I MODELLI LINEARI GENERALIZZATI GLM

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1 METODI E TECNICHE DELLA RICERCA IN PSICOLOGIA CLINICA E LABORATORIO AA 018/019 PROF. V.P. SENESE Unverstà della Campana «Lug Vanvtell» (UCLV) Dpartmento d Pscologa METODI E TECNICHE DELLA RICERCA IN PSICOLOGIA CLINICA Prof. V.P. Senese I MODELLI LINEARI GENERALIZZATI GLM 1

2 Secondo la teora de Modell Lnear Generalzzat (GLM), la regressone lneare, l anals della varanza (ANOVA), la regressone logstca e modell log-lnear possono essere vst come cas specal d una classe pù generale d modell che condvdono: (a) alcune propretà d base; (b) metod d stma de parametr, e (c) le statstche d ft (Mcel, 001). y 0 GLM K k 1 β x k k n. scalare y X n. vettorale strutturale K y 0 k 1 ~ y k x k Dove g() ndca una generca funzone che vene detta legame funzonale (lnk functon). Il modello lneare classco (dstrbuzone gaussana) dventa così un caso partcolare de GLM dove l legame funzonale è quello dell denttà. 0 g ~ y K k 1 x k k y~ y ~ y stocastca ~ y y La componente d errore può essere vsta come la rsultante delle varabl esplcatve omesse (numerose), dell errore casuale e dell errore d msura casuale (Mcel, 001).

3 GLM Legame canonco Legame funzonale Dstrbuzone y~ Identtà Normale (Gaussana) ~ y log Logartmo log y~ Logt 1 Posson; Multnomale; Prodotto multnomale Bnomale; Multnomale..ASSUNZIONI LE ASSUNZIONI NEI GLM 3

4 ASSUNZIONI DEI GLM msure: tutte le varabl ndpendent sono msurate su scala ad ntervall, a rapport o dcotomca; modello: la relazone tra varabl ndpendent e dpendente è lneare, proporzonale (nvarante) e addtva; specfcazon: tutt predttor rlevant per la varable dpendente sono stat nsert nell anals, nessun predttore rrlevante è stato nserto (parsmona); valore atteso dell errore: gl error sono esclusvamente d tpo casuale, relatv alla sola varable dpendente e l valore atteso dell errore (epslon) è 0; omoschedastctà: la varanza del termne d errore è la stessa (o è costante) per tutt valor delle varabl ndpendent; ASSUNZIONI DEI GLM no autocorrelazon: non c devono essere correlazon tra termn dell errore prodott da cascun predttore (matematcamente E(, ) = 0; oppure COV(, ) = 0) (osservazon ndpendent); no correlazon tra error e predttor: termn d errore devono essere non correlat con le varabl ndpendent (matematcamente E(, X ) = 0); assenza d perfetta multcollneartà: nessuna delle varabl ndpendent deve essere una combnazone lneare perfetta delle altre varabl ndpendent (matematcamente, per ogn varable R < 1, dove R è la varanza della varable ndpendente X spegata da tutt gl altr predttor (X 1, X,, X k ). 4

5 LA REGRESSIONE LA REGRESSIONE Quando n una rcerca è possble dstnguere (n base alla teora) tra varabl ndpendent e varabl dpendent l rcercatore può essere nteressato a verfcare la presenza della relazone causale supposta (tra le varabl) ne dat raccolt (osservazon camponare). Prma d nzare un qualsas dscorso sulle relazon d causaltà tra varabl dobbamo rbadre la dstnzone tra covarazone e causazone. 5

6 LA REGRESSIONE COVARIAZIONE (Covaranza, Correlazone o Assocazone): quando semplcemente osservamo che due varabl presentano varazon concomtant. CAUSAZIONE: quando pensamo che sano propro le varazon della varable X a determnare le varazon della varable Y. Identfchamo la DIREZIONALITÀ e l esstenza del LEGAME DIRETTO tra le due varabl. Mentre la covarazone è osservable la causazone appartene domno della teora!!! al LA REGRESSIONE I cnque fondamental tp d relazone causale fra due varabl: 1) dretta ) recproca X Y 4) ndretta X Y Z 3) spura X Y 5) condzonata Z Z X Y X Y 6

