Equazioni differenziali

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2 Equazioi differeziali Defiizioe 1 Si chiama equazioe differeziale u tipo particolare di equazioe fuzioale, ella quale la fuzioe icogita compare isieme ad alcue sue derivate, ossia u equazioe ella quale, oltre alle ormali operazioi algebriche e trascedeti, è ammessa l operazioe di derivazioe. Defiizioe 2 Si dice ordie di u equazioe differeziale il massimo ordie di derivazioe che i essa compare. Defiizioe 3 Si chiama soluzioe di u equazioe differeziale di ordie ua fuzioe di classe C su u opportuo isieme che verifichi l equazioe stessa. Se ad esempio scriviamo l equazioe i forma ormale, ossia come y = f(, y, y,, y 1, ) e y = y() è ua sua soluzioe, la relazioe y () = f[, y(), y (),, y 1 ()] deve essere u idetità.

3 Equazioi differeziali Defiizioe 4 Chiamiamo itegrale geerale dell equazioe differeziale ua soluzioe della forma y = f() + k, oppure y = kf(), dalla quale si ottegoo tutte le soluzioi particolari co la semplice attribuzioe di u valore particolare alla costate arbitraria k. Spesso o si è iteressati all itera famiglia di soluzioi di u equazioe differeziale, ma si desidera otteere ua soluzioe particolare. I questo caso si deve formulare u problema di Cauchy, ossia ua coppia di equazioi riguardati la fuzioe icogita, del tipo y = f(, y) y = y 0 la cui soluzioe può essere trovata, ad esempio, scegliedo il valore della costate arbitraria per il quale la soluzioe espressa i forma di itegrale geerale della prima equazioe verifica ache la secoda equazioe.

4 Equazioi differeziali Il problema che si poe è se u problema di Cauchy ammetta soluzioe e, quado questo succeda, se tale soluzioe sia uica. Teorema di esisteza e uicità i grade Sia f [a, b]r R cotiua e lipschitziaa rispetto ad y i R, uiformemete rispetto a i [a,b]. Allora, comuque scelto il puto (, y 0 ) i [a, b]r esiste ua ed ua sola fuzioe y: [a, b] R, differeziabile co cotiuità e soluzioe del problema di Cauchy, ossia tale che y = f(, y ) y = y 0 Ua fuzioe reale di variabile reale, f: A R si dice lipschiziaa i A se k R: 1, 2 A, f 1 f 2 k 1 2

5 Equazioi differeziali La defiizioe di fuzioe lipschitziaa è di facile iterpretazioe. Ifatti, fissati i puti 1 e 2, co ad esempio 1 < 2, la relazioe riportata sigifica che f 1 k 2 1 f 2 f 1 + k 2 1 Se osserviamo il disego sotto riportato, il sigificato di questa relazioe è che f( 2 ) deve trovarsi ella parte di piao delimitata dalle due semirette, di coefficiete agolare k e -k. Questo ci dà duque u'iformazioe sull'icremeto che la fuzioe può subire el passaggio da 1 a 2, cotrollato dall'icremeto subito dalle due rette e che quidi o è compatibile co variazioi troppo brusche (quali ad esempio si verificao i corrispodeza di puti a tagete verticale). f( 1 ) L'icremeto della fuzioe è cotrollato, attraverso u coefficiete k, da quello della y ed esiste ua costate k che vale per ogi puto di [a,b]. 1

6 Equazioi differeziali Il teorema di esisteza e uicità per u problema di Cauchy dimostra che la soluzioe esiste ed è localmete uica, se f rispetta opportue ipotesi. È sempre possibile ridurre u problema di ordie ad u sistema di equazioi differeziali ordiarie, ovvero di ordie 1 Il teorema di esisteza e uicità per u problema di Cauchy (teorema di Picard-Lidelöf) garatisce l'esisteza di u'uica soluzioe i u certo itervallo coteete se t 0 e f e la sua derivata parziale f/ y soo cotiue i ua regioe coteete t 0 e y 0. La dimostrazioe di questo teorema si basa sulla riformulazioe del problema i ua equazioe itegrale. L'itegrale può essere cosiderato u operatore che "mappa" ua fuzioe i u'altra, i modo tale che la soluzioe sia u puto fisso dell'operatore. I seguito si utilizza il teorema delle cotrazioi per dimostrare come esista u uico puto fisso, che è la soluzioe del problema ai valori iiziali.

7 Equazioi differeziali Esiste ache ua dimostrazioe più vecchia del teorema di Picard-Lidelöf, che si basa sulla costruzioe di ua sequeza di fuzioi che covergoo alla soluzioe dell'equazioe itegrale, e quidi alla soluzioe del problema ai valori iiziali. Tale costruzioe viee talvolta chiamata "metodo di Picard" o "metodo ad approssimazioi successive". Questa versioe è sostazialmete u caso particolare del teorema delle cotrazioi. I alcui casi, la fuzioe f o è di classe C 1, o emmeo lipschitziaa, di cosegueza o è assicurata l'esisteza locale di u'uica soluzioe. Il teorema di esisteza di Peao assicura che ache per f semplicemete cotiua, l'esisteza delle soluzioi è garatita localmete; il problema è che o esiste garazia dell'uicità.

