COMUNICAZIONE AI GRUPPI DI LAVORO SIDEA (13/09/02) LE CONDIZIONI DI OTTIMALITÀ PER LA DETERMINAZIONE DELLE CATTURE DI PESCE

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1 COMUNICAZIONE AI GRUPPI DI LAVORO SIDEA (13/9/2) ECONOMIA E POLITICA DEL SETTORE ITTICO 1.INTRODUZIONE. LE CONDIZIONI DI OTTIMALITÀ PER LA DETERMINAZIONE DELLE CATTURE DI PESCE (una applcazone ad un contesto lacuale) Gergely Nagy 1, Salvo Romagnol 2, Zoltan Varga 3, Lorenzo Venz 4. Con nuov orentament per le poltche d svluppo delle attvtà rural, la pesca professonale nelle acque nterne può sempre pù rappresentare ancora ogg una nteressante e valda fonte d reddto per gl addett al settore, oltre alla rscoperta e valorzzazone de prodott tpc local. In partcolare, la Regone Lazo, rcca d lagh, rporta numeros esemp n tal senso. I lagh vulcanc d Bolsena, Braccano, Vco, Nem e lagh artfcal del Salto e del Turano, osptano dverse cooperatve d pesca, asseme a numeros addett a ttolo ndvduale, mentre nelle aree pertnent a lagh sorgono strutture per rpopolament, e stablment per la commercalzzazone e la trasformazone del prodotto. Anche se le spece catturate sono dverse (coregone, angulla, latterno, lucco, persco e tnca), s può affermare che l coregone (la spgola d acqua dolce) rappresenta la pù mportante spece sa n termn d volum pescat, che d quanttà rcheste da mercat. Lo sfruttamento delle rsorse ttche, nel caso de lagh lazal, evdenza numeros problem. Le popolazon d coregone denotano nstabltà, a causa d uno sfruttamento sblancato rspetto agl stock natural e s è constatato un rpopolamento nadeguato alla rgenerazone dello stock ottmale. Le mmsson che vengono esegute sono condzonate prevalentemente dalla dsponbltà fnanzara e da vncol struttural delle avannottere, puttosto che rspondere alle esgenze bologche della popolazone. Consderato qund l coregone "spece bersaglo", s cerca n questo contrbuto d persegure l ottmzzazone de prelev, vncolat al concetto d sostenbltà. Le condzon attual ndcano a volte uno stock depauperato e tale stuazone crtca può essere mglorata sostanzalmente attraverso due azon. Nel prmo caso, rducendo lo sforzo d pesca, e qund l prelevo, rspettando l vncolo: dove: u = tasso d prelevo p = tasso naturale d rgenerazone. u < p (1) 1 assstente all Unverstà Tecnca d Budapest; 2 consulente al Dp. EAR, Unverstà della Tusca; 3 professore all Unverstà d Godollo; 4 professore all Unverstà della Tusca. 1

