6. CAMPO MAGNETICO ROTANTE.

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1 6 CAMPO MAGNETICO ROTANTE Il camo magnetico monofase Il funzionamento delle macchine elettriche rotanti alimentate in corrente alternata si basa sul rinciio del camo magnetico rotante: il suo studio viene qui introdotto in modo generale, rescindendo cioè dalla macchina secifica Si considerino due cilindri coassiali (v fig01), uno esterno (armatura esterna), l'altro interno (armatura interna) tra loro searati da uno sessore () uniforme di aria (traferro); i due cilindri si suongono realizzati in materiale ferromagnetico avente una ermeabilità molto elevata, al limite infinita (µ fe = ) Nello sazio fra i cilindri si realizzi una bobina di N sire, connesse in serie fra loro Ciascuna sira di tale bobina è costituita da quattro conduttori rettilinei: una coia di conduttori, aventi l'asse in direzione assiale, è alloggiata in due cave oste a distanza diametrale, rosicienti il traferro e ricavate su una delle due strutture, ad esemio quella esterna; l'altra coia di conduttori realizza la connessione fra i conduttori osti nelle cave, in corrisondenza delle arti frontali della struttura cilindrica Dicesi asso la distanza (misurata lungo la eriferia cilindrica della struttura dotata di avvolgimento) fra i conduttori assiali connessi fra loro a formare le sire di una bobina: nel caso in esame la bobina è a asso diametrale Quando le N sire siano ercorse da corrente costante I nasce un camo magnetico (v ancora fig 01), le cui linee di flusso resentano un andamento simmetrico risetto agli assi a-a ; b-b ; ciascuna linea di camo è concatenata con la fmm N I ed attraversa due volte radialmente il traferro, una volta secondo un verso, l'altra volta secondo il verso radiale oosto Poichè la ermeabilità delle armature è suosta infinita, non vi è in esse alcuna caduta di tensione magnetica (cdtm) Pertanto, considerando una generica linea di camo, la fmm totale (N I) uguaglia la somma delle cdtm nei due attraversamenti del traferro D'altra arte, i due attraversamenti sono di uguale lunghezza (); quindi, la differenza di otenziale magnetico (ddm) al traferro (U ) vale (a rescindere dal segno) N I/ Si definisce diagramma di fmm al traferro, e si indica con M(), la funzione che esrime la differenza di otenziale magnetico U tra le due armature, unto er unto lungo eriferia La ddm al traferro, o fmm al traferro, è una quantità algebrica: essa è ositiva quando la linea di camo nella osizione di eriferia considerata è diretta verso l'armatura esterna, negativa in caso oosto Fig 01 Camo di fmm dovuto ad una bobina M armonica rinciale 88

2 Indicata con la generica osizione angolare lungo la eriferia della struttura risetto all'asse magnetico b-b della bobina (osto in direzione erendicolare al iano in cui la bobina giace), con le convenzioni di fig 01 la fmm al traferro M() ha la seguente esressione: I N er M I 3 N er Poiché il traferro è costante (trascurando la resenza delle cave), la distribuzione della induzione al traferro lungo la eriferia B () è roorzionale al diagramma di M(): B H M 0 0 Se la struttura cilindrica viene svolta nel iano, tale diagramma risulta di tio rettangolare, come indicato in fig 0 Lo sviluo in serie di Fourier dell'onda rettangolare eriodica di fig 0 è il seguente: 4 N I 1 1 M cos cos3 cos5 3 5 Pertanto questo camo di fmm al traferro, a distribuzione rettangolare, è ensabile come somma algebrica di funzioni sinusoidali, di amiezza inversamente roorzionale all'ordine di armonicità Il camo sinusoidale fondamentale (caratterizzato dal minor numero di semionde lungo lo sviluo della eriferia) ha amiezza: 4 N I M max ed esressione: 4 N I M cos ; i suoi unti di zero coincidono con i unti di zero del diagramma originario di fmm Per quanto riguarda i cami armonici di fmm con ordine di armonicità sueriore, si uò osservare e/o dimostrare quanto segue: non esistendo i cami di ordine ari, l'armonica resente di ordine iù basso è la terza, di amiezza ari ad 1/3 di quella del camo fondamentale; le rinciali alicazioni di questa trattazione si riferiscono a macchine trifasi: in tale situazione si uò dimostrare che l'effetto trifase comlessivo dei cami armonici di ordine 3 e multili di 3 è nullo; l'effetto delle rime armoniche di camo realmente efficaci (la 5 a e la 7 a ), già di er sè di minore amiezza, uò essere ridotto con oortuni accorgimenti costruttivi nella realizzazione degli avvolgimenti Pertanto, nel seguito verrà considerata la sola resenza del camo fondamentale di fmm, avente la distribuzione sinusoidale raresentata in fig 0 Nello studio del regime sinusoidale si è visto che ad una sinusoide funzione del temo si uò far corrisondere un vettore, di amiezza ari a quella della sinusoide e di fase oortuna Anche er le sinusoidi nello sazio è ossibile e conveniente istituire questa corrisondenza Si conviene, ertanto, di raresentare un camo di fmm a distribuzione sinusoidale lungo la eriferia mediante un vettore M L'amiezza di tale vettore è ari al valor massimo della 89

