Istituzioni di Matematica II 5 Luglio 2010

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1 Istituzioni di Matematica II 5 Luglio Classificare, al variare del parametro α R, la forma quadratica (1 + α )x + 4xy + αy.. i) Si determinino tutti i punti critici della seguente funzione f(x, y) = e (x+y) x y ristretta all insieme {x + y < 1} e se ne studi la natura. ii) Si trovi il versore che indica la direzione di massima crescita della funzione f(x, y) nel punto (1, 1). 3. Si dimostri che il campo F(x, y) = (xy, x + e y ) è conservativo e si trovi quel potenziale U(x, y) tale che U(1, 0) =. 4. i) eterminare tutte le soluzioni dell equazione differenziale e dire qual è il loro dominio. ii) ire se esistono soluzioni y(x) tali che iii) ire se esistono soluzioni y(x) tali che y + 4y + 8y = e x x + x 5. Calcolare y 1 + x dxdy dove è il triangolo di vertici (0, 0), (1, 0), (0, 1).

2 Istituzioni di Matematiche II 5 Luglio 010 Soluzioni 1. Classificare, al variare del parametro α R, la forma quadratica (1 + α )x + 4xy + αy. dove Soluzioni. { A = 0 semidefinta positiva, se 1 + α { > 0 A = 0 semidefinta negativa, se 1 + α La forma è < 0 indefinta se A < 0 { A > 0 definta positiva, se 1 + α { > 0 A > 0 definita negativa, se 1 + α < 0 ( (1 + α A = det ) ) = 1 α (α + α 8). = 0 se α =, 4 α + α 8 < 0 se 4 < α < > 0 se α < 4 oppure se α > { > 0 se α > 1 + α < 0 se α < quindi la forma è semidefinita positiva se α =, semidefinita negativa se α = 4, indefinita se 4 < α <, definita positiva se α >, definita negativa se α < 4.. i) Si determinino tutti i punti critici della seguente funzione f(x, y) = e (x+y) x y ristretta all insieme {x + y < 1} e se ne studi la natura.

3 ii) Si trovi il versore che indica la direzione di massima crescita della funzione f(x, y) nel punto (1, 1). Soluzioni. i) I punti critici sono le soluzioni del sistema { fx (x, y) = e (x+y) xy( x) = 0 f y (x, y) = e (x+y) x (1 y ) = 0 La prima equazione si annulla per x = 0, y = 0 e x =, la seconda si annulla per x = 0 e per y = ± 1, quindi le soluzioni del sistema sono (0, y) per ogni y R e (, ± 1 ). I due ultimi punti non appartengono all insieme considerato. f(0, y) = 0, { > 0se y > 0 f(x, y) < 0se y < 0 quindi i punti (0, y) con y > 0 sono di minimo, i punti (0, y) con y < 0 sono di massimo, (0, 0) è punto di sella. ii) La direzione di massima crescita è quella del gradiente f(1, 1) = e (1, 1), il cui versore è 1 (1, 1). 3. Si dimostri che il campo F(x, y) = (xy, x + e y ) è conservativo e si trovi quel potenziale U(x, y) tale che U(1, 0) =. Soluzioni. Il campo è definito in R, che è semplicemente connesso, ed è irrotazionale infatti (xy) = (x + e y ) = x. y x I potenziali sono le funzioni U(x, y) tali che { (U(x,y)) x (U(x,y)) y = xy = x + e y Quindi dove g (y) = e y. U(x, y) = xydx = x y + g(y) U(x, y) = x y + e y + k. a U(1, 0) = 1 + k = segue k = 1. Il potenziale cercato è U(x, y) = x y + e y i) eterminare tutte le soluzioni dell equazione differenziale y + 4y + 8y = e x