7 LA REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE LA REGRESSIONE LINEARE Quando la relazone s rfersce a due varabl d tpo cardnale (I o R) l anals che può essere mpegata è l anals della regressone lneare. In questo caso l obettvo è quello d voler verfcare se la capactà d prevedere valor d una data varable Y aumenta conoscendo valor assunt da una data varable X. 7

8 Se supponamo che l punteggo Y dpende dal punteggo X del soggetto, possamo prevedere l valore n base alla seguente formula: Y X In pratca potzzamo che (mantenendo la componente stocastca) se la teora è vera, allora la meda d Y è funzone d X. LA REGRESSIONE La regressone lneare s dce semplce quando abbamo una sola VD (o crtero) e una sola VI (o predttore). L potes che vene formulata rguarda l nfluenza della VI sulla VD. frustrazone predttore aggressvtà crtero crtero coeffcente Yˆ x costante predttore errore 8

9 VotoM LA REGRESSIONE Da un punto d vsta grafco vene ndvduata quella retta che, data la relazone tra le varabl, consente d prevedere al meglo puntegg nella varable dpendente a partre da quell nella varable ndpendente. Dagramma d dspersone TestA LA REGRESSIONE Dato un dagramma d dspersone tra due varabl, la retta d regressone è la mglore delle rette nel senso che è quella retta che passa pù vcna a tutt punt (mnmzza tutte le dstanze tra punt e la retta). Assecondando questo prncpo, secondo la teora classca, la retta d regressone s scegle n base al metodo de mnm quadrat. S defnsce mglore la retta che rende mnma la somma de quadrat degl error, coè: ( Y Yˆ) pù pccolo possble 9

10 VotoM VotoM Dagramma d dspersone testa Dagramma d dspersone testa ( Y Yˆ) 10

11 VotoM VotoM Dagramma d dspersone testa ( Y Yˆ) Dagramma d dspersone (ntercetta) valore d y predetto quanto x è zero 0 Dx Dy Dy' Dx testa (coeffcente d regressone ) ncremento d y quando aumenta x ndca l angolo che la retta forma con l asse delle ascsse, coè l nclnazone 11

12 COEFFICIENTE DI REGRESSIONE Esprme la relazone tra X e Y ne termn delle untà d msura delle due varabl. se = 1 per ogn ncremento untaro d X c è un ncremento untaro d Y (45 ) ; Dy' Dx se = per ogn ncremento untaro d X c è un ncremento doppo d Y ( untà) ; se = 0.5 per ogn ncremento untaro d X c è un ncremento d mezza untà d Y. COEFFICIENTE DI REGRESSIONE STANDARDIZZATO Il coeffcente d regressone standardzzato () esprme la relazone tra la varable dpendente (Y) e la varable ndpendente (X) n untà d msura standard (punt z). COEFFICIENTE DI DETERMINAZIONE Il coeffcente d determnazone (r ) ndca la percentuale d varanza (%) della varable crtero (Y) spegata da quella predttore (X). predttore crtero 1

13 I coeffcent d regressone e della popolazone vengono stmat a partre da coeffcent d regressone camponar a e b: POPOLAZIONE Y 0 1x1 CAMPIONE Y a0 b1 x1 e Il coeffcente d regressone è smboleggato come: (beta) quando c s rfersce al coeffcente della popolazone; b quando c s rfersce al coeffcente calcolato nel campone; (beta) quando c s rfersce al coeffcente standardzzato (punt z) calcolato nel campone. 13

14 ..PRIMA DI ENTRARE NEL VIVO LA REGRESSIONE BIVARIATA DA UN PUNTO DI VISTA CONCETTUALE Y depressone 61; ds 13 DEPRESSIONE Y o E ANSIA ( Y )