2 Nel secondo caso, aumentando le mmsson d avannott n condzon d massma sopravvvenza. L obettvo operatvo specfco è studare la dnamca e l effetto della sovrammssone, rspetto allo stato attuale, d avannott n un contesto chuso, come quello d un lago, e nel contempo controllare l prelevo della bomassa. Tutto cò, rspettando le condzon d effcenza economca e d ottmzzazone dell'attvtà produttva, verrà affrontato attraverso l uso d un modello svluppato secondo la logca della dnamca matrcale d Lesle e sue formulazon alternatve. Segurà l applcazone del modello alle condzon del lago d Bolsena. 2. ARTICOLAZIONE DEL PROBLEMA E OBIETTIVI. Il problema che c s pone è quello d determnare le condzon ottmal per realzzare la pesca responsable (FAO 1995), n un ambente chuso, ove teorcamente è pù facle conoscere la dnamca degl stock ttcol, la loro artcolazon per class d età e relatv prelev. Ne suo dettagl concettual la pesca n tale contesto, da un lato, n quanto attvtà produttva, è determnata dalla massmzzazone de proftt, o de reddt nett azendal mentre, dall altro lato, deve sottostare alle regole della sostenbltà, nel senso che l tasso de prelev non deve almeno statcamente superare l tasso d accrescmento. Questa semplce regola vene, necessaramente, formalzzata ncludendo un nseme d varabl sa economche, che bologche, per determnare condzon d equlbro bo-economco per le rsorse rnnovabl, secondo: C (X) F(X) F (X) - = s (2) P - C(X) dove: F(X) e F (X) sono lo stock e l suo accrescmento C(X) e C (X) sono l costo delle catture e la sua varazone, P è l prezzo costante della bomassa prelevata, s è l saggo d sconto rlevante. L equazone 2 c spega le condzon d equlbro, n termn restrttv, perché s acqussca nel tempo la massmzzazone de proftt attualzzat e tutto cò vene posto n relazone al saggo d sconto rlevante, quale sgnfcato dell eguaglanza tra due lat della relazone. Tutto cò ha bsogno d essere ulterormente elaborato per dvenre, se non propro operatvo, almeno pù crcostanzato alla realtà d un ecosstema da studare e conoscere meglo. La complesstà de fenomen, sa sotto l proflo bologco, che economco, c mpone d procedere per stad e d basarc su alcune potes restrttve, ma non necessaramente lontane dalla realtà. In questo caso s opererà tenendo conto d una sola spece (quella "bersaglo"), e s studerà la dnamca del prelevo d adult a fronte dell'mmssone d avannott. S è consapevol che queste due azon sono fortemente condzonate da almeno altr due aspett: l esstenza d rapport nterspecfc predapredatore e le condzon ecologche dell habtat n cu s colloca la spece consderata. D cò, e d molto altro, c s farà carco n passagg successv che, tuttava,esulano per 2

3 ora dagl nteress d questo contrbuto d rcerca, che percò resta un contrbuto parzale alla spegazone d una dnamca molto pù complessa. In questo ambto,comunque, sorgono dvers problem da rsolvere e che attengono alle modaltà d prelevo dello stock, nel senso d defnre la tagla mnma del prelevo, temp d raggungmento d tale tagla, cost d cattura, prezz del prodotto, la durata del perodo d pesca, e cos va. Dal lato delle mmsson, c è da consderare l tasso d prolfctà naturale della spece, l tasso d sopravvvenza per la prma categora e per gl avannott allevat artfcalmente e remmess, consderando le ngeston dovute a predator. Rassumendo, l problema che c s pone è quello d determnare parametr d controllo su due pù mportant trattament d questa bomassa, costtut dalle mmsson d avannott/govanl e dalle catture, e al tempo stesso nquadrare questa dnamca n un contesto economco d ottmzzazone d funzone obettvo. 3. LA METODOLOGIA DI ANALISI E IL MODELLO DI OTTIMIZZAZIONE. I modell bo-economc esstent n letteratura nel settore ttologco sono molto dversfcat e n contnua crescta, andando sempre pù a rspondere a specfche esgenze. S parte da modell d base sulla dnamca d popolazone del tpo Logstco, oppure d Beverton-Holt sulla costtuzone degl stocks, o d Lotka-Volterra, a quell d struttura a stad n sstem a due spece (del tpo cannbalsmo), n sstem predapredatore, o n predator a pù stad con preda. S hanno, noltre, modell rtardat, modell secondo la sere d Kolmogorov, una generalzzazone del modello Lotka-Volterra, le matrc d Lesle a età strutturate, mono-plurspecfc. Seguono modell d cattura, relatv ad una sngola popolazone, secondo la logstca semplce, o la logstca con varazon stagonal. I modell d cattura per sngole spece strutturate per età e sstem d cattura n ambto preda-predatore del tpo Volterra classco, o d cattura n ambto preda-predatore, con competzone nell ambto della popolazone predata. Infne v sono modell d cattura ottmal n ambto bo-economco relatv all ottmzzazone per una sngola spece, n un contesto Logstco, o secondo l modello Beverton-Holt. Seguono modell ottmal d pesca con reclutamento rtardato, le catture ottmal n una popolazone strutturata per una classe d età, o per due class d età, e,per completare, modell ottmal d catture con pù spece. Come s vede v è un ampo spettro d categore per la formulazone d modell che cercano d spegare e/o d prevedere comportament, fnaltà, effett, relatv alla dnamca delle popolazon, sa n un contesto naturalstco, sa alla luce d consderazon economche, nella gestone della rsorsa ttcola. Consderando quanto esposto nel secondo paragrafo, rsulta pù pertnente per un lago naturale la formalzzazone della relazone tra due trattament della bomassa, costtut dalle msson d avannott e dalle catture,tal da massmzzare l Reddto Netto. Un modello che combn l equlbro cattura/mmsson e la massmzzazone d un obettvo economco, tuttava, non è rsultato dsponble attualmente, soprattutto al rguardo d determnazon smultanee. Allora s è proceduto a combnare element d altr modell e a generare component ex-novo, tal da rspondere all obettvo sopra ctato e rspondere n modo nnovatvo alle esgenze della nostra rcerca. 3

