Soluzioni Esonero di Fisica I - Meccanica Anno Accademico

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1 Soluzioni Esonero di Fisica I - Meccanica Anno Accademico Esercizio n.: Un punto materiale di massa m e vincolato a muoversi lungo un binario orizzontale scabro. Siano µ s e µ d i coefficienti di attrito statico e dinamico tra il punto materiale ed il binario. Al punto materiale viene applicata una forza F, la cui retta di applicazione forma un angolo ϑ con l orizzontale inclinata verso l alto. Si determini:. L accelerazione del punto materiale;. Il valore della forza di attrito. (Valori numerici: m = 0Kg; µ s = 0.6; µ d = 0.5; F = 60N; ϑ = π/6) Le forze agenti sul punto materiale sono: la forza peso mg, la forza F, la forza di attrito F s od F d a seconda se l attrito e statico o dinamico e la reazione vincolare N. A priori non sappiamo se l attrito statico e sufficiente a tenere fermo il punto; pertanto assumeremo che il punto sia fermo e determineremo la forza di attrito statico necessaria a tenere fermo il punto. Imporremo cioe l equazione: m g + F + N + F s = 0 Otteniamo per le componenti x ed y le equazioni: F cosθ + F s = 0 F s = F cosθ = 5, 0N Poiche : mg + F sinθ + N = 0 N = mg F sinθ = 70N µ s N = 4N < F s = 5, 0N l attrito statico non e sufficiente a tenere fermo il punto, che sotto l azione della forza attiva F quindi iniziera a muoversi. In queste condizioni l attrito e dinamico, la forza d attrito assume il valore di: F d = µ d N = 35, 0N ed ha verso opposto alla velocita. L equazione del moto diviene: F cosθ F d = ma x a x = F cosθ µ d N m = 5, 0 35, 0 0 =, 7 m s

2 Esercizio n.: Un punto materiale di massa m si muove all interno di una guida circolare orizzontale di raggio ; sia µ d e il coefficiente di attrito dinamico tra la guida ed il punto e v 0 e la velocita all istante iniziale. Si determini:. La velocita del punto materiale in funzione del tempo;. La potenza dissipata dalla forza di attrito; 3. Si dimostri che, in accordo con il teorema dell energia cinetica, il lavoro totale fatto dalla forza d attrito e eguale alla energia cinetica iniziale del punto materiale. Nel moto lungo la guida circolare sul punto materiale agiscono due forze: la reazione vincolare normale N e la forza di attrito F A. La reazione vincolare e determinata in ogni istante dalla equazione: La forza di attrito risultera quindi: L equazione del moto risulta quindi: N = mv F A = µ d N ˆv = µ d mv ˆv m dv dt = µ mv d L equazione e integrabile per separazione delle variabili, cioe : dv v = µ d dt v = µ d t + C La costante di integrazione C e determinata dalla condizione iniziale e risulta C= /v 0. Si ottiene cosi v = µ dt + v = v 0 La potenza W della forza di attrito e pari a: v 0 + v 0 µ d t

3 mv W = F A v = µ d v = µ mv 3 d Il lavoro L tot complessivo fatto dalla forza di attrito e dato dall integrale della potenza dall istante iniziale all istante di arresto, cioe tra zero ed infinito. isulta pertanto: mv 3 L tot = W dt = µ d 0 0 dt = 0 = mv 0 0 v 3 µ d m 0 ( + v 0 µ d t) dt 3 d( + v 0 µ d t) ( + v 0 µ d t) = 3 mv 0 dy y = 3 mv 0 ( y ) = mv 0 Esercizio n.3: Un blocco di massa M e sorretto dal basso da una molla verticale di costante elastica k. Una massa m cade verticalmente sul blocco da una altezza h rispetto al blocco. Dopo l urto si osserva che la massa m risale fino ad una altezza h/.determinare:. La compressione della molla a seguito dell urto;. L energia dissipata nell urto. (Valori numerici: M= 00 Kg; k=0 6 Nm; m=0 Kg; h=0 m) All istante immediatamente precedente all urto la massa m ha una velocita v 0 = gh = 4, m/s, rivolta verso il basso ( direzione positiva dell asse y). Dopo l urto la sua velocita v m e pari a: v m = g h = gh = 0m/s. La velocita del blocco v M e data allora dalla conservazione della quantita di moto: mv 0 = mv m + Mv M v M = m(v 0 v m ) M L energia cinetica del blocco dopo l urto T M e quindi: T M = Mv M = 90J =, 4m/s. La compressione della molla dopo l urto e data dalla conservazione dell energia: 3

4 . Mv M = k L Mg L Trascuriamo in prima battuta il termine Mg L, per cui otteniamo: L = Il termine trascurato e pari a: M k v M = 0, 0, 4 = 0, 04m. Mg L = 4J pari cioe a circa l 8% dell energia complessiva, pertanto non completamente trascurabile. Per avere un vaore piu esatto occorre quindi risolvere l equazione di II grado in L. Si ottiene: L = Mg k + ( Mg k ) + Mv M k = 0, 00 + (0, 00) + 0, = 0, 05m L energia dissipata nell urto e pari alla differenze della energia. Prima dell urto l energia del sistema e la sola energia potenzialeinziale della sfera m, data da: E in = mgh = 000J Dopo l urto l energia E fin e pari alla somma della energia cinetica del blocco T M e della sfera T m, cioe : T fin = mgh L energia dissipata E sara quindi: + T M = 500J + 90J = 790J. E = E fin E in = 790J 000J = 0J. Esercizio n.4: Una sfera omogenea di massa m e raggio viene sospinta da una forza F orizzontale, la cui retta di azione e ad una altezza / al di sopra del centro della sfera. Si osserva che il moto della sfera e di puro rotolamento. Si determini: 4

5 . L accelerazione angolare della sfera;. Modulo, direzione e verso della forza di attrito agente sulla sfera; 3. Il valore minimo del coefficiente di attrito statico che consente il moto di puro rotolamento. (Valori numerici: m=3kg; =50cm; F=50N) Utilizzando come polo il centro di massa, ed assumendo la forza di attrito F s concorde con la forza F, le equazioni del moto si scrivono: F + F s = Ma cm F + F s = I ω Essendo inoltre il moto di puro rotolamento risulta: a cm + ω = 0 Sostituiamo questa relazione nella prima equazione. Moltiplicando la prima equazione per e sottraendole la seconda otteniamo: F 3 = (I + M ) ω ω = 3 F I + M Essendo il momento d inerzia della sfera I si ottiene: I = 5 M = 0, 30Kgm ω = 3 5 F 7 M = 35.7rad/s La forza di attrito si ottiene ad esempio dalla prima equazione: F s = F M ω = F F = F = 3, 57N. 4 Essendo il valore trovato positivo, ne consegue che essa e concorde con la forza F, con assunto. Il valore del coefficiente di attrito minimo e dato dalla relazione: F s µ s N µ s F s Mg 0,. 5