3 sinusoide; la direzione (coincidente con quella dell'asse magnetico n 1 della bobina) corrisonde alla osizione eriferica in corrisondenza alla quale si verifica tale massimo; il verso è in accordo al segno assunto ositivo er il diagramma di fmm Fig 0 Sviluo lineare della struttura di fig 01 M è l armonica rinciale del camo di fmm dovuto ad una bobina Il valore della differenza di otenziale magnetico al traferro nella generica osizione risulta ari alla roiezione del vettore M lungo la semiretta che individua tale osizione (fig 01) Se la corrente che ercorre la bobina è alternata sinusoidale con ulsazione, il camo di fmm ossiede sì un andamento saziale sinusoidale ma la sua amiezza è variabile nel temo: t I cos t,t cos t cos M cos t cos i 4 N I m Il vettore m t risulta quindi semre diretto lungo l asse della bobina, ma la sua amiezza varia nel temo con legge sinusoidale e ulsazione da un massimo ositivo ad un massimo negativo: si ha quindi un camo di fmm FISSO nello sazio e VARIABILE nel temo Un camo di fmm di tali caratteristiche, cioè stazionario nello sazio e alternativo sinusoidale nel temo, è equivalente ad una coia di cami controrotanti con velocità angolare = ± ed aventi amiezza costante, ari a metà di quella massima del camo stazionario oscillante Infatti: M M m, t M cos t cos cos t cos t md, t mi, t Si osservi che nella esressione: m, t M cos t cos è sontaneo interretare l'anomalia come una osizione angolare fissa lungo la eriferia, in corrisondenza della quale l'osservatore valuta il valore della fmm, di amiezza variabile sinusoidalmente nel temo Viceversa nelle esressioni: M M m d, t cos t m i, t cos t è iù oortuno interretare come l'angolo secondo il quale l'osservatore deve orientarsi nel temo er rimanere solidale con il massimo della sinusoide di fmm rotante al traferro Per ciascuno dei due cami controrotanti, onendo uguale a zero l'argomento della funzione coseno si ottiene il valore dell'angolo ( max ), cui corrisonde il massimo di tale fmm: max t t d i max 90

