POLITECNICO DI MILANO IV FACOLTÀ Ingegneria Aerospaziale Fisica Sperimentale A+B - III Appello 11 Febbraio 2008

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1 POLICNICO DI MILANO IV FACOLÀ Ingegneria Aerospaziale Fisica Sperimentale A+B - III Appello 11 Febbraio 008 Giustificare le risposte e scrivere in modo chiaro e leggibile. Sostituire i valori numerici solo alla fine, dopo aver ricavato le espressioni letterali. Indicare nome e cognome (in stampatello) e matricola su ogni foglio. 1. Due punti materiali di massa m 1 M e m M, non soggetti a forze, si muovono nello spazio con velocità V 1 V i e V V j rispettivamente (i e j sono i versori degli assi ortogonali x e y). Supponendo che ad un certo istante essi si urtino in modo completamente anelastico, calcolare: a) il vettore velocità finale del sistema; b) l energia dissipata nell urto.. sprimere le seguenti grandezze in funzione di g 9.8 m s - accelerazione di gravità in prossimità della superficie terrestre: a) valore numerico della velocità con cui deve muoversi un corpo per percorrere un'orbita circolare ad una distanza di 6 raggi terrestri dal centro della terra; b) valore numerico della velocità minima che deve essere impartita ad un corpo in prossimità della superficie terrestre affinché esso possa superare la forza di gravità e portarsi a distanza infinita dalla terra (si trascurino gli attriti). (Raggio della erra 6370 m). 3. Un condensatore piano ideale, con superficie delle armature S 1.5 cm e distanza fra le armature d 5 mm, viene caricato finché la differenza di potenziale fra le armature è pari a ΔV 6 V. Successivamente le armature vengono allontanate fino ad una distanza d 1 cm mantenendole collegate al generatore. rovare: a) la variazione di capacità; b) la variazione della densità volumetrica di energia del campo elettrostatico. Ripetere i calcoli nel caso in cui il condensatore venga scollegato dal generatore prima di allontanare le armature. (Costante dielettrica del vuoto ε F m -1 ) 4. Si consideri un filo rettilineo in cui scorre una corrente stazionaria di intensità I 48 A e un elettrone che possiede una velocità di modulo v m s -1 a una distanza d 5 cm dal filo. Calcolare la forza magnetica che agisce sull elettrone, specificando modulo, direzione e verso, a seconda che la velocità dell elettrone sia: a) rivolta verso il filo e diretta perpendicolarmente ad esso; b) parallela e concorde alla corrente del filo; c) in direzione normale ai due casi precedenti. (Carica dell elettrone e C; permeabilità magnetica del vuoto µ 0 4π 10-7 m A -1 ).

2 sercizio 1 a) Nell urto completamente anelastico fra due corpi non sottoposti ad alcuna forza esterna si conserva la quantità di moto. Detta V f la velocità dopo l urto, la conservazione della quantità di moto del sistema descritto nel testo dell esercizio è espressa dalla seguente relazione: 3M V f M V 1 + M V MV i + MV j V f 3 1 V i + 3 V j. Il modulo di V f è pari a V f 1 5 V + V V b) Poiché non sono presenti forze esterne, l energia potenziale del sistema rimane costante. L energia cinetica totale prima e dopo l urto è invece rispettivamente pari a : prima 1 m V m V 1 MV + MV 3 MV ; dopo 3 5 MV f MV. 6 Si ottiene quindi che l energia dissipata durante l urto completamente anelastico è pari a prima dopo MV. 3

3 sercizio Detti M e R rispettivamente la massa e il raggio della erra, la legge di gravitazione universale stabilisce che il peso P di un corpo di massa m posto in prossimità della superficie terrestre vale mm P G. R Da questa espressione si ricava l accelerazione di gravità g in prossimità della crosta terrestre: M g P/m G, R e quindi GM gr. a) Affinché l orbita del satellite sia circolare con raggio pari a 6R, l attrazione gravitazionale alla quale il satellite è sottoposto deve eguagliare l accelerazione centripeta moltiplicata per la massa m s del satellite. Detta v s la velocità di quest ultimo: m M s G ( 6R ) vs m v s s 6R R g 6 3. m/s. b) La velocità minima v f che deve essere impartita ad un corpo di massa m posto in prossimità della superficie terrestre affinché esso possa superare la forza di gravità e portarsi a distanza infinita dalla terra è detta velocità di fuga. Posta pari a zero l energia potenziale gravitazionale del corpo a distanza infinitamente grande dalla erra, v f si ottiene imponendo che l energia totale del corpo in quiete sulla superficie terrestre sia nulla (): tot pot + in 1 mv f R mm G 0 v f gr 11.1 m/s. Si noti che v s < v f.

4 sercizio 3 a) La capacità C di un condensatore ad armature piane e parallele ha la seguente espressione C Sε 0. d pertanto, la variazione C C C della capacità del condensatore vale C 1 1 Sε pf F. d ' d C < 0 poiché la capacità diminuisce allontanando le armature. La capacità non dipende dalla carica del condensatore o dalla differenza di potenziale fra le sue armature e quindi C è la stessa sia che il condensatore rimanga collegato al generatore, sia che venga scollegato e lasciato isolato. b) La densità di energia u è data da: u 1 ε 0. In un condensatore ad armature piane e parallele è uniforme. si ricava conoscendo il valore della differenza di potenziale V fra le armature, oppure attraverso il valore della densità di carica σ deposta sulle armature stesse: V d σ. ε 0 Se il generatore rimane collegato alle armature, V rimane costante. Raddoppiando la distanza fra le armature il campo elettrico si dimezza e la densità di energia diventa un quarto del valore iniziale. In queste condizioni, la variazione u di densità di energia vale u 1 V ε 0 d' 1 V 3 V ε 0 - ε J m -3. d 8 d La variazione di densità di energia è negativa poiché questa diminuisce all aumentare della distanza fra le armature. Si noti che, essendo l energia totale tot immagazzinata nel condensatore pari a

5 tot 1 C V, anche la variazione di energia totale risulta essere negativa: tot 1 C V tot < 0. Viceversa, nel caso in cui il condensatore venga scollegato dal generatore e lasciato isolato, la densità di carica sulle armature rimane costante (principio di conservazione della carica elettrica). Di conseguenza il campo elettrico e la densità di energia per unità di volume rimangono invariati. Ne segue che u 0. L energia totale accumulata nel condensatore invece raddoppia (quindi tot > 0), dal momento che u rimane costante mentre il volume del condensatore raddoppia.

6 sercizio 4 Il modulo campo magnetico B generato nella posizione dell elettrone dal filo percorso da corrente di intensità I si calcola applicando il teorema di Ampère. Si ottiene B µ 0 I 19 µ πd B è perpendicolare al filo e al piano che passa per il filo e per l elettrone. La forza che agisce sull elettrone è data dall espressione di Lorentz: F L e v B a) Se l elettrone si muove con velocità rivolta verso il filo e diretta perpendicolarmente ad esso, v e B sono fra di loro perpendicolari. La forza che agisce sull elettrone ha modulo pari a F L e v B N ed è parallela al filo e diretta in modo concorde alla corrente che lo percorre. b) Se l elettrone si muove con velocità parallela e concorde alla corrente del filo, v e B sono fra di loro perpendicolari. La forza che agisce sull elettrone ha modulo ancora un volta pari a F L e v B N ed è nel piano del filo, perpendicolare ad esso e diretta verso l esterno. c) Se l elettrone si muove in direzione normale ai due casi precedenti, v e B sono fra di loro paralleli. La forza che agisce sull elettrone è nulla.