Le condizioni di funzionamento delle condotte di adduzione

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1 Le condzon d funzonamento delle condotte d adduzone Ret a dramazon (aperte): tutte le portate ncognte possono essere unvocamente determnate dalle equazon d contnutà. Moto assolutamento turbolento (α = 2 nell equazone d Contessn). Orentamento delle condotte concdente con l verso del moto dal nodo 1 al nodo 2 (qund δ = +1). Condotte a gravtà o n sollevamento con funzone d solo trasporto: H P h = h 1+ H P h 2= JL h 2 h 1, h 2, + w H P = k L Q 2 D n h 2 w = { 1 tratte n sollevamento 0 tratte a gravtà H P = prevalenze delle pompe, = ndce della condotta, gl altr smbol sono gà defnt. 1 h 1 P Pano orzzontale d RIFERIMENTO (lvello medo del mare) L Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda A.8 - Dmensonamento delle condotte d adduzone ( 1 / 18 )

2 Incognte ed equazon Indchamo con L l numero d condotte, con N l numero d nod ntern, con S l numero d tratte n sollevamento (che per semplctà d formalsmo saranno numerate per prme con ndc = 1,, S) Le ncognte nel problema del dmensonamento dell adduzone L dametr ncognt D ; N carch pezometrc ncognt h j a nod ntern; S prevalenze ncognte H P Le equazon dsponbl delle tratte con sollevamento. L equazon del moto d tpo h 1, h 2, + w H P = k L Q 2D n N + S equazon che esprmono la condzone d mnma passvtà (N scrtte per nod ntern, S per le condotte con sollevamento) Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda A.8 - Dmensonamento delle condotte d adduzone ( 2 / 18 )

3 Costo annuo dell mpanto Il costo annuo (o passvtà P) dell mpanto d adduzone s calcola come alquota r del costo C necessaro per la realzzazone delle opere: P = rc r = r A + r I + r M dove l alquota r è composta da tre termn: r A = tasso annuo d ammortamento; potzzando d rmborsare cost a rate annual con tasso d nteresse a decorrere dal completamento dell opera per n ann s rcava r A = [(1 + ) n ] / [(1 + ) n 1]; r I = alquota per l costo degl nteress maturat durante la costruzone delle opere, sno a completa realzzazone e messa n servzo; r M = alquota per l costo della manutenzone. Nel caso n cu le condotte abbano dverse alquote r d costo annuale, la passvtà annua s scrve come somma delle passvtà d tutte le condotte: L P = r L C C = a 0, + a D ɛ = 1,, L dove C è l costo d realzzazone (per untà d lunghezza) delle sngole condotte -esme, espresso n funzone del dametro D. Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda A.8 - Dmensonamento delle condotte d adduzone ( 3 / 18 )

4 Il tasso d ammortamento Il tasso d ammortamento r A s calcola eguaglando l captale maturato C n dopo n ann (remunerando l costo d realzzazone C con tasso d nteresse annuo ) al captale maturato R n dalle n rate R versate annualmente n n ann, remunerate con lo stesso tasso d nteresse. C n = C(1 + ) n n 1 R n = R(1 + ) n 1 + R(1 + ) n R(1 + ) + R = R (1 + ) k Rcordamo le propretà della sere geometrca d ragone x: n x + x x n 1 = x k = 1 x n 1 x k=0 k=0 Posto x = (1 + ) ed eguaglando R n = C n ottenamo l tasso r A : 1 (1 + )n R 1 (1 + ) = C(1+)n = R = (1 + )n (1 + ) n 1 C = r A = (1 + )n (1 + ) n 1 Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda A.8 - Dmensonamento delle condotte d adduzone ( 4 / 18 )

