa le curve d indifferenza. Consideriamo il numero reale n, la curva d indifferenza è definita dall equazione seguente: x y = n. Possiamo scrivere la funzione y = n x, quindi il SMS x,y = dy dx = n x. Sappiamo che all equilibrio il saggio marginale di sostituzione assume valore 1 quindi n x = 1 x = n Sostituendo nell equazione della retta di bilancio otteniamo R = P x n + n n Ponendo n = t l equazione di sopra diventa ( R = t P x + P ) y R t = ( ) Px +P y pertanto R n = (P x + ) a questo punto inseriamo i valori numerici nell equazione di sopra in modo da avere il valore di n, n = 000 (0 + 40) = 781. La scelta ottimale del consumatore è x = n = 781. = 1 y = n x = = 6. 3
4 Exercise 4. Si considerino due beni x e y; i cui prezzi sono rispettivamente P x = 0 e = 40. Si determini la scelta ottimale per un individuo le cui preferenze sono rappresentate dalla funzione utilitá U(x, y) = x + y e che dispone di un reddito pari a R = 000. In questo caso abbiamo che SMS x,y = 1, quindi non è mai uguale al rapporto dei prezzi. Grazie all assioma di non sazietá del consumatore la scelta ottima del consumatore è uno degli estremi della retta di bilancio, soluzione d angolo. L assioma di convessitá ci permette di affermare che: 1. se SMS Px allora l ottimo coincide con il punto d intersezione tra la retta di bilancio e l asse delle ascisse;. se SMS Px allora l ottimo coincide con il punto d intersezione tra la retta di bilancio e l asse delle ordinate. In questo caso l ottimo coincide con il punto d intersezione tra la retta di bilancio e l asse delle ascisse, per trovare l ottimo sostituiamo nell equazione di bilancio il valore y = 0, abbiamo che x = 0. Il punto di ottimo è (0, 0). Osserviamo che se la funzione utilitá fosse stata U(x, y) = 1 x + y allora il saggio marginale di sostituzione sarebbe stato uguale al rapporto dei prezzi per ogni punto della retta di bilancio, di conseguenza tutti i punti della retta di bilancio sarebbero stati dei punti di ottimo per il consumatore. 3 Curva di domanda individuale Exercise. Esame del Al variare del prezzo, la somma spesa da Antonio nell acquisto di formaggio rimane costante. In conseguenza, la sua curva di domanda è: 1. anelastica al prezzo. elastica al prezzo 3. elasicitá unitaria La risposta corretta è la 3, infatti la somma spessa da Antonio per l acquisto di formaggio rimane costante quindi il prodotto tra P X e X è costante a C, questo vuol dire che X = C P X. Calcoliamo l elasticitá E p = dx dp X PX X = C P X PX C P X = 1 4
5 Exercise 6. Esame del La curva di domanda di mercato delle visite al museo archeologico di Atene è data da Q = P, dove Q è il numero di biglietti d ingresso al museo, e P è il prezzo. Se il prezzo d ingresso è 10 euro, a quanto ammonta il surplus totale del consumatore? Dobbiamo calcolare l area del triangolo che ha per base la quantitá domandata in corrispondenza di P = 10 e per altezza la differenza tra il prezzo massimo e 10. La base del triangolo è Q = = Il prezzo massimo è si ricava dall equazione 0 = P, P = 80. Il surplus totale del consumatore è 4 La produzione (80 10) = Exercise 7. Esame del Salvatore fa il pescivendolo. Conoscendo la funzione di produzione della sua attivitá, sa di poter vendere 100 kg di pesce lavorando 8 ore al giorno e impiegando 0 unitá di capitale. Salvatore sa anche che il suo prodotto marginale del lavoro è 10 e quello del capitale è 1. A quanto ammonta il saggio marginale di sostituzione tecnica in corrispondenza del valore (K = 0; L = 8)? Ricordiamo che il saggio marginale di sostituzione tecnica misura di quanto possiamo ridurre il capitale a fronte di una unitá aggiuntiva di lavoro mantenendo invariata la produzione, SMST = K L. Dato che il livello di produzione resta costante abbiamo che la variazione totale del prodotto è zero, P L L + P K K = 0, quindi SMST = P L P K Quando K = 0 e L = 8, per ipotesi abbiamo che il prodotto marginale del lavoro P L è uguale a 10, mentre il prodotto marginale del capitale P K è uguale a 1 pertanto SMST = 3 Exercise 8. Esame del Perché la funzione Q = L 1 3 K a abbia rendimenti di scala costanti, a quanto deve essere uguale il parametro a? La funzione di produzione Q ha rendimenti di scala costanti se aumentando tutti i fattori di produzione nella stessa proporzione allora anche il prodotto aumenta nella stessa proporzione. Per ogni valore C > 0 deve verificarsi che C Q = (C L) 1 3 (C K) a C Q = C 1 3 +a (L 1 3 K a )
6 dalle ipotesi abbiamo che Q = L 1 3 K a, semplificando l equazione a destra abbiamo C = C 1 3 +a Ricordiamo che la funzione esponente è monotona quindi tale uguaglianza si verifica se e solo se 1 = a. La funzione di produzione ha rendimenti di scala costanti se e solo se a = 3 6
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