4 Lo scopo dello studo, come s è detto é quello d costrure un modello per lo sfruttamento ottmale e sostenble per la pesca del coregone n un lago e n partcolare n quello d Bolsena. La popolazone d coregone s consdera approssmatamente solata nel senso che nella sua dnamca l' nterazone con le altre spece ttche del lago s manfesta solo ne tass d sopravvvenza, consderat come coeffcent costant. (Pú complesso e tecncamente meno trattable sarebbe l' utlzzo d un modello dnamco tpo Lotka-Volterra.). Il nostro modello è costruto n base alla classca dnamca, a tempo dscreto d Lesle (1945, 1948) e s vedano anche Caswell (1989),. Rorres, C. and Far, W. (1975). Per un modello a tempo contnuo vedas Shamandy&Varga (1997). L' mmsone d avannot e la pesca vanno nserte nel modello come varabl d controllo. Su un perodo d tempo dato, s ottmzza l reddto netto totale. La condzone d sostenbltà s stablsce con cert lmt mpost alle oscllazon dell'enttà della popolazone. In partcolare s può prescrvere che la composzone della popolazone alla fne del perodo sa la stessa d partenza. Queste potes c conducono ad un problema (dnamco) d controllo ottmale come segue: - la popolazone vene dvsa n 1 class d età; - x ( è l numero d cap che hanno età compresa tra 1 e n ann dove =1,,1; - T è l perodo consderato con t=,,t,. Sano: - α l tasso d rproduzone (rpartto al 5% tra masch a femmne) della classe ma (=1,,1), - ω l tasso d sopravvvenza della classe ma (=1,,9), - s ( l numero d avannott mmess e sopravssut (t=,,t-1), lmtato dalla capactà S dell'ncubatoo. Poché gl avannott hanno un tasso d sopravvvenza molto pú alto d quello delle uova deposte n codzon natural, é plausble consderare che gl avannott sopravvssut vadano ntrodott nella seconda classe. La pesca vene effettuata dalla terza classe n po. 3.1 Il modello della pesca dfferenzata Sa h ( l tasso d cattura, coé l numero d cap pescat della classe ma, nell' anno t (=4,,1, t=,,t-1). Allora l modello dnamco è rappresentato da: 1 1 t = 1 2 ( t 1) = 1x1 ( s( 3( t + 1) = ω 2x2 ( 4 ( t + 1) = ω3x3( h4 ( t x ( t + 1) = α x ( ) x + ω + (3) x x ) x t + 1) = ω x ( h ( ) (t=,,t-1), 1 ( t 4