15 Y depressone 61; ds DEPRESSIONE Y ANSIA Y ' Y depressone 61; ds 13 DEPRESSIONE ANSIA Yˆ

16 ..ENTRIAMO NEL VIVO ESERCITAZIONE REGRESSIONE SEMPLICE Uno pscologo è nteressato a verfcare se la qualtà della vta dpende dall età. A tal scopo sommnstra ad un campone d 8 soggett una msura d qualtà della vta (QDV) e rleva per cascun soggetto l età. MODELLO TEORICO ETÀ QDV Età de soggett espressa n ann (VI, R). Qualtà della vta (QDV) (VD, I). 16

17 r errore standard della stma F b a standardzzato correlazone Notazone scentfca: e x e x y e y 17

18 ..ENTRIAMO NEL VIVO INTRODUZIONE ALLA REGRESSIONE MULTIPLA 18

19 NELLA FORMA GENERALE DEL MODELLO DI REGRESSIONE LA VARIABILE DIPENDENTE Y VIENE CONSIDERATA COME FUNZIONE DI k VARIABILI INDIPENDENTI (X 1 ; X ; X 3 ; ; X k ). IL MODELLO DELLA REGRESSIONE LINEARE ASSUME CHE DATO UN SET DI VARIABILI INDIPENDENTI IL VALORE MEDIO (VALORE ATTESO) DELLA VARIABILE DIPENDENTE SI MODIFICA SECONDO LA SEGUENTE FORMULA: E ( Y ) 1X1 X 3X 3... X k k E ( Y ) 1X1 X 3X 3... X k k,,,,, 1 3 k LE LETTERE GRECHE RAPPRESENTANO I PARAMETRI CHE ESPRIMONO LA RELAZIONE TRA LE k VI E LA VD NELLA POPOLAZIONE,, 1, 3 k RAPPRESENTANO IL COEFFICIENTE DI REGRESSIONE PARZIALE TRA CIASCUNA DELLE k VI E LA VD Y MANTENENDO COSTANTI (CONTROLLANDO) TUTTE LE ALTRE VARIABILI. 19

20 E ( Y ) 1X1 X 3X 3... X k k È L INTERCETTA E RAPPRESENTA IL VALORE ATTESO DI Y QUANDO TUTTE LE VI SONO UGUALI A ZERO. PER OGNI VALORE Y PREDETTO (MANTENENDO COSTANTI I VALORI NELLE VI) IL MODELLO PREVEDE UNA COMPONENTE D ERRORE (COMPONENTE STOCASTICA) QUESTO TERMINE D ERRORE RAPPRESENTA: 1) L EFFETTO SULLA VD Y NON ESPLICITAMENTE INCLUSO NEL MODELLO; ) UN RESIDUO CASUALE NELLA VARIABILE DIPENDENTE. E ( Y ) 1X1 X 3X 3... X k k SEBBENE SIA IMPLICITO NELLA FORMULAZIONE DEL MODELLO È IMPORTANTE SOTTOLINEARE CHE LA RELAZIONE TRA E(Y ) E CIASCUN X k È CONCEPITA COME LINEARE E CHE GLI EFFETTI DELLE k VI SONO ADDITIVI. PER UNA CORRETTA APPLICAZIONE DEL MODELLO DELLA REGRESSIONE, QUINDI, PER UNA CORRETTA STIMA DEI PARAMETRI DELLA POPOLAZIONE E PER LA VERIFICA DELLE IPOTESI È NECESSARIO CHE ALCUNE ASSUNZIONI SIANO VERIFICATE. 0

21 NELL APPLICAZIONE DELLA REGRESSIONE MULTIPLA NON CI TROVIAMO NELLA CONDIZIONE DI CONOSCERE I PARAMETRI DELLA POPOLAZIONE DIRETTAMENTE, MA SI STIMANO A PARTIRE DA UN NUMERO FINITO DI OSSERVAZIONI: LE OSSERVAZIONI CAMPIONARIE PER DISTINGUERE LA REGRESSIONE CAMPIONARIA DA QUELLA DELLA POPOLAZIONE IL MODELLO DI REGRESSIONE VIENE SCRITTO IN QUESTO MODO: E ( Y ) a b1 X1 b X b3 X 3... b k X k e DOVE LE LETTERE LATINE INDICANO I PARAMETRI DEL MODELLO STIMATI A PARTIRE DAL CAMPIONE (n) PER LA STIMA DEI PARAMETRI a E b ( = 1,,, k) IL METODO PIÙ FREQUENTEMENTE IMPIEGATO È IL CRITERIO DEI MINIMI QUADRATI (ORDINARY LEAST SQUARE OLS). LO SCOPO È QUELLO DI STIMARE I PARAMETRI a E b IN MODO TALE CHE SI RIDUCA AL MINIMO LA DISTANZA AL QUADRATO TRA VALORE PREDETTO (Y ) E VALORE OSSERVATO (Y ) n 1 ( Y Yˆ ) 1

