I.S.I.S.S. A. Giordano Venafro (IS) Appunti di Fisica n. 3

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1 I.S.I.S.S. A. Giordano Venafro (IS) 1 Fenomeni Magnetici prof. Valerio D Andrea VB ST - A.S. 2017/2018 Appunti di Fisica n. 3 In natura esiste un minerale che è in grado di attirare oggetti di ferro: la magnetite, un magnete naturale. Alcuni oggetti (es. ferro, nichel) a contatto con la magnetite vengono magnetizzati, cioé acquisiscono le stesse proprietà di un magnete (si chiamano ferromagnetici). Ogni magnete ha un polo nord e un polo sud, poli dello stesso tipo si attraggono, poli opposti si respingono. Se dividiamo un magnete in 2 ciascuno dei frammenti ha un polo nord e un polo sud: non posso avere un polo magnetico separato. La Terra è un magnete, i poli magnetici si trovano nelle regioni vicino i poli geografici opposti. 1.1 Campo Magnetico Ogni magnete genera nello spazio circostante un campo magnetico B (campo vettoriale). L unità di misura di B è il Tesla: 1 T=1 N/(1 A 1 m). Il campo prodotto da un magnete a barra è analogo al campo elettrico prodotto da un dipolo elettrico. Anche per B si definiscono le linee di campo: sono in ogni punto tangenti al campo magnetico B; escono dal polo nord ed entrano nel polo sud; hanno densità proporzionale all intensità del campo. 1.2 Forza tra Magneti e Correnti Oersted nel 1820 scoprì che un filo percorso da corrente genera un campo magnetico con le seguenti proprietà: le linee di campo sono circonferenze concentriche con il filo; il verso del campo si ottiene puntando il pollice nel verso della corrente, le altre dita si chiudono nel verso del campo. Nel 1821 Faraday osservò che un filo percorso da corrente subisce una forza se immerso in un campo magnetico. Questa forza è: sempre perpendicolare al piano formato da corrente e campo B; il verso è dato dalla regola della mano destra con pollice nel verso della corrente e indice nel verso di B. 1

2 1.3 Legge di Ampère Dopo le esperienze di Oersted e Faraday, Ampère verificò sperimentalmente che 2 fili percorsi da correnti esercitano una forza tra di loro, i fili si attraggono se la corrente ha lo stesso verso, si respingono se le correnti sono in verso opposto. La legge di Ampère afferma che questa forza tra fili rettilinei e paralleli è direttamente proporzionale alle correnti i 1 e i 2 e alla lunghezza l dei fili e inversamente proporzionale alla distanza d tra essi: F = µ 0 i 1 i 2 2π d l (1) dove µ 0 è la permeabilità magnetica del vuoto, costante che ha un valore fissato di: µ 0 = 4π 10 7 N/A 2 (2) questa valore è stato scelto per definire in modo operativo l Ampère: una corrente di 1 A che attraversa 2 fili, distanti 1 m, produce su ogni metro di lunghezza una forza: F = µ 0 i 1 i 2 2π d l = 4π 10 7 N/A 2 (1 A)(1 A) 2π 1 m 1 m = N. (3) 1.4 Forza Magnetica su un Filo percorso da Corrente Sperimentalmente si osserva che la forza che subisce un filo percorso da corrente è massima quando esso è disposto perpendicolarmente alle linee del campo B, mentre la forza è nulla se è parallelo. In generale questa forza si può scrivere: F = i l B (4) dove l è un vettore con modulo pari alla lunghezza e che segue il verso della corrente; il modulo della forza è: F = Bil sin α (5) dove α è l angolo compreso tra i vettori l e B. 1.5 Legge di Biot-Savart Consideriamo 2 fili rettilinei e paralleli percorsi da corrente i e i 1, sappiamo che il campo B prodotto da essi è perpendicolare ai fili, quindi uno dei fili genera sull altro una forza pari a (usiamo Eq. (4)): F = Bi 1 l. (6) La legge di Ampère Eq. (1) afferma che il modulo di questa forza è: F = µ 0 ii 1 2π d l (7) e eguagliando le 2 espressioni si può ricavare l espressione per il campo magnetico prodotto da un filo rettilineo: B = µ 0 i (8) 2π d questa è la legge di Biot-Savart, trovata sperimentalmente dai 2 fisici francesi nel

