Valutazione dell incertezza di misura

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1 Valutazone dell ncertezza d msura 1

2 Gl attor della msurazone l sstema msurato l msurando lo strumento l metodo l campone L untà d msura l utlzzatore

3 l sstema msurato l msurando Gl attor della msurazone l metodo l campone lo strumento L untà d msura l utlzzatore La conoscenza del msurando è spesso ncompleta e lo stato del msurando può non essere perfettamente noto; La defnzone del msurando può non descrvere completamente la realtà fsca (l modello matematco può essere ncompleto); Il processo d msura modfca l msurando (nelle msure ndustral questo vene trascurato) 3

4 l sstema msurato l msurando Gl attor della msurazone l metodo l campone lo strumento L untà d msura l utlzzatore I campon che s utlzzano nel confronto non sono deal (campon sempre mglorabl); non fornscono l valore esatto delle untà d msura ma solo una loro (buona) approssmazone 4

5 l sstema msurato l msurando Gl attor della msurazone l metodo l campone lo strumento L untà d msura l utlzzatore Il metodo d msura sfrutta, generalmente, un fenomeno fsco, che può non essere completamente noto. Generalmente l metodo non consdera altr fenomen che possono nterferre con quello utlzzato 5

6 l sstema msurato l msurando Gl attor della msurazone l metodo l campone lo strumento L untà d msura l utlzzatore Il prncpo operatvo mpegato dffersce da quello deale a causa d: component non deal, rumore generato nternamente allo strumento stesso, sensbltà alle condzon ambental, taratura nadeguata, età, ecc. I dspostv utlzzat non sono deal 6

7 l sstema msurato l msurando Gl attor della msurazone l metodo l campone lo strumento L untà d msura l utlzzatore Capactà ed esperenza dell operatore hanno un ruolo fondamentale nel processo d msura. (Es: esecuzone della msura al momento gusto, valutazone della poszone d un ndce su una scala graduata, corretta nterpretazone de rsultat d una msura, elaborazon corrette delle letture degl strument, ecc.) 7

8 l sstema msurato l msurando Gl attor della msurazone l metodo l campone lo strumento Procedmento L untà d msura Software l utlzzatore L errore dovuto al procedmento è legato ad approssmazon ed assunzon tpche del metodo, dove spesso s fanno delle potes semplfcatve; L errore del software è legato agl algortm matematc utlzzat per l calcolo 8

9 l sstema msurato l msurando Gl attor della msurazone l metodo l campone lo strumento L untà d msura Fenomen estern l utlzzatore Sollectazon meccanche, dsturb elettromagnetc, condzon ambental (ad es. la temperatura) (grandezze d nfluenza) nfluenzano tutto l processo d msura n modo mprevedble 9

10 Effett Se l processo d msura è rpetuto un certo numero d volte, rsultat ottenut sono sempre dfferent, anche se le condzon d msura non sono cambate. Se l processo d msura è rpetuto da un altro operatore, con strument dfferent, rsultat della msura possono essere dfferent (anche rproducendo le stesse condzon d msura) Ecco perché esprmere l rsultato d una msura con un solo valore (e un untà d msura) è prvo d sgnfcato! 10

11 Error aleator e sstematc In generale, una msurazone presenta mperfezon che danno luogo ad un errore nel rsultato della msurazone. Tradzonalmente, un errore è consderato avere due component, una casuale, o aleatora, ed una sstematca. Nota L errore è un concetto dealzzato; gl error non possono essere conoscut esattamente. 11

12 Error aleator Gl error casual (stocastc, aleator) sono presumblmente orgnat da varazon non prevedbl o casual, nel tempo e nello spazo, delle grandezze d nfluenza. Gl effett d tal varazon, effett casual, danno luogo a varazon n osservazon rpetute del msurando. Benché non sa possble correggere l errore casuale del rsultato d una msurazone, è tuttava possble rdurlo aumentando l numero d osservazon; la sua speranza matematca o valore atteso o valor medo, è zero. 1