5 dove le numerostà d partenza delle class sono date come x ( ) = x (=1,,1), e, per garantre la sostenbltà,con parametr defnt come β, β 1,, γ, γ ( 1 β ) x x ( (1 + γ ) x e vanno prescrtte le dsugualanze: ( 1 β ) x x ( T ) (1 + γ ) x (=1,,1, t=1,,t-1) (=1,,1,). I parametr β, β, γ, γ esprmono l tasso d tolleranza relatvo alla devazone dello stato attuale da quello d partenza. Sano: - m l peso medo d un ndvduo d classe (=2,,1), kg ; - p l prezzo d vendta; - c l costo d produzone degl avannott e d cattura,per avannotto sopravvssuto. Allora la funzone obettvo da massmzzare rsulta: T 1 1 pm h ( cs( max, t= = 4 (5) con le condzon x ( (=1,,1; t=1,,t-1); s( S (t=,,t-1); ( (=4,,1, t=,,t-1); h 3.2 Il modello dello sforzo d pesca Sa u ( lo sforzo d pesca relatvo a cap pescat nella classe (=4,,1, t=,,t-1). Questo sgnfca che la pesca n ogn anno t é proporzonale alla numerostà con lo stesso coeffcente u ( per tutte le class. Il modello dnamco è formulato nel seguente modo: 1 1 t = 1 x ( t + 1) = α x ( ) (6) (4) x 2 ( t + 1) = ω1x1( + s( x t + 1) = ω x ( ) 3 ( 2 2 t 4 ( t 1) = ω3x3 ( u( ω3x3 ( t x + ) (7).... x1 ( t + 1) = ω9x9 ( u( ω9x9 ( (t=,,t-1), dove le numerostà d partenza delle class sono date come: x ( ) = x (=1,,1), mantenendo la condzone d sostenbltà (4). Per rmanere nelle condzon d lneartà del modello, nella dnamca (5) è preferble approssmare la pesca con: o u ( (=4,,1; t=,,t-1), x 5

6 Con questa approssmazone la funzone obettvo da massmzzare rsulta: T 1 1 pm u( x cs( max (8) t= = 4 con le condzon x ( (=1,,1; t=1,,t-1); s( S (t=,,t-1); u( (t=,,t-1). 4. I DATI, LE INFORMAZIONI DISPONIBILI E I RISULTATI. Il coregone, nel lago d Bolsena vve al massmo 9-1 ann, raggungendo n meda un peso d 5 gr, mentre la tagla commercale d 3-35 gr s ha dal quarto anno n po. La maturazone sessuale de cap avvene tra l terzo e l quarto anno d età, mentre sembra che la popolazone sa composta n egual proporzon tra femmne e masch. Le femmne depongono n meda 3. uova. Le catture rlevate presso pescator local hanno mostrato una notevole dscontnutà nel tempo (gl ultm 8 ann) partendo da 78,6 t nel 1992 per passare a 169, t nel 1994 e tornare a 158,7 nel Due ann, l 1993 e l 1997, hanno vsto catture d poco superor a 6, t e negl altr ann s è rmast ntorno alle 1, t. I dat d partenza,n base al lavoro rportato n bblografa (Falcano, Romagnol, Venz 2),sono: - lo stock (la bomassa) nzale del coregone, stmato par a 2 7 t; - la produzone annuale d 54 t; - le grandezze rportate nella tabella seguente, a seguto d elaborazon su parametr bologc della popolazone: Tab. 1 - Parametr bologc relatv alla popolazone d coregone. ~ î m n x x (-1) 1, ,8,16, ,85,2, ,87,25, ,9,3, ,94,34, ,37, ,4, ,45, ,5, dove dat (=2,,,1) sono stat calcolat: - dalle percentual n nelle dverse class d età, da una cattura campone, utlzzando lo stock stmato anterormente; - da quest valor x e da tass d sopravvvenza ï (=2,,,1) sono state ottenut x (-1) (=4,,,1); - da quest ultm s è stmato x 1 ; 6