22 NELLA REGRESSIONE BIVARIATA LE FORMULE SONO LE SEGUENTI: b n 1 ( X n 1 ( X X )( Y X ) Y ) a Y b X NELLA REGRESSIONE MULTIPLA LE FORMULE PER IL CALCOLO DEI PARAMETRI RICHIEDONO L ALGEBRA MATRICIALE. DAL MOMENTO CHE SI TRATTA DI STIME CAMPIONARE DEI PARAMETRI È NECESSARIO CONOSCERE L EFFETTO DELL ERRORE SULLA STIMA. PER FARE CIÒ È NECESSARIO CALCOLARE L ERRORE STANDARD (s ) DEL COEFFICIENTE STIMATO: s b n 1 ( X n 1 ( Y Yˆ X ) (1 R ) )( n k 1) DOVE: n È L AMPIEZZA CAMPIONARIA; k È IL NUMERO DI VI DEL MODELLO; R È LA CORRELAZIONE MULTIPLA AL QUADRATO DELLA VI SU TUTTE LE ALTRE VI.

23 s b n 1 ( X n 1 ( Y Yˆ X ) (1 R ) )( n k 1) DELLA FORMULA È UTILE NOTARE CHE L ERRORE DI STIMA DI b (s b ) SI RIDUCE SE: AL NUMERATORE: È MINORE L ERRORE DI STIMA DI Y AL DENOMINATORE: È MAGGIORE LA VARIANZA DI X È MINORE LA CORRELAZIONE DI X CON LE ALTRE VI È MAGGIORE IL NUMERO DELLE OSSERVAZIONI n (SE IL NUMERO DI PREDITTORI AUMENTA E SI APPROSSIMA ALL AMPIEZZA CAMPIONARIA, s AUMENTA NOTEVOLMENTE) UN ALTRO ASPETTO UTILE ALLA VALUTAZIONE DEL MODELLO DI REGRESSIONE È LA VALUTAZIONE DELLA BONTÀ DI ADATTAMENTO DEL MODELLO (goodness-of-ft). LA STATISTICA MAGGIORMENTE IMPIEGATA È L R, CHE VIENE STIMATA CON LE SEGUENTI FORMULE: R n 1 n 1 ( Yˆ ( Y Y Y ) ) o R 1 n 1 n 1 ( Y ( Y Yˆ ) Y ) R dev spegata dev totale R dev errore 1 dev totale 3

24 L R VARIA SEMPRE TRA 0 E 1. PUÒ ESSERE INTERPRETATO COME LA PERCENTUALE DI VARIANZA (%) DELLA VD SPIEGATA DALLE VI CONSIDERATE NEL MODELLO. OPPURE COME LA % DI RIDUZIONE DELL ERRORE NELLA PREVISIONE DELLA VI. NELL UTILIZZO DELL R DUE ASPETTI DEVONO ESSERE SOTTOLINEATI: È DIPENDENTE DAL CAMPIONE. DUE MODELLI APPLICATI SU DUE CAMPIONI POSSONO AVERE DEI PARAMETRI b IDENTICI MA R DIFFERENTI; QUESTO È DETERMINATO DALLA DIVERSA VARIANZA DI Y; È INFLUENZATO DAL NUMERO DI PREDITTORI. A PARITÀ DI CAMPIONE PER CONFRONTARE DUE MODELLI È NECESSARIO CALCOLARE UN VALORE CORRETTO (ADJUSTED R ) (WONNACOTT, WONNACOTT, 1979). R R k n 1 n 1 n k 1 UN ALTRA STATISTICA COMUNEMENTE IMPIEGATA PER LA VALUTAZIONE DELLA BONTÀ DI ADATTAMENTO DEL MODELLO (goodness-of-ft) È L ERRORE STANDARD DELLA STIMA, CHE VIENE STIMATO CON LA SEGUENTE FORMULA: s e n 1 Y Yˆ n s e devanza _ resdua gdl( dev _ res) 4