4 Dunque il rimo camo, il cui massimo si sosta con velocità =+ nel senso degli angoli ositivi, si dice diretto; il secondo, il cui massimo si sosta con velocità = nel senso degli angoli negativi, si dice inverso Si uò arrivare alla stessa conclusione con considerazioni di carattere vettoriale, come mostrato in fig03: comonendo istante er istante due vettori uguali, rotanti (uno in senso oosto all'altro) con velocità angolare costante, si ottiene un vettore avente direzione fissa ed amiezza variabile nel temo secondo una legge sinusoidale Fig 03 Suddivisione di un camo di fmm FISSO nello sazio e VARIABILE nel temo in due cami controrotanti MOBILI nello sazio e COSTANTI nel temo Camo di fmm al traferro rodotto da un avvolgimento trifase ercorso da corrente alternata sinusoidale Siano date tre bobine disoste sazialmente a 10 l una dall altra (fig 04); esse siano ercorse da tre correnti sinusoidali i 1 (t), i (t), i 3 (t) sfasate nel temo di 10 La corrente circolante nella bobina 1-1 dà luogo ad un camo di fmm FISSO nello sazio (diretto lungo l asse n 1 ) e VARIABILE nel temo; tale camo è raresentabile mediante un vettore diretto lungo l asse n 1 Lo stesso vale er la corrente circolante nella bobina -, di asse n, e er la corrente nella bobina 3-3, di asse n 3 Si consideri una generica osizione al traferro individuata dalla coordinata angolare Il valore del camo di fmm al traferro in tale osizione è dato dalla somma dei cami dovuti alle tre bobine, cioè alla roiezione dei vettori istantanei individuata dalla coordinata m m 1 t, m t, t 1 t I cos t,t cos t cos i 4 N I m 1 m 3 lungo la osizione i t I cos 10,t cos t t m 4 N I cos i t I cos 40,t cos t t m 4 N I 3 cos 4 N I,t m,t m,t m,t cos t M cos t

5 Fig 04 Avvolgimento trifase ercorso da una terna equilibrata di correnti Si tratta quindi di un camo magnetico rotante MOBILE nello sazio e COSTANTE nel temo (di amiezza 3/ M) Infatti: all istante t 1 il valore massimo del camo si ha nella osizione 1 t1 All istante t t 1 t, il valore massimo del camo si ha in: t t1 t 1 t, cioè in una osizione successiva Ne segue che la velocità angolare meccanica del camo rotante è: 1 0 t Per un avvolgimento a due oli (cioè che dà luogo a due semi onde di fmm), la velocità angolare meccanica 0 risulta ari alla ulsazione delle correnti Ad es, se la frequenza delle correnti di alimentazione è f = 50 Hz, = f = 314 rad/s 0 = 314 rad/s = 3000 giri/min Le tre correnti di fase ossono essere raresentate nel iano comlesso di Gauss mediante tre fasori, I 1, I ed I 3, ed il loro valore istantaneo è dato dalla roiezione sull asse reale del relativo fasore Sovraonendo il iano comlesso sul iano della macchina in modo che l asse Reale coincida con l asse n 1 della fase 1-1, si uò dimostrare che, istante er istante, la osizione angolare del vettore fmm m coincide con la osizione del fasore I 1 (fig 05) Infatti, all istante generico t*, la fase del fasore I 1 è * I1 t Il vettore m,t è massimo Ciò avviene er m è diretto, istante er istante, nella direzione in cui t 0, cioè er t * * All istante t*, tale coordinata angolare è t E quindi dimostrata la tesi 9

6 Fig 05 Sovraonendo il iano comlesso sul iano della macchina in modo che l asse Reale coincida con l asse n 1, ne segue I 1 = m istante er stante Camo di fmm a due oli rodotto da un avvolgimento bifase ercorso da corrente alternata sinusoidale Siano date due bobine, di N sire ciascuna, disoste sazialmente a 90 l una dall altra (fig06); esse siano ercorse da correnti sinusoidali sfasate nel temo di 90, con la corrente nella seconda bobina in anticio sulla rima La corrente circolante nella bobina 1-1 dà luogo ad un camo di fmm FISSO nello sazio (diretto lungo l asse n 1 ) e VARIABILE nel temo; tale camo è raresentabile mediante un vettore m 1 t diretto lungo l asse n 1 Lo stesso vale er la corrente nella bobina -, di asse n m t ed il camo Si consideri una generica osizione al traferro individuata dalla coordinata angolare : il valore del camo di fmm in tale osizione è dato dalla somma dei cami dovuti alle due bobine, cioè alla roiezione dei vettori istantanei t m t lungo la osizione individuata dalla coordinata m 1 ed Fig 06 Avvolgimento bifase ercorso da correnti sfasate nel temo di 90 1 t I cos t 1,t cos t cos i 4 N I m i t I cos 90,t cos t t 4 N I m cos 93