7 - ï 1 è stato calcolato dalla condzone che l'autovalore domnante della matrce delle dnamche (3) e (7) (ossa, l tasso d crescta proporzonale della popolazone n condzon natural) corrsponda alla crescta annuale dello stock, par a 54 t; - m rappresenta l peso medo del coregone per classe d età; - n rappresentala percentuale della classe d età nelle catture. S tenga presente che nella tabella 1 la prma rga rporta valor rfert alla deposzone e sopravvvenza delle uova fecondate, un elemento estremamente delcato, che può fortemente nfluenzare la dnamca de valor elaborat dal modello nelle sue vare confgurazon. Per valor de parametr economc rportat nelle funzon obettvo abbamo - p = prezzo 1,42 / kg; - c = costo,13 per avannotto sopravvssuto e d cattura. Nelle potes de modell 3.1) e 3.2) l problema del controllo ottmale s può rsolvere per mezzo d un software d programmazone lneare. I calcol effettuat hanno rguardato, dversamente da quanto espresso nella presentazone del modello, un perodo d 15 ann, comprendendo anche l'anno per evtare l'effetto d fenomen non rlevant o determnat dal nostro controllo. All'nzo la sequenza s basa sulle mmsson degl ann precedent mentre negl ultm ann non sono pù effettuate mmsson n quanto queste non potrebbero essere catturate a maturtà nell'arco d tempo consderato. I rsultat della ottmzzazone, n termn d catture annue, sono rportat nella tabella 2, facendo rfermento al sstema d parametr adottat e rportat nell'appendce d calcolo a questo contrbuto. I sstem d parametr 1, 2, 3 e 4 sono dversfcat per vedere l'effetto delle varazon che ess apportano alle catture annue ottmal. Ad esempo, la dfferenza fra sstem 1 e 2 consste ne dvers valor d capactà dell' ncubatoo; nfatt, nella Tab. 2, le colonne corrspondent ndcano l'andamento de dvers prelev che rsultano crescent al crescere della capactà, nel rspetto della prescrtta sostenbltà. Tab. 2 - Catture annue secondo dverse formulazon e parametrzzazone de modell. Modello\ A 1 A 2 A3 B 1 B 2 \Anno

8 Ne grafc che seguono sono rportat sotto forma d dagramma a barre gl andament delle dverse catture a seconda dell'mpego del modello 3.1 (espresso con A) o 3.2 (espresso con B) e n tal ambt secondo le notazon dell'appendce n rfermento a parametr β e γ e alla mmssone d avannott amplando la capactà S degl ncubato (assocat alle lettere A o B, numer 1, 2, 3 o 4 ndcano l sstema d parametr scelto). Sulle ascsse de grafc, per raggon tecnche, sono rportat gl ann dal prmo al 15.mo, mentre n realtà l modello è operatvo dall'anno zero all'anno 14. Se ne terrà conto con opportune modfche grafche nella stesura fnale. L'mplementazone del modello 3.1 s materalzza n A1, partendo dal lvello attuale d avannott par a 1,5 mlon d ndvdu. I parametr relatv a β e γ sono dervat dal prmo sstema rportato nella appendce numerca. A1 cattura (tonnelate) tempo (ann) La seconda mplementazone dello stesso modello adotta gl stess parametr del sstema 1, ma trplca l lvello d mmssone d avannott. A2 cattura (tonnelate) tem po (ann) La terza mplementazone del modello 3.1, rconsdera l lvello d mmssone attuale a 1,5 mlon d avannott, ma rduce l tasso d sopravvvenza β da 9/1 a 1/2 ed esprme γ come un valore dmezzato dal terzo anno n po rspetto al valore 2 degl esemp A1 e A2. 8

9 A3 cattura (tonnelate) tempo (ann) La quarta mplementazone è uguale alla terza come parametr mpegat, ma consdera la trplcazone delle mmsson d avannott. A4 cattura (tonnelate) tempo (ann) Passando ora all'mplementazone del modello 3.2 n B1 l sstema 1 d parametr vene adottato, partendo dall'mmssone d avannott par a 1,5 mlon B1 cattura (tonnelate) tempo (ann) 9