25 SIGNIFICATIVITÀ DELLA PREVISIONE Scomposzone Devanza totale, nelle component d errore e d effetto SQ tot SQ reg SQ err La somma de quadrat totale (SQ tot ) è data da una componente d errore (SQ err ) e da una componente spegata dalla regressone (SQ reg ) SIGNIFICATIVITÀ DELLA PREVISIONE SQ tot SQ reg SQ err DEVIANZA TOTALE SQ tot Y Y Yˆ Y Y Yˆ DEVIANZA SPIEGATA dalla regressone SQ reg SQ err DEVIANZA NON SPIEGATA o RESIDUA (somma d e) 5

26 NELLA RICERCA PSICOLOGICA NON SIAMO INTERESSATI ESCLUSIVAMENTE ALLA STIMA DEI PARAMETRI DELLA POPOLAZIONE, MA SIAMO INTERESSATI A VOLER VERIFICARE SE I PARAMETRI CAMPIONARI SONO VICINI A QUELLI DELLA POPOLAZIONE, VALE A DIRE ALLA VERIFICA DELLE IPOTESI. CIÒ AVVIENE MEDIANTE IL TEST DELLA SIGNIFICATIVITÀ STATISTICA CHE VALUTA LO SCOSTAMENTO DEL PARAMETRO OSSERVATO DAL VALORE ATTESO SECONDO L IPOTESI NULLA (H 0 ). Per verfcare se la prevsone è sgnfcatva la varanza spegata dalla regressone deve essere maggore d quella resdua. Le varanze s calcolano dvdendo le devanze per grad d lbertà opportun. GDL tot GDL reg GDL err N 1 ( k) ( N k 1) 6

27 Per confrontare la due varanze e verfcare se quella spegata dalla regressone è maggore d quella resdua, s calcola la statstca F. La varanza spegata dalla regressone va al numeratore, quella resdua al denomnatore F crtco(k,n-k-1). F Var Var reg res Dev k Dev N k reg res 1 : la varanza spegata è uguale a quella resdua (casuale) H 0 PER IL MODELLO COMPLESSIVO, CON k VI, L IPOTESI NULLA (H 0 ) è LA SEGUENTE: H k 0 H o o o... o k 0 Un modo alternatvo per defnre l test statstco della verfca è medante l valore dell R : R k 1 R n k 1 F F var spegata var errore k gdl F n k 1 7

28 PER CIASCUN PREDITTORE VIENE POI DEFINITA UNA SPECIFICA IPOTESI NULLA (H 0 ). H 0 0 H 1 0 IL TEST STATISTICO APPROPRIATO È IL VALORE t: t b H0 s b b s b gdl t n k 1..PROVIAMO ESERCITAZIONE INTRODUZIONE ALLA REGRESSIONE MULTIPLA 8

29 ESEMPIO MODELLO TEORICO 1 SEX QDV MODELLO TEORICO SEX ETÀ QDV VARIABILI DUMMY Il modello della regressone lneare può essere esteso faclmente per nserre predttor msurat su scala dcotomca, nclus set d varabl dcotomzzate o varabl dummy (s veda Lews-Beck, 1980; Berry e Feldman, 1985; Hardy, 1993). Es. SESSO: 1=M; =F; LIVELLO SOCIO-ECONOMICO: 1=Basso; =Medo; 3=Alto. COD SESSO LSE COD M MEDIO ALTO NdE -1 9

30 Qualtà della vta (QDV) COD SEX QDV QDV (SEX ) QDV (0) QDV (1) Meda femmne Meda masch OUTPUT REGRESSIONE QDV F 58 QDV M MODELLO TEORICO 1 30