13 Error sstematc L errore sstematco non può essere sempre elmnato ma sovente può essere notevolmente rdotto. Se una grandezza d nfluenza produce sul rsultato d una msurazone un effetto dentfcato n un errore sstematco, tale effetto può essere quantfcato e, se d proporzon sgnfcatve rspetto all accuratezza rchesta alla msurazone, compensato apportando una correzone o fattore d correzone S potzza che, a seguto della correzone, l valore atteso dell errore generato da un effetto sstematco sa zero. 13

14 Correzon degl error aleator e sstematc L errore casuale s può rdurre aumentando l numero d osservazon. L errore sstematco s può correggere perché è modellzzable, n base a: conoscenze sul comportamento de sstem che ntervengono nella msurazone; conoscenza dell effetto delle grandezze d nfluenza; Per quest error s può correggere l rsultato sulla base del modello (se la componente d errore è sgnfcatva) Esempo: error d consumo degl strument (carco strumentale); 14

15 Error grossolan Sono dovut n genere a dsattenzone e svste dell'operatore (regstrazone o anals de dat, scelta d metod e strument) o a guast dello strumento Possono ntrodurre un errore rlevante ed gnoto nel rsultato d una msurazone. Normalmente sono d ampezza tale da essere mmedatamente rconoscbl e rvelate da un accurata revsone de dat; svste mnor possono essere mascherate da varazon casual, o apparre tal. Le valutazon dell ncertezza non sono concepte per tenere conto d tal error. 15

16 Valore vero (d una grandezza) [VIM 1.19] Valore compatble con la defnzone d una data grandezza n senso determnato. Note: 1 Esso è un valore che sarebbe ottenuto da una msurazone perfetta. I valor ver sono per natura ndetermnat. 3 In connessone a valore vero s usa l artcolo ndetermnatvo un puttosto che l artcolo determnatvo l perché v possono essere dvers valor compatbl con la defnzone d una data grandezza n senso determnato; Valore convenzonalmente vero (d una grandezza) [VIM 1.0] Valore attrbuto ad una grandezza n senso determnato ed accettato, a volte per convenzone 16

17 Errore Errore (d msura) [VIM 3.10] (errore assoluto) rsultato d una msurazone meno un valore vero del msurando. E = M V dove V è l valore vero ed M valore msurato. Note: 1 Dato che un valore vero non s può determnare, n pratca s usa un valore convenzonalmente vero In valore relatvo s ha l errore relatvo defnto come: M V e % = 100 = 100 V E V 17

18 Correzone C = E V = M + C Correzone [VIM 3.15] Valore aggunto algebrcamente al rsultato bruto d una msurazone per compensare l errore sstematco. Note: 1 La correzone è uguale all errore sstematco stmato cambato d segno. Dato che l errore sstematco non può essere conoscuto perfettamente, la compensazone non può essere completa. Fattore d correzone [VIM 3.16] Fattore numerco per l quale l rsultato bruto d una msurazone vene moltplcato per compensare l errore sstematco. Nota: Dato che l errore sstematco non può essere conoscuto perfettamente, la compensazone non può essere completa. Il rsultato d una msurazone, anche se corretto per gl effett sstematc dentfcat, è ancora una stma del valore del msurando a causa dell ncertezza orgnata dagl effett casual e dalla non perfetta correzone del rsultato per gl effett sstematc. 18

19 Errore causale Errore casuale [VIM 3.13] Rsultato d una msurazone meno la meda che rsulterebbe ebbe da un numero nfnto d msurazon dello stesso msurando effettuate sotto condzon d rpetbltà. Note: 1 L errore casuale è uguale all errore meno l errore sstematco. Poché s può esegure solo un numero fnto d msurazon, è possble determnare soltanto una stma dell errore casuale. 19

20 Errore sstematco [VIM 3.14] Meda che rsulterebbe da un numero nfnto d msurazon dello stesso msurando, effettuate sotto condzon d rpetbltà,, meno un valore vero del msurando. Note: 1 L errore sstematco è uguale all errore meno l errore casuale. Come l valore vero, l errore sstematco e le sue cause non possono essere conoscut completamente. 0