5 Il costo annuo dell energa per sollevament La potenza d una corrente è par a γq H. Dvdendo per l rendmento complessvo η e moltplcando per l tempo T d funzonamento della pompa n un anno e per l costo untaro (es. costo del chlowattora) dell energa c e s ottene l costo annuo dell energa per l sollevamento a portata costante: C e = γq HP Tc e C e = 9.81Q HP Tc kwh η η La formula emprca rportata a destra fornsce drettamente l costo annuo (n euro) per l energa necessara per sollevament, quando s esprma la portata Q n m 3 /s, la prevalenza H P n m, l tempo d funzonamento T n ore nell anno, ed l costo untaro dell energa c kwh n euro/chlowattora. Anche nel caso sano rcheste delle portate varabl nel corso dell anno, è comunque opportuno dmensonare la pompa per la massma portata Q = q g e farla funzonare ntermttentemente a portata costante, per un tempo par a T = V a /q g n un anno (volume annuo dvso per la massma portata). Esprmendo l volume annuo V a n m 3 e la portata q g n m 3 /s, l numero d ore d funzonamento n un anno s può calcolare dalla formula emprca: T = V a /(3600q g ) Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda A.8 - Dmensonamento delle condotte d adduzone ( 5 / 18 )

6 Confronto curve caratterstche della pompa e dell mpanto Curva caratterstca dell mpanto: H = (h 2, h 1, ) + k L Q 2 D n Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda A.8 - Dmensonamento delle condotte d adduzone ( 6 / 18 )

7 L espressone della passvtà La somma degl oner annu relatv al costo dell mpanto ed al costo dell energa per sollevament fornsce l espressone della passvtà: P = L =1 ( r L a0, + a D ɛ ) S + =1 Le ncognte nell espressone della passvtà: γq T c e H P η Invertendo l equazone del moto per la condotta -esma ottenamo: ( k L Q 2 ) 1/n D = h 1, h 2, + w H P Fssat carch alla rsorsa e ne serbato d consegna, la passvtà dpende solo dagl N carch h j a nod ntern e dalle S prevalenze H P delle pompe: ( ) P = P h 1, h 2,, h N, H1 P, H2 P,, HS P Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda A.8 - Dmensonamento delle condotte d adduzone ( 7 / 18 )

8 Le condzon d mnmo onere (mnma passvtà) - I Imponendo la condzone d mnma passvtà s ottene un sstema d N + S equazon che nseme alle L equazon del moto rende determnato l problema del dmensonamento delle condotte: P = h j P H P L =1 r L a ɛ D ɛ 1 D = r L a ɛ D ɛ 1 = D h j = δ j n k L Q 2 D H P D n +1 dove δ j = h j = 0 j = 1,, N + γq T c e η = 0 = 1,, S Dervamo le equazon del moto per la condotta rspetto ad h j : ( h 1, h 2, + w H P ) = δ j = n k L Q 2 D n 1 D h j h j +1 se h j h 1, 1 se h j h 2, 0 se j non è nodo d Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda A.8 - Dmensonamento delle condotte d adduzone ( 8 / 18 )

9 Le condzon d mnmo onere (mnma passvtà) - II Dervamo le equazon del moto per la condotta rspetto a H P : ( h 1, h 2, + w H P ) H P = w = n k L Q 2 D n 1 D H P = D H P 1 = n k L Q 2 D n +1 = 1,, S Sosttuendo s rcavano le N + S equazon d mnma passvtà L r a ɛ δ j n =1 k Q 2 D n +ɛ = 0 j = 1,, N r a ɛ n k Q 2 D n +ɛ = γq T c e = 1,, S η S osserv che cascuna delle prme N equazon s può scrvere elmnando l smbolo δ j ed eguaglando la sommatora relatva alle condotte entrant nel nodo j alla sommatora per le condotte uscent dallo stesso nodo. Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda A.8 - Dmensonamento delle condotte d adduzone ( 9 / 18 )

10 Consderazon sulle tratte n sollevamento - I Le ultme S equazon permettono d calcolare mmedatamente dametr D d cascuna delle tratte con sollevamento ( = 1,, S). Esse rappresentano la condzone d mnmo onere rappresentata schematcamente nella seguente Fgura, nella quale vengono confrontat cost della condotta premente con cost dell energa necessara al sollevamento al varare del dametro: Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda A.8 - Dmensonamento delle condotte d adduzone ( 10 / 18 )

