Prof. Giuseppe Scippa [EQUAZIONI DIFFERENZIALI] Sintesi dei principali tipi dei equazioni differenziali.

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1 2015 Prof. Giuseppe Scippa [EQUAZIONI DIFFERENZIALI] Sintesi dei principali tipi dei equazioni differenziali.

2 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ( pag. 2088) Si chiama equazione differenziale un equazione che ha per incognita la funzione y=f(x) (nella variabile indipendente x) nella quale compare la variabile x stessa, la funzione y e almeno una delle sue derivate: y, y, y..) quindi è del tipo: F(x; y; y ; y ;..y (n) ) = 0 La sua soluzione è una funzione y che verifica l equazione differenziale, e viene detta soluzione o integrale dell equazione. L insieme di tutte le funzioni che sono integrali dell equazione (cioè le soluzioni) viene detto: integrale generale. DEFINIZIONE: Equazione differenziale del primo ordine. Una relazione tra la variabile indipendente x, una funzione incognita y = f(x) e la sua derivata prima y, del tipo: si dice equazione differenziale del primo ordine. F(x; y; y ) = 0 DEFINIZIONE: Equazione differenziale del secondo ordine. Una relazione tra la variabile indipendente x, una funzione incognita y = f(x) e la sua derivata prima y, del tipo: F(x; y; y ; y ) = 0 Prende il nome di equazione differenziale del secondo ordine. INTEGRALE DI UN EQUAZIONE DIFFERENZIALE: Una equazione del 1 ordine y = y (1) può essere soddisfatta se sostituiamo al posto di y una funzione che sia uguale alla sua derivata: y = e x y = e x ma anche la funzione è una soluzione, con c costante arbitraria. y = c e x Quindi tale soluzione sarà detta : soluzione generale o integrale generale della (1). Mentre se sostituiamo a c un valore numerico si avrà una soluzione o integrale particolare della (1). Prof. Giuseppe Scippa Pag. 1

3 DEFINIZIONE: Integrale di una equazione differenziale. Sia data un equazione differenziale di ordine n Una funzione di equazione: F(x; y; y ;. y (n) ) = 0 (13) y = f(x) si dice soluzione o integrale della (13) se, sostituendo la sua espressione e quelle delle sue derivate nell equazione differenziale data, questa si trasforma in una identità. DEFINIZIONE: Integrale generale e integrale particolare di una equazione differenziale. Si dice che un equazione del tipo: y = f(x; c 1 ; c 2 ; c n ) esprime la soluzione generale o l integrale generale dell equazione differenziale (13) se, quali che siano i particolari numeri reali che si sostituiscono ai parametri c 1 ; c 2 ; c n l equazione che da essa si ottiene è quella di una funzione soluzione della (13). Tale soluzione è detta integrale particolare. EQUAZIONI DIFFERENZIALI del 1 ordine: Sono del tipo: y = f(x) il cui integrale è semplicemente l integrale indefinito di f(x): y = f(x) y = f(x)dx EQUAZIONI DIFFERENZIALI a variabili separabili: (pag. 2090) Sono particolari equazioni differenziali nelle quali è possibile esprimere y = dy dx e separare nei due membri le due variabili e poi integrare separatamente. Prof. Giuseppe Scippa Pag. 2

4 DEFINIZIONE: Equazione differenziale a variabili separabili. Si dice che un equazione differenziale del primo ordine è a variabili separabili se, posto y = dy dx essa si può scrivere nella forma: q(y) dy = p(x) dx essendo q(x) e p(x) funzioni continue in opportuni intervalli. Prof. Giuseppe Scippa Pag. 3

5 EQUAZIONI DIFFERENZIALI lineari del 1 ordine: (pag. 2093) prima. Si definiscono di primo ordine le equazioni differenziali che presentano solo la derivata Si dicono lineari quelle equazioni differenziali che sono di primo grado rispetto alla funzione incognita e alle sue derivate. Le equazioni differenziali lineari del primo ordine sono del tipo: y = a(x) y + b(x) (10) con a(x) e b(x) funzioni continue in un opportuno intervallo. Se b(x) = 0, l equazione differenziale si dice omogenea e prende la forma: Se b(x) = 0 l integrale si può esprimere: y = a(x) y y = a(x) y y = k e A(x) con A(x) primitiva di a(x) : A(x) = a(x)dx e k ϵ R. Se b(x) 0 si può applicare il metodo di Lagrange: (pag.2094) y =a(x) y + b(x) y = e A(x) b(x) e -A(x) dx Con A(x) primitiva di a(x). Esempio: 1) Equazione omogenea y =a(x) y la soluzione generale è: y=k e A(x) con : A(x) = a(x)dx e k costante 0 2) Equazione non omogenea (pag.2094) y =a(x) y +b(x) la cui soluzione generale è: y = e A(x) b(x) e -A(x) dx Prof. Giuseppe Scippa Pag. 4

6 Oppure esiste un metodo pratico che si può applicare quando il meno all esponente di e crea qualche problema all integrazione. posto: A(x) =- a(x)dx l integrale generale diventa: y a(x) y = b(x) y = e -A(x) b(x) e A(x) dx Esempio: y + xy = x y = -xy +x con: a(x) = -x e A(x) = -x dx = - x2 2 y = e A(x) b(x) e -A(x) dx y = e x2 2 x e x 2 2 dx y = e x2 2 (e x2 2 + c) = e x2 2 +x2 2 + c e x2 2 = e 0 + c e x2 2 = 1 + c e x2 2 Prof. Giuseppe Scippa Pag. 5

7 EQUAZIONI DIFFERENZIALI del secondo ordine (pag.2095) Prof. Giuseppe Scippa Pag. 6

8 ESEMPI: Prof. Giuseppe Scippa Pag. 7

9 EQUAZIONE COMPLETA (pag. 2097) Prof. Giuseppe Scippa Pag. 8

10 ESEMPIO 2: Prof. Giuseppe Scippa Pag. 9

11 Prof. Giuseppe Scippa Pag. 10

12 ESEMPIO 3 caso: il β è il numero che è davanti all argomento del cos x. ( β =1 ) Prof. Giuseppe Scippa Pag. 11

13 SCHEMA RIASSUNTIVO: Prof. Giuseppe Scippa Pag. 12

14 Prof. Giuseppe Scippa Pag. 13