21 C = E 1

22 Incertezza La Norma UNI CEI 13005: Guda all espressone dell ncertezza d msura GUM ha qund ntrodotto l concetto d ncertezza. La parola ncertezza sgnfca dubbo, e pertanto ncertezza d msura, sgnfca dubbo crca la valdtà del rsultato d una msurazone. Defnzone: Parametro, assocato al rsultato d una msurazone, che caratterzza la dspersone de valor ragonevolmente attrbubl al msurando. VIM, GUM La valutazone dell ncertezza s basa su un modello probablstco. Questo è l modello che deve essere usato ne certfcat uffcal, sulla base della GUM

23 Statstca La statstca rguarda metod scentfc per raccoglere, ordnare, rassumere, presentare ed analzzare dat, ed anche per trarre valde concluson e prendere ragonevol decson sulla base d tal anals. Popolazone (fnta ed nfnta) e campone rappresentatvo Raccoglere dat relatv alle caratterstche d un gruppo d ndvdu o oggett ( popolazone ) è spesso mpossble (o poco pratco). Pertanto, s esamna una pccola parte del gruppo, detta campone ; se l campone è rappresentatvo, dall anals del campone s possono trarre concluson crca l ntera popolazone. 3

24 Statstca La statstca nduttva o nferenza statstca tratta le condzon sotto le qual è possble trarre concluson crca la popolazone dall anals d un campone rappresentatvo. Non essendo certa n assoluto spesso s usa l lnguaggo della probabltà. La statstca descrttva o deduttva descrve o analzza un dato gruppo senza trarne alcuna conclusone o nferenza rspetto ad un gruppo pù grande. 4

25 Statstca dstrbuzone d frequenze Dat grezz: dat non ordnat numercamente Quando s voglono rassumere de dat grezz è utle dstrbure dat stess n class e determnare l numero d ndvdu appartenent a cascuna classe (frequenza della classe). Un ordnamento tabulare de dat secondo le class e secondo le corrspondent frequenze delle class è detto dstrbuzone d frequenze. Massa [kg] (classe) 59,5-6,5 6,5 65,5 65,5 68,5 68,5 71,5 71,5 74,5 Numero d student (frequenza della classe) Esempo: campone d 100 student con dfferent pes. 8 5

26 Statstca dstrbuzone d frequenze Massa [kg] (classe) 59,5-6,5 6,5 65,5 65,5 68,5 68,5 71,5 71,5 74,5 Numero d student (frequenza della classe) ISTOGRAMMA: rettangol avent base sull asse orzzontale, con centro sul valore centrale e lunghezza uguale all ampezza della classe, ed aree proporzonal alle frequenze delle class POLIGONO DI FREQUENZA: grafco lneare delle frequenze delle class passante per valor central delle class stesse 6

27 Statstca dstrbuzone d frequenze Massa [kg] (classe) 59,5-6,5 6,5 65,5 65,5 68,5 68,5 71,5 71,5 74,5 Numero d student (frequenza della classe) Se le class sono d uguale ampezza, rettangol dell stogramma hanno le altezze proporzonal alle frequenze delle class. La base è l ampezza della classe e l altezza è presa par alla frequenza della classe. 7

28 Statstca curve d frequenze I dat raccolt possono essere consderat come appartenent ad un campone tratto da una grande popolazone. Poché da una grande popolazone s possono ottenere un gran numero d osservazon, è possble, per dat contnu, sceglere class molto pccole e avere tuttava un certo numero d osservazon all nterno d cascuna classe. In tal modo, un polgono d frequenze avrebbe segment molto pccol, approssmabl a delle curve, dette curve d frequenza. Tal curve teorche possono essere approssmate lscando polgon d frequenza del campone; l approssmazone mglora al crescere delle dmenson del campone. 8

29 Statstca Meda, Medana, Moda La meda artmetca d n numer (valor d una data grandezza), è la somma de suddett numer dvso n : = dove q rappresenta un generco valore q della grandezza. n q = 1 n q 9