31 MODELLO TEORICO ESEMPIO Nel modello 1 e nel modello la relazone tra età e qualtà della vta è stata forzata essere uguale per gl uomn e per le donne. Tuttava è possble (ved Fgura) che c sa una dfferenza sgnfcatva. Un modo per verfcare questa potes è nserre l nterazone tra le varabl. Vale a dre una nuova varable che è l prodotto tra le due (sesso età) MODELLO TEORICO 3 SEX QDV ETÀ SEX ETÀ QDV 31

32 MODELLO TEORICO 3..È NECESSARIO SAPERE CHE TECNICHE DI REGRESSIONE MULTIPLA 3

33 NELLA PRATICA LA REGRESSIONE MULTIPLA PUÒ ESSERE USATA UTILIZZANDO DIVERSE STRATEGIE. TALI STRATEGIE DIFFERISCONO PREVALENTEMENTE NEL CRITERIO CHE DEFINISCE L ORDINE DI ENTRATA DELLE VI NELL EQUAZIONE DI REGRESSIONE. L ORDINE DI INTRODUZIONE, INFATTI, DETERMINA LA PARTE DI VARIANZA DELLA VD UTILIZZATA PER LA VERIFICA DELLE IPOTESI SU CIASCUNA VI. LA PRIMA VARIABILE HA A DISPOSIZIONE TUTTA LA VARIANZA DELLA VD (100%), LA SECONDA AVRÀ A DISPOSIZIONE SOLO LA VARIANZA RESIDUA, E COSÌ PER TUTTE LE SUCCESSIVE VARIABILI. TRE SONO LE STRATEGIE MAGGIORMENTE IMPIEGATE NELLA PRATICA: LA REGRESSIONE STANDARD (ESPLICATIVA). CONSENTE DI VERIFICARE L ENTITÀ DELLA RELAZIONE COMPLESSIVA TRA VI E VD, E IL CONTRIBUTO SPECIFICO DI CIASCUNA VI CONTROLLATO PER TUTTE LE VI IN EQUAZIONE. LA REGRESSIONE GERARCHICA (COMPARATIVA). CONSENTE DI VALUTARE QUAL È IL CONTRIBUTO AGGIUNTIVO DELLA/E VARIABILE/I X INSERITA/E DOPO X 1. LAREGRESSIONE STATISTICA (PREDITTIVA). CONSENTE DI IDENTIFICARE LA MIGLIORE COMBINAZIONE PREDITTIVA TRA LE VI CONSIDERATE. 33

34 REGRESSIONE MULTIPLA STANDARD Tutte le VI vengono nserte contemporaneamente. ognuna, nfatt, è trattata come se fosse l ultma. ad ogn VI corrsponde solo quella parte d varabltà che condvde UNICAMENTE con la VD. Vene qund nterpretato l modello complessvo e l contrbuto d cascun predttore sulla VD. questa seconda nterpretazone s avvale dell utlzzo de coeffcent d regressone parzale. L ampezza dell R è determnata dalla porzone unca d cascun predttore e dalla porzone comune a tutte le larabl che aumenta all aumentare della collneartà tra le VI. REGRESSIONE MULTIPLA GERARCHICA L ordne d nsermento delle varabl vene specfcato dal rcercatore. Ogn VI è valutata per quanto aggunge nella spegazone della VD rspetto a quanto è stato spegato dalle varabl nserte precedentemente. L ordne vene stablto dal rcercatore n funzone delle consderazon teorche o logche. Il cambamento vene valutato medante le varazon osservate ne termn dell R la cu sgnfcatvtà e po valutata medante l valore F. 34