10 La seconda mplementazone d 3.2 nell'esempo B2, nvece, pur adottando quas lo stesso sstema d parametr come n 2, ne dffersce soltanto per la trplcazone degl avannott. B2 cattura (tonnelate) tempo (ann) 5. CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE Il tentatvo d realzzare ed attvare un modello bo-economco che ponesse n equlbro le dnamche de prelev e delle mmsson n un ottca d ottmzzazone economca dell attvtà d pesca, s può rtenere suffcentemente ruscto e possono essere formulate le seguent consderazon: 1 In tutte le confgurazon de modell precedentemente presentat s osservano lvell d cattura pù elevat rspetto a dat rlevat dalla pesca n sto degl ultm 8 ann. Questa ndcazone sembra l rsultato del tasso d sopravvvenza puttosto alto relatvo alla prma classe cos come da no calcolato. Per una mplementazone pù realstca, rsulta essenzale rendere pù precso l modo d stmare lo stock e la sua produzone annuale, e/o determnare con maggore accuratezza l tasso d sopravvvenza, soprattutto della prma classe d età. 2 In tutt cas presentat s osserva una crescta delle catture col procedere del tempo; a volte s verfca una forte mpennata nell'ultmo anno. Cò potrebbe essere requlbrato tramte un fattore d sconto, dando pù peso agl ann nzal nel processo d ottmzzazone. 3 Attualmente le catture s effettuano con una tecnca non dfferenzata rspetto alle class, o dmenson, del coregone (stuazone esamnata nel modello 3.2). S stablsce solo un lmte nferore d tagla nelle pesca professonale. Il confronto de modell 3.1) e 3.2) mette n evdenza che la pesca dfferenzata per tagla, non soltanto goverebbe nel rspettare crter d sostenbltá, ma allo stesso tempo garantrebbe un reddto pù alto e pù unforme, dat maggor volum suggert. 4 Il contrbuto qu presentato è un prmo tentatvo d ottmzzare la gestone boeconomca della stock d coregone nel Lago d Bolsena, utlzzando un modello 1

11 semplfcato. S è consapevol che a questo stado dverse assunzon d base sono fortemente restrttve. Ad esempo, dal punto d vsta bologco "l'solamento" d tale popolazone dalle altre spece, costtusce una forte lmtazone, pur se gustfcata da vare consderazon. In termn economc, po, vengono consderat solo due fattor: l prezzo d vendta e l costo d produzone d avannott e d cattura; altr aspett della funzone d offerta dovrebbero essere nvece consderat. 5 Se s volesse perfezonare ulterormente questo modello nella sua struttura e dnamca d comportamento, s dovrebbe n sede d programmazone adottare algortm non pù lnear, con tutt problem tecnc che quest comportano e a volte rsultano dffclmente superabl. Rferment bblografc. Beverton R.J.H. - Hort, S.J. (1957): On the dynamcs of exploted fsh populaton. Fsh. Invenst, Mnst. Food G.B. Ser. II Salmon Freshwater Fsh. 19, Casacca M. - Quattran (1988): Ambente, Pesca, Tradzon del Lago d Bolsena, Cttà d Bolsena Edzon; Casacca M. (199): I Pesc del lago d Bolsena, Quadern All CLAP, La Casa USHER; Caswell, H. (1989): Matrx populaton models: constructon analyss and nterpretaton. Snauer Ass. Inc. Publ. Sunderland Massachusetts. Clark, C.W. (199): Mathematcal Boeconomcs: The optmal management of renewable resources, Wley-Interscence, New York, N.Y. Colombar T. P. - Franzo P. (1997): Studo sulla Bologa e Sulla Gestone della Pesca del Coregone (Coregonus Lavaretus Lnneo, 1758) nel Lago d Bolsena, Ammnstrazone Provncale d Vterbo, Vterbo; Cataudella S. - Carrada G. C. (2): Un Mare d Rsorse, Introduzone alla Conservazone ed alla Gestone delle Rsorse Ittche, Consorzo Unprom, Roma; Dono G. - Della Veccha F. (1996): Rapporto sull attvtà d pesca professonale nel Lago d Bolsena. Studo per la costtuzone d un consorzo d pesca, Unverstà della Tusca, Dpartmento d Economa Agro-Forestale e dell Ambente Rurale, Vterbo; Falcano C. - Romagnol S. - Venz L. (22): L'uso sostenble delle rsorse lacual lazal: un modello per l'ttofauna, n: Trevsan G. (a cura d), Svluppo sostenble ed effcenza economca nel settore ttco, Att del III Convegno d Stud, Veneza, ottobre 21, Ed. Cafoscarna. Gelos E. - Colombar P.T., Formch M. (1991): La Psccoltura da Rpopolamento, Regone Lazo, Assessorato Cacca e Pesca, Edzon REDA; Lesle P. H. (1945): On the use of matrces n certan populaton mathematcs, Bometrka, 33, No 3, Lesle P. H. (1948): Some further notes on the use of matrces n certan populaton mathematcs, Bometrka, 35, No 3-4, Pearce DW - Turner RK (1991): Economcs of Natural Resources and the Envronment, Socetà Edtrce Il Mulno, Bologna; Rorres C. - Far W. (1975): Optmal harvestng polcy for an age-specfc populaton, Mathematcal Boscences 24, Shamandy, A. - Varga, Z. (1997): An age-specfc optmal harvestng model. Pure Mathematcs and Applcatons,Vol.8 No 1, 11-11, 11