30 Statstca Msure d dspersone Dspersone o varazone de dat è l atttudne d cert dat numerc a dspors ntorno ad un valore medo. Lo scarto quadratco medo camponaro s è s = n q = 1 ( q ( n 1) ) La varanza camponara è par a s. Quando s fa rfermento ad una popolazone nfnta le due grandezze s ndcano rspettvamente con σ e σ. 30

31 Statstca Teora elementare della probabltà La probabltà emprca o stmata d un evento è data dalla frequenza relatva del presentars dell evento, quando l numero delle osservazon è molto grande. La probabltà è qund l lmte della frequenza relatva, quando l numero delle osservazon cresce ndefntamente. Se una varable X può assumere un nseme dscreto d valor X 1, X, X n, rspettvamente con probabltà p 1, p, p n, s dce che per X è stata defnta una dstrbuzone d probabltà dscreta. La funzone p(x) è detta funzone d probabltà d X S ha qund un analoga tra le dstrbuzon d frequenza relatva (per campon) e le funzon d probabltà, p(x) (per le popolazon). 31

32 Statstca Teora elementare della probabltà Se la varable X può assumere un nseme contnuo d valor, l polgono delle frequenze relatve d un campone dventa, nel caso teorco d una popolazone, una curva contnua Y = p(x) p(x) è chamata funzone d denstà (d probabltà) l area sotto la curva compresa fra le lnee X=a e X=b dà la probabltà che X cada tra a e b. l area totale sottesa dalla curva è uguale a 1. 3

33 Statstca Dstrbuzone normale o d Gauss La funzone : p q 1 σ ( ) q = e σ π ( μ ) descrve la dstrbuzone d probabltà o d Gauss, cosddetta curva a campana, dove q rappresenta un generco valore q della grandezza, σ è lo scarto quadratco medo della popolazone ed μ l valore medo della popolazone. 33

34 Dstrbuzone normale S può determnare l espressone razonalzzata della dstrbuzone normale ntroducendo la varable: k p = ( q σ μ ) da cu p ( 1 q ) = e σ π 1 k p S ottene una dstrbuzone che ha la caratterstca d avere valore medo nullo e scarto quadratco medo par ad 1. 34

35 Dstrbuzone normale

36 Dstrbuzone normale Dalla tabella 1 s può calcolare la probabltà che l valore generco q sa compreso nell ntervallo: μ k p σ < q < μ + k p σ 36

37 Statstca Teora de campon elementar La teora de campon è lo studo delle relazon esstent tra una popolazone ed campon estratt dalla popolazone stessa. E molto mportante perché per esempo è utle nella stma de valor gnot de parametr della popolazone stessa (la meda, la varanza, etc.). Infatt tal parametr possono essere stmat quando s conoscono parametr corrspondent del campone (teora statstca della stma). I campon devono essere rappresentatv della popolazone. 37

38 Dstrbuzone camponara della meda Se s consderano dvers campon d ampezza n estrabl da una popolazone, s può calcolare per cascun campone un parametro, (per esempo la meda), che possblmente varerà da campone a campone. E qund possble rcavare una dstrbuzone d quel parametro, nel nostro caso la meda, che vene detta dstrbuzone camponara del parametro stesso, nel caso n esame dstrbuzone camponara della meda. Per cascuna dstrbuzone camponara è possble calcolare un la meda, lo scarto quadratco medo ecc. In tal caso s parla d meda o d scarto quadratco medo della dstrbuzone camponara della meda. 38

39 Dstrbuzone camponara della meda Campone d n element 1 3 Popolazone nfnta 39

40 1 1 Dstrbuzone camponara della meda

41 Dstrbuzone camponara della meda Nel caso della dstrbuzone camponara della meda s può osservare che se la popolazone è nfnta o se s ha n > 30 s ha che: La meda della popolazone μ concde con la meda della dstrbuzone camponara della meda ; Lo scarto quadratco medo della dstrbuzone camponara della meda è: μ σ = σ n 41