35 35 B B A M M M D Un modello A (M A ) s dce nested n un modello B (M B ) se l modello A è composto da alcun de termn contenut nel modello B, e non ve ne sono d dvers, mentre nel modello B v sono anche termn agguntv. b a M A c b a M B REGRESSIONE MULTIPLA GERARCHICA Nella regressone gerarchca, modell sono confrontabl quando sono gerarchcamente organzzabl o ndfcat o nested. PER PORRE A CONFRONTO DIFFERENTI MODELLI È POSSIBILE UTILIZZARE LA STATISTICA F PER VALUTARE SE IL CONTRIBUTO DIFFERENZIALE È SIGNIFICATIVO. r k r k k k k k k k X X X X X X X Y E ) ( IN QUESTO CASO SI È INTERESSATI A VERIFICARE L EFFETTO CHE L AGGIUNTA DEGLI r PREDITTORI HA NELLA FUNZIONALITÀ DEL MODELLO: 0 H 1 0 r k k k 1 1 F r k n R r R R m DOVE R m CORRISPONDE AL COEFFICIENTE R OTTENUTO SENZA GLI r PREDITTORI.

36 a b c d a b c d Dev Totale R Totale a b c d a b a b c d a b c d a b c d R Sem-Parzale R Parzale b a b c d b b c d POSSIBILI R E RELATIVE INTERPRETAZIONE R totale del modello s ottene facendo l rapporto tra DEV spegata e DEV totale della VD. Corrsponde alla capactà esplcatva totale d tutte le varabl nel modello (ndstntamente). R sem-parzale (ΔR ) s ottene facendo l rapporto tra DEV spegata da una sngola VI e DEV totale della VD. Corrsponde alla capactà esplcatva unca d una sngola VI rspetto alla varabltà totale della VD. Ovvero la parte della varanza spegata attrbuble uncamente dalla varable consderata. R parzale s ottene facendo l rapporto tra DEV spegata dalla sngola varable e (DEV totale DEV spegata_dalle_altre_vi ). Corrsponde alla capactà esplcatva unca d una sngola VI rspetto alla varabltà della VD non spegata dalle altre VI. Ovvero la proporzone della varanza resdua del modello precedente spegata dalla VI consderata. 36

37 REGRESSIONE MULTIPLA STATISTICA L ordne d nsermento delle varabl vene determnato algebrcamente. generalmente l termne d rfermento è l coeffcene d correlazone parzale. Esstono tre prncpal tecnche: forward (n cu s aggungono le VI sgnfcatvamente assocate alla VD); backward (n cu s elmnano le VI non assocate sgnfcatvamente alla VD); stepwse (n cu s aggungono le v assocate sgnfcatvamente alla VD, ma se a passagg successv perdono la forza assocatva vengono elmnate). MEDIANTE L R SI VALUTA IL MODELLO FINALE, SI VALUTA L ORDINE DI INGRESSO DELLE VARIABILI E IL CONTRIBUTO DI CIASCUNA...ASSUNZIONI LE ASSUNZIONI NELLA REGRESSIONE MULTIPLA 37

38 INDIPENDENTEMENTE DALLA TECNICA SCELTA, PER UNA CORRETTA APPLICAZIONE DEL MODELLO DELLA REGRESSIONE, QUINDI, PER UNA CORRETTA STIMA DEI PARAMETRI DELLA POPOLAZIONE E PER LA VERIFICA DELLE IPOTESI È NECESSARIO CHE LE ASSUNZIONI PREVISTE DAL MODELLO SIANO VERIFICATE. IN CASO DI VIOLAZIONE, IL RISCHIO IN CUI SI PUÒ INCORRERE DIPENDE DAL TIPO DI VIOLAZIONE OSSERVATA...ASSUNZIONI TUTTE LE VARIABILI DEVONO ESSERE MISURATE SU SCALA ALMENO AD INTERVALLI E SENZA ERRORE LA VARIABILE DIPENDENTE È FUNZIONE LINEARE DELLA COMPONENTE DETERMINISTICA (X 1 + X + X X k ) PER OGNI SET DELLE k VARIABILI INDIPENDENTI (X 1 ; X ; X 3 ; ; X k ), E( ) = 0 PER OGNI SET DELLE k VARIABILI INDIPENDENTI, VAR E( ) = (COSTANTE) 38