7 m 4 N I 1,t m,t m,t cos t M cos t Si tratta quindi di un camo magnetico rotante Questo avvolgimento è usato nei iccoli motori asincroni bifase ad alimentazione monofase ( motori a condensatore ), imiegati in molti aarecchi domestici (frigoriferi, ventil convettori, ) Avvolgimenti a iù coie olari Angolo meccanico e elettrico Si abbia un avvolgimento costituito da due bobine er fase, ciascuna con N sire (fig 07), ercorse dalla corrente continua I Fig 07 Avvolgimento monofase a quattro oli I diagrammi di fmm al traferro, reale m() e rinciale m (), sono raresentati in fig 08 Lungo l intero arco di circonferenza, cioè in rad meccanici, m () resenta quattro semionde: l avvolgimento si dice a quattro oli Fig 08 Diagrammi di fmm al traferro, reale m() e rinciale m (), dovuto ad un avvolgimento monofase a quattro oli Doo un arco comrendente due semionde ( rad meccanici), il diagramma assume lo stesso andamento; in altre arole, doo un arco ari a rad meccanici, m () ha comiuto un ciclo Un ciclo corrisonde a rad elettrici, er cui in questo caso rad meccanici rad elettrici 94

8 Più in generale, detto e l angolo elettrico, quello meccanico e il numero di oli (n il numero di aia oli): e n Utilizzando un avvolgimento trifase, alimentato con tre correnti sinusoidali di ulsazione sfasate nel temo di 10, si ottiene la seguente esressione del camo di fmm: 3 m 3,t M cos t e M cos t Lo stesso vale er un avvolgimento bifase (ad esclusione del coefficiente 3/) Rietendo la dimostrazione recedente, la velocità angolare meccanica del camo di fmm è: 0 n Ne segue che la relazione tra la relazione tra la frequenza di alimentazione f e la velocità di rotazione meccanica 0 del camo magnetico rotante è: f 4 0 f [Hz], 0 [rad/s] Si definisce velocità angolare elettrica del camo di fmm la quantità: d e d 0 d t d t e ; essa risulta ari alla ulsazione delle correnti di alimentazione, indiendentemente dal numero di oli Ad esemio, se la frequenza delle correnti di alimentazione è f = 50 Hz, ( = f = 314 rad/s), si ha: 0 [rad/s] / [giri/min] 314 / / / / 750 L imortanza degli angoli elettrici è notevole La struttura della macchina in un arco di circonferenza sotteso da un angolo ari a rad elettrici (un arco che comrende due oli) si riete identicamente in tutte le altre orzioni di eriferia E quindi ossibile limitare lo studio del comortamento magnetico ed elettrico ad un arco ari a rad elettrici In questo modo, lo studio delle macchine con un numero di oli = n 4 uò essere ricondotto a quello di una macchina a due oli, ur di considerare l angolo elettrico e e non quello meccanico Per questo motivo nell analisi delle macchine elettriche si fa semre riferimento ad una macchina a due oli 95