11 Consderazon sulle tratte n sollevamento - II Nel caso d tratte n sollevamento n cu s utlzzno materal dvers a monte e a valle della pompa, dametr D 1 (prma della pompa) e D 2 (premente) s rcavano mmedatamente dalle relazon: r 1 a 1 ɛ 1 n 1 k 1 Q1 2 D n 1+ɛ 1 1 = r 2a 2 ɛ 2 n 2 k 2 Q2 2 D n 2+ɛ 2 2 = γq T c e η Infatt nessuna delle equazon d mnma passvtà dpende dalle lunghezze delle condotte, pertanto anche non conoscendo l ubcazone della pompa possamo dsporre un nodo fttzo appena a monte della pompa, separando condotta d monte e premente. L equazone al nodo fornsce la prma eguaglanza, la seconda è fornta dall equazone per la tratta n sollevamento. La poszone della vasca d carco della pompa s determnerà successvamente confrontando le pezometrche con l proflo del terreno. Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda A.8 - Dmensonamento delle condotte d adduzone ( 11 / 18 )

12 Rduzone del sstema d equazon d mnma passvtà Dalle ultme S equazon per le condotte n sollevamento rcavamo prm S dametr che sosttuamo nelle equazon a nod: S =1 δ j γq T c e η + L =S+1 δ j r a ɛ n k Q 2 D n +ɛ = 0 j = 1,, N Sosttuamo nfne dametr ncognt nella seconda sommatora (solo condotte a gravtà) rcavandol formalmente dalle equazon del moto: Sstema rdotto d equazon d mnma passvtà (N equazon non lnear con N carch ncognt h j a nod ntern) S =1 δ j γq T c e η + L =S+1 δ j r a ɛ n k Q 2 ( k L Q 2 h 1, h 2, ) n +ɛ n = 0 j = 1,, N +1 se h j h 1, (coè j è l nodo 1 della condotta ) dove δ j = 1 se h j h 2, (coè j è l nodo 2 della condotta ) 0 se j non è un nodo della condotta Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda A.8 - Dmensonamento delle condotte d adduzone ( 12 / 18 )

13 Il metodo d Cross (blancamento de cost) - I Per semplctà d esposzone rscrvamo l sstema d equazon: S L δ j θ + δ j λ (h 1, h 2, ) n +ɛ n = 0 j = 1,, N =1 =S+1 avendo ntrodotto le costant θ = γq T c e η e λ = r a ɛ n k Q 2 ( k L Q 2 ) n +ɛ n S assume che carch h j soluzone del problema s calcolno come somma d un carco arbtraro (ma coerente con le drezon del moto) d tentatvo h j e d una correzone dh j. I carch a nod d monte e valle d cascuna condotta dventano: h 1, = h 1, + dh 1, e h 2, = h 2, + dh 2,. Sosttuamo h 1, h 2, = (h 1, h 2, ) + dh 1, dh 2, = h + dh 1, dh 2, : S δ j θ + =1 L =S+1 δ j λ ( h + dh 1, dh 2, ) n +ɛ n = 0 j = 1,, N Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda A.8 - Dmensonamento delle condotte d adduzone ( 13 / 18 )

14 Il metodo d Cross (blancamento de cost) - II Prma approssmazone del sstema Nella j-esma equazone, ottenuta dalla dervata P per l nodo j-esmo, h j s consdera solo la correzone dh j, trascurando tutte le altre correzon: S δ j θ + =1 L =S+1 δ j λ ( h + δ j dh j ) n +ɛ n = 0 j = 1,, N In questo modo cascuna equazone ha una sola ncognta: f j (dh j ) = 0 Seconda approssmazone del sstema S lnearzzano le equazon con uno svluppo n sere al prmo ordne: f j (dh j ) = f j (dh j = 0) + f j dh j dhj =0 dh j = dh j = f j(dh j = 0) f j dh j dhj =0 Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda A.8 - Dmensonamento delle condotte d adduzone ( 14 / 18 )