42 Intervall d confdenza Se la dstrbuzone camponara della meda è approssmatvamente normale c s può aspettare che una reale statstca camponara cada negl ntervall sotto ndcat, dove μ è la meda della dstrbuzone camponara della meda ed σ è lo scarto quadratco medo della dstrbuzone camponara della meda, con la seguente probabltà: l 68,7 % de cas è compreso tra l 95,45 % de cas è compreso tra l 99,73 % de cas è compreso tra μ σ e μ + σ μ σ e μ + σ μ 3σ e μ + 3σ 4

43 Intervall d confdenza D fatto s conosce e s vuole sapere d quanto c s dscosta da μ, meda della stma camponara, che, come detto prma, concde con la meda della popolazone μ. S può essere confdent d trovare che μ è compresa negl ntervall che vanno da : l 68,7 % de cas è compreso tra l 95,45 % de cas è compreso tra l 99,73 % de cas è compreso tra σ e + σ σ e + σ 3σ e + 3σ 43

44 Intervall d confdenza Gl estrem d quest ntervall sono qund dett lmt d confdenza o lmt fducar rspettvamente al 68,7 %, 95,45 % e 99,73 %. In generale lo scarto quadratco medo della popolazone σ è sconoscuto e s rcorre allo scarto quadratco medo camponaro s. s = n q = 1 ( n 1) σ S può qund osservare che l termne rappresenta lo scarto tpo ovvero l ncertezza della meda n ( q ) 44

45 Teora de pccol campon Nel caso n cu l ampezza del campone n è mnore d 30 la dstrbuzone camponara non s può pù rtenere normale. Bsogna allora rcorrere alla dstrbuzone t d Student che è valda sa per pccol che per grand campon che n forma razonalzzata è espressa medante la varable: t p ( μ = dove, rappresenta l valore medo delle s n ) msurazon, ed è una stma del valore atteso μ, mentre s è lo scarto tpo spermentale della sere d msurazon ed è una stma dello scarto quadratco medo della popolazone σ. 45

46 Teora de pccol campon La dstrbuzone camponara t dpende dalla costante ν= n 1 (numero d grad d lbertà). Per ogn valore d ν esste una curva d dstrbuzone della probabltà d t p. Per grand valor d n le curve s approssmano alla curva normale standardzzata. 46

47 Teora de pccol campon 47

48 Teora de pccol campon Ne segue che, n analoga a quanto vsto per gl ntervall d confdenza nel caso d grand campon, per calcolare la probabltà che l valore sperato μ s trov nell ntervallo: t p σ e + t p σ bsogna determnare l valore della varable t p dalla tabella che rporta valor d t p a dvers lvell d probabltà n funzone de grad d lbertà ν=n -1. Da cu s può osservare che l termne rappresenta l ncertezza della meda. σ = σ n 48

49 VALUTAZIONE DELL INCERTEZZA Norma UNI CEI Guda all espressone dell ncertezza d msura GUM L ncertezza del rsultato d una msurazone consste n genere d svarate component che possono essere raggruppate n due categore a seconda del modo n cu se ne stma l valore numerco: A) quelle valutate per mezzo d metod statstc (anals statstca d sere d osservazon) B) quelle valutate medante altr metod 49

50 Incertezze d categora A Sono consderate n osservazon rpetute ndpendent della grandezza q esegute nelle stesse condzon spermental. S mmagna una popolazone vrtuale nfnta d valor, pertnent alla grandezza q da cu sono stat estratt, quell della sere d valor ottenut nelle n osservazon (campone) La stma del valore sperato o del valore medo della popolazone nfnta è la meda artmetca delle osservazon: = n q = 1 n q 50

51 Incertezze d categora A Lo scarto tpo spermentale s, stma dello scarto quadratco medo della popolazone nfnta σ, e dato da: s = n q = 1 ( q ( n 1) ) dove ν = n -1 sono grad d lbertà. 51

52 Incertezze d categora A La mglor stma dello scarto tpo spermentale della meda che rappresenta l ncertezza tpo u della meda è data da: u s = = s n 5