9 Fmm e flusso di un olo Le strutture cilindriche interne ed esterne delle macchine rotanti sono, in molti casi, dotate di un elevato numero di cave, uniformemente distribuite lungo la eriferia rosiciente il traferro: in tali cave vengono alloggiati i conduttori attivi (sono i conduttori disosti in senso assiale i quali, tagliando le linee di camo, risultano sede di fem indotta, in base alla legge dell'induzione in forma elementare) Ciascuna coia di conduttori attivi costituente, con i conduttori di collegamento frontali, una sira è disosta in una coia di cave Gli avvolgimenti di ciascuna fase sono costituiti realizzando numerose sire e connettendo tali sire in serie fra loro; se si tratta di una struttura trifase vi sono ertanto tre avvolgimenti di fase: er ragioni di simmetria costruttiva e funzionale, essi devono essere uguali ed ugualmente sostati fra loro (di /3 radianti elettrici) lungo la eriferia Si consideri agente in questa struttura un camo magnetico rotante; la causa di tale camo uò essere qualsiasi: il camo uò essere rodotto da un avvolgimento osto su una struttura (ad esemio il cilindro interno: rotore) in moto risetto all'altra struttura (il cilindro esterno: statore): in tal caso il camo è rodotto da una corrente continua e ruota nel traferro, solidale con la struttura che lo genera; il camo uò essere rodotto da una struttura fissa, dotata di un avvolgimento trifase ercorso da un sistema di correnti sinusoidali equilibrate (camo magnetico rotante di G Ferraris) E' evidente che agli effetti della struttura investita dal camo non ha rilevanza l'origine del camo, ma il fatto che esso sia rotante risetto alle sire in essa alloggiate: d'altra arte il camo magnetico concatena le sire della struttura indotta ed essendo in moto risetto ad esse, cioè variabile, induce delle fem in base alla legge della induzione elettromagnetica Si vuole qui mostrare il legame tra le fem elementari (indotte nelle singole sire) e quella comlessiva misurabile ai morsetti dell'avvolgimento A tale scoo si uò fare riferimento ad una struttura a due oli: si osservi, infatti, che ad ogni coia di oli la situazione si riete identicamente Pertanto la raresentazione schematica della struttura a due oli è significativa anche er un numero di oli sueriore, ur di ricordare che angoli e velocità angolari devono essere esressi in radianti elettrici; con tale raresentazione le sire che abbiano i lati attivi osti ad una distanza eriferica ari all'estensione di un olo aaiono disoste agli estremi di un diametro Come visto, il camo magnetico rotante di fmm (armonica fondamentale) ha esressione: m, t M cos t dove M è il valore massimo della sinusoide di fmm rotante al traferro; se un osservatore in moto con velocità angolare (esressa in radianti elettrici al secondo) osserva tale camo di fmm, esso gli aare di forma invariabile nel temo A questo camo di fmm a distribuzione sinusoidale e rotante al traferro si è associato un vettore saziale fmm, di amiezza ari al massimo della sinusoide di fmm, direzione corrisondente alla osizione angolare nella quale all'istante t si ha il massimo t e verso corrisondente alla semionda ositiva del diagramma di fmm (olo Nord) Non considerando le eventuali discontinuità del traferro, il camo di induzione in ogni unto lungo la eriferia vale: m, t b, t o Bmax cost Pertanto anche il camo di induzione è a distribuzione sinusoidale e uò essere convenientemente raresentato mediante una oortuna quantità vettoriale: si tratta del vettore saziale flusso di un olo Tale vettore è così definito: l'amiezza è ari al flusso, attraverso il traferro, del camo di induzione b(ε, t), calcolato fra i unti di zero di una semionda della distribuzione sinusoidale: dove: t b l d, 96

10 τ è la lunghezza eriferica corrisondente ad un olo (misurata lungo la circonferenza di raggio R); l è la lunghezza delle strutture cilindriche, ovvero dei conduttori attivi Fig 09 Vettore flusso al traferro: è il asso olare Calcolando l'integrale fra gli estremi di eriferia corrisondenti ai suddetti assaggi er lo zero della sinusoide di camo si ottiene: Bmax l ; la direzione ed il verso del vettore flusso sono gli stessi di quelli del vettore fmm Osservando che tra i valori massimi delle due distribuzioni vale la relazione o Bmax M, tra le amiezze dei due suddetti vettori saziali esiste il seguente legame: con o M, l Fem indotta in un avvolgimento da un camo di fmm Il camo di induzione magnetica dà luogo a fem sia negli avvolgimenti che lo creano sia ad altri avvolgimenti resenti nella macchina Per la loro determinazione, si consideri la struttura di fig 10: si tratta di una struttura a due oli, nella quale tre avvolgimenti di fase statorici (costituenti un avvolgimento trifase), disosti a 10 l uno dall altro e ercorsi da tre correnti equilibrate, creano un camo di fmm rotante m ed un camo di induzione Vi sia anche una generica bobina k, costituita da N sb sire ed avente i conduttori attivi disosti nelle cave k e k', oste a distanza diametrale In fig 10 la osizione del vettore flusso è individuata dall'angolo elettrico e, che si suone variabile nel temo con la seguente legge: e e t e0, e (: ulsazione delle correnti statoriche) avendo indicato con e0 la osizione dell'asse magnetico del camo all'istante t=0 97