8 Teorema di esisteza e uicità i grade Dimostrazioe Esisteza di almeo ua soluzioe: Il problema di Cauchy y = f(, y ) y = y 0 è equivalete all equazioe itegrale y = y 0 + f t, y t dt Allora, detto C l isieme delle fuzioi y() cotiue i [a,b] e tali che y cosideri la trasformazioe T: y C y 0 + f t, y t dt Si tratta di ua trasformazioe di C i C e ua fuzioe y() è ua soluzioe dell equazioe itegrale sse soddisfa alla codizioe = y 0, si T y() = y() quidi è u elemeto uito per la trasformazioe T

9 Teorema di esisteza e uicità i grade Costruiamoci, servedoci di T, ua successioe di fuzioi cotiue i [a,b], uiformemete covergete ad ua fuzioe che dimostreremo essere u elemeto uito per T. Sia y 1 = T y 0 = y 0 + f t, y 0 dt y 2 = T y 1 = y 0 + f t, y 1 (t) dt y = T y 1 = y 0 + f t, y 1 (t) dt Per costruzioe y, N è cotiua i [a,b] e tale che y = y 0 Per dimostrare che y N coverge uiformemete i [a,b] proviamo la covergeza uiforme della serie (y y 1 ()) maggioradola co ua serie umerica covergete

10 Teorema di esisteza e uicità i grade dove y 1 y 0 f(t, y 0 dt M M = ma a,b f(, y 0 y 2 y 1 () f(t, y 1 t f(t, y 0 ) dt y 1 t y 0 dt LM t dt dove L è detta costate di Lipschitz di f. Così proseguedo si ha: y 2 y 1 () ML 2 2 y 3 y 2 () f(t, y 2 t f(t, y 1 (t)) dt L y 2 t y 1 t dt ML dt = ML 2 3! 3

11 Teorema di esisteza e uicità i grade Poiché la serie umerica è covergete; allora la serie y +1 y () ML ! b a +1 y +1 y ML + 1! ML +1 b a + 1! è uiformemete covergete i [a,b]. y +1 y ()

12 Teorema di esisteza e uicità i grade Detto y() il limite uiforme della successioe y () N dimostriamo che T y = y() y() è cotiua i [a,b] perché il limite uiforme di ua successioe di fuzioi cotiue y = y 0 perché N y = y 0 lim f, y = f(, y ) uiformemete, ifatti Ne segue che dalla relazioe Passado al limite per, si ha: f(, y f(, y ) L y y() y = y 0 + f t, y 1 t dt y = y 0 + f t, y t dt = T(y )

13 Teorema di esisteza e uicità i grade Uicità Se φ() è u altra soluzioe del problema di Cauchy è: Dimostriamo che φ φ = y 0 + f t, φ t dt = y, a, b φ y 1 () f t, φ t f(t, y 0 ) dt L φ t y 0 dt KL dove K = ma a,b φ t y 0 φ y 2 () f t, φ t f(t, y 1 (t)) dt L φ t y 1 (t) dt 0 Così proseguedo, si ha: L 2 K t dt L 2 K 2 2

14 Teorema di esisteza e uicità i grade φ y 1 () L K! L K b a! Poiché la serie L K è covergete allora la successioe è ifiitesima e quidi b a! L b a K! φ = lim y () = y

15 Teorema di esisteza e uicità i piccolo Teorema Sia f ua fuzioe defiita e cotiua el rettagolo R = a, b [c, d]; se f è lipschitziaa rispetto a y, per ogi puto P 0 (, y 0 ) tale che y 0 si aitero a [c,d] esiste ua e ua sola soluzioe del problema di Cauchy y = f(y) y = y 0 defiita i u itoro a valori i u itoro di y 0 e gli estremi della curva itegrale appartegoo alla frotiera di R Dimostrazioe Detto φ il prolugameto di f su S = a, b [c, d] cotiuo e lipschitziao rispetto a y, per il teorema di esisteza e uicità i grade, esiste ua ed ua sola soluzioe defiita i [a,b] del problema y = φ(y) y = y 0 Poiché y è cotiua i [a,b] e y = y 0 co y 0 c, d esiste u itervallo chiuso coteete tale che c y() d

16 Teorema di esisteza e uicità i piccolo Se prediamo la restrizioe di y a tale itoro, sia y I, si ha: y I = y 0 y I = φ, y I () = f, y I () I e quidi y I è soluzioe del problema di Cauchy di parteza. È possibile determiare u itoro massimale (rispetto alla relazioe di iclusioe) i cui valgoo le relazioi appea scritte. Cosidero l isieme H di tutti gli itervalli I chiusi coteuti i [a, b] del tipo, + h tali che c y() d. Sia b l estremo superiore dei puti + h al variare di I =, + h i H. Aalogamete cosidero l isieme K di tutti gli itervalli J chiusi coteuti i a, b del tipo k, tali che c y() d.

17 Teorema di esisteza e uicità i piccolo Sia a l estremo iferiore dei puti k al variare di J = k, i K. a, b è c y d e quidi: y = φ, y() = f, y, a, b Gli estremi del grafico di y() appartegoo alla frotiera di R. Ifatti, se potessimo predere u y(b ) itero all itervallo c, d esisterebbe u itoro destro di b i cui y < d e quidi b o sarebbe l estremo superiore dei puti del tipo + h tali che c y d