53 Incertezze d categora A Concluson Per le ncertezze d categora A sono dunque fornte: la meda artmetca, come stma del valore sperato l ncertezza tpo, come stma dello scarto quadratco medo camponaro della meda s L ncertezza può essere data n valore assoluto o relatvo u& espresso come: u u& = u 53

54 Incertezze d categora A Esempo 54

55 Incertezze d categora A Esempo 55

56 Incertezze d categora A Esempo 1 Rsultato: (100,040±0,034) Ω dove 0,034 Ω è l ncertezza tpo 56

57 Incertezze d categora B La grandezza NON è ottenuta con osservazon rpetute, e la sua dstrbuzone è valutata a pror sulla base d: dat d msurazon precedent esperenza dell operatore specfche tecnche del costruttore dat fornt n certfcat d taratura 57

58 Incertezze d categora B Bsogna qund ndagare sul tpo d dstrbuzone d probabltà che assume la varable nell ntervallo dcharato o conoscuto che può essere espresso: come semampezza a dell ntervallo ntorno al valore msurato come valore massmo e valore mnmo mn e ma fasca d valor a mn valore centrale ma msura 58

59 Incertezze d categora B Nel prmo caso la stma del valore sperato è l valore msurato Nel secondo caso s calcola come valore medo: = ma + mn 59

60 Incertezze d categora B Not gl estrem dell ntervallo massmo d varazone del valore bsogna valutare l ncertezza, ntesa come stma dello scarto quadratco medo camponaro della meda, a seconda della dstrbuzone d probabltà con cu s suppone sa dstrbuto l msurando all nterno dell ntervallo. Normalmente s usano: Dstrbuzone rettangolare Dstrbuzone trangolare Dstrbuzone trapezodale Dstrbuzone normale 60

61 Dstrbuzone rettangolare Tutt valor che una varable causale X può assumere nell ntervallo d valor dcharato sono ugualmente probabl. L andamento della dstrbuzone d probabltà è rettangolare. S dmostra che la stma dello scarto quadratco medo camponaro della meda, e qund l ncertezza tpo della meda, è par a: ma mn u = 3 61

62 Dstrbuzone trapezodale Un altra possbltà è che spesso è pù realstco trovare valor vcno al valore medo che n prossmtà degl estrem L andamento della dstrbuzone d probabltà è trapezodale. S dmostra che la stma dello scarto quadratco medo camponaro della meda, e qund l ncertezza tpo della meda, è par a, u = ( ma mn ) 6 (1 + β ) con β compreso tra zero ed uno. 6

63 Dstrbuzone trangolare Per β=0 s ha una dstrbuzone trangolare (per β=1 s ha la dstrbuzone rettangolare) S dmostra che la stma dello scarto quadratco medo camponaro della meda, e qund l ncertezza tpo della meda, è par a: u = ( ma mn 6 ) 63

64 Incertezze d categora B Il valore sperato sarà par a quello centrale dell ntervallo. La valutazone qund dpende da come vene fornto l ntervallo dcharato dal costruttore, dal certfcato d taratura, etc. 64

65 Incertezze d categora B - Esempo 65

66 Incertezze d categora B - Esempo Rsultato: (1,770±0,01) A 66

67 Incertezza composta L ncertezza del rsultato d una msurazone consste n genere delle due component d categora A) (quelle valutate per mezzo d metod statstc) e B) (quelle valutate medante altr metod) che vanno composte quadratcamente: u c = u A + u B ncertezza assoluta composta u& = u& + c A u& B ncertezza relatva composta 67

68 Incertezza estesa In molte applcazon commercal, ndustral e normatve s prefersce defnre un ntervallo pù ampo U(y) ntorno al rsultato y della msurazone, n modo che v sano compres una pù grande parte de valor (lvello d confdenza 95%, 99%) che ragonevolmente possono attrburs al msurando. Questo ntervallo, denomnato ncertezza estesa (globale) U, s ottene moltplcando l ncertezza tpo composta u per un opportuno fattore d copertura k (compreso fra e 3) dpendente dalla dstrbuzone. Per dstrbuzone normale a 95% corrsponde K=1,96 68