4 e dire qual è il loro dominio. ii) ire se esistono soluzioni y(x) tali che iii) ire se esistono soluzioni y(x) tali che x + x Soluzioni. i) Le soluzioni dell equazione caratteristica sono λ = ( 1 ± i). λ + 4λ + 8 = 0 L integrale dell equazione omogenea associata è quindi y o (x) = e x (c 1 cos x + c sin x). y + 4y + 8y = 0 Utilizzando il metodo di somiglianza cerchiamo un integrale della equazione completa della forma y(x) = ae x. Sostituendo questa funzione con le sue derivate nell equazione otteniamo a = L integrale generale dell equazione è ae x + 4ae x + 8ae x = e x y(x) = e x (c 1 cos x + c sin x) ex. ii) lim x + e x (c 1 cos x + c sin x) ex = 0 + = + per ogni c 1, c, quindi non ci sono soluzioni per cui iii) x + lim x e x (c 1 cos s + c sin x) ex = 0 se c 1 = c = 0, se invece (c 1, c ) (0, 0) il limite non esiste. 5. Calcolare y 1 + x dxdy

5 dove è il triangolo di vertici (0, 0), (1, 0), (0, 1). Soluzioni. I metodo. y 1 + x dxdy = ( 1 + x x+1 0 y dy)dx = ( x + 1) 1 + x dx = 1 II metodo (teorema di Green-Gauss). 1 0 y 1 + x dxdy = γ (1 x 1 + x )dx = 1 (1 log ). 1 y 1 + x dx dove γ è il bordo di orientato positivamente. { { { x = 0 x [0, 1] x [0, 1] Posto γ 1 = y [0, 1], γ = y = x + 1 γ 3 = y = 0 γ infatti γ y 1 + x dx = 1 γ 1 y 1+x dx = 1 γ 3 y 1 + x dx + 1 γ y 1 + x dx 1 γ 3 1 y 1 γ 1 + x dx = 1 ( x + 1) x dx y 1+x dx = 0. y 1 + x dx =

6 Istituzioni di Matematica II 15 Luglio Si scriva in forma algebrica e in forma di Eulero il numero (1 + i 3) 1 (1 i) 8. Si trovino le coordinate del baricentro della curva di equazione polare ρ = cos θ θ [0, π 4 ]. 3. Si trovino tutti i punti critici delle funzione e se ne studi la natura. z = x y (1 x y) 4. Si risolva il seguente problema di Cauchy y + y = sinh x y(0) = 0 y (0) = 0 5. Sia Calcolare dove γ è la curva di equazioni F(x, y) = (ye xy + 1, xe xy 1) F(x, y) dr γ x(t) = e t cos πt y(t) = t sin πt t [0, 1] orientata nel verso delle t crescenti

7 Istituzioni di Matematica II 13 Settembre Si scrivano parte reale e coefficiente dell immaginario del numero (1 i 3) 1 (1 + i) 8. Si calcoli xdxdy dove è l insieme dei punti del primo quadrante delimitato dalla retta passante per i punti (1, 0) e (0, 1) e dalla circonferenza di centro l origine e raggio Si dimostri che la funzione f(x, y) = e x y (x y) ristretta al triangolo chiuso di vertici (0, 0), (1, 0), (0, 1), ammette massimo e minimo e li si calcolino. 4. Si risolva il seguente problema di Cauchy { y + y x ex x = 0 y(1) = 0 5. Sia Calcolare dove γ è la curva di equazioni F(x, y) = (x, y ). F(x, y) dr γ x(t) = 3 cos t y(t) = sin t, t [0, π] orientata nel verso delle t decrescenti.

8 Istituzioni di Matematica II Si trovino gli autovalori della matrice A = Si dimostri che R 3 ammette una base fatta di autovettori della matrice A. Si trovi una base di R 3 fatta di autovettori della matrice A.. Si calcolino massimo e minimo della funzione soggetta al vincolo x + y = 1. f(x, y) = x y 3. Si risolvano i seguenti problemi di Cauchy { y = y y x y(1) = { y = y y x y(1) = 1 e si trovino i più ampi intervalli in cui sono definite le soluzioni. 4. Sia γ l arco di curva x(t) = cos t y(t) = sin t t [0, π] z(t) = e t orientato nel verso delle t crescenti. i) Calcolare il lavoro lungo γ del campo vettoriale 4. Calcolare F(x, y) = (xz, yz, x + y dove = {(x, y) : 1 x e 0 y 1 x }. e xy (xy 1) dxdy + z ).

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