11 La osizione della bobina considerata è individuata dall'angolo e che la normale n al iano della bobina forma con il riferimento assunto er gli angoli Suonendo, er generalità, che il rotore ruoti con velocità angolare meccanica ed elettrica r, si ha: e r t e0, con r n dove e0 individua la osizione della bobina all istante iniziale Fig 10 Camo di fmm m e di induzione al traferro dovuto all avvolgimento trifase Determinazione della fem indotta nella bobina rotorica ed in quelle statoriche Il flusso c concatenato con la bobina k - k risulta una funzione sinusoidale dell'angolo formato dall asse del camo magnetico e dalla normale al iano della bobina Ne viene la seguente esressione: c N sb cos e e Si decide di misurare la fem indotta nella bobina legandone il verso a quello del flusso con la regola oosta a quella della vite destrorsa; ertanto il verso istantaneo della fem nei lati attivi della bobina è quello indicato in fig 10 con croce (+) e unto ( ) La fem indotta nella bobina (e b ) assume dunque la seguente esressione: d c d eb N sb d t N sb sin r e e d t sin e e r t e0 e0 Questa esressione mette in evidenza quanto segue: la frequenza di tale fem è roorzionale alla differenza delle velocità di rotazione (in radianti elettrici) del camo rotante e del cilindro interno; anche l'amiezza di tale fem indotta è roorzionale a tale differenza Pertanto, qualora il rotore fosse in moto alla medesima velocità del camo rotante, non vi sarebbero fem indotte nelle sire di rotore Si consideri ora il caso in cui la velocità r è nulla: oltre a corrisondere alla situazione di rotore fermo, tale condizione è in ogni caso alicabile a tutte le bobine di statore, essendo quest'ultimo solidale con il riferimento fisso adottato Ponendo nella esressione recedente la condizione r = 0 ed osservando che in tal caso si ha: si ottiene: e = e0, 98

12 eb N sb sin Per la bobina statorica 1 1 ( e0 = 0), si ha: t N e0 e0 sb sin e e0 t N cos t e b1 N sb sin e0 sb e0 90 E' imortante osservare che in questo caso la ulsazione elettrica della fem indotta e la velocità angolare elettrica del camo rotante coincidono Inoltre la fem e b è massima nel temo (in modulo) quando vale la relazione: da cui: e e0, e 0 e Quest'ultima relazione si interreta dicendo che il iano della sira nella quale viene indotta la massima fem è quello su cui giace il vettore flusso; questo fatto è in accordo con quanto revedibile in base alla legge elementare dell'induzione (e=b l v), considerando che in quel iano si ha il massimo del camo di induzione al traferro Sovraonendo il iano comlesso sul iano della macchina, in modo che l asse reale coincida con l asse n 1 della fase 1 di statore, è ossibile raresentare la fem e b1 indotta nella bobina 1-1 mediante un fasore E 1 ruotato di 90 in anticio risetto al vettore flusso (si osservi il terzo monomio di e b1 ) La roiezione sull asse reale (quindi sull asse n 1 ) di E 1 dà il suo valore istantaneo (fig 11) Analogamente la fem indotta nella bobina statorica, sostata di 10 risetto alla 1 1, vale: t N cos t 90 eb N sb sin e0 10 sb e0 10 risulta quindi sfasata di 10 in ritardo risetto alla e b1 ; analogamente la fem e b3 indotta nella bobina 3 3 risulta sfasata di 40 in ritardo risetto alla e b1 ; Fig 11 Raresentazione della fem indotta nella rima fase dell avvolgimento trifase statorico 99

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