39 ..ASSUNZIONI PER OGNI COPPIA DELLE k VARIABILI INDIPENDENTI, COV (, h ) = 0 (GLI ERRORI NON DEVONO ESSERE COMUNI) PER OGNI VARIABILE INDIPENDENTE X, COV (X, ) = 0 NON CI DEVE ESSERE UNA PERFETTA COLLINEARITÀ TRA LE VI NEL MODELLO PER OGNI SET DELLE k VARIABILI INDIPENDENTI DEVE ESSERE NORMALMENTE DISTRIBUITO Se prm 6 assunt sono rspettat (n base al teorema d Gauss-Markov) è possble affermare che le formule d stma dervate dal prncpo de mnm quadrat (LS) sono effcent e senza bas; e vengono dette BLUE (BEST LINEAR UNBIASED ESTIMATOR). Il teorema, tuttava, vale solo se gl assunt sono rspettat. In genere, l metodo pù utle per verfcare l adeguatezza del modello è l anals de resdu de valor stmat dalla regressone per ogn valore osservato: e Y Yˆ 39

40 L ASSUNTO DELLA MULTICOLLINEARITÀ UNA PRIMA DISTINZIONE DEVE ESSERE FATTA TRA LA PERFETTA MULTICOLLINEARITÀ E LE FORME MENO ESTREME DI MULTICOLLINEARITÀ. LA PERFETTA COLLINEARITÀ ESISTE QUANDO UNA O PIÙ VI È PERFETTAMENTE CORRELATA (r = 1) AD UNA O PIÙ DELLE ALTRE VI NELL EQUAZIONE. X.3X 3 oppure X X 3 1 FORTUNATAMENTE NELLA PRATICA PSICOLOGICA NON CAPITANO QUASI MAI CASI DI QUESTO TIPO (DOVE LA STIMA DEI PARAMETRI RISULTA NON POSSIBILE). MOLTO PIÙ SPESSO ABBIAMO A CHE FARE CON IL CASO IN CUI SI ASSISTE A FORME MENO ESTREME DI COLLINEARITÀ. 40

41 NEGLI ESPERIMENTI, AD ESEMPIO, QUESTO PROBLEMA VIENE PERFETTAMENTE RISOLTO DAL MOMENTO CHE LE VARIABILI SONO MANIPOLATE DALLO SPERIMENTATORE IN MODO DA RENDERLE INDIPENDENTI. NELLA PRATICA È BENE CONSIDERARE LA COLLINEARITÀ COME UN GRADIENTE. La presenza della multcollneartà non altera la valdtà dell ols, ma nflusce sull nterpretazone della sgnfcatvtà delle stme de coeffcent parzal. Infatt, quando due o pù varabl ndpendent sono altamente correlate è IMPOSSIBILE conoscere l contrbuto d cascuna delle due varabl sulla varable dpendente. Da un punto d vsta statstco l nfluenza della collneartà s osserva nella stma del coeffcente d errore (s) che nevtablmente aumenta e ne conseguent test d sgnfcatvtà (t) dove s osserva una rduzone de valor. 41

42 Gl effett della multcollneartà sono IRRILEVANTI se l nostro modello s pone come obettvo la predzone della vd (MODELLO PREDITTIVO); dventano molto pù SERI se l obettvo della regressone è quello d defnre la rlevanza de sngol predttor (MODELLO INTERPRETATIVO). Tranne nel caso della perfetta multcollneartà, nella pratca non esstono test che consentono d defnre se questo problema esste o meno. FORTUNATAMENTE, PERÒ, ESISTONO DEI SEGNALI CHE POSSONO PORTARCI SOSPETTARNE LA PRESENZA. ALCUNI QUANDO: SEGNALI POSSONO ESSERE RICONOSCIUTI IL MODELLO MOSTRA UN BUON FIT CON I DATI E TUTTAVIA SI OSSERVA CHE TUTTI I COEFFICIENTI PARZIALI SONO NON SIGNIFICATIVI; LE STIME DEI COEFFICIENTI PARZIALI NON SONO STABILI NEI DIVERSI CAMPIONI O NELLO STESSO CAMPIONE A SEGUITO DI LEGGERE VARIAZIONI DEL MODELLO. SE I SI RILEVANO TALI SEGNALI È POSSIBILE IMPIEGARE ALCUNI TEST PER PROCEDERE AD UNA PIÙ DIRETTA VERIFICA. 4

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