3 1.6 Campo Magnetico di una Spira e di un Solenoide Usando la legge di Biot-Savart si può trovare il campo magnetico di una spira circolare percorsa da corrente, in particolare sull asse della spira dove il campo è perpendicolare ad essa. Al centro della spira il campo magnetico è: B = µ 0 i (9) 2 R dove R è il raggio della spira; su un punto dell asse distante x dal centro della spira il campo è: B = µ 0 2 ir 2 (R2 + x 2 ) 3. (10) Un filo conduttore avvolto a elica è detto solenoide. Un solenoide molto lungo percorso da corrente produce un campo magnetico parallelo e uniforme all interno, praticamente nullo all esterno. Se N è il numero di spire e l è la lunghezza del solenoide, il campo all interno è dato dalla formula: Ni B = µ 0 (11) l 2 Forza di Lorentz Correnti elettriche sono soggette a forza magnetica, di conseguenza anche cariche elettriche in movimento se immerse in un campo magnetico B risentono della forza di Lorentz: F = q v B (12) dove v è la velocità della carica elettrica. Come nel caso dell Eq. (4), la forza è nulla se il moto è parallelo a B, è massimo se sono perpendicolari ed in generale il modulo della forza è: F = qvb sin α (13) dove α è l angolo compreso tra i vettori v e B. La direzione della forza è perpendicolare sia a v che B, mentre il verso è dato dalla regola della mano destra, applicata tenedo conto del segno della carica. 2.1 Moto di una Carica all interno di un Campo Magnetico Uniforme In generale la forza di Lorentz non può cambiare il modulo della velocità di una carica, modifica soltanto la sua direzione. Il caso può semplice è una carica che si muove perpendicolarmente ad un campo B uniforme. In questo caso il moto descritto dalla carica sarà un moto circolare uniforme con la forza di Lorentz che rappresenta la forza centripeta del moto: qvb = m v2 (14) r da questa equazione si puà ricavare il raggio del moto della carica nel campo magnetico: r = mv qb. (15) Velocità obliqua rispetto al campo B Se la velocità della carica ha una inclinazione qualsiasi rispetto alla direzione del campo B, si può studiare il moto scomponendo la velocità nella direzione perpendicolare e parallela a B: nella direzione parallela la forza di Lorentz è nulla, quindi si avrà un moto rettilineo uniforme; nella direzione perpendicolare la forza di Lorentz è F = qv B, si avrà un moto circolare. La combinazione dei 2 moti da origine ad una traiettoria ad elica cilindrica a passo costante, il raggio dell elica ha la stessa espressione di Eq. (15) sostituendo la velocità con v. 3

4 2.2 Effetto Hall Se poniamo una lamina conduttrice percorsa da corrente in un campo magnetico, le cariche inizieranno a muoversi a causa della forza di Lorentz. Se la corrente e il campo B sono perpendicolari, si crea una differenza di potenziale nella direzione trasversale, il cui segno dipende dai portatori di carica. Le cariche che vengono spostate creano un campo elettrico (con la relatica forza elettrica) che contrasta la forza di Lorentz. Ad un certo si crea una situazione di equilibrio: F E = F B qe = qvb (16) Se usiamo la relazione E = V H d (dove d è la larghezza della lamina), si può ricavare l espressione per la tensione di Hall V H : V H = dvb (17) quindi V H è direttamente proporzionale al campo magnetico. 3 Flusso del Campo Magnetico Si definisce il flusso del campo magnetico attraverso una superficie piana come: Φ S ( B) = B S = BS cos α (18) dove α è l angolo compreso tra B e S (nel caso di una superficie non piana devo fare una sommatoria dei flussi su ogni superficie piana). L unità di misura di Φ S ( B) è il Weber: Wb = T m 2. Il teorema di Gauss per il magnetismo afferma che il flusso del campo magnetico attraverso una superficie chiusa è uguale a zero: Φ Ω ( B) = 0. (19) Come abbiamo visto, il teorema di Gauss per il campo elettrico afferma invece che il flusso è proporzionale alla carica interna. L Eq. (19) esprime il fatto che non esistono cariche magnetiche isolate, per questo il Φ Ω ( B) è nullo (si può dimostrare il teorema nel caso del filo rettilineo). 4 Teorema di Ampère Si definisce la circuitazione del campo magnetico lungo una linea chiusa orientata con la somma dei prodotti scalari del campo per i vettori spostamento: Γ γ ( B) = i B i s i. (20) Il teorema di Ampère afferma che la circuitazione di B attraverso un qualunque cammino chiuso γ è proporzionale alla corrente concatenata con γ: Γ γ ( B) = µ 0 i con (21) risultato anche qui diverso dal campo elettrico dove la circuitazione è nulla. L Eq. (21) indica che il campo magnetico NON è conservativo. Per dimostrare il teorema di Ampère si considera il caso in cui il campo è prodotto da un filo rettilineo e γ è una circonferenza; usando la legge di Biot-Savart nell Eq. (20) e la lunghezza della circonferenza di ottiene l Eq. (21). 4

5 5 Proprietà Magnetiche dei Materiali In natura esistono 3 tipi di materiali con proprietà magnetiche diverse: materiali ferromagnetici (ferro, nichel cobalto), possono essere magnetizzate e sono fortemente attratti dai magneti; materiali paramagnetici, sono debolmente attratti dal campo magnetico; materiali diamagnetici, sono debolmente respinte dal campo magnetico. 5