12 Trevsan G. - Mason M. C. (2): Peculartà della domanda e dell'offerta d prodotto ttco n realtà local n Trevsan G. (a cura d), Il Prodotto Ittco, Consumo, Qualtà, Commercalzzazone, Att del Secondo Convegno d Stud Veneza Ottobre 1999, Ed. Cafoscarna Varga, Z. (1984): Un modelo en la dnámca de poblacones. Notas de Matemátcas de la Unversdad Central de Venezuela, 84-ED Venz L. (a cura d), (1999): Il sstema nformatvo economco-contable per la gestone delle mprese n acquacoltura, Rapporto fnale al MIRAAF, DG Pesca, Roma, Osservatoro d Economa Agrara per l Lazo e l Abruzzo dell'inea, pp pp. 11 (tabelle) Venz L. (2): Aspett gestonal degl mpant d acquacoltura n Itala, n Trevsan G. (a cura d), Il Prodotto Ittco, Consumo, Qualtà, Commercalzzazone, Att del Secondo Convegno d Stud Veneza Ottobre 1999, Ed. Cafoscarna Volterra V. (1932): Les leçons sur la theore mathematque de la lutte pour la ve, Ed. Gauther Vllard APPENDICE Notazon usate, nel processo d ottmzzazone β = β, β,..., ), β = ( β, β,..., β ) ( 1 2 β1 ( γ 1, γ 2,..., γ 1,) γ =, γ = ( γ, γ,..., γ ) Per mezzo d un sstema d parametr k, s ndca con A k l rsultato calcolato per l modello 3.1, e con Bk l rsultato calcolato per l modello 3.2). Sstema d parametr 1. S=15 β =(-, -, -, 9/1, 9/1, 9/1, 9/1, 9/1, 9/1, 9/1) β =(1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1) γ =(1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2) γ =(1, 1, 1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1) 2. S=45 β =(-, -, -, 9/1, 9/1, 9/1, 9/1, 9/1, 9/1, 9/1) β =(1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1) γ =(1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2) γ =(1, 1, 1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1) 3. S=15 β =(-, -, -, 1/2-, 1/2-, 1/2-, 1/2-, 1/2-, 1/2-, 1/2) β =(1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1) γ =(1, 1, 1, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2) 12

13 γ =(1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1) 4. S=45 β =(-, -, -, 1/2-, 1/2-, 1/2-, 1/2-, 1/2-, 1/2-, 1/2) β =(1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1) γ =(1, 1, 1, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2) γ =(1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1) 13

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