15 Il metodo d Cross (blancamento de cost) - III f j dh j = L =S+1 Le correzon a nod j n + ɛ (δ j ) 2 ( ) λ h n + δ j dh j n +ɛ 1 n Calcolando la f j (dh j ) e la sua dervata per dh j = 0 e sosttuendo nello svluppo n sere s ottengono le correzon a nod. dh j = S =1 δ jθ + L =S+1 δ jλ ( h n +ɛ ) n L n + ɛ =S+1 (δ j ) 2 ( ) 2n λ h +ɛ n n j = 1,, N ( k L Q 2 ) n +ɛ n Usando le untà del S.I.: θ = 9.81Q T c kwh e λ = r a ɛ η n k Q 2 Il processo s rpete teratvamente: al passo successvo carch appena corrett vengono consderat come carch d tentatvo. Il processo s può nterrompere con un crtero d convergenza su carch a nod. Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda A.8 - Dmensonamento delle condotte d adduzone ( 15 / 18 )

16 Calcolo de dametr teorc e delle prevalenze I carch h j su tutt nod sono determnat quando l sstema delle N equazon del metodo d Cross gunge a convergenza. Restano da utlzzare le S equazon d mnma passvtà ottenute per le condotte con sollevamento e tutte le L equazon del moto. Per le tratte con sollevamento ( = 1,, S) s rcava l dametro dalle equazon d mnma passvtà e la prevalenza dalle equazon del moto: ( γq T c e n k Q 2 ) 1 n +ɛ D = η r a ɛ H P = (h 2, h 1, ) + k L Q 2 D n I dametr D nelle tratte a gravtà ( = S + 1,, L) s possono determnare dalle rmanent equazon del moto: D = ( k L Q 2 h 1, h 2, ) 1/n Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda A.8 - Dmensonamento delle condotte d adduzone ( 16 / 18 )

17 Dametr commercal S procedere da monte verso valle assegnando l dametro commercale pù prossmo a quello teorco, rservandos eventualmente d usare coppe d dametr mmedatamente pù grande e pù pccolo d quello teorco ne tratt termnal, calcolando le lunghezze dal seguente sstema: { L = L1 + L 2 = h = J 1 L 1 + J 2 L 2 { L1 = ( h J 2 L)/(J 1 J 2 ) L 2 = ( h J 1 L)/(J 2 J 1 ) Se s adottano due dametr sulla sngola tratta è buona regola dsporre l dametro pù grande a monte per mantenere alta la pezometrca. Infne, nella assegnazone de dametr commercal è anche opportuno cercare d mnmzzare l numero d dametr utlzzat per contenere pezz specal ed rcamb che devono essere tenut dsponbl per le manutenzon e gl ntervent d urgenza. Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda A.8 - Dmensonamento delle condotte d adduzone ( 17 / 18 )

18 Verfche In cascuna tratta sono stat assegnat dametr commercal e sono note le portate nel gorno d massmo consumo (dalle equazon d contnutà). Dventano ncognt carch pezometrc h j a nod ntern ed a nod de serbato/punt d consegna, avendo cambato dametr. S utlzzano le L equazon del moto per determnare carch pezometrc ncognt procedendo dall opera d presa verso serbato cttadn. Verfche sulle pezometrche e sulle veloctà La lnea pezometrca deve essere almeno due metr sopra la quota terreno Ne serbato e nelle vasche lungo lnea la pezometrca deve essere almeno par alle quote d consegna (massmo lvello) S verfcano le massme presson nelle condotte. Le veloctà devono essere comprese fra 0.5 e 2 m/s. Valor pccol possono compromettere le caratterstche organolettche dell acqua (temp d percorrenza troppo elevat), valor troppo grand provocano vbrazon ed eccessve sollectazon a gunt e pezz specal. Se necessaro s rvede l traccato e s cambano dametr. Infne s dspongono le valvole regolatrc d pressone. Acquedott e Fognature - A.A R. Dedda A.8 - Dmensonamento delle condotte d adduzone ( 18 / 18 )