69 Dstrbuzone normale

70 VALUTAZIONE DELL INCERTEZZA Norma UNI CEI Guda all espressone dell ncertezza d msura GUM Nella maggor parte de cas l msurando non vene msurato drettamente, ma vene determnato tramte un certo numero n d grandezze X 1, X,, X n ( grandezze d ngresso ), attraverso una relazone funzonale f: Y = f(x 1, X,, X n ) Le grandezze d ngresso possono essere consderate esse stesse de msurand, che possono a loro volta dpendere da altre grandezze, (grandezze dervant da processo d msurazone, grandezze rportate ne certfcat d taratura de campon e degl strument, grandezze d nfluenza, correzon ecc.) 70

71 VALUTAZIONE DELL INCERTEZZA Norma UNI CEI Guda all espressone dell ncertezza d msura GUM 1. Indvduare l modello della msurazone; La stma y del msurando, che è l rsultato della msurazone, s ottene attraverso le stme delle grandezze d ngresso: y = f ( 1,,, n ) 71

72 VALUTAZIONE DELL INCERTEZZA. Valutare le ncertezze delle grandezze d ngresso; Ad ognuna delle stme d ngresso s assoca un ncertezza d ngresso u( ), che, nseme a tutte le altre, contrbusce a formare l ncertezza della stma del msurando (ncertezza composta). 3. Calcolare l ncertezza composta del msurando. S ndvdua l espressone che, note le ncertezze d ngresso, consente d rcavare l ncertezza composta del msurando. 7

73 Propagazone delle ncertezze nelle msure ndrette Nel caso n cu l msurando sa legato ad altre grandezze, attraverso l modello d msurazone, o sa determnato per va ndretta come s propagano (compongono) le ncertezze? 73

74 Incertezza composta Dato l modello y = f( 1,,..... m ) che lega le m msure delle grandezze 1,... m alla grandezza y, la stma da attrbure alla msura è data da: y y = f (,,...,,..., 1 m ) essendo le stme de valor delle grandezze d ngresso 74

75 Incertezza composta Grandezze non correlate Ipotes: Sono defnte e note le ncertezze tpo delle msure drette. Le grandezze sono tutte statstcamente ndpendent. u u Le ncertezze tpo sono pccole rspetto alle msure e sono qund trattabl come nfntesm. Sono defnte e calcolabl le dervate parzal prme d f rspetto alle varabl ndpendent. 75

76 76 Incertezza composta Grandezze non correlate L ncertezza tpo composta è data da: y u = = m y u f u 1 L ncertezza tpo composta è la radce quadrata postva della varanza composta y u

77 77 Somma Dfferenza y u u u y y + = + = + = Esemp ( 1 > 0, > 0, non correlat) y u u u y y + = = =

78 78 Esemp (non correlat) Prodotto Quozente y u u u y y & & & + = = = y u u u y y & & & + = = =

79 Esemp (non correlat) 79

80 Esemp (non correlat) 80

81 Incertezza composta - Grandezze correlate Se non vale l potes d non correlazone: Sono defnte e note le ncertezze tpo delle msure drette. Le grandezze sono correlate. u u Le ncertezze tpo sono pccole rspetto alle msure e sono qund trattabl come nfntesm. Sono defnte e calcolabl le dervate parzal prme d f rspetto alle varabl ndpendent. 81

82 8 Incertezza composta - Grandezze correlate L ncertezza tpo composta da attrbure alla msura è data da: dove è la covaranza stmata assocata a e j = = + = + = m m m j j j y u f f u f u ), ( ), ( j u y u ( ) u pq mm pk p k m qk q, = = 1 1 1

83 83 Il grado d correlazone è caratterzzato dal coeffcente d correlazone: Per esempo se gl strument sono della stessa famgla e sono stat tarat dallo stesso laboratoro s può supporre una correlazone totale, r=1. Incertezza composta - Grandezze correlate e correlate totalment grandezze 1 ), ( non correlate grandezze 0 ), ( 1 ), ( con -1 ), ( ), ( = = < < = j j j